2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.3 1.3.1 单 调 性 Word版含解析

3．1.2 共面向量定理[对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，观察下列几组向量，回答问题．问题1：AB 、AD 、11A C 可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为AC ＝11A C ，三个向量可移到平面ABCD 内． 问题2：1AA ，AC ，1AC 三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC 1A 1内．问题3：1BB 、1CC 、1DD 三个向量是什么关系？ 提示：相等．1．共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面． 2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．[对应学生用书P51][例1]给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x，y)使得OP＝x OA＋y OB，则O、P、A、B四点共面；④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．其中正确命题的序号是________．[思路点拨]先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．[精解详析]①错：空间中任意两个向量都是共面的；②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确：因为OP、OA、OB共面，∴O、P、A、B四点共面；④错：没有强调零向量；⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．[答案]③[一点通]共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．1．下列说法正确的是________(填序号)．①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是AB、1AA、AD，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB＋1AA＋AD；③若OP＝12(PA＋PB)成立，则P点一定是线段AB的中点；④在空间中，若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共面．⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．解析：①②③⑤不正确，④正确．答案：④2．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b ＋22c，试问向量p、q、r是否共面？解：设r ＝x p ＋y q ，则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－7，x －3y ＝18，－x －5y ＝22.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－5，∴r ＝3p －5q . ∴p 、q 、r 共面.[例2] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：1AC 与AE 、AF 共面．[思路点拨] 由共面向量定理，只要用AE 、AF 线性表示出1AC 即可． [精解详析] ∵1AC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋AD ＋131AA ＋231AA＝(AB ＋131AA )＋(AD ＋231AA )＝AB ＋BE ＋AD ＋DF ＝AE ＋AF ，∴1AC 与AE 、AF 共面．[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x ，y 使向量1AC ＝x AE ＋y AF 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AE 、AF 表示1AC .3．如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量1A B ，1B C ，EF 是共面向量．证明：法一：EF ＝EB ＋1BA ＋1A F ＝121B B －1A B ＋1211A D ＝12(1B B ＋BC －1A B＝121B C －1A B . 由向量共面的充要条件知，1A B ，1B C ，EF 是共面向量．法二：连接A1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连结FG ，BG ，则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .BG ⊆平面A 1BD ，EF 平面A 1BD∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴1A B ，1B C ，EF 都与平面A 1BD 平行． ∴1A B ，1B C ，EF 是共面向量．4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ＝k 1AC ，BN ＝k BC (0≤k ≤1)．求证：MN 与向量AB ，1AA 共面．证明： 如图，在封闭四边形MABN 中，MN ＝MA ＋AB ＋BN .① 在封闭四边形MC 1CN 中，MN ＝1MC ＋1C C ＋CN ②∵AM ＝k 1AC ， ∴AM ＝k (AM ＋1MC )∴(1－k )AM ＝k 1MC ，即(1－k )MA ＋k 1MC ＝0， 同理(1－k )BN ＋k CN ＝0.①×(1－k )＋②×k 得MN ＝(1－k )AB ＋k 1C C ， ∵1C C ＝－1AA ，∴MN ＝(1－k )AB －k 1AA ， 故向量MN 与向量AB ，1AA 共面.[例3] 如图所示，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .[思路点拨] (1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x ，y ，使EG ＝x EF ＋y EH 即可．(2)要证BD ∥平面EFGH ，只需证向量BD 与向量FH 、EG 共面即可． [精解详析] (1)如图所示，连接BG ，EG ，则：EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH . 由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则BD ＝AD －AB ＝c －a .EG ＝EA ＋AG ＝－a 2＋12(c ＋b )＝－12a ＋12b ＋12c ， HF ＝HA ＋AF ＝－12c ＋12(a ＋b )＝12a ＋12b －12c .假设存在x ，y ，使BD ＝x EG ＋y HF . 即c －a ＝x ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ＋y ⎝⎛⎭⎫12a ＋12b －12c ＝⎝⎛⎭⎫y 2－x 2a ＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2b ＋⎝⎛⎭⎫x 2－y 2c . ∵a ，b ，c 不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x2＝－1，x 2＋y2＝0，x 2－y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴BD ＝EG －HF .∴BD 、EG 、HF 是共面向量， ∵BD 不在平面EFGH 内． ∴BD ∥平面EFGH . [一点通]1．空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在实数对x 、y ，使MP ＝x MA ＋y MB .满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．2．用共面向量定理证明线面平行的关键是： (1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量； (3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．5．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明：设11C B ＝a ，11C D ＝b ，1C C ＝c ，则1B C ＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，所以1OD ＝1211B D ＝12(b －a )．因为D 1D 綊C 1C ，所以1D D ＝c ，OD ＝1OD ＋1D D ＝12(b －a )＋c .1OC ＝－12(a ＋b )，假设存在实数x ，y ，使1B C ＝x OD ＋y 1OC ，所以c －a ＝x ⎣⎡⎦⎤12(b －a )＋c －y ·12(a ＋b ) ＝－12(x ＋y )a ＋x c ＋⎝⎛⎭⎫x 2－y 2b ，且a ，b ，c 不共线， 所以x ＝1，12(x ＋y )＝1，且x －y 2＝0，即x ＝1，y ＝1.所以1B C ＝OD ＋1OC ，所以1B C ，OD ，1OC 是共面向量，又因为1B C 不在OD ，1OC 所确定的平面ODC 1内，所以B 1C ∥平面ODC 1.6．如图，已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结P A 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形ABCD 各边于M 、N 、Q 、R . ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形，且有PE ＝23PM ，PF ＝23PN ，PG ＝23PQ ，PH ＝23PR .∵MNQR 为平行四边形，∴EG ＝PG －PE ＝23PQ －23PM ＝23MQ＝23(MN ＋MR ) ＝23(PN －PM )＋23(PR －PM ) ＝23·⎝⎛⎭⎫32 PF －32 PF ＋23⎝⎛⎭⎫32 PH －32 PF ＝EF ＋EH .∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面．向量e 1，e 2，e 3共面⇔存在三个不全为0的实数λ，μ，γ，使得λe 1＋μe 2＋γe 3＝0. 若e 1，e 2，e 3是不共面的三个向量，且λe 1＋μe 2＋γe 3＝0(其中λ，μ，γ∈R )，则λ＝μ＝γ＝0.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对x ，y ，使MP ＝x MA ＋y MB .[对应课时跟踪训练(十九)]1．下列结论中，正确的是________(填序号)． ①若a 、b 、c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a 、b 、c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；③若a 、b 、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数x 、y ，使a ＝x b ＋y c .解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b 、c 是不共线向量，否则即使三个向量a 、b 、c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．答案：②③2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP ＝15OA ＋23OB ＋λOC 确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.解析：∵P 与A ，B ，C 共面， ∴AP ＝αAB ＋βAC ，∴AP ＝α(OB －OA )＋β(OC －OA )， 即OP ＝OA ＋αOB －αOA ＋βOC －βOA ＝(1－α－β)OA ＋αOB ＋βOC ， ∴1－α－β＋α＋β＝1. 因此15＋23＋λ＝1.解得λ＝215.答案：2153．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1，若EF ＝x AB ＋y AD ＋zAA 1，则x ＋y ＋z ＝________.解析：EF ＝AF －AE＝AD ＋DF －(AB ＋BE )＝AD ＋231DD －AB －131BB＝AD －AB ＋131AA∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.答案：134．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB ＝i －2j ＋2k ，BC ＝2i ＋j －3k ，CD ＝λi ＋3j －5k ，且A 、B 、C 、D 四点共面，则λ的值为________．解析：若A 、B 、C 、D 四点共面，则向量AB 、BC 、CD 共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得a AB ＋b BC ＋c CD ＝0.即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0. ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.答案：15．命题：若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部是________命题(填“真”或“假”)．解析：AM ＝OM －OA ＝－23OA ＋13OB ＋13OC＝13(OB －OA )＋13(OC －OA )＝13(AB ＋AC )． 令BC 中点为D ，则AM ＝23AD ，∴点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部，故命题为真命题．答案：真6．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点O 满足OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC .判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面．解：(1)由已知得OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )， 即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ， ∴MA ，MB ，MC 共面．7．若e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，试问向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面，并说明理由．解：法一：令x (3e 1＋2e 2＋e 3)＋y (－e 1＋e 2＋3e 3)＋z (2e 1－e 2－4e 3)＝0，亦即(3x －y ＋2z )e 1＋(2x ＋y －z )e 2＋(x ＋3y －4z )e 3＝0， 因为e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝0，2x ＋y －z ＝0，x ＋3y －4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝7，z ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，a ，b ，c 三个向量共面． 法二：令存在λ，μ，使a ＝λb ＋μ c 成立，即3e 1＋2e 2＋e 3＝λ(－e 1＋e 2＋3e 3)＋μ(2e 1－e 2－4e 3)， 因为e 1，e 2，e 3是三个不共面向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋2μ，2＝λ－μ，1＝3λ－4μ.解这个方程组得λ＝7，μ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，即a ，b ，c 三向量共面．8．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .证明：因为H 为BC 的中点，所以FH ＝12(FB ＋FC )＝12(FE ＋EB ＋FE ＋ED ＋DC )＝12(2FE ＋EB ＋ED ＋DC )．因为EF ∥AB ，CD 綊AB ，且AB ＝2EF ， 所以2FE ＋DC ＝0，所以FH ＝12(EB ＋ED )＝12EB ＋12ED .又EB 与ED 不共线，根据向量共面的充要条件可知FH ，EB ，ED 共面．由于FH 不在平面EDB 内， 所以FH ∥平面EDB。

1．2.2　函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝.1x 问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－.1x 2问题2：若Q (x )＝x ＋，则Q (x )的导数是什么？1x 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋－＝Δx ＋，1x ＋Δx (x ＋1x )－Δxx (x ＋Δx )∴＝1－.ΔyΔx 1x (x ＋Δx )当Δx 无限趋近于0时，无限趋近于1－，ΔyΔx 1x 2∴Q ′(x )＝1－.1x 2问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则(1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )；(2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)；(4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(5)′＝(g (x )≠0)．[f (x )g (x )]f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)′＝这样想当然的错误；其次还要特别注[f (x )g (x )]f ′(x )g ′(x )意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．[对应学生用书P9]求函数的导数[例1]　求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝；cos xx (4)y ＝x tan x .[思路点拨]　结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．[精解详析]　(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋.1x ln 3(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x .(3)y ′＝′＝(cos x x )(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－.x sin x ＋cos xx 2(4)y ′＝(x ·tan x )′＝′(x sin xcos x )＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin2xcos2x＝.sin x cos x ＋xcos2x[一点通]　(1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.13解析：f ′(x )＝′＝′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2，(13x 3＋2x ＋1)(13x 3)所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________．解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1.答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝－2x ；(2)y ＝.ln xx ＋1sin x －cos x 2cos x解：(1)y ′＝′－(2x )′(ln xx ＋1)＝－2x ln 21x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2＝－2x ln 21＋1x －ln x(x ＋1)2＝－2x ln 2.x －x ln x ＋1x (x ＋1)2(2)y ′＝′＝′(sin x －cos x 2cos x)(sin x 2cos x －12)＝′＝(sin x2cos x )2cos2x ＋2sin2x4cos2x＝.12cos2x导数运算法则的简单应用 [例2]　设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝，求a ，b 的值．1e [思路点拨]　首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解．[精解详析]　f ′(x )＝(a ·e x )′＋(b ln x )′＝a ·e x ＋，bx 由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝，得Error!1e 解得Error!所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通]　利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________.解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝.103答案：1035．若函数f (x )＝在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．e xx 解：∵f (x )＝，∴f (c )＝，e xx e cc 又f ′(x )＝＝，∴f ′(c )＝，e x ·x －e xx 2e x (x －1)x 2e c (c －1)c 2依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴＋＝0，e cc e c (c －1)c 2∴2c －1＝0得c ＝.12导数运算法则的综合应用 [例3]　已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨]　题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析]　∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点，∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通]　利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，12且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－47．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得：x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．[对应课时跟踪训练(四)]　一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·＝ln x ＋1.1x ∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e.答案：e3．函数f (x )＝e x cos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0，∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1.又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝或.π45π4答案：或π45π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.2－01－0答案：25．曲线y ＝在点(1,1)处的切线方程为________．x2x －1解析：∵y ′＝，∴当x ＝1时，y ′＝－1.－1(2x －1)2∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0二、解答题6．求下列函数的导数：(1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ；(2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x )．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1.(2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x )]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x )′＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x )＝e x (1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )．7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋＋b (a >0)．1ax (1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x ，求a ，b 的值．32解：(1)法一：由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋＋b ≥2＋b ，1ax 其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝时，f (x )取最小值为2＋b .1a 法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －＝，1ax 2a 2x 2－1ax 2当x >时，f ′(x )>0，f (x )在上单调递增；1a (1a，＋∞)当0<x <时，f ′(x )<0，f (x )在上单调递减．1a (0，1a )所以当x ＝时，f (x )取最小值为2＋b .1a (2)由题设知，f ′(x )＝a －，f ′(1)＝a －＝，1ax 21a 32解得a ＝2或a ＝－(不合题意，舍去)．12将a ＝2代入f (1)＝a ＋＋b ＝，1a 32解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.8．已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅13有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．解：∵f (x )＝x 3－2x 2＋ax ，13∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1.化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2，∴f (2)＝×8－2×4＋2×3＝.1323∴切线l 的方程为y －＝(－1)(x －2)，23即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.。

高中数学“兀n 審料21 已知函数 y i = x , y 2= x 2, y 3=-.X问题1:试作出上述三个函数的图象. 提示：图象为问题2:试根据上述图象说明函数的单调性. 提示：函数y i = x 在R 上为增函数，y 2= x 2在(一8, 0)上为减函数，在(0,+^ )上为增函数，1 y 3= 一在(一8, 0), (0, )上为减函数. x问题3:判断它们导函数的正负.1 提示：yj = 1>0, y 2‘= 2x ,当 x>0 时，y 2‘ >0,当 x<0 时，y <0, y 3‘=— ~2<o.x问题4:试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.提示：当f ' (x)>0时，f(x)为增函数，当f ' (x)<0时，f(x)为减函数.一般地，在某区间上函数 y = f(x)的单调性与导数有如下关系：导数 函数的单调性 f ' (x)>0 f(x)为该区间上的增函数 f ' (x)<0f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解.导数在研究函数中的应用-新知无师自通[对应学生用书P13]［归纳-升华・领悟112f (x)>O(f (x)<0) f(x)()f (x)f(x)f(x) x 3( )f (x)3x 2f (0)f (x)>0.[1](1)y ax 5 1(a>0)(2)y a x xa (a>0a 1)[ ][ ](1) y5ax 4 a>0y 0 Ry ax 5 1 R(2)ya：xln a ax|n a( x)(a x a x )in aa>1In a>0 a x xa >0[ P14]y >0 Ry a x xaR0<a<1In a<0 a x a x >0y <0 Ry a x xaR[ ]X ix2X 1<X 2f(x 1) f(X 2)yO ax bx高缺爵点题组化.名师一点就通(1)f (x) f (x)f(x) (a b)(a b)高中数学1 •下列函数中，在区间(一1,1)上是减函数的有__________① y= 2—3X2；② y= In x；③:④ y= sin x.解析：显然，函数y= 2—3x2在区间(一1,1)上是不单调的；函数y= In x的定义域为(0,+^ )，不满足题目要求；1—1对于函数y=匚^,其导数y'= --p <0,且函数在区间(—1,1)上有意乂, 所以函数y 1=七在区间(一1,1)上是减函数;x —2函数y= sin x在［—n,彳上是增函数，所以函数y= sin x在区间(—1,1)上也是增函数.答案：③2•证明：函数y= In x+ x在其定义域内为增函数.证明：显然函数的定义域为{x|x>0},1又f f (x) = (In x+ x) '= 1+ 1,x当x>0 时，f' (x)>1>0 ,故y = In x+ x在其定义域内为增函数.3.判断y= ax3—1(a € R)在(— 3,+^ )上的单调性.解：因为y'= 3ax2，又x2>0.(1)当a>0时，y' > 0,函数在R上是增函数；⑵当a<0时，y' < 0,函数在R上是减函数；(3)当a = 0时，y'= 0,函数在R上不具备单调性.(1)y= x3—2x2+ x；(2)f(x) = 3x2—2In x.［思路点拨］先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f' (x)>0, f' (x)<0 ,并与定义域求交集从而得到相应的单调区间.［精解详析］(1)y'= 3x2—4x+ 1.令3/—4x+ 1>0 ,解得x>1 或x<33因此，y= x3—2x2+ x的单调递增区间为(1,+3 ), —^, .再令3/ —4x+ 1<0,解得忘<1.3高中数学(2)y x 3 2x 2f (x) 6x (03x 2 1 x (x)<0 f (x)>02吟>0x'i 3x>0x>*.f (x)<0 1 -<0x<_3 3 0<x 今 x>0f(x)(1)0<x<#专丿.(1)f(x)3)(1f(x)2x 4ln xf(x)f(x)(0(x)>0 ff (x) 2x 2x 2x2x 4f (x)>0 x>0f(x) f(x) f (x)>0 1 x> ex 2 x 2>0f(x)xln x xln x(x>0)In x 1>0x< f (x)In x> 1x>2 (2In x 11.高中数学即函数f(x)= xln x 的单调递增区间为 1,+s .答案：2，+^ /In x + k6.已知函数f(x) =-x (k 为常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y = f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值； ⑵求f(x)的单调区间.卄, In x + k解：(1)由 f(x)=—,由于曲线y = f(x)在(1, f(1))处的切线与x 轴平行, 所以f '⑴=0，因此k = 1.1(2)由(1)得 f ' (x) = x-x (1 — x — xln x), x € (0,+^ ), 令 h(x) = 1 — x — xln x , x € (0,+^ ), 当 x € (0,1)时，h(x)>0;当 x € (1,+s )时，h(x)<0. 又 e x >0，所以当 x € (0,1)时，f ' (x)>0 ; 当 x € (1 ,+^ )时，f ' (x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1 , +m).［例3］已知函数f(x)= x 2 + a (x z 0,常数a € R ).若函数f(x)在x € ［2 , +^ )上是增函数,x 求a 的取值范围.［思路点拨］ 成立问题求解答本题可先对函数求导， 再将问题转化为f ' (x) > 0在x € ［2 , +8 )上恒［精解详析］ 3 a 2x — af ' (x) = 2x — 2= 2 .x x要使f(x)在[2 ,+^ )上是增函数， 则f ' (x)>0在x € [2 ,+s )上恒成立, 2x 3 — a即一7 >0在x € [2 ,+s )上恒成立. ••• x 2>0,・.2x 3 — a >0,••• a w 2x 3在 x € [2 ,+s )上恒成立.得 f (x)= 1 — kx — xln xxxex € (0,(2x)min .3x [2) y2x 33 (2x)min 16a 16・2x 3 16a 16 f (x) ------------------- 2— o (x [2X aa 16.[ ](1) f(x) (a b)f(x) (a b) f(x) (a b)))(a b) f (x) 0f (x)0 (a b)f(x) f(x )max f(x)f(x )min .f(x) x 3 mx 2 m 2 f(x) x 3 mx 2 f (x)3x 2 2mx.(0,3)f (x) 0 x 0 2 3m 3f(x)f(x)9 2.如2)2 x 3m(0,3)bln x (1f (x) (x 2)-入1] (1 (x) x(x 2) x 2 2x(x(1))f(x) 2ax x 2x (0,1] f(x) (0,1]b x(x 2) x (1 1)baf (x)2a $xf(x) (0,1] 1 f (x)0 a ix (0,1]x高中数学1而g(x )= -1在(o,i ］上单调递增，X 二 g (X )max = g(1)=— 1，二 a >— 1. 2当 a =— 1 时，f ' (x) = — 2 + x s . X对 x € (0,1］也有 f '(X )》0.••• a =— 1时，f(x)在(0,1］上为增函数. •••综上，f(x)在(0,1］上为增函数， a 的取值范围是［—1,+^ ).［方法*规律…卜结］ -----------------------------1•在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程 中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间. 3•如果函数在某个区间内恒有f ' (x)= 0,则f(x)为常数函数.丽.7.凉益 W 赞注或委萼诞 ［对应课时跟踪训练(六)］一、填空题1.函数y = x 3— x 4 5— 40x + 80的增区间为 _________ ，减区间为 _________ 解析：y '= 3x 6 7 8 9— 2x — 40= (3x + 10)(x — 4), 10由 y ' >0,得 x>4 或 x< —10;由 y ' 3解析：令 f (x)= ——<0，解得 0<x<e , ln x 又因为函数f(x)的定义域为(0,1) U (1 , +O ),所以函数f(x)=产的单调递减区间是(0,1), (1, e). ln x 答案：(0,1), (1, e) 3.函数y = 1x 2— ln x 的单调减区间为 __________ .1解析：y '= x — 一，由 y ' <0,得 x<— 1 或 0<x<1.x<0,得—10<x<4.所以函数的单调增区间为 一 OO,10和(4,+O )，单调减区间为晋，4.答案: 一OO,,+O )1 —>x. x>00<x<1.x(0,1)6(1) f(x) x 4 2x 23(2) f(x) sin x(1 cos x)(0< x<(1) f(x) R . f (x) 4x 3 4x 4x(x 21) 4x(x 1)(x1)f (x)>04x(x 1)(x 1)>01<x<0x>1f(x)(1,0) (1)f (x)<04x(x 1)(x 1)<0.x< 10<x<1.x>0 0<x<1.(0,1)y厂-1 0 1Xf(x)y f (x)y f(x)f(x) (0 )f(x)>xf (x)x 'ffj f(x)<0(X)号)(x) xf (：2 f (x)<0.(0,1)④(x) (0)x高中数学所以函数f(x)的单调递减区间为(— g,— 1)和(0,1).2(2)f ' (x) = cos x(1 + cos x) + sin x( — sin x) = 2cos x + cos x — 1 = (2cos x — 1)(cos x + 1). ■/ 0<x< n, ••• cos x + 1>0,由 f '(x )>o 得 o<x<n ；由f ' (x)<0得n <x< n ，故函数f(x)的单调增区间为［0，3单调减区间为 £ n j.7.设函数 f(x) = ax — 2 — In x(a € R ).(1)若f(x)在点(e , f(e))处的切线为x — ey — 2e = 0,求a 的值;⑵求f(x)的单调区间.解：(1) ■/ f(x) = ax — 2 — In x(x > 0),1 • f ' (x)= a — - x 又f(x)在点(e , f(e))处的切线为x — ey — 2e = 0,• f ' (e)= a - 1 — 1 e e ‘故a =- e1 ax — 1(2)由(1)知：f ' (x) = a — =厂(x > 0),当a w 0时，f ' (x) v 0在(0,+g )上恒成立,• f(x)在(0，+g )上是单调减函数.1当 a >0 时，令 f ' (x)= 0 解得：x =-, a当x 变化时，f ' 0 (0, 1 1 a £ ,+Tf ' (x) 一 0 +f(x)a 上是单调增函数.由表可知：f(x)在0, 1上是单调减函数，在综上所述：当a < 0时，f(x)的单调减区间为(0,+g );f(x) (6 ) f (x) 0 (6 )a x 1. x 1>7 a 7.a 5 a 7.2.函数f(x)=烈的单调递减区间是In x — 11 3 1 2ax —1x 当a >0时，f(x)的单调减区间为 单调增区间为 + g&若函数f(x) = 3x3—2ax1 2+ (a —1)x在区间(1,4)上单调递减，在区间(6,+g )上单调递增，试求实数a的取值范围.解：f' (x) = x2—ax+ (a—1)，因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f' (x)w 0在(1,4)上恒成立，即a(x—1)>x2—1在(1,4)上恒成立，所以a>x+ 1.因为2<x + 1<5，所以a>5.。

.3.1.3　空间向量基本定理[对应学生用书P53]空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m ，再往东600 m 处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m ”、“东600 m ”、“5楼”这三个量确定，设e 1是向南的单位向量，e 2是向东的单位向量，e 3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p 表示出来．提示：p ＝1 000e 1＋600e 2＋14e 3.1．空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.2．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得＝x OA ＋y OB ＋z OCOP .基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e 1，e 2，e 3不共面时，空间任何一向量才可以用e 1，e 2，e 3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示，我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P54]基底的概念[例1]　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[思路点拨]　判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴Error!此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．[一点通]　空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a，b，c}下，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝1AA，c ＝AD ，则x ＝1AB ，y ＝1AD ，z ＝AC ，a ＋b ＋c ＝1AC.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．解：假设OA 、OB 、OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x 、 y 使OA＝x OB ＋y OC成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面，∴Error!此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA ＝x OB ＋y OC，∴OA ，OB ，OC不共面．故{OA ，OB ，OC}能作为空间的一个基底，设OD ＝p OA ＋q OB ＋z OC，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，∴Error!解得Error!∴OD ＝17OA －5OB －30OC .用基底表示向量[例2] 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH .[思路点拨]　GH ＝OH －OG →用OD 表示OH →用OB、OC 表示OD ，用OA 、AG 表示OG →用AD 表示AG →用OD 、OA表示AD →用OB 、OC 表示OD[精解详析] GH ＝OH －OG ，∵OH ＝OD，23∴OH ＝×(OB ＋OC )＝(b ＋c )，231213OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋AD23＝OA ＋(OD －OA )＝OA ＋×(OB ＋OC )23132312＝a ＋(b ＋c )，1313∴GH ＝(b ＋c )－a －(b ＋c )＝－a ，13131313即GH ＝－a .13[一点通]　用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量．(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．3. 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ；(2)AE ＝x AD ＋y AB＋z AA ' .解：(1)∵BD ' ＝BD ＋DD '＝BA ＋BC ＋DD '＝－AB ＋AD＋AA ' ，又BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ＝AA ' ＋A E ' ＝AA ' ＋A C '' 12＝AA ' ＋(A B '' ＋A D '' )12＝AA ' ＋A B '' ＋A D '' 1212＝AD＋AB ＋AA ' 1212又AE ＝x AD ＋y AB＋z AA '∴x ＝，y ＝，z ＝1.12124．如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA ＝a ，OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF ，BE ，AE，EF .解：连接BO ，则BF ＝BP ＝(BO ＋OP )＝(c －b －a )＝－a －b ＋c .121212121212BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋CP ＝－a ＋(CO ＋OP )＝－a －b ＋c .12121212AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋(－c ＋b )＝－a ＋b ＋c .12121212EF ＝CB ＝OA ＝a121212.空间向量基本定理的应用[例3]　证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分．[思路点拨]　利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析]　如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设点O 是AC 1的中点，则AO ＝1AC 12＝(AB＋BC ＋1CC )12＝(AB＋AD ＋1AA )，12设P ，M ，N 分别是BD 1，CA 1，DB 1的中点，则AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋1BD12＝AB ＋(BA＋AD ＋1DD )12＝AB ＋(－AB ＋AD ＋1AA )＝(AB ＋AD ＋AA1)，1212同理可证：AM ＝(AB ＋AD ＋1AA )，AN ＝(AB ＋AD＋1AA )．1212由此可知，O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．[一点通]　用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤：(1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底；(3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC ＝AB ＋AD，1AB ＝AB ＋1AA，1AD ＝AD ＋1AA ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝(AB ＋AD )＋(AB ＋1AA)＋(1AD ＋1AA )＝2(AB ＋AD＋1AA )，又1AA ＝1CC ，AD ＝BC，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC＋1CC ＝1AC ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .6．如图，M 、N 分别是四面体O ­ABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA 、OB 、OC 表示OP 和OQ.解：OP ＝OM ＋MP ＝OA ＋MN1223＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1223122312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .162312161313OQ ＝OM ＋MQ ＝OA ＋MN1213＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1213121312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .1313121316161．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间任意三个不共面的向量a 、b 、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．3．由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)]　1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组．答案：42.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE＝OD＋x OB ＋y OA ，则x ＝________，y ＝________.12解析：∵AE ＝OE －OA＝OC－OA 12＝(OD＋DC )－OA 12＝OD＋AB －OA 1212＝OD＋(OB －OA )－OA 1212＝OD＋OB －OA ，121232∴x ＝，y ＝－.1232答案：　－12323．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G是MN 的中点，取{OA ，OB ，OC }为基底，则OG＝________.解析： 如图，OG ＝(OM ＋ON)12＝OM＋×(OB ＋OC )121212＝OA＋OB ＋OC 141414＝(OA＋OB ＋OC )．14答案：(OA＋OB ＋OC )144．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，则x ＋y ＋z ＝________.解析：∵AC ' ＝AB ＋BC ＋CC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1，即x ＝1，y ＝，z ＝－.1213∴x ＋y ＋z ＝1＋－＝.121376答案：765．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3.又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴Error!解得Error!7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 和A 1D 的一个三等分点，且＝，＝2，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN .AM MC 12A 1NND解：如图所示，连接AN ，则MN ＝MA ＋AN由ABCD 是平行四边形，可知AC ＝AB ＋AD＝a ＋b ，MA ＝－AC ＝－(a ＋b )．1313ND ＝1A D ＝(b －c )，1313AN ＝AD ＋DN ＝AD －ND ＝b －(b －c )＝(c ＋2b )，1313所以MN ＝MA ＋AN＝－(a ＋b )＋(c ＋2b )1313＝(－a ＋b ＋c )．138．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝a ，OC ＝b ，OO '＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB ' 、O B ' 、AC ' ；(2)GH(G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．解：(1)OB ′＝OB ＋BB ' ＝OA ＋OC ＋OO '＝a ＋b ＋c ，O B ' ＝O O ' ＋OB ＝O O ' ＋OA ＋OC ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC ' ＝AC ＋CC ′＝AB ＋AO ＋AA '＝OC ＋AA ' －OA＝b ＋c －a .(2)GH ＝GO ＋OH ＝－OG ＋OH＝－(OB′＋OC )＋(OB ' ＋OO ' )1212＝－(a ＋b ＋c ＋b )＋(a ＋b ＋c ＋c )1212＝(c －b )．12。

[对应学生用书]
一、圆锥曲线的意义
．椭圆平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．
()焦点：两个定点，叫做椭圆的焦点．
()焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
．双曲线
平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于的正数)的点的轨迹叫做双曲
线．
()焦点：两个定点，叫做双曲线的焦点．
()焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
．抛物线
平面内到一个定点和一条定直线(不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫
做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
二、圆锥曲线的标准方程及几何性质
．椭圆的标准方程和几何性质
.双曲线的标准方程和几何性质
. 抛物线的标准方程和几何性质
三、圆锥曲线的统一定义
()定义：平面内到一个定点和到一条定直线(不在上)的距离比等于常数的点的轨迹．当<<时，表示椭圆；当>时，表示双曲线；当＝时，表示抛物线．
其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线．。

1．5.3 微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x . 问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛20(2x ＋1)d x 的值． 提示：⎠⎛20(2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值． 提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6. 问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛20f (x )d x ＝F (2)－F (0)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：已知f (x )＝x 3，F (x )＝14x 4，试探究⎠⎛10f (x )d x 与F (1)－F (0)的关系． 提示：因⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10x 3d x ＝14.F (1)－F (0)＝14，有⎠⎛10f (x )＝F (1)－F (0)且F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛b aF ′(x )d x ＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．[对应学生用书P29][例1] (1)⎠⎛21(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)⎠⎛π0(sin x －cos x )d x ； (3)⎠⎛0－π(cos x －e x )d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12F ′(x )d x ＝F (2)－F (1)＝253. (2)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πF ′(x )d x ＝F (π)－F (0)＝2. (3)取F (x )＝sin x －e x ，则F ′(x )＝cos x －e x ，从而⎠⎛0－π(cos x －e x)d x ＝⎠⎛0－πF ′(x )d x ＝F (0)－F (－π)＝1eπ－1. [一点通] 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(江西高考改编)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝____________.解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：＝－132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.解析：∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛π0(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )|π0＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π3．求下列定积分：(1)∫π20sin 2x 2d x ；(2)⎠⎛23(2－x 2)(3－x )d x .解：(1)sin 2x 2＝12－cos x2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， 所以∫π20sin 2x 2d x ＝∫π20⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛32(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32 ＝⎝⎛⎭⎫6×3－32－33＋14×34－⎝⎛⎭⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.[例2] (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，cos x －1，x >0.求⎠⎛1－1f (x )d x ； (2)求⎠⎛a －a x 2d x (a >0)． [思路点拨] 按照函数f (x )的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和． [精解详析] (1)⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. (2)由x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得⎠⎛a －a x 2d x ＝⎠⎛a 0x d x ＋⎠⎛0－a (－x )d x ＝12x 2|a 0－12x 2|0－a ＝a 2. [一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式．(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．4.⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝________. 解析：∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(－2<x ≤3)－x －2，(－4≤x ≤－2)∴⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝⎠⎛3－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－4－2(－x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |3－2＋⎝⎛⎭⎫－12x 2－2x |－2－4＝292. 答案：2925．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋∫a 0 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f (1)＝lg 1＝0，故f (0)＝0＋∫a 0 3t 2d t ＝t 3|a0＝1，得a ＝1. 答案：1[例3] 求由曲线y [思路点拨]在坐标系中作出图象→求曲线与直线的交点→利用定积分求面积.[精解详析] 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，得A (0,3)，B (3,6)．所以S ＝⎠⎛30(x ＋3)d x －⎠⎛30(x 2－2x ＋3)d x ，取F (x )＝12x 2＋3x ，则F ′(x )＝x ＋3，取H (x )＝13x 3－x 2＋3x ，则H ′(x )＝x 2－2x ＋3，从而S ＝F (3)－F (0)－[H (3)－H (0)]＝⎝⎛⎭⎫12×32＋3×3－0－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13×33－32＋3×3－0 ＝92. [一点通] 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．6．曲线y ＝ x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________． 解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A (0，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以B (4,2)，因此所围成的图形的面积为∫40()x －x ＋2d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x 40＝163. 答案：1637．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：491．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f (x )≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．[对应课时跟踪训练(十一)]一、填空题 1.⎠⎛1e1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln x |e 1＝ln e －ln 1＝1. 答案：12.⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝________.解析：⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝(－2cos x －3e x ＋2x )|π0＝7＋2π－3e π.答案：7＋2π－3e π3．(江西高考改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ， S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：S 1＝13x 3⎪⎪⎪ 21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪ 21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.答案：S 2<S 1<S 34．设f (x )＝错误!则错误!f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝56.答案：565．(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x 与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2.答案：2e 2二、解答题6．f (x )是一次函数，且∫ 10f (x )d x ＝5，∫ 10xf (x )d x ＝176， 求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5. ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2|10＝13a ＋12b ＝176， 所以由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.7．求由曲线y ＝x 2与直线x ＋y ＝2围成的面积．解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝4，即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为y ＝2－x ，则所求面积S 为：S ＝⎠⎛1－2[(2－x )－x 2]d x ＝⎝⎛⎭⎫2x －x 22－x 33|1－2＝92. 8．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝1，f ′(－2)＝－2. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)2＋b ·(－2)＋1＝1，2a ·(－2)＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示， 故所求面积S ＝∫0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13. (3)依题意，有12S ＝∫0－t(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x 0－t ＝16， 即13t 3－t 2＋t ＝16， ∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1， ∴t ＝1－132.。

1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 单调性知识梳理1.如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)____________，这一区间叫做y=f(x)的____________，在____________上增函数的图象是____________，减函数的图象是下降的.2.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果____________，那么f(x)为增函数；如果____________，那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为____________. 知识导学要学好本节内容，重要的是要掌握好怎样利用导数研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′(x)，通过判断函数的定义域被导数为零的点所划分的各区间内f′(x)的符号来确定函数f(x)在该区间上的单调性.疑难突破1.本节内容的重点是利用函数的导数来判断函数的单调性，难点在于如何把握导数的符号与函数单调性之间的关系.若y=f(x)在(a,b)内对任何x,都有f′(x)＞0，则f(x)在(a,b)内为增函数对吗？反之成立吗？剖析:对,反之不成立.例如y=x 3在x ∈R 上恒为增函数,但f′(x)=3x 2≥0.2.判断函数y=f(x)在某一区间内有f′(x)＞0〔或f′(x)＜0〕是函数y=f(x)在该区间上为增(或减)函数的什么条件？剖析：在某一区间内f′(x)＞0〔或f′(x)＜0〕是函数y=f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.典题精讲【例1】 讨论下列函数的单调性.(1)f(x)=a x -a -x (a ＞0且a≠1); (2)f(x)=12-x bx (-1＜x ＜1,b≠0). 思路分析：利用导数研究函数单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′(x)，由函数定义域中导数为零的点所划分的各区间内f′(x)的符号来确定f(x)在该区间的单调性，当给定函数含有字母参数时，要运用分类讨论的思想方法.解：(1)函数定义域为R .f′(x)=a x lna-a -x ·lna·(-x)′=lna(a x +a -x ).当a ＞1时,lna ＞0,a x +a -x ＞0,∴f′(x)＞0.∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数；当0＜a ＜1时，lna ＜0,a x +a -x ＞0,∴f′(x)＜0.∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.(2)函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在(0，1)上的单调性.当0＜x ＜1时，f′(x)=b·2222222)1()1()1()'1()1('-+-=--•--•x x b x x x x x . 若b ＞0，则f′(x)＜0,函数f(x)在(0，1)上是减函数；若b ＜0，则f′(x)＞0,函数f(x)在(0，1)上是增函数.又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，所以当b ＞0时，函数f(x)在(-1，1)上是减函数；当b ＜0时，函数f(x)在(-1，1)上是增函数.绿色通道：在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误判断.明确利用导数判断函数单调性的基本步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0;(4)确定f(x)的单调区间.变式训练：求下列函数的单调区间，并指出其单调性.(1)y=2x-lnx; (2)y=2x +cosx; (3)y=x 3-x.思路分析：按判断函数单调性的方法解之即可.解：(1)函数的定义域为(0，+∞)，其导数f′(x)=x 12-. 令x 12-＞0,解得x ＞21;令x 12-＜0,得0＜x ＜21. 因此，(21，+∞)为该函数的单调增区间，(0，21)为该函数的单调减区间. (2)函数的定义域为R ，f′(x)=21-sinx. 令21-sinx ＜0，解得2k π+6π＜x ＜2k π+65π(k ∈Z )； 令21-sinx ＞0，解得2k π-67π＜x ＜2k π+6π(k ∈Z ). 因此f(x)在(2k π+6π,2k π+65π)(k ∈Z )上为减函数,在(2k π-67π,2k π+6π)(k ∈Z )上为增函数.(3)函数的定义域为R ，令y′=3x 2-1＞0，得x ＜3333>-x 或. 令y′=3x 2-1＜0，得3333<<-x ,∴y=x 3-x 有三个单调区间. 其中在(-∞,33-)和(33,+∞)上是增函数，在(33-,33)上为减函数. 【例2】 已知x ∈R ,求证：e x ≥x+1.思路分析：首先需构造函数，对函数进行求导并判断函数的单调性.证明：令f(x)=e x -x-1,∴f′(x)=e x -1.∵x ∈R ,∴e x -1≥0恒成立，即f′(x)≥0.∴f(x)在x ∈R 上为增函数.又∵f(0)=0,∴当x ∈R 时,f(x)≥f(0)，即e x -x-1≥0.∴e x ≥x+1.绿色通道：这是一类构造函数再求导的题目，这种方法常用来证明不等式的成立. 变式训练：证明不等式ln(1+x)＞x-21x 2(x ＞0). 证明：令f(x)=ln(1+x)-x+21x 2, 则f′(x)=xx x x +=+-+11112. 当x ＞-1时,f′(x)＞0，因此f(x)在(-1,+∞)内为增函数.于是当x ＞0时，f(x)＞f(0)=0.∴当x ＞0时，ln(1+x)＞x-21x 2. 【例3】 已知f(x)=x 2+c,且f ［f(x)］=f(x 2+1).(1)设g(x)=f ［f(x)］,求g(x)的解析式；(2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数，且在(-1，0)内是增函数.思路分析：根据题设条件可以求出φ(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断.解题的过程实质是一种转化的过程,由于函数φ(x)是可导函数,因此选择好解题的突破口,要充分利用函数的单调性构造等价的不等式,确定适合条件的参数λ的取值范围,使问题获解.解:(1)由题意得f ［f(x)］=f(x 2+c)=(x 2+c)2+c,f(x 2+1)=(x 2+1)2+c,∵f ［f(x)］=f(x 2+1),∴(x 2+c)2+c=(x 2+1)2+c.∴x 2+c=x 2+1.∴c=1.∴f(x)=x 2+1,g(x)=f ［f(x)］=f(x 2+1)=(x 2+1)2+1.(2)φ(x)=g(x)-λf(x)=x 4+(2-λ)x 2+(2-λ).若满足条件的λ存在,则φ′(x)=4x 3+2(2-λ)x.∵函数φ(x)在(-∞,-1)上是减函数,∴当x ＜-1时,φ′(x)＜0,即4x 3+2(2-λ)x ＜0对于x ∈(-∞,-1)恒成立.∴2(2-λ)＞-4x 2.∵x ＜-1,∴-4x 2＜-4.∴2(2-λ)≥-4.解得λ≤4.又函数φ(x)在(-1,0)上是增函数,∴当-1＜x ＜0时,φ′(x)＞0,即4x 2+2(2-λ) x ＞0对x ∈(-1,0)恒成立.∴2(2-λ)＜-4x 2.∵-1＜x ＜0.∴-4＜4x 2＜0.2(2-λ)≤-4,解得λ≥4,故当λ=4时,φ(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的λ存在.绿色通道：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式,它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系,因此挖掘题目中隐含条件则是打开解题思路的重要钥匙.具体到解题的过程,学生最大思维障碍是迷失方向,不知从何处入手去沟通已知与未知的关系,使分散的条件相对集中，促成问题的解决,不善于应用f(x)＜a 恒成立［f(x)max ］＜a 和f(x)＞a 恒成立［f(x)min ］＞a.变式训练：当x ＞0时,证明不等式e x ＞1+x+21x 2成立.证明:设f(x)=e x -1-x-21x 2 则f′(x)=e x -1-x.下面证明g(x)=e x -1-x 在x ＞0时恒为正.∵g′(x)=e x -1,当x ＞0时,g′(x)=e x -1＞0,∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.当x ＞0时,g(x)＞g(0)=0,即f′(x)在(0,+∞)上恒为正.∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.又f(0)=e 0-1-0-0=0,∴x ＞0时,f(x)＞f(0)=0.∴e x -1-x-21x 2＞0, 即x ＞0时,e x ＞1+x+21x 2成立. 问题探究问题：研究函数单调性的必要条件是什么？导思：此问题主要考查学生逆向思维能力，考虑问题要全方位进行，有利于培养数学思维能力.探究：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果y=f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内f′(x)＞0〔或f′(x)＜0〕，但当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在该区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如在x ∈(-∞,+∞)上，f(x)=x 3：当x=0时，f′(x)=0;当x≠0时，f′(x)＞0.而f(x)=x 3,显然在(-∞, +∞)上是单调增函数.。

[对应学生用书]一、命题及其关系．命题能判断真假的陈述句叫命题，感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等语句都不是命题．．四种命题原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．二、充分条件、必要条件与充要条件关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若“⇒”，且“⇐”，则是的“充分不必要条件”，同时是的“必要不充分条件”；若“⇔”，则是的“充要条件”，同时是的“充要条件”；若“⇔”，则是的“既不充分也不必要条件”，同时是的“既不充分也不必要条件”．三、逻辑联结词．“且”“或”“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“∨”“∧”“綈”三种形式．．含逻辑联结词的命题的真假判断：“∨”中有真为真，“∧”有假为假，綈与真假相反．．注意命题的否定与否命题的区别．否命题既否定条件又否定结论；而命题的否定只否定结论．四、全称命题和存在性命题．全称命题“∀∈，()”强调命题的一般性，因此，()要证明它是真命题，需对集合中每一个元素，证明()成立；()要判断它是假命题，只要在集合中找到一个元素，使()不成立即可．．存在性命题“∃∈，()”强调结论的存在性，因此，()要证明它是真命题，只需在集合中找到一个元素，使()成立即可．()要判断它是假命题，需对集合中每一个元素，证明()不成立．五、含有一个量词的命题的否定．全称命题的否定一定是存在性命题．：∀∈，()成立；綈：∃∈，綈()成立．．存在性命题的否定一定是全称命题．：∃∈，()成立；綈：∀∈，綈()成立．．含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．见开试卷)))(时间分钟，满分分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．将答案填在题中的横线上)．命题：“若＝，则＝或＝”的逆否命题是．答案：若≠且≠，则≠．命题“∀∈，－＋≥”的否定是．解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题．答案：∃∈，－＋<．设∈，则“＝”是“直线：＋－＝与直线：＋(＋)＋＝平行”的条件．解析：与平行的充要条件是(＋)＝×，且×≠×(－)，可解得＝或＝－，故＝是∥的充分不必要条件．答案：充分不必要．已知命题：所有有理数都是实数，命题：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是(填所有真命题的序号)．①(綈)∨；②∧；③∨；④(綈)∨(綈)．解析：命题真，命题假，因此綈假，綈真，①是假命题，②假命题，③真命题，④真命题．答案：③④．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个角均为°”的否命题；③“若<，则方程＋(＋)＋＝必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是个．解析：显然①假，②真，对于③，当<时，Δ＝(＋)－＝＋>，故③为真．答案：。