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§2.7 函数的图象考纲展示► 1.理解点的坐标与函数图象的关系．2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象．3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．考点1 作函数的图象1。
描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为:（1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．（2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点）．（3）描点，连线．2．图象变换（1）平移变换：①y＝f（x）的图象错误!y＝________的图象；②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象．（2）对称变换：①y＝f(x)的图象错误!y＝________的图象；②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象；③y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象;④y＝a x（a>0且a≠1)的图象错误!y＝log a x（a〉0且a≠1）的图象．（3)伸缩变换：①y＝f(x）的图象y＝________的图象;②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象．（4)翻转变换：①y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象;②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象．答案:（1）①f(x－a) ②f（x)＋b(2）①－f(x）②f（－x) ③－f（－x)（3）①f(ax) ②af(x)（4)①|f(x)｜②f（｜x｜)（1)[教材习题改编］对于函数f(x)＝错误!有下列三个说法：①图象是一个点和一条直线（去掉点（0,0)）；②图象是两条直线；③图象是一个点和两条射线．其中正确的说法是________．（填序号)答案：①解析：当x≠0时，图象是一条直线去掉点(0，0)，当x＝0时,图象是一个点．(2)[教材习题改编]为了得到函数y＝log3(x＋3)－2的图象，只需把函数y＝log3x的图象上所有的点向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度．答案:左 3 下2图象变换中的误区：平移的方向;平移的大小．(1)将函数y＝f(－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．答案：y＝f(－x＋1）解析：将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－（x－1))＝f（－x＋1)的图象(注意平移方向）．(2)把函数y＝f（2x)的图象向右平移________个单位长度得到函数y＝f(2x－3）的图象．答案:错误!解析：本题易理解为向右平移3个单位长度，事实上把函数y ＝f(2x）的图象向右平移3个单位长度后得到的是函数y＝f(2（x－3）)＝f（2x－6）的图象。
§2.6对数与对数函数考纲展示►1。
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a〉0，且a≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案:x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0，N>0,那么①log a（MN）＝____________；②log a错误!＝____________；③log a M n＝________（n∈R）；④log a m M n＝错误!log a M。
（2)对数的性质：①a log a N＝________；②log a a N＝________(a>0且a≠1）．(3）对数的重要公式：①换底公式：log b N＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；②log a b＝错误!，推广log a b·log b c·log c d＝________。
答案:（1)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M (2）①N②N(3)②log a d（1）[教材习题改编］lg错误!＋lg错误!的值是（)A。
错误!B．1C．10 D．100答案:B(2）［教材习题改编］(log29)·(log34）＝（)A.错误!B．错误!C．2 D．4答案:D(3）[教材习题改编］已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求错误!＋lg 4b的值（用m表示）．解:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m）．误用对数运算法则．(1）log3错误!－log3错误!＋错误!－1＝________.（2）(log29)·(log34)＝________.答案：(1)2 （2)4解析：（1)原式＝log3错误!＋31＝log3错误!＋3＝－1＋3＝2。
第一讲函数的概念及其表示知识梳理学问点一函数的概念及其表示1．函数的概念函数两个集合A，B 设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B 假如依据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y＝f(x)，x∈A2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)假如两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一样，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．学问点二分段函数1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.学问点三函数的定义域函数y＝f(x)的定义域1．求定义域的步骤(1)写出访函数式有意义的不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(留意用区间或集合的形式写出)2．求函数定义域的主要依据(1)整式函数的定义域为R.(2)分式函数中分母 不等于0 .(3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R . (5)函数f (x )＝x 0的定义域为 {x |x ≠0} . (6)指数函数的定义域为 R . (7)对数函数的定义域为 (0，＋∞) . 学问点四 函数的值域 基本初等函数的值域：1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是 R .2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为 ⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac －b24a . 3．y ＝kx (k ≠0)的值域是 {y |y ≠0} .4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是 (0，＋∞) . 5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是 R . [延长]6．y ＝x ＋ax (a >0)的值域为(－∞，－2a )∪(2a ，＋∞)． 7．y ＝x －ax (a >0)的值域为(－∞，＋∞)．8．y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0，ad －bc ≠0)的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，c a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，＋∞. 归 纳 拓 展1．推断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一样． 2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 3．与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应当用并集符号“∪”连接．5．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．双 基 自 测题组一 走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)A ＝N ，B ＝N ，f ：x →y ＝|x －1|，表示从集合A 到集合B 的函数．( √ ) (3)已知f (x )＝m (x ∈R )，则f (m 3)＝m 3.( × ) (4)y ＝ln x 2与y ＝2ln x 表示同一函数．( × )(5)函数y ＝xx －1定义域为x >1.( × )题组二 走进教材2．(必修1P 67T1改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( B )[解析] A 中函数的定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数的值域不是[0,2]．3．(必修1P 67T2改编)已知奇函数f (x )的图象经过点(1,3)，则f (x )的解析式可能为( D ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝－3x C ．f (x )＝3x 2D ．f (x )＝3x 3[解析] 依据f (1)＝3以及函数的奇偶性确定正确答案．f (1)＝2≠3，A 选项错误；f (1)＝－3≠3，B 选项错误；f (x )＝3x 2是偶函数，C 选项错误；f (1)＝3，f (x )＝3x 3为奇函数，符合题意．故选D.4．(必修1P 73T11改编)(多选题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则以下描述正确的是( BD )A ．函数f (x )的定义域为[－4,4)B ．函数f (x )的值域为[0，＋∞)C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于随意的y ∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x 与之对应[解析] 由图象得此函数定义域为[－4,0]∪[1,4)，值域为[0，＋∞)，在定义域内不具备单调性，当y ∈(5，＋∞)时都有唯一的x 与之对应．因此，A 、C 不正确．故选BD.5．(必修1P 67T2改编)由f (u )＝u 2，u ＝2＋x 复合而成的复合函数是y ＝_(2＋x )2__.[解析] 利用复合函数的性质干脆求解．由f (u )＝u 2，u ＝2＋x 复合而成的复合函数是y ＝(2＋x )2.题组三 走向高考6．(2024·北京卷)函数f (x )＝1x ＋1－x 的定义域是 (－∞，0)∪(0,1] . [解析] 因为f (x )＝1x ＋1－x ，所以x ≠0,1－x ≥0，解得x ∈(－∞，0)∪(0,1]．7．(2024·浙江，12,4分)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x >2，|x －3|＋a ，x ≤2.若f [f (6)]＝3，则a ＝ 2 .[解析] 因为6>4＝2，所以f (6)＝(6)2－4＝2，所以f [f (6)]＝f (2)＝|2－3|＋a ＝1＋a ＝3，解得a ＝2.。
其次讲 函数的基本性质1.[2024江西红色七校第一次联考]下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( )A.y=cos xB.y=x 2C.y=ln|x|D.y=e-|x|2.[2024湖北省四地七校联考]若函数f(x)=sin x·ln(mx+√1+4x 2)的图象关于y 轴对称,则m= ( )A.2B.4C.±2D.±43.[2024郑州三模]若函数f(x)={e x -x +2a,x >0,(a -1)x +3a -2,x ≤0在(-∞,+∞)上是单调函数,则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(1,3]C.[12,1) D.(1,2]4.[2024广州市阶段模拟]已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x 3+x 2+a,则g(2)=( ) A.-4B.4C.-8D.85.[2024长春市第一次质量监测]定义在R 上的函数f(x)满意f(x)=f(x+5),当x∈[-2,0)时,f(x)=-(x+2)2,当x∈[0,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2 021)= ( )A.809B.811C.1 011D.1 0136.[2024陕西省部分学校摸底检测]已知函数f(x)=2x cosx 4x +a是偶函数,则函数f(x)的最大值为 ( )A.1B.2C.12 D.37.[2024济南名校联考]已知定义在R 上的函数f(x)满意f(x+6)=f(x),y=f(x+3)为偶函数,若f(x)在(0,3)上单调递减,则下面结论正确的是 ( )A.f(192)<f(e 12)<f(ln 2)B.f(e 12)<f(ln 2)<f(192)C.f(ln 2)<f(192)<f(e 12) D.f(ln 2)<f(e 12)<f(192)8.[2024江苏苏州初调]若y=f(x)是定义在R 上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)={sinx,x ∈[0,1),f(x -1),x ∈[1,+∞),则f(-π6-5)= .9.函数f(x)=x 3-3x 2+5x-1图象的对称中心为 .10.[2024蓉城名校联考]已知函数f(x)=x+cosx,x∈R,设a= f(0.3-1), b= f(2-0.3),c= f(log 20.2),则 ( )A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a11.[2024辽宁葫芦岛其次次测试]已知y=f(x-1)是定义在R 上的偶函数,且y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则不等式f(-2x-1-1)<f(3)的解集为 ( )A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,3)12.已知f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,若对于随意x,y∈(1,+∞),均有f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,则不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为 ( )A.[52,+∞)B.(52,+∞)C.[1,52]D.(2,52]13.[2024广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y=f(x+2),其图象是连续的,当x>2时,函数y=f(x)是单调函数,则满意f(x)=f(1-1x+4)的全部x 之积为 ( )A.3B.-3C.-39D.3914.[原创题]设增函数f(x)={lnx,x >1,-1+ax x ,0<x ≤1的值域为R,若不等式f(x)≥x+b 的解集为{x|c≤x≤e},则实数c 的值为 ( )A.e -√e 2-42B.e+√e 2-42C.e±√e 2-42D.1215.[多选题]已知奇函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,f(1)=2,若0<f(m)<2,则 ( )A.log m (1+m)<log m (1+m 2) B.log m (1-m)<0 C.(1-m)2>(1+m)2D.(1-m )13>(1-m )1216.[2024湖南六校联考][多选题]已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|),下列说法正确的是( ) A.g(x)为偶函数B.g(x)在(1,2)上单调递增C.g(x)在[2 016,2 020]上恰有三个零点D.g(x)的最大值为2答 案其次讲 函数的基本性质1.D 函数y=cos x 是偶函数且是周期为2π的周期函数,所以y=cos x 在(0,+∞)上不具有单调性,所以A 选项不符合题意;函数y=x 2为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以B 选项不符合题意;函数y=ln|x|={lnx,x >0,ln(-x),x <0为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以C 选项不符合题意;函数y=e -|x|={e -x ,x ≥0,e x ,x <0为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以D 选项符合题意.故选D.2.C ∵f(x)的图象关于y 轴对称,∴f(x)为偶函数,又y=sin x 为奇函数,∴y=ln(mx+√1+4x 2)为奇函数,即ln[-mx+√1+4·(-x)2]+ln(mx+√1+4x 2)=0,即ln(1+4x 2-m 2x 2)=0,1+4x 2-m 2x 2=1,解得m=±2.故选C.3.B 当x>0时,f(x)=e x -x+2a,则f '(x)=e x-1>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数.当x≤0时,f(x)=(a-1)x+3a-2是单调递增函数,所以a-1>0,得a>1.e 0-0+2a≥(a -1)×0+3a -2,解得a≤3.所以1<a≤3,故选B.4.C 依题意f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)-g(x)=x 3+x 2+a ①,所以f(-x)-g(-x)=-x 3+x 2+a,即f(x)+g(x)=-x 3+x 2+a ②,②-①得2g(x)=-2x 3,g(x)=-x 3,所以g(2)=-23=-8.故选C. 5.A 由f(x)=f(x+5)可知f(x)的周期为5,又f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(-1)=-1,f(-2)=0,∴f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-1)=-1,f(5)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2,∴f(1)+f(2)+…+f(2 021)=f(1)+2×404=809.故选A. 6.C 解法一 因为函数f(x)=2x cosx 4x +a 是偶函数,所以f(-x)=f(x),即2-x cos(-x)4-x +a=2x cosx 4x +a ,化简可得a(4x -1)=4x-1,得a=1,所以f(x)=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .又cos x≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)≤12.故选C. 解法二 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即2-1cos(-1)4-1+a=21cos14+a ,解得a=1,所以f(x)=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .因为cosx≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)max =12,故选C.7.A 由f(x+6)=f(x)知函数f(x)是周期为6的函数.因为y=f(x+3)为偶函数,所以f(x+3)=f(-x+3),所以f(192)=f(72)=f(12+3)=f(-12+3)=f(52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内) 因为1<e 12<2,0<ln 2<1,所以0<ln 2<e 12<52<3.因为f(x)在(0,3)上单调递减,所以f(52)<f(e 12)<f(ln 2),即f(192)<f(e 12)<f(ln 2),故选A.8.12 因为y=f(x)是定义在R 上的偶函数,所以f(-π6-5)=f(π6+5).因为x≥1时,f(x)=f(x-1),所以f(π6+5)=f(π6+4)=…=f(π6).又0<π6<1,所以f(π6)=sin π6=12.故f(-π6-5)=12.9.(1,2) 解法一 由题意设图象的对称中心为(a,b),则2b=f(a+x)+f(a-x)对随意x 均成立,代入函数解析式得,2b=(a+x)3-3(a+x)2+5(a+x)-1+(a-x)3-3(a-x)2+5(a-x)-1=2a 3+6ax 2-6a 2-6x 2+10a-2=2a 3-6a 2+10a-2+(6a-6)x 2对随意x 均成立,所以6a-6=0,且2a 3-6a 2+10a-2=2b,即a=1,b=2,即f(x)的图象的对称中心为(1,2).解法二 由三次函数对称中心公式可得,f(x)的图象的对称中心为(1,2).10.D f(x)=x+cos x,则f '(x)=1-sin x≥0,所以f(x)在R 上单调递增,又log 20.2<2-0.3<1<0.3-1=103,所以f(log 20.2)<f(2-0.3)<f(103),即c<b<a.11.D 由题可知y=f(x-1)的图象关于y 轴对称.因为y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象,所以y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.因为y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减.所以|-2x-1-1-(-1)|<|3-(-1)|,即0<2x-1<4,解得x<3,所以原不等式的解集为(-∞,3),故选D.12.A 依据f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(24),所以f(x)+f(x-1)-2≥0得f(22x-1)≥f(24).又f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,所以{22x -1≥24,x >1,x -1>1, 解得x≥52.所以不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为[52,+∞).13.D 因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)图象关于x=2对称,因为f(x)在(2,+∞)上单调,所以f(x)在(-∞,2)上也单调,所以要使f(x)=f(1-1x+4),则x=1-1x+4或4-x=1-1x+4.由x=1-1x+4,得x 2+3x-3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2=-3;由4-x=1-1x+4,得x 2+x-13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x 3,x 4,则x 3x 4=-13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D.14.A 当x>1时,f(x)为增函数,且f(x)∈(0,+∞), 当0<x≤1时,-1+ax x=a-1x≤a -1,即f(x)∈(-∞,a -1].因为f(x)为增函数,所以a-1≤0,则a≤1,又函数f(x)的值域为R,所以a-1≥0,即a≥1,从而a=1,函数f(x)={lnx,x >1,-1+x x,0<x ≤1.因为不等式f(x)≥x+b 的解集为{x|c≤x≤e},易知ln x=x+b 的解为x=e,所以b=1-e,当x=1时,x+b=1+1-e=2-e<0=f(1),故0<c<1.令-1+x x=x+1-e,得x 2-ex+1=0,从而x=e -√e 2-42,则c=e -√e 2-42,故选A.15.AD ∵f(x)为奇函数,0<f(m)<2,f(1)=2,f(0)=0,∴f(0)<f(m)<f(1).又f(x)在R 上单调递增,∴0<m<1,∴1+m>1,0<1-m<1,∴log m (1-m)>0,B 错误.∵1+m>1+m 2,∴log m (1+m)<log m (1+m 2),A 正确.∵y=x 2在(0,+∞)上单调递增,1-m<1+m,∴(1-m)2<(1+m)2,C 错误.∵y=(1-m)x在(0,+∞)上单调递减,∴(1-m )13>(1-m )12,D 正确.故选AD. 16.AD 易知函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=|f(-x)|+f(|-x|)=|-f(x)|+f(|x|)=|f(x)|+f(|x|)=g(x),所以g(x)为偶函数,故A 正确.因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)是奇函数,所以f(x)是周期为4的函数,其部分图象如图D 2-2-1所示,图D 2-2-1所以当x≥0时,g(x)={2f(x),x∈[4k,2+4k]0,x∈(2+4k,4+4k],k∈N,当x∈(1,2)时,g(x)=2f(x),g(x)单调递减,故B错误.g(x)在[2 016,2 020]上零点的个数等价于g(x)在[0,4]上零点的个数,而g(x)在[0,4]上有多数个零点,故C错误. 当x≥0时,易知g(x)的最大值为2,由偶函数图象的对称性可知,当x<0时,g(x)的最大值也为2,所以g(x)在整个定义域上的最大值为2,故D正确.综上可知,选AD.。
2．5 指数函数1．根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的______________，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个______________数，负数的n 次方根是一个______________数，这时a 的n 次方根用符号__________________表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有________________个，这两个数互为________________．这时，正数a 的正的n 次方根用符号__________________表示，负的n 次方根用符号表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成__________________．③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是__________________，记作__________________．(2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做__________________，a 叫做__________________．(3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝__________________；n 为偶数时，na n＝__________________. 2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝__________________.这里a __________________0.(2)负整数指数幂：a －n ＝__________________ (a ≠0，n ∈N *)．(3)正分数指数幂：a m n＝__________________ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(4)负分数指数幂：a －mn＝__________________(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． (5)0的正分数指数幂等于__________________，0的负分数指数幂__________________． (6)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝（a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝（a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝（a ＞0，b >0，r ∈Q ）.自查自纠：1．(1)n 次方根①正 负 na②两 相反数 na －n a ±n a ④0 n 0＝0(2)根指数 被开方数 (3)a |a | 2．(1)1 ≠ (2)1a n (3)na m (4)1n a m(5)0 没有意义 (6)a r ＋s a rs a r b r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数(2018·河南安阳月考)化简a 3b 23ab 2（a 14b 12）43b a(a >0，b >0)的结果是 ( )A.b a B ．ab C ．a 2b D.ab解：原式＝a3b2a13b23ab2⎝⎛⎭⎫ba13＝（a103b83）12a23b73＝a53b43a23b73＝ab－1＝ab.故选D.(2017·青岛调研)已知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为()A．(0，1) B．(2，3)C．(3，2) D．(2，2)解：由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2，3)．故选B.(2017·合肥模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0解：设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数，又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．解：因为x≥0，所以－x≤0，所以3－x≤3，所以0<23－x≤23＝8，所以0≤8－23－x<8，所以函数y＝8－23－x的值域为[0，8)．故填[0，8)．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．解：当a<0时，不等式f(a)<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a<8，即⎝⎛⎭⎫12a<⎝⎛⎭⎫12－3，所以a>－3.又a<0，所以－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1，所以0≤a<1.综上，a的取值范围为(－3，1)．故填(－3，1)．类型一指数幂的运算(1)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0＝________.解：原式＝⎝⎛⎭⎫－278－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.故填－1679.(2)化简：⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab－1）3⎝⎛⎭⎫110－1·（a3·b－3）12＝________.解：原式＝2×333223322210a ba b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.故填85.(3)已知a12＋a－12＝3，求下列各式的值．(Ⅰ)a＋a－1；(Ⅱ)a2＋a－2；(Ⅲ)a2＋a－2＋1a＋a－1＋1.解：(Ⅰ)将a12＋a－12＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.(Ⅱ)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可得a2＋a－2＋1a＋a－1＋1＝47＋17＋1＝6.点拨：指数幂运算的一般原则：①指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．③底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－76＋814×42－⎝⎛⎭⎫－2323＝________.解：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2.故填2.(2)化简：4a 23b －13÷113323a b --⎛⎫- ⎪⎝⎭＝________.解：原式＝(－6)2133a +·1133b -+＝－6a .故填－6a . (3)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则x 12－y 12x 12＋y 12＝________.解：因为x 12－y12x 12＋y12＝（x 12－y 12）2（x 12＋y 12）（x 12－y 12）＝x ＋y －2（xy ）12x －y，又x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，所以(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108，则x －y ＝－63，所以x 12－y 12x 12＋y 12＝12－2×3－63＝－33.故填－33.类型二 指数函数的图象及应用(1)函数y ＝a x －a －1(a >0且a ≠1)的图象可能是( )A BC D 解：函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解：令|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b ，令y ＝|2x －2|，y ＝b ，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0<b <2，即b ∈(0，2)．故填(0，2)．点 拨：①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )ABC D解：f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足．故选A.(2)(2018·广州一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ≤2，－x ＋5，x >2，若互不相等的实数a ，b ，c 满足 f (a )＝f (b )＝f (c)，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( )A ．(16，32)B ．(18，34)C ．(17，35)D ．(6，7) 解：画出函数f (x )的图象如图所示．不妨令a <b <c ，由图象可知，a <b <2，则由 f (a )＝f (b )得1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2.结合图象可得4<c<5，故16<2c <32，所以18<2a ＋2b ＋2c <34.故选B.类型三 指数函数的综合问题(1)(2018·莆田二十四中模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，a ＝(cos α)cos α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)sin α，则 ( ) A ．a <b <c B ．a <c<b C ．b <a <c D ．c<a <b解：因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以0<cos α<22，cos α<sin α，根据幂函数的性质，可得(sin α)cos α>(cos α)cos α，根据指数函数的性质，可得(cos α)cos α>(cos α)sin α，所以b >a >c.故选D. (2)函数y＝12⎛⎪⎝⎭的单调递增区间是________．解：令t ＝－x 2＋x ＋2≥0，得函数的定义域为 [－1，2]，所以t ＝－x 2＋x ＋2在⎣⎡⎦⎤－1，12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，根据“同增异减”的原则，函数y＝12⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤12，2.故填⎣⎡⎦⎤12，2.(3)(2018·珠海模拟)若x log 52≥－1，则函数y ＝4x －2x ＋1－3的最小值为 ( ) A ．－4 B ．－3 C ．－1 D ．0解：由x log 52≥－1得log 52x ≥log 515，即2x ≥15，令t ＝2x ，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，因为t ≥15，所以当t ＝1，即x ＝0时，函数取得最小值为－4.故选A.点 拨：解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R 上单调，过定点等；对于底数a 与1的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用．(1)(2017·河南平顶山一模)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f （x 1）－x 1f （x 2）x 1－x 2>0，记a ＝f （30.2）30.2，b ＝f （0.32）0.32，c ＝f （log 25）log 25，则 ( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．c <b <a解：由题意得，x 1－x 2与x 2f (x 1)－x 1f (x 2)同号，则x 1－x 2与x 2f （x 1）－x 1f （x 2）x 1x 2(即f （x 1）x 1－f （x 2）x 2)同号，所以函数f （x ）x是(0，＋∞)上的增函数，因为1<30.2<2，0<0.32<1，log 25>2，所以0.32<30.2<log 25，所以b <a <c .故选B.(2)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解：令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x－m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m 2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]．(3)(2018·浙江丽水月考)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解：原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.故填(－1，2)．1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．作指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应抓住三个点⎝⎛⎭⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )．1．(2016·昆明模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则 x ＋y 的值为 ( )A ．18B ．21C ．24D ．27解：因为2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，所以x ＝3y ＋3，因为9y ＝32y ＝3x －9，所以x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.故选D.2．(2016·海南中学模拟)已知函数f (x )＝4＋2a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则点P 的坐标是 ( ) A ．(1，6) B ．(1，5) C ．(0，5) D ．(5，0) 解：当x ＝1时，f (1)＝6，与a 无关，所以函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过点P (1，6)．故选A . 3．(2017·德州一模)已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则 ( ) A ．a <b <c B ．c<b <a C ．c<a <b D ．b <c<a 解：因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上为减函数，35>25，所以b <c .又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，所以a >c ，所以b <c <a .故选D. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3，0)C ．[－3，－1]D ．{－3}解：当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－⎝⎛⎭⎫12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1是[－8，1]的子集，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0，所以实数a 的取值范围是[－3，0)．故选B.5．(2017·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g(x )＝a |x ＋b |的图象为 ()ABC D解：因为x ∈(0，4)，所以x ＋1>1，所以f (x )＝ x ＋1＋9x ＋1－5≥6－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号．所以a ＝2，b ＝1.因此g(x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确．故选A.6．(2017·江淮十校三联)函数f (x )＝x 2－bx ＋c满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．与x 有关，不确定解：由f (x ＋1)＝f (1－x )知，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以b ＝2，由f (0)＝3知，c ＝3.所以f (b x )＝f (2x )，f (c x )＝f (3x )．当x >0时，3x >2x >1，结合函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，知f (3x )>f (2x )，即f (b x )<f (c x )；当x ＝0时，3x ＝2x ＝1，所以f (3x )＝f (2x )，即f (b x )＝f (c x )；当x <0时，3x <2x <1，结合函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，知f (3x )>f (2x )，即f (b x )<f (c x )．综上，f (b x )≤f (c x )．故选A. 7．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g(x )＝________.解：依题意，f (1)＝12，所以a ＝12，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，x >0.当x <0时，－x >0.所以g(x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x .故填－2x(x <0)． 8．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则实数a 的取值范围是________．解：不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象如图．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故填(－1，＋∞)． 9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在 [－1，1]上的最大值是14，求a 的值．解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t)在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t)max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. 解得a ＝13⎝⎛⎭⎫a ＝－15舍去. ②当a ＞1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t)在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上为增函数．所以f (t)max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.10．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫a x 1－a x ＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )．所以f (x )是偶函数．(2)由(1)知f (x )为偶函数，所以只需讨论x >0时的情况．当x >0时，要使f (x )>0，即⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x－1）>0，则a x >1. 又因为x >0，所以a >1.因此a >1时，f (x )>0. 故a 的取值范围为(1，＋∞)．11．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x <0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·(2x )2－3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以x ＝1.(2)当t ∈ [1，2]时，不等式为2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为t ∈[1，2]，所以22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)．而t ∈[1，2]时，－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1， 设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．解：画出函数图象如图所示，由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，则12≤b <1，bf (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2.故填⎣⎡⎭⎫34，2.。
