2020年高考数学(理科版)总复习：考点与题型全归纳第一部分

2020年高考数学考点大全高考数学有哪些必考知识点，哪些考点容易出题?接下来是小编为大家整理的2020年高考数学考点，希望大家喜欢!2020年高考数学考点一(一)、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.(二)、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域. 2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.2020年高考数学考点二考点一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

12020高考数学（理科）知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂ （答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U UUUUUA B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈∉50352的取值范围。

()），，·∴，∵·∴，∵（259351055550353322 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒≥--∉<--∈a aa M aa M 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝ 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若q p q p ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。

） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。

I第一章•集合1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为AA;②空集是任何藁合的子集，记为A :1③空集是任何非空集合的真子集；I①n个元素的子集有II◎个.n个元素的真子集有2n —1个・n个元素的非空真子集有2n一2个.［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真•否命题逆命题•②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真•原命题逆否命题•Al B {x|x A,且x B} AU B {x | x A 或x并:B} CuA {x U ,且xA}2＞集合运算：交、并、构成复合命题的形式：P或q（记作“pV q);p且q （记作P A q）；非P（记作“1 q”）。

1、“或”、“且”、4、四种命题的形式及相互关系：则p;原命题：若P则q ；逆命题：若q !否命题：若「P则1q；逆否命题: 若1q 则"1 P。

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

16、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是P的必要条件。

对数函数y=log ax( a>0且a1 )的图象和性质文档来源为 ：从网络收集整理.word 版本可编辑•欢迎下载支持若pq 且qp,则称p 是q 的充要条件，记为p? q.第二章■函数一、函数的性质(1 )定义域：(2 )值域：(3)奇偶性：(在整个定义域内考虑)①定义:偶函数：f ( x) f (x).奇函数：f ( x) f (x) ②判断方法步骤： &求出定义域;是否关于原点对称；C.求d.比较f ( X )与f (X )或f ( X )与 f (X )的关系。

(4)函数的单调性定义：对于函数 任意两个自变量的值 ⑴若当 XKX2时，都有f(Xl)<f(X2),则说f(X )在这个区间上是增函数; ⑵若当 XKX2时，都有f(X 1)>f(X 2),则说f(X )在这个区间上是减函数二、指数函数与对数函数指数函数丫來但o 且a 1)的图象和性质b ・判断定义域 f (X );f(x)的定义域 X1,X2,I 内某个区间上的对数函数y=log ax( a>0且a1 )的图象和性质⑴对数、指数运算：文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑•欢迎下载支持X(2) v a ( a O.a1 )与y log ax ( a 0, a 1 )互为反函数.第三章数列1.(1)等差、等比数列：第四章■三角函数对数函数y=log ax( a>0且a1 )的图象和性质si ai (n 1) 2)数列｛加｝的前n项和Sn与通瓒5的養系秫〔m2)•三角函数1、角度与弧度的互换关系: 360 ° =2 1802、 弧长公式：I || r.扇形面积公式：s 扇形2 lr 2||r一 y xy 3、 三角函数：sin ； cos ； tan ；rrx4、 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）sin5、同角三角函数的基本关系式： tan sin 2cos 21cos6、 诱导公式：7、 两角和与差公式cos （）cos cos sin sin 5s.二倍角公式是：sin2 = 2sin cos22 . 2cos2 = cos sin =2cosJ= 1_2sin2tantan2 =2o1 tan辅助角公式b sin （e +）,这里辅助角bb1801 rad = ° ^ 57.30 ° =57 ° 18 '；1° = 180^ 0.01745 （ rad ）注意：正角的弧度数为正数, 负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零asin 0 +bcos 0= a所在象限由a 、a 9、特殊角的三角函数值:文档来源为：从网络收集整理.word版本abc10、正弦定理iAiBiC2R （R为外接圆半径）. sin A sin B sinC 余弦定理c2 = a 2+b 2— 2bccosC ,b 2 = a 2+c 2 2accosB , a 2 = b 2+c 2 2bccosA ・11 acsm b2 b csinA面积公式：12aha111absir2bhb2chc211. y sin( )或 y cos( xT 20）的周期12. y sin(）的对称轴方程是k2 kZ ）,对称中心（k ,0）；y cos( xk( kZ),1对称中心（2,0y tan( xk）的对称中心（2 5°第五章•平面向量⑴向量的基本要素：大小和方向•⑵向量的长度：即向量的大小，记作丨Jx 2 ,y⑶特殊的向量：零向量3o I a I = o. 单位向量a 为单位向量I a I = 1.X1 X2⑷相等的向量：大小相等，方向相同 （x 1, y 1）=（ x 2, y 2）yi y2（5）相反向量：a=・bb=・aa + b = 0⑹平行向量（共线向量）:方向相同或相反的向量，称为平行向量•记作 3 // b .平行向量也称为共线向量7文档来源为：从网络收集整理.word 版本 向 量的数 量积rra?b 是一个数 rrrri.a 0 或 b 0 rr时，a?b 0可编辑•欢迎下载支持8(8)两个向量平行的充要条件(10)两向量的夹角公式：cosab(9)两个向量垂直的充要条件X1X2 a | • |b |=xi 2yi 2? X22y220<0< 180 °,附：三角形的四个“心”；2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、 重心：中线的交点4、 垂心：高的交点 (11) A ABC 的判定：△ ABC 为直角△an b (b 0)或 xi y2 X2yi 0a • b=oxi • X2+y1 • y2=01、 内心：内切圆 的圆心, 角平分线的交点ABC 为钝角△ A+Z B< 2ABC 为锐角△ A + Z B> 2(门)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和22c> a b1 •几个重要不等式2(1 ) a R 5a 05 a 0当且仅当a 0,取 “ ” ,(a-b )2^o (a> be R)(2) a,b R,则 a 2 b 22ab(3) a,b R，贝9 a b 2 ab ；a 2b 2 a b 2( 4)2(2);⑸若a 、 bw R+,,则 a 2 b 2(2 )2(a,b R)222ab a b a b ab(a ，b R ).ab2 22、解不等式1 ) 一元一次不等ax b (a°), ② a 0, xx a b o ,① a 0, xx a ax 2bx c 05(a2)—元二次不等式第七章1•两点间距离：若A(xi 5yi)3B(X2,y 2),则2•平行线间距离：若h : Ax By Ci■直线和圆的方程 (X2X1)212: AxAB 则：d A 2B 2注意：x, y 对应项系数应 则P 到I 的距离•点至血W 5y)J:Ax d A BCi C205Byy kx4 •直线与圆锥曲线相交的弦长公式：o •若丨与曲线交于A (XI 5 yi)5园妙)y 2)则:ax 2(y^yOBy C2bx c 0 , 10务必注5•若A(Xi，yi )5 B(X25 y2), P( x, y) ,P 为AB中点，贝lj X1 X22V226•直线的倾斜角（0。

2020高三数学复习重点知识点归纳三篇高三数学是很多同学都害怕的，怎样克服数学难题呢？小编认为同学们应该从每一个小的知识点抓起，先总结后练习。

下面就是小编给大家带来的高三数学复习知识点归纳，希望能帮助到大家！高三数学复习知识点归纳11.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“ ”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。

若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a b 0，a 0.24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。

第一章
0-@4
集合与常用逻辑用语
第 一 节 集 合
， ； ， 的 含 义 能 识 别 给 定 集 合 的 子 集 在 具 体 的 情 境 中 了 解 全 集 与 空 集 的 含 义 ． 集 合 的 基 本 运 算 理 解 两 个 集 合 的 并 集 与 交 集 ３ ． ． 、 集 合 的 含 义 与 表 示 了 解 集 合 的 含 义 元 素 与 集 １ ． ． ， ； 的 含 义 会 求 两 个 简 单 集 合 的 并 集 与 交 集理 解 在 给 ； 、 （ 合 的 关 系 能 用 自 然 语 言 图 形 语 言 和 集 合 语 言 列 举 ， ； 定 集 合 中 一 个 子 集 的 含 义 会 求 给 定 子 集 的 补 集 能 ） 法 或 描 述 法 描 述 不 同 的 具 体 问 题 ． （ ） 图 表 达 集 合 的 关 系 及 运 算 使 用 韦 恩 Ｖ ｅ ｎ ｎ ． 集 合 间 的 基 本 关 系 理 解 集 合 之 间 包 含 与 相 等 ２ ． ．
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2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

2020年高考数学考点题型全归纳（理）第一章集合与常用逻辑用语 (10)第一节集合 (10)考点一集合的基本概念 (11)考点二集合间的基本关系 (12)考点三集合的基本运算 (14)第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 (20)考点一四种命题及其真假判断 (21)考点二充分、必要条件的判断 (22)考点三根据充分、必要条件求参数的范围 (24)第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (29)考点一判断含有逻辑联结词命题的真假 (30)考点二全称命题与特称命题 (31)考点三根据命题的真假求参数的取值范围 (32)第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ (38)第一节函数及其表示 (38)考点一函数的定义域 (39)考点二求函数的解析式 (40)考点三分段函数 (43)第二节函数的单调性与最值 (51)考点一确定函数的单调性区间 (52)考点二求函数的值域最值 (54)考点三函数单调性的应用 (56)第三节函数的奇偶性与周期性 (64)考点一函数奇偶性的判断 (65)考点二函数奇偶性的应用 (67)考点三函数的周期性 (69)第四节函数性质的综合问题 (76)考点一函数的单调性与奇偶性 (76)考点二函数的周期性与奇偶性 (77)考点三函数性质的综合应用 (78)第五节函数的图象 (87)考点一作函数的图象 (88)考点二函数图象的识辨 (90)考点三函数图象的应用 (92)第六节二次函数 (100)考点一求二次函数的解析式 (101)考点二二次函数的图象与性质 (103)第七节幂函数 (112)考点一幂函数的图象与性质 (113)考点二比较幂值大小 (114)第八节指数式、对数式的运算 (119)考点一指数幂的化简与求值 (120)考点二对数式的化简与求值 (122)第九节指数函数 (127)考点一指数函数的图象及应用 (128)考点二指数函数的性质及应用 (129)第十节对数函数 (137)考点一对数函数的图象及应用 (138)考点二对数函数的性质及应用 (139)第十一节函数与方程 (146)考点一函数零点个数、所在区间 (146)考点二函数零点的应用 (149)第十二节函数模型及其应用 (155)考点一二次函数、分段函数模型 (156)考点二指数函数、对数函数模型 (158)第三章导数及其应用 (164)第一节导数的概念及运算、定积分 (164)考点一导数的运算 (166)考点二导数的几何意义及其应用 (167)考点三定积分的运算及应用 (170)第二节导数的简单应用 (179)第一课时导数与函数的单调性 (180)考点一求函数的单调区间 (180)考点二判断含参函数的单调性 (181)第二课时导数与函数的极值、最值 (194)考点一利用导数研究函数的极值 (194)考点二利用导数研究函数的最值 (196)考点三利用导数求解函数极值和最值的综合问题 (199)第三节导数的综合应用 (209)第一课时利用导数解不等式 (209)考点一f(x)与f′(x)共存的不等式问题 (209)考点二不等式恒成立问题 (212)考点三可化为不等式恒成立问题 (215)第二课时利用导数证明不等式 (222)考点一单变量不等式的证明 (222)考点二双变量不等式的证明 (225)考点三证明与数列有关的不等式 (227)第三课时导数与函数的零点问题 (231)考点一判断函数零点的个数 (231)考点二由函数零点个数求参数 (234)第四节导数压轴专项突破 (241)第一课时分类讨论的“界点”确定 (241)考点一根据二次项系数确定分类“界点” (241)考点二根据判别式确定分类“界点” (242)考点三根据导函数零点的大小确定分类“界点” (243)考点四根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点” (244)第二课时有关x与e x，ln x的组合函数问题 (246)考点一x与ln x的组合函数问题 (246)考点二x与e x的组合函数问题 (247)考点三x与e x，ln x的组合函数问题 (249)考点四借助e x≥x＋1和ln x≤x－1进行放缩 (251)第三课时极值点偏移问题 (254)考点一对称变换 (254)考点二消参减元 (256)考点三比(差)值换元 (257)第四课时导数零点不可求 (260)考点一猜出方程f′(x)＝0的根 (260)考点二隐零点代换 (260)考点三证——证明方程f′(x)＝0无根 (262)第五课时构造函数 (263)考点一“比较法”构造函数证明不等式 (263)考点二“拆分法”构造函数证明不等式 (264)考点三“换元法”构造函数证明不等式 (265)考点四“转化法”构造函数 (267)第六课时“任意”与“存在”问题 (268)考点一单一任意与存在问题 (268)考点二双任意与存在相等问题 (269)考点三双任意与双存在不等问题 (270)考点四存在与任意嵌套不等问题 (272)第四章三角函数、解三角形 (279)第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 (279)考点一象限角及终边相同的角 (280)考点二三角函数的定义 (282)考点三三角函数值符号的判定 (283)第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式 (290)考点一三角函数的诱导公式 (291)考点二同角三角函数的基本关系及应用 (292)第三节三角函数的图象与性质 (301)第一课时三角函数的单调性 (302)考点一求三角函数的单调区间 (302)考点二求三角函数的值域最值 (305)考点三根据三角函数单调性确定参数 (306)第二课时三角函数的周期性、奇偶性及对称性 (314)考点一三角函数的周期性 (314)考点二三角函数的奇偶性 (316)考点三三角函数的对称性 (317)第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用 (327)考点一求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式 (328)考点二函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与变换 (330)考点三三角函数模型及其应用 (332)第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 (342)考点一三角函数公式的直接应用 (342)考点二三角函数公式的逆用与变形用 (344)考点三角的变换与名的变换 (346)第六节简单的三角恒等变换 (354)考点一三角函数式的化简 (354)考点二三角函数式的求值 (355)考点三三角恒等变换的综合应用 (358)第七节正弦定理和余弦定理 (367)第一课时正弦定理和余弦定理(一) (368)考点一利用正、余弦定理解三角形 (368)考点二判定三角形的形状 (370)第二课时正弦定理和余弦定理(二) (377)考点一有关三角形面积的计算 (377)考点二平面图形中的计算问题 (379)考点三三角形中的最值、范围问题 (382)考点四解三角形与三角函数的综合应用 (384)第八节解三角形的实际应用 (393)考点一测量高度问题 (393)考点二测量距离问题 (395)考点三测量角度问题 (396)第五章平面向量 (401)第一节平面向量的概念及线性运算 (401)考点一平面向量的有关概念 (403)考点二平面向量的线性运算 (405)考点三共线向量定理的应用 (406)第二节平面向量基本定理及坐标表示 (413)考点一平面向量基本定理及其应用 (414)考点二平面向量的坐标运算 (415)考点三平面向量共线的坐标表示 (417)第三节平面向量的数量积 (422)考点一平面向量的数量积的运算 (424)考点二平面向量数量积的性质 (426)第四节平面向量的综合应用 (434)考点一平面向量与平面几何 (434)考点二平面向量与解析几何 (435)考点三平面向量与三角函数 (436)第六章数列 (444)第一节数列的概念与简单表示 (444)考点一由a n与S n的关系求通项a n (445)考点二由递推关系式求数列的通项公式 (447)考点三数列的性质及应用 (449)第二节等差数列及其前n项和 (456)考点一等差数列的基本运算 (457)考点二等差数列的判定与证明 (458)考点三等差数列的性质及应用 (460)第三节等比数列及其前n项和 (467)考点一等比数列的基本运算 (469)考点二等比数列的判定与证明 (470)考点三等比数列的性质 (472)第四节数列求和 (478)考点一分组转化法求和 (479)考点二裂项相消法求和 (481)考点三错位相减法 (483)第五节数列的综合应用 (491)考点一数列在实际问题与数学文化问题中的应用 (491)考点二等差数列与等比数列的综合计算 (493)第七章不等式................................................................................................. 错误!未定义书签。

2020 高考数学知识难点复习梳理失败是什么?没有什么，只是更走近成功一步;成功是什么?就是走过了所有通向失败的路，只剩下一条路，那就是成功的路。

接下来是小编为大家整理的2020 高考数学知识难点复习，希望大家喜欢!第一、基本公式用错等差数列的首项为a1、公差为 d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前 n 项和公式 Sn=na1+n(n-1)d/2= (a1+an)d/2 ;等比数列的首项为 a1、公比为 q，则其通项公式 an=a1pn-1，当公比 q≠1时，前 n 项和公式 Sn=a1(1-pn)/(1-q)= (a1-anq)/(1-q)，当公比 q=1 时，前 n 项和公式 Sn=na1。

在数列的基础题中，等差、等比数列公式是解题的根本，一旦用错了公式，解题也失去了方向。

第二、an，Sn 关系不清致误在数列题中，数列的通项 an 与其前 n 项和Sn 之间存在着关系。

这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是关系式分段。

在 n=1 和 n≥2 时，关系式具有完全不同的表现形式，这也是考生答题过程中经常出错的点，在使用关系式时，要牢牢记住其“分段”的特点。

当题目中给出了数列{an}的an 与Sn 之间的关系时，这两者之间可以进行相互转换，知道了an 的具体表达式，就可以通过数列求和的方法求出Sn;知道了 Sn，也可以求出an。

在答题时，一定要体会这种转换的相互性。

第三、等差、等比数列性质理解错误等差数列的前 n 项和在公差不为 0 时是关于n 的常数项为 0 的二次函数。

一般来说，有结论“若数列{an}的前 N 项和 Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是 c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N_是等差数列。

解答此类题时，要求考生全面考虑问题，考虑各种可能性，认为正确的就给予证明，不正确就举出反例驳斥。

等比数列中，公比等于-1 是特殊情况，在解决相关题型问题时值得注意。

2020届高考数学总复习资料整理高中数学必备知识点大全三、算法、推理与证明五、函数、基本初等函数I的图像与性质指数函数2y a=01a〈〈(),-∞+∞单调递减，01,001x y x y〈〈〉〈〈时时函数图象过定点（0.1）1a〉(),-∞+∞单调递增，01,01x y x y〈〈〈〉〉时0时六、函数与方程、函数模型及其应用函数零点概念方程()0f x=的实数根。

方程()0f x=的实数根⇔函数()0y x=的图象与x轴有交点⇔函数()y f x=有零点。

存在定理对于在区间[],a b上连续不断，若()()0f a f b〈，则()y f x=在(),a b内存在零点。

二分法方法对于在区间[],a b上连续不断且()()0f a f b〈的函数()y f x=。

通过不断把函数()f x的零点所在的区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点。

进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

步骤第一步确定区间[],a b，验证()()0f a f b〈g，确定精确度∈。

221cos 2sin 21cos 2cos 2aa aa -=+=注：表中,n k均为正整数。

十三、空间几何体（其中为半径、为高、为母线等)S h十四、空间点、直线平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】十八、圆锥曲线的定义、方程与性质注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐进线方程分别为x a y ±=，x by ±=2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是2,2,2,2p y p y p x p x =-==-=。

十九、圆锥曲线的热点问题二十一、离散型随机变量及其分布（理科）二十二、统计与统计案例二十三、函数与方程思想，数学结合思想二十四、分类与整合思想，化归与转化思想二十五、几何证明选讲二十六、坐标系与参数方程。

2020年高考数学考点题型全归纳随着2020年高考的结束，我们不禁要对其中的数学考点题型进行一个全面的总结和归纳。

数学作为高考中的一门重要科目，其考点题型的总结对于备战高考的同学们具有重要的指导意义。

本文将对2020年高考数学考点题型进行全面的归纳，希望能够对广大学生提供帮助。

一、选择题2020年高考数学选择题考点主要集中在以下几个方面：1.函数与导数函数与导数作为数学的基础知识，在高考中占据了相当重要的地位。

在2020年高考中，函数与导数的选择题主要涉及函数的性质、导数的运算和应用等方面。

2.数列与数学归纳法数列与数学归纳法同样是高考中的热门考点。

2020年高考数学选择题涉及了等差数列、等比数列等常见数列的性质和求和公式，同时还出现了一些利用数学归纳法证明结论的题型。

3.平面向量平面向量是高考数学的难点之一，但也是一大考点。

2020年高考选择题中的平面向量题主要涉及了向量的运算、共线、垂直和平行等基本性质的运用。

4.平面几何平面几何一直是高考数学的重要考点，2020年高考选择题中的平面几何题型主要涉及了三角形、圆、直线与圆的性质和应用等方面。

5.概率统计概率统计是高考数学中的另一个热门考点，2020年高考选择题中的概率统计题目主要涉及了基本概率，包括事件的概率、概率的计算和概率分布等内容。

二、计算题2020年高考数学计算题的考点主要集中在以下几个方面：1.导数与微分导数与微分是高考数学计算题中的热门考点，包括了函数的求导、高阶导数、微分中值定理等内容。

在2020年高考中，导数与微分题型的难度也较大，考查了考生对导数与微分的灵活应用能力。

2.几何向量几何向量题型的难度适中，主要涉及了向量的运算、共线、垂直和平行等基本性质的灵活运用。

在2020年高考中，几何向量题型的难度相对较大，需要考生具备较强的解题能力。

3.平面解析几何平面解析几何是高考数学计算题中的重要考点，涉及了平面直角坐标系、直线和圆的方程等内容。

②经研究分析,预测 2020 年新课标高考数列题型会具有一定的探究性和开放性,这类题目的 特点是有的没有给出条件,或者没有给出足多的条件,需要考生自己去寻找充分条件或充要条 件；有的没有给出结论,或者没有确定的结论,需要考生自已去探求结论；有的给出的信息比较 陌生,或比较新颍.或者所给的知识以前没有学习过,需要考生自己去理解、筛选有的给出一个特 殊的情形或类似的问题,需要考生自己去归纳、联想、类比；有的给出一个研究性问题.需要考 生去探究。
2、整体稳定,覆盖面广
全面考查了新课标考试说明中各部分的内容,如复数、旋转体、推理证明、简易逻辑、排列 组合、二项式定理等教学内容,有些内容轮换考查,如统计图、线性回归、直线与圆线性规划计 数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。
3、全面考查新增内容.体现新课改理念
如定积分、函数的零点、三视图、算法图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称 命题与特陈命题等。
10考点一幂函数的图象与性质104考点二比较幂值大小106第八节指数式对数式的运算110考点一指数幂的化简与求值111考点二对数式的化简与求值113第九节指数函数117考点一指数函数的图象及应用118考点二指数函数的性质及应用119第十节对数函数126考点一对数函数的图象及应用127考点二对数函数的性质及应用128第十一节函数与方程134考点一函数零点个数所在区间135考点二函数零点的应用137第十二节函数模型及其应用142考点一二次函数分段函数模型142考点二指数函数对数函数模型144第三章导数及其应用150第一节导数的概念及运算定积分150考点一导数的运算152考点二导数的几何意义及其应用153考点三定积分的运算及应用156第二节导数的简单应用164第一课时导数与函数的单调性165考点一求函数的单调区间165考点二判断含参函数的单调性166第二课时导数与函数的极值最值177考点一利用导数研究函数的极值177考点二利用导数研究函数的最值179考点三利用导数求解函数极值和最值的综合问题181第三节导数的综合应用190第一课时利用导数解不等式190考点一fx与fx共存的不等式问题190考点二不等式恒成立问题193考点三可化为不等式恒成立问题195第二课时利用导数证明不等式201考点一单变量不等式的证明201考点二双变量不等式的证明204考点三证明与数列有关的不等式205第三课时导数与函数的零点问题210考点一判断函数零点的个数210考点二由函数零点个数求参数212第四节导数压轴专项突破218第一课时分类讨论的界点确定218第3共999页考点一根据二次项系数确定分类界点218考点二根据判别式确定分类界点219考点三根据导函数零点的大小确定分类界点219考点四根据导函数零点与定义域的关系确定分类界点

最新2020高考数学必考知识点总结2020高考数学必考知识点：理科数学1.【数列】&amp;【解三角形】数列与解三角形的知识点在解答题的第一题中，是非此即彼的状态，近些年的特征是大题第一题两年数列两年解三角形轮流来，2014、2015年大题第一题考查的是数列，2016年大题第一题考查的是解三角形，故预计2017年大题第一题较大可能仍然考查解三角形。

数列主要考察数列的定义，等差数列、等比数列的性质，数列的通项公式及数列的求和。

解三角形在解答题中主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用。

2.【立体几何】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道立体几何题，主要考查空间线面平行、垂直的证明，求二面角等，出题比较稳定，第二问需合理建立空间直角坐标系，并正确计算。

3.【概率】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道概率题，主要考查古典概型，几何概型，二项分布，超几何分布，回归分析与统计，近年来概率题每年考查的角度都不一样，并且题干长，是学生感到困难的一题，需正确理解题意。

4.【解析几何】高考在第20题的位置考查一道解析几何题。

主要考查圆锥曲线的定义和性质，轨迹方程问题、含参问题、定点定值问题、取值范围问题，通过点的坐标运算解决问题。

5.【导数】高考在第21题的位置考查一道导数题。

主要考查含参数的函数的切线、单调性、最值、零点、不等式证明等问题，并且含参问题一般较难，处于必做题的最后一题。

6.【选做题】今年高考几何证明选讲已经删除，选考题只剩两道，一道是坐标系与参数方程问题，另一道是不等式选讲问题。

坐标系与参数方程题主要考查曲线的极坐标方程、参数方程、直线参数方程的几何意义的应用以及范围的最值问题;不等式选讲题主要考查绝对值不等式的化简，求参数的范围及不等式的证明。

2020高考数学必考知识点：文科数学第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

高考数学知识点归纳（完整版）高考数学知识点归纳第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考数学知识点高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 高考数学必考知识点归纳必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程高考数学必考知识点归纳必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

高考数学必考知识点归纳必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分。

高考数学必考知识点归纳必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。

第一章集合与常用逻辑用语考纲链接1．集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Wenn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．1集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，__________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________ 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________ 空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)12n非空子集有________个，非空真子集有________个．4．两个集合A与B之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集记为________韦恩(Venn)图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝________；⑤A∪(∁U A)＝________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠：1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋)Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－12n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝() A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}解：由题意知A∩B＝{0，2}．故选A.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝() A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解：由x2－x－2＞0得(x－2)(x＋1)＞0，解得x ＜－1或x＞2，所以A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.(2017·全国卷Ⅱ)设集合Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2－4x＋m＝0}．若Α∩Β＝{1}，则Β＝() A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}解：由Α∩Β＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．故选C.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解：A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点构成的集合，由图可知交点的个数为2，即A∩B中元素的个数为2.故填2.(2017·天津改编)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝________．解：集合A∪B＝{1，2，4，6}，则(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故填{1，2，4}．类型一 集合及相关概念(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为 ( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ． 4解法一：集合A ＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素． 解法二：A 表示由圆x 2＋y 2＝3内部及边界上所有整数点构成的集合．如图，则圆内部共有9个满足题意的点．故选A. (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则实数a ＝ ( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98 解：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.故选D.点 拨：题(1)要注意x ，y 的约束条件．题(2)集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (1)设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1， a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a 的值为________． 解：因为B ⊆A ，所以a 2－a ＋1∈A ，所以a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .由a 2－a ＋1＝3，得a ＝2或a ＝－1；由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1.经检验，a ＝1时集合A ，B 不满足集合中元素的互异性，舍去．故 a ＝－1或a ＝2.故填－1或2.(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．解：由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去； 当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，所以a <－98.故填⎝⎛⎭⎫－∞，－98. 类型二 集合间的关系 (2018·长春市高一联考)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解：(1)①当B ≠∅时，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1＜5，2m －1≥m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.②当B ＝∅时，m ＋1＞2m －1，得m ＜2. 综上可得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤－3，m ≥3，所以m 不存在． 即不存在实数m 使A ⊆B .点 拨：已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到． (1)已知集合A ＝{x |lg x >0}，B ＝{x |x ≤1}，则 ( ) A ．A ∩B ≠∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B 解：由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝(1， ＋∞)，所以A ∪B ＝R .故选B. (2)(2018·湖南长沙二模)已知A ＝{y |y ＝x 12，0≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝kx ＋1，x ∈A }，若A ⊆B ，则实数k 的取值范围为 ( ) A ．{－1} B ．{k |k ＜－1} C ．{k |－1≤k ≤0} D ．{k |k ≤－1}解：由已知可得A ＝{y |y ＝x 12，0≤x ≤1}＝[0，1]，易知k ≠0，当k ＞0时，B ＝[1，1＋k ]；当k ＜0时，B ＝[1＋k ，1]．由A ⊆B 知，当k ＞0时不合题意，则1＋k ≤0，即k ≤－1.故选D.类型三 集合的运算(1)(2018·浙江)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A ＝ ( )A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5} 解：因为U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，所以∁U A ＝{2，4，5}．故选C.(2)集合P ＝{x ∈R ||x －1|<1}，Q ＝{x ∈R ||x －a |≤1}，且P ∩Q ＝∅，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |a ≥3}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ≤－1或a ≥3}D ．{a |－1≤a ≤3} 解：P ＝{x |0<x <2}，Q ＝{x |a －1≤x ≤a ＋1}，要使P ∩Q ＝∅，则a ＋1≤0或a －1≥2，解得a ≤－1或a ≥3.故选C.点 拨：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(Venn)图等进行运算． (1)(2018·北京)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝ ( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1}C ．{－2，0，1，2}D ．{－1，0，1，2}解：因为|x |＜2，所以－2＜x ＜2，所以A ＝{x |－2＜x ＜2}．因为B ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B＝{0，1}．故选A. (2)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，则P ∩(∁U Q )等于 ( )A ．{1，2}B ．{3，4，5}C ．{1，2，6，7}D ．{1，2，3，4，5} 解：因为∁U Q ＝{1，2}，所以P ∩(∁U Q )＝{1，2}．故选A.类型四 韦恩(V enn)图(2018·河北武邑质检改编)已知全集 U ＝R ，集合A ＝{y |y ＝x 2＋2，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg(9－x 2)}，则阴影部分表示的集合为 ( )A ．[－3，2]B ．(－3，2)C ．(－3，2]D ．[－3，2)解：由函数y ＝x 2＋2≥2，得A ＝[2，＋∞)，由函数y ＝lg(9－x 2)，得9－x 2＞0，即B ＝(－3，3)．因为全集U ＝R ，所以∁U A ＝(－∞，2)，图中阴影部分表示的集合为B ∩∁U A ＝(－3，2)．故选B.点 拨：韦恩(V enn)图能更直观地表示集合之间的关系，先化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．如图，全集I ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为 ( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |x ＜3}D ．{x |x ＞0} 解：由图可知，阴影部分表示的是集合A ∪B ＝{x |0＜x ＜3}．故选B. 1． 首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用． 4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何集合的子集． 5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单． 6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题． 例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集， 即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9， 解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.1．(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解：由题意，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C.2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 解：A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2x －3＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32＜x ＜3.故选D. 3．已知全集R ，集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)(x －2)＝0}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩(∁R B )为( ) A ．{1，2，－2} B ．{1，2} C ．{－2} D ．{－1，－2}解：A ＝{1，2，－2}，而B 的补集是{y |y <0}，故两集合的交集是{－2}．故选C.4．(2018·海淀一模)设集合P ＝{m |－1＜m ≤0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系成立的是 ( ) A ．P Q B ．P QC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅ 解：Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，对m 分类：①当m ＝0时，－4＜0恒成立；②当m ＜0时，需Δ＝(4m )2－4×m ×(－4)＜0，解得－1＜m ＜0.综合①②知－1＜m ≤0.故选C.5．集合P ＝{1，4，9，16，…}，若a ∈P ，b ∈P ，则a b ∈P ，则运算可能是( )A ．除法B ．加法C ．乘法D ．减法解：当为除法时，14∉P ，所以排除A ；当为加法时，1＋4＝5∉P ，所以排除B ； 当为乘法时，m 2·n 2＝(m n)2∈P ，C 正确；当为减法时，1－4∉P ，所以排除D.故选C.6．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x － x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C. 7．(2018·黄冈市高一质检)已知A ＝{x ∈R |x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ∈R |a ≤x ≤2a －1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为________．解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞3，a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜－2，a ≤2a －1，解得a ＞3. ②当B ＝∅时，由a ＞2a －1，得a ＜1. 综上可知，实数a 的取值范围是{a |a ＜1或a ＞3}． 故填{a |a ＜1或a ＞3}． 8．已知集合A ，B 与集合A @B 的对应关系如下表： A {1，2，3，4，5}{－1，0，1}{－4，8}B{2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2}A @B {1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A ＝{－2 019，0，2 018}，B ＝{－2 019，0，2 017}，试根据图表中的规律写出A @B ＝________.解：由规律知，A @B 是由A ∪B 中元素去掉A ∩B 中元素构成的集合，故A @B ＝{2017，2018}．故填{2017，2018}．9．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，且3∈A ，求m 的值．解：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，3满足题意．故m ＝－32.10．(2018·珠海四中检测)若A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，A ∩B ＝{9}，求A ∪B .解：由A ∩B ＝{9}可知9∈A ，则x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，集合B 中元素不满足互异性，故舍去； 当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，满足题意，此时A ∪B ＝{－7，－4，－8，4，9}； 当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}，矛盾，故舍去．综上，A ∪B ＝{－7，－4，－8，4，9}． 11．(2018·南京市高一联考)设集合A ＝ {x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }＝{－4，0}，因为B ⊆A ，所以分B ＝A 和B A 两种情况讨论．①当A ＝B 时，B ＝{－4，0}，则有－4，0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，于是得a ＝1.②当B A 时，若B ≠∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，验证知B ＝{0}满足条件； 若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a＜－1.综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－1}．(2018·河北衡水中学模拟)对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n都是正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 不全为正奇数时，m ※n ＝mn .在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16，a ∈N *，b ∈N *，a ≠b }的真子集的个数是( )A ．27－1B ．211－1C ．212－1D ．214－1 解：因为16是偶数，所以M ＝{(1，16)，(2，8)，(16，1)，(8，2)，(1，15)，(15，1)，(3，13)，(13，3)，(5，11)，(11，5)，(7，9)，(9，7)}，共12个元素，则集合M 的真子集个数为212－1.故选C.1．2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．3．充分条件和必要条件(1)如果p⇒q，则称p是q的______，q是p的________________________．(2)如果________，且________，那么称p是q 的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________．(3)如果p⇒q，但q p，那么称p是q的________条件．(4)如果________，但________，那么称p是q 的必要不充分条件．(5)如果________，且________，那么称p是q 的既不充分也不必要条件．自查自纠：1．(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈P2．(1)(2)①相同②没有关系3．(1)充分条件必要条件(2)p⇒q q⇒p充要条件p⇔q(3)充分不必要(4)p q q⇒p(5)p q q p下列语句为命题的是() A．对角线相等的四边形B．a＜5C．x2－x＋1＝0D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D .(2018·天津)设x∈R，则“⎪⎪⎪⎪x－12＜12”是“x3＜1”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为⎪⎪⎪⎪x －12＜12，所以0＜x ＜1.又因为x 3＜1，所以x ＜1.因为0＜x ＜1⇒x ＜1，但x ＜10＜x ＜1，所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件．故选A . (2018·北京)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：|a －3b |＝|3a ＋b |的两边平方得|a |2－6a ·b ＋9|b |2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2，所以8|a |2＋12a ·b －8|b |2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.因为|a |＝|b |＝1，所以3a ·b ＝0，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b .反之，步步可逆，故是充分必要条件．故选C . (教材练习改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是__________． 解：原命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．故填若tan α≠1，则α≠π4.已知集合M ＝{x |1<x <a }，N ＝{x |1<x <3}，则“a ＝3”是“M ⊆N ”的________条件． 解：a ＝2时亦有M ⊆N .故填充分不必要． 类型一 四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假． (1)若a ＞b ，则a c 2＞b c 2； (2)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B ； (3)若x 2－2x －3＞0，则x ＜－1或x ＞3.解：(1)因为当c ＝0时，a c 2＝b c 2，所以原命题为假命题．逆命题：若a c 2＞b c 2，则a ＞b .它为真命题． 否命题：若a ≤b ，则a c 2≤b c 2.它为真命题． 逆否命题：若a c 2≤b c 2，则a ≤b .它为假命题． (2)逆命题：在△ABC 中，若∠C ＞∠B ，则AB＞AC .否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B . 逆否命题：在△ABC 中，若∠C ≤∠B ，则AB ≤AC .这里，四种命题都是真命题． (3)逆命题：若x ＜－1或x ＞3，则x 2－2x －3＞0. 否命题：若x 2－2x －3≤0，则－1≤x ≤3. 逆否命题：若－1≤x ≤3，则x 2－2x －3≤0. 这里，四种命题都是真命题． 点 拨： 写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p 与结论q ，将原命题写成“若p ，则q ”的形式．在题(2)中，原命题有大前提“在△ABC 中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．题(3)中“x ＜－1或x ＞3”的否定形式是“x ≥－1且x ≤3”，即“－1≤x ≤3”．写出下列命题的否定形式和否命题．(1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零； (2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．解：(1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零．否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零．(2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零． 否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数．否命题：非有理数不都能写成分数． 类型二 充要条件的判定 指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；(3)非空集合A，B(A∩B＝∅)中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；(4)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.解：(1)在△ABC中，A＝B⇒sin A＝sin B；反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．(2)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q p，故p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．(4)易知綈p ：x + y = 8，綈q ：x = 2且y = 6，显然点拨：充要条件的三种判断方法：①定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；②集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．(1)(2017·辽宁实验中学月考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a，b，c，d依次成等差数列，则有a＋d ＝b＋c；反之，如2＋3＝1＋4，但2，1，4，3不成等差数列．所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件．故选B.(2)(2018·上海春季高考题)设S n为数列{a n}的前n项和，“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：若a n＝2n－10，则S4＜S3，所以非充分．若a n ＝1n，则{S n}递增，此时{a n}递减，所以非必要．故选D.类型三充要条件的应用(1)(2018·天津一中月考)已知p：x≥k，q：3x＋1＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是() A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解：由3x＋1＜1，得3x＋1－1＝2－xx＋1＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2.由p是q的充分不必要条件知，k＞2.故选B.(2)(2018·海口模拟)已知集合A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜2x＜8，B＝{x|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．(－2，2)解：由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，又x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则有A B，所以m＋1＞3，即m＞2.故选C.点拨：①求解充要条件的应用问题时，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误．(1)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12C．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解：由|4x －3|≤1得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＝(x －a )[x －(a ＋1)]≤0得a ≤x ≤a ＋1， 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1＞1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ＋1≥1， 得0≤a ≤12.故选A.(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________． 解：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以 P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.故填[0，3]．1．命题及其真假判断(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题． (2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．2．四种命题间的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”． (2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提． (3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断． 3．“否命题”与“命题的否定”的区别“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论． 4．充要条件的三种判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假；第三步，下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； ③若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；④若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； ⑥若A B 且B A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．(2018·四川成都一诊)命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是 ( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞bD ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c 解：“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，所以原命题的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．故选A .2．(2018·天津模拟)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的 ( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 解：x ＞y x ＞|y |(如x ＝1，y ＝－2)．但x ＞|y |时，必有x ＞y .所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要不充分条件．故选C. 3．(2017·南昌三校联考)下列说法中正确的是( )A ．若α＞β，则sin α＞sin βB ．命题“∀x ＞1，x 2＞1”的否定是“∃x 0≤1，x 20≤1”C ．命题“若x ≤43，则1x －1≥3”的逆命题是真命题D ．“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0或y ≠0，则xy ≠0”解：若α＝120°，β＝60°，则α＞β，sin α＝sin β，故A 错误；命题“∀x ＞1，x 2＞1”的否定是“∃x 0＞1，x 20≤1”，故B 错误；命题“若x ≤43，则1x －1≥3”的逆命题是“若1x －1≥3，则x ≤43”，解1x －1≥3得1＜x ≤43，此时满足x ≤43，故C 正确；“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0”，故D 错误．故选C . 4．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上亦为增函数，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．故选A . 5．(2018·云南民族中学适应性考试)下列说法中，正确的个数是 ( ) ①若f (x )＝12x ＋1＋a 为奇函数，则a ＝12； ②“在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ”的逆命题是假命题； ③“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“b ＝a c ”的既不充分也不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20＋1＞0”．A ．0B ．1C ．2D ．3 解：若f (x )＝12x ＋1＋a 为奇函数，则f (0)＝0，解得a ＝－12，所以①不正确；在△ABC 中，令角A ，B的对边分别为a ，b ，由A ＞B ，可得a ＞b ，由正弦定理得sin A ＞sin B ，原命题的逆命题是真命题，所以②不正确；三个数a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，若a ＝b ＝c ＝0，则满足b ＝ac ，但三个数a ，b ，c 不成等比数列，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“b ＝ac ”的既不充分也不必要条件，所以③正确；命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20＋1＞0”，所以④正确．故选C .6．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：a －b >1，即a >b ＋1.因为a ，b 为正数，所以a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立．反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．故选A .7．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是________． 解：“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．故填若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数． 8．(2018·黑龙江大庆教学质量检测)已知p ：x ≤1＋m ，q ：|x －4|≤6.若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 解：由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，因为p 是q的必要不充分条件，所以m ＋1≥10，解得m ≥9.故填{m |m ≥9}．9．写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；(真)否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；(真) 逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0.(真)． 10．若p ：a ∈R ，a 2<1，q ：关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，判断p 是q 的什么条件？解：一元二次方程的判别式Δ＞0，故其有两个不等实根．p ：a ∈R ，a 2＜1⇔－1＜a ＜1⇒a －2＜0，可知方程的两根异号，故p 是q 的充分条件；显然p不是q 的必要条件，如当a ＝1时，方程的一个根大于零，另一根小于零．因此p 是q 的充分不必要条件．11．(2018·石家庄二模)已知p ：x 2－3x －4≤0，q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：因为綈q 是綈p 的充分不必要条件，所以p是q 的充分不必要条件，所以{x |x 2－3x －4≤0}{x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}，所以{x |－1≤x ≤4}{x |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}．当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意． 当－m ＋3＞m ＋3，即m ＜0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≤－1，－m ＋3≥4(两等号不能同时取得)，解得m ≤－4. 当－m ＋3＜m ＋3，即m ＞0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4(两等号不能同时取得)，解得m ≥4. 综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}．(湖北部分重点中学2018届联考)已知p ：x ，y ∈R ，x 2＋y 2<2，q ：x ，y ∈R ，|x |＋|y |<2，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件解：如图所示：“x 2＋y 2<2”对应的图形为半径为2的圆的内部，“|x |＋|y |<2”对应的图形为边长为22的正方形的内部．由图知，x 2＋y 2<2对应的图形在|x |＋|y |<2对应的图形的内部，故p 是q 的充分不必要条件．故选A.1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为__________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)p q p∧q p∨q 綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．自查自纠：1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2018·陕西部分学校摸底)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是() A．∃x0≥0，x0x0－1≤0 B．∃x0>0，0≤x0≤1 C．∀x>0，xx－1≤0 D．∀x<0，0≤x≤1 解：因为xx－1>0⇔x<0或x>1，所以xx－1>0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是“∃x0>0，0≤x0≤1”．故选B.(2018·河北武邑中学模拟)下列命题为假命题的是() A．∀x∈R，2 018x－2＞0B．∃x0∈R，tan x0∈RC．∃x0∈R，lg x0＜0D．∀x∈R，(x－100)2 018＞0解：对于A，指数式2 018x－2恒大于0，A为真命题；对于B，正切函数的值域为R，B为真命题；对于C，对数函数的值域为R，故C为真命题；对于D，x＝100时，(x－100)2 018＝02 018＝0，D为假命题．故选D.(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．((綈p)∧(綈q)解：由x ＞0时x ＋1＞1，知p 是真命题，由－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q 是假命题，即p ，綈q 均是真命题．故选B.命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________________________． 解：由定义知命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”．故填∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤ 3. 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：因为p 是假命题，则綈p 为真命题，即“∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0”为真命题，所以Δ＝ 4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1.故填(0，1)． 类型一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断(1)(2018·江西南昌模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧(綈q)B ．(綈p)∧qC ．p ∧qD ．(綈p)∨q解：命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3，当 x 0＝3时，3＋13＞3，命题为真．命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，当x ＝4时，两式相等，命题为假．则p ∧(綈q)为真命题．故选A .(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x；命题q ：∃x 0∈N *，2x0＋21－x 0＝22，则下列命题中为真命题的是 ( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解：根据幂函数的性质，可知命题p 为真命题；由2x0＋21－x＝22，得22x 0－22·2x0＋2＝0，解得2x 0＝2，即x 0＝12(或2x 0＋21－x 0≥22 x 0·21－x0＝22，当且仅当2x 0＝21－x 0，即x 0＝12时等号成立)，命题q 为假命题．所以只有p ∧ (綈q )为真命题．故选C.点 拨： 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：第一步，判断复合命题的结构；第二步，判断构成这个命题的每个简单命题的真假；第三步，依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反作出判断．(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，e x >1.则 ( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题解：取x 0＝10，得x 0－2＞lg x 0，所以命题p 是真命题；取x ＝－1，得e x ＜1，所以命题q 是假命题．则p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∧(綈q )是真命题，p ∨(綈q )是真命题．故选C. (2)(2018·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＞2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)， ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p ∧q ， (綈p)∧q ，p ∨(綈q)中，正确的命题个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，所以。

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考点一 幂函数的图象与性质...................................................................................104 考点二 比较幂值大小...............................................................................................106 第八节 指数式、对数式的运算.........................................................................................110 考点一 指数幂的化简与求值................................................................................... 111 考点二 对数式的化简与求值...................................................................................113 第九节 指数函数.................................................................................................................117 考点一 指数函数的图象及应用...............................................................................118 考点二 指数函数的性质及应用..........................................