向量法求距离

向量法求异面直线所成的距离
异面直线是指不在同一平面上的两条直线。

求解这两条异面直线所成的距离，可以使用向量法。

向量法可以通过向量的数量积和向量的模长求得两条直线之间的距离。

下面我们通过实例来详细说明向量法如何求解两条异面直线之间的距离。

假设有两条异面直线，它们的方程分别为：
直线1:
$x = 3 + 2t$
$y = 1 - t$
$z = -2 + 3t$
首先我们需要确定两条直线上的任意两个点，然后用这两个点之间的连线构成的向量来表示两条直线之间的直线向量。

所以我们任意选择直线1上的两个点 $A(3,1,-2)$ 和$B(5,-1,4)$ ，计算它们之间的向量：
$\vec{AB} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ -1 - 1 \\ 4 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$
同样，我们任意选择直线2上的两个点 $C(1,2,5)$ 和 $D(5,6,15)$，计算它们之间的向量：
然后，我们需要求解两条直线之间的最短距离，也就是求解这两个向量的数量积：
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 2 \times 4 + (-2) \times 4 + 6 \times 10 = 52$
接下来，我们需要计算两个向量的模长：
因此，两条直线之间的距离为：
因此，两条异面直线所成的距离为 $\frac{13}{19}$。

向量方法求点到直线的距离（最新版4篇）《向量方法求点到直线的距离》篇1假设点P(x0, y0) 和直线L: Ax + By + C = 0，其中A、B、C 是常数。

点P 到直线L 的距离可以用以下向量方法求解:1. 计算向量OP，其中O 是坐标原点，P 是点P 的坐标。

OP = <x0, y0>2. 计算直线L 的法向量N。

法向量N 与直线L 垂直，因此它的方向与直线L 的方向相同，但长度为1。

N = <A, B>3. 计算向量DP，其中D 是点P 到直线L 的垂足。

DP =投影向量(OP) 在N 上的投影其中，投影向量(OP) 在N 上的投影长度为|OP|*cos(θ),其中θ是向量OP 和向量N 之间的夹角。

由于N 是单位向量，因此有:cos(θ) = (OP·N) / (|OP|*|N|)其中，(OP·N) 是向量OP 和向量N 之间的点积。

《向量方法求点到直线的距离》篇2假设点$P$ 的坐标为$(x_0, y_0)$,直线$L$ 的一般式方程为$Ax + By + C = 0$,其中$A, B, C$ 不全为$0$。

点$P$ 到直线$L$ 的距离$d$ 可以用以下向量方法计算:1. 计算向量$overrightarrow{n} = begin{pmatrix} A Bend{pmatrix}$。

2. 计算向量$overrightarrow{p} = begin{pmatrix} x_0 y_0end{pmatrix}$。

3. 计算向量$overrightarrow{d} = overrightarrow{p} -overrightarrow{n}t$,其中$t$ 是$overrightarrow{p}$ 在$overrightarrow{n}$ 方向上的投影长度。

4. $d$ 就是$overrightarrow{d}$ 的长度。

步骤3 中，$t$ 的计算方法如下:$$t = frac{overrightarrow{p} cdotoverrightarrow{n}}{|overrightarrow{n}|^2} = frac{Ax_0 + By_0}{A^2 +B^2}$$其中，$cdot$ 表示向量的点积，$|overrightarrow{n}|$ 表示向量$overrightarrow{n}$ 的长度。

ABC Dmn1图向量法求空间距离向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。

1.异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即||n d =证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==,||||)(⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++=||||||n n AB d ⋅==∴2平面外一点P 到平面α的距离如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即||n d =因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。

再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。

一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。

[例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。

图2A BC M N1A 1B1C 图3几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ，、)0,0,0(A)81,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则)2,0,0(),0,43,43(),81,41,43(1==-=AA AM MN ，设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有)0()1,1,3(8),81,83(81830434********>-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=++-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥z zz z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是5521)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||22201011011=+-+-⋅==><⋅=AA n AA AA d [例2]如图5，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知2=AB ，,51=AA E 、F 分别为D D 1、B B 1上的点，且.11==F B DE （Ⅰ）求证：⊥BE 平面ACF ；（Ⅱ）求点E 到平面ACF 的距离.分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。

法向量求距离公式
法向量求距离公式是指在空间中已知一点和一个平面，求该点到该平面的距离公式。

距离公式中用到了平面的法向量，所以叫做“法向量求距离公式”。

具体来说，设平面的解析式为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)为直线外的一点，则点P到平面的距离为：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 +B^2 + C^2)
其中，|...| 表示绝对值。

公式可以理解为通过将点P在平面上的投影点Q与点P进行距离计算。

该公式可以应用于很多实际问题，如计算物体在平面上的投影、计算点到直线的距离等。

在计算机图形学中，该公式也是常用的距离计算方法之一。

法向量求点到面的距离公式在三维空间中，点到面的距离是一个非常常见的计算问题。

为了解决这个问题，我们可以使用法向量求解点到面的距离公式。

下面我们来逐步介绍这个公式的推导过程。

首先，我们需要知道什么是法向量。

在三维空间中，每一个平面都有一个垂直于该平面的向量，这个向量就被称为法向量。

它的方向指向平面的“外部”，也就是指向离平面最远的一侧。

现在，假设我们有一个平面，设平面上的一点为P，平面的法向量为N。

我们需要求解点P到平面的距离，记为d。

我们可以选取平面上的另外一个点Q，然后计算点P到点Q的距离，记为h。

根据勾股定理，我们有：h = PQ - d因为点Q在平面上，所以向量PQ一定与法向量N垂直。

因此，向量PQ可以拆分成两个分量，一个在法向量N上的投影，一个在平面上的投影。

设PQ的长度为L，那么它在法向量N上的投影为L cos θ，其中θ是法向量N与向量PQ的夹角。

于是，我们有：h = L cosθ将L cosθ带入上面的勾股定理中，得到：d = sqrt(PQ - h) = sqrt(PQ - L cosθ)现在的问题是如何求解L和θ。

我们可以通过向量点乘来计算向量PQ和法向量N之间的夹角θ，具体计算如下：cosθ = (PQ·N) / (|PQ| |N|)其中，PQ·N表示向量PQ和法向量N的点乘积，|PQ|和|N|分别表示向量PQ和法向量N的模长。

另外，PQ·N的结果也可以看作是向量PQ在法向量N上的投影，乘以向量PQ和法向量N的夹角的余弦值。

现在，我们已经得到了点到面的距离公式：d = sqrt(PQ - L cosθ)其中，PQ和N的值可以通过平面上的两个点坐标计算得到，cos θ可以通过向量点乘计算得到。

这个公式可以很方便地应用到实际问题中，例如碰撞检测、物体之间的距离计算等。

向量法求异面直线的距离公式
异面直线之间的距离公式可以通过向量法来求解。

假设有两条异面直线，它们的方向向量分别为a和a，直线上的一点分别为a和a。

则异面直线的距离可以通过以下步骤来计算：
1.首先，我们计算两条直线上的一点，记为aa和aa，它们为两条直线的最近点。

2.然后，我们计算直线上的向量，记为a=aa−aa，它表示从一条直线上的点到另一条直线上的点的向量。

3.最后，我们计算异面直线的距离，记为a，它等于向量a在两条直线的法向量上的投影长度。

根据以上步骤，异面直线的距离公式可以表示为：
a=|a⋅(a×a)|/|a×a|
其中，⋅表示向量的内积，×表示向量的叉积，|a⋅(a×a)|表示向量a在向量(a×a)上的投影长度，|a×a|表示向量(a×a)的模长。

需要注意的是，如果向量a和a不垂直，则上述公式给出的结果为两条直线之间的最短距离。

如果向量a和a垂直，则它们之间的夹角为a/2，此时两条直线之间的距离为0。

这就是使用向量法求解异面直线的距离公式。

通过计算两条直线之间的最短距离，我们可以更好地理解两条异面直线之间的关系。

点到线的向量距离公式
点到线的向量距离公式为：
d = |(P - A) x (P - B)| / |B - A|
其中，P是点的坐标，A和B是直线上的两个不同点坐标，x表示
向量叉乘，|·|表示向量的模长。

拓展：
1.若直线为平面上的一条直线，则可用点到直线的距离公式计算；
2.若点为空间内的一点，直线为空间内的一条直线，则可用点到
直线的距离公式计算；
3.若点为空间内的一点，直线为空间内的一条直线的参数方程，
则距离公式为：
d = |(P - Q) · n| / |n|
其中，P是点的坐标，n为直线的方向向量，Q为直线上一个点的
坐标，·表示向量的点乘。

4.若点为空间内的一点，直线为空间内的一条直线的一般式，则距离公式为：
d = |ax + by + cz + d| / √(a² + b² + c²)
其中，a、b、c为方程中的系数，d为常数。

用向量方法求空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．一．求点到平面的距离例１.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离． 解：如图，设=CD 4i ，=CB 4j ，=CG 2k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴ (2,0,0)BE =，(4,2,0)BF =-，(0,4,2)BG =-，(2,4,2)GE =-，(2,2,0)EF =-．设BM ⊥平面EFG ，M 为垂足，那么M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++(1)a b c ++=，∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )．由⊥BM 平面EFG ，得BM GE ⊥，BM EF ⊥，于是0BM GE ⋅=，0BM EF ⋅=．∴ (24,24,2)(2,4,2)0(24,24,2)(2,2,0)01a b b c c a b b c c a b c +--⋅-=⎧⎪+--⋅-=⎨⎪++=⎩整理得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得1511711311a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩． ∴ BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )＝)116,112,112(． ∴ 222226211||11111111BM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故点B 到平面EFG 的距离为11112． 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了． 二．求两条异面直线间的距离 例2正方体ABCD －''''A B C D 的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离．分析：设异面直线'DA 、AC 的公垂线是直线l ，那么线段'AA 在直线l 上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．解：如图，设=''A B i ，=''C B j ，=B B 'k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系'B －xyz ，那么有'(1,0,0)A ，(1,1,1)D ，(1,0,1)A ，(0,1,1)C ．∴ '(0,1,1)DA =--，(1,1,0)AC =-，'(0,0,1)A A =．设n (,,)x y z =是直线l 方向上的向量，那么2221x y z ++=．∵ n 'DA ⊥，n AC ⊥，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=--100222z y x y x z y ，解得33=-==z y x 或33x y z ==-=-． 取n 333(,,)333=-，那么向量A A '在直线l 上的投影为 n ·A A ')33,33,33(-=·)1,0,0(33-=． 由两个向量的数量积的几何意义知，直线'DA 与AC 的距离为33． 说明：用向量法求两条异面直线间的距离，同样不必作出公垂线段.但缺点是运算量较大,在运算时要注意运算的准确性.。

利用向量求点到平面的距离点到平面的距离是计算一个点到一个平面的最短距离，可以使用向量的方法来进行计算。

在二维空间中，平面可以由一个法向量和一个过平面上一点的向量表示。

而在三维空间中，平面可以由一个法向量和平面上一点的向量表示。

首先，我们从二维空间开始讨论。

假设我们有一个平面的法向量n = (a, b)和过平面上一点的向量p = (x0, y0)。

现在我们需要计算一个点Q = (x, y)到这个平面的最短距离。

我们可以假设Q到平面的最短距离是D。

这意味着Q到平面上的任意一点M的距离都是D。

现在我们将点M表示为向量m = (x, y)。

注意，由于点M在平面上，所以点M与法向量n是垂直的。

假设向量m0是向量p = (x0, y0)指向点M的向量，即m0 = m - p。

我们可以将m0分解为两个分量：一个平行于法向量n的分量m1和一个垂直于法向量n的分量m2。

这样我们可以写出向量m0：m0 = m - p= (x, y) - (x0, y0)= (x-x0, y-y0)向量m1是m0在法向量n方向上的投影，即m1 = proj_n(m0)。

投影的计算方法是将m0与法向量n进行点积，再将结果除以法向量n的模的平方，并与法向量n相乘：m1 = proj_n(m0)= (m0 · n / |n|^2) * n我们可以计算出m0 · n = (x-x0) * a + (y-y0) * b，计算出|n|^2 = a^2 + b^2，将这些值代入上式中：m1 = ((x-x0) * a + (y-y0) * b / (a^2 + b^2)) * (a, b)因为点M位于平面上，所以向量m2与法向量n垂直。

因此，垂直分量m2等于向量m0减去平行分量m1：m2 = m0 - m1现在，我们可以计算垂直分量m2的模长|m2|，这个模长等于Q到平面的最短距离D。

我们有：D = |m2|这就是二维空间中点到平面的距离的计算方法。