高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷理科附详细答案12497

高考数学（全国卷）模拟试题（理科）试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x>-2},则下列选项正确的是A．{0}∈M B．Φ∈M C.{0}⊆M D．0 ⊆M2．已知复数1izi+=，其中i为虚数单位，则z=A.12B.23．已知向量(1,2)a =，(,2)b x=-，且a b⊥，则||a b+=A．5 B．4．如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为A．685B．695C．14 D．7155．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现，书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为A．829尺 B．1629尺 C．3229尺 D．12尺6．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为A．12B．32C．1 D．137．已知函数()(0)2(0)α⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩x xf xx x,且()()22-=f f则()4=fA．2 B．4 C．8 D．168．已知实数[]1,10x∈，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于63的概率为A．49B．13C．25D．3109．若“1,22x⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x xλ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为A．(-∞ B．⎡⎤⎣⎦ C．⎡⎤-⎣⎦ D．3λ=10．已知函数()x xf x e ae-=+为偶函数，若曲线()y f x=的一条切线的斜率为32，在切点的横坐标等于A．ln2 B．2ln2 C．2 D11．设BA,在圆122=+yx上运动，且3=AB，点P在直线01243=-+yx上运动，则+的最小值为A．3 B．4 C．517D．51912．设函数()f x在R上存在导函数()f x'，对任意的实数x都有()()24f x x f x=--，当(),0x∈-∞时，()142f x x'+<.若()()3132f m f m m+≤-++，则实数m的取值范围是A.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.[)1,-+∞ D.[)2,-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知),2(ππα∈，且55sin=α，则tan()4πα+=14．若实数,x y满足20240230x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则yx的最大值是．15．若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为__________．16．对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤恒成立；②()()()*22f x kf x k k N =+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()2f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(1,1)m =，(cos ,sin )n A A =-，记()f A m n =⋅.（1）求()f A 的取值范围；（2）若m 与n 的夹角为3π，3C π=，c =b 的值．18．（本小题满分12分）已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的菱形，且3π=∠BAD ，⊥1AA 平面ABCD ，11=AA ，设E 为CD 的中点（1）求证：⊥E D 1平面1BEC（2）点F 在线段11B A 上，且//AF 平面1BEC ，求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值．19．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对14-号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．（1）写出22⨯列联表：判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？ 说明你的理由．（下面的临界值表供参考）（2）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为45，34，23，13，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是12，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长为2，点M 为椭圆E 上一个动点，且||MF1. （1）求椭圆E 的方程； （2）若点M的坐标为(1,2，点,A B 为椭圆E 上异于点M 的不同两点，且直线1x =平分AMB ∠，求直线AB 的斜率.21．（本小题满分12分） 已知函数122)21ln()(+++=x ax x f （1）若0>a ，且)(x f 在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

高考理科数学模拟试题卷（附答案）注意事项：1. 本科考试分试題卷和答題卷，考生须在答題卷上作答.答题前，请在答題卷的密 封线内填写学校、班级、学号、姓名；2. 本试題卷分为第1卷（选择題）和第π卷（非选择題）两部分，共6页，全卷满 分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. OB. -14. 已知α,β是空间中两个不同平面，m , n 是空间中两条不 同直线，则下列命题中错误的是A. 若m//n m 丄α, 则n 丄αB. 若m//α α ⋂β, 则m//nC. 若m 丄α , m 丄β， 则α//βD. 若m 丄α, m ⊂ β 则 α 丄β5. 已知函数⎩⎨⎧>≤0),(0),(21x x f x x f 下列命题正确的是A. 若)(1x f 是增函数，)(2x f 是减函数，则)(x f 存在最大值B. 若)(x f 存在最大值，则)(1x f 是增函数，)(2x f 是减函数C. 若)(1x f ,)(2x f 均为减函数，则)(x f 是减函数D. 若)(x f 是减函数，则)(1x f ,)(2x f 均为减函数A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知双曲线c: )0(12222>>=-b a by a x ,以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O),若|MN|=a 32,则双曲线C 的离心率 是x sin 1xsin 1<9. 如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1)组成的 正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶 点构成的正三角形的个数是A. 13B. 14C. 15D. 1710. 已知函数f(x)=x 2+bx+c,(b,c∈R),集合A = {x 丨f(x)=0}, B = {x|f(f(x)))= 0},若≠⋂BA 且存在x 0∈B，x 0∈A则实数b 的取值范围是A 0≠bB b<0或4≥bC 40<≤bD 44≥≤b b 或非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.14. 设(x-2)6=a 0+a 1(x+1)+a 2(x+1)2+…+a 6(x+1)6,则a 0+a 1+a 2+…+a 6 的值为15. 一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放 回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中.此时盒中黑球个数X 的均值E(X) =__16. 若b a ,是两个非零向量，且]1,33[|,|||||∈+==λλb a b a ，则b 与b a -的夹角的17. 己知抛物线y 2=4x 的焦点为F,若点A, B 是该抛物线上的点，=∠AFB的中点M 三、解答题:本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟• 18. (本题满分14分）在ΔABC 中，a,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边，且a=(I )求角B 的大小(II)若3=∆ABC S ，求b 的最小值.19. (本题满分14分）已知等差数列{a n }的公差不为零，且a 3 =5, a 1 , a 2.a 5 成等比数列 (I )求数列{a n }的通项公式：(II)若数列{b n }满足b 1+2b 2+4b 3+…+2n -1b n =a n 且数列{b n }的前n 项和T n20. (本题满分15分）EC 丄底面ABCD, FD 丄底面ABCD 且有E C =F D =2. (I )求证：AD 丄B F :(II )若线段EC 上一点M 在平面BDF 上的射影恰好是BF 的中点N ,试求二面角 B-MF-C 的余弦值.21 (本题满分15分）已知椭圆C: 1222=+y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2, O 为原点.(I)如图①，点M 为椭圆C 上的一点，N 是MF 1的中点，且NF 2丄MF 1,求点M 到y 轴的距离；(II)如图②，直线l: ：y=k + m 与椭圆C 上相交于P,G 两点，若在椭圆C 上存 在点R,使OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围.22. (本题满分14分） 已知函数x a x a x x f ln )12()22(21)(2+++-=(I )求f(x)的单调区间；(II)对任意的]2,1[,],25,23[21∈∈x x a ，恒有|211|)(|)(|121x x x f x f -≤-λ，求正实数λ的取值范围.三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分） 18．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：C B C A cos sin sin 21sin +=，…2分 又因为)(C B A +-=π，所以)sin(sin C B A +=，…4分可得C B C C B C B cos sin sin 21sin cos cos sin +=+，…6分即21cos =B .所以3π=B …7分 （Ⅱ） 因为 3=∆ABC S ，所以 33sin 21=πac ，所以4=ac …10分 由余弦定理可知：ac ac ac ac c a b =-≥-+=2222…12分所以42≥b ，即2≥b ，所以b 的最小值为2．…14分19．解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为)0(≠d d ，由题⎪⎩⎪⎨⎧==532251a a a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+52)()4(12111d a d a d a a ，…3分解得：⎩⎨⎧==211d a .…4分 122)1(1)1(1-=-+=-+=∴n n d n a a n .…5分（Ⅱ）n n n a b b b b =++++-1321242 ①20．解：（Ⅰ）证明：∵DC BC ⊥，且2==CD BC ，∴2=BD 且45=∠=∠BDC CBD ； …1分又由DC AB //，可知45=∠=∠CBD DBA∵2=AD ，∴ADB ∆是等腰三角形，且45=∠=∠DBA DAB ， ∴90=∠ADB ，即DB AD ⊥；…3分∵⊥FD 底面ABCD 于D ，⊂AD 平面ABCD ，∴DF AD ⊥， …4分 ∴⊥AD 平面DBF.又∵⊂BF 平面DBF ，∴可得BF AD ⊥. …6分 （Ⅱ）解：如图，以点C 为原点，直线CD 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建系. 可得)0,2,22(),2,0,2(),0,2,0(),0,0,2(A F B D ， …8分 又∵ N 恰好为BF 的中点，∴ )1,22,22(N 设),0,0(0z M ，∴)1,22,22(0z MN -=.又∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF MN BD MN ，∴可得10=z .故M 为线段CE 的中点. …11分 设平面BMF 的一个法向量为),,(1111z y x n =， 且)2,2,2(--=BF ，)1,2,0(-=BM ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n 可得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--02022211111z y z y x ， 取⎪⎩⎪⎨⎧===213111z y x 得)2,1,3(1=n .…13分又∵平面MFC 的一个法向量为)0,1,0(2=n ， …14分∴63,cos 21=<n n .故所求二面角B-MF-C 的余弦值为63.…15分 21．解（Ⅰ）)0,1(1-F ，…1分 设),(00y x M ，则1MF 的中点为)2,21(0y x N -， …2分∵21NF MF ⊥，∴021=⋅NF MF ，即0)2,23(),1(0000=-⋅+y x y x ， …3分 ∴03220020=+--y x x （1） …4分 又有122020=+y x， （2）由（1）、（2）解得2220-=x （2220+=x 舍去） …5分 所以点M 到y 轴的距离为222-.…6分（Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q ，∵OPRQ 为平行四边形，∴R x x x =+21，R y y y =+21． …8分∵R 点在椭圆上，∴1)(2)(221221=+++y y x x ，即1]2)([2)(221221=++++m x x k x x ，…9分化简得，28)(8))(21(2212212=+++++m x x km x x k ．…（1） …10分 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1222得0224)21(222=-+++m km x x k ． 由0>∆，得2212m k >+…（2）， …11分 且221214k km x x +-=+．…12分代入（1）式，得282132)21()21(16222222222=++-++m k m k k m k k ，化简得22214k m +=，代入（2）式，得0≠m ． …14分 又121422≥+=k m ， ∴21-≤m 或21≥m ．…15分22．解：（Ⅰ）x a a x x f 12)22()(+++-='=x x a x )1)(12(--- （0>x ）令0)(='x f ，1,1221=+=x a x …1分① 0=a 时，0)1()(2≥-='x x x f ，所以)(x f 增区间是()+∞,0；② 0>a 时，112>+a ，所以)(x f 增区间是)1,0(与),12(+∞+a ，减区间是)12,1(+a③021<<-a 时，1120<+<a ，所以)(x f 增区间是)12,0(+a 与),1(+∞，减区间是)1,12(+a④21-≤a 时，012≤+a ，所以)(x f 增区间是),1(+∞，减区间是)1,0(…5分（Ⅰ）因为]25,23[∈a ，所以]6,4[)12(∈+a ，由（1）知)(x f 在]2,1[上为减函数. …6分 若21x x =，则原不等式恒成立，∴),0(∞+∈λ…7分第11页 若21x x ≠，不妨设2121≤<≤x x ，则)()(21x f x f >，2111x x >， 所以原不等式即为：)11()()(2121x x x f x f -≤-λ，即22111)(1)(x x f x x f λλ-≤-对任意的]25,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 恒成立 令x x f x g λ-=)()(，所以对任意的]25,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 有)()(21x g x g <恒成立，所以x x f x g λ-=)()(在闭区间]2,1[上为增函数 …9分所以0)(≥'x g 对任意的]25,23[∈a ，]2,1[∈x 恒成立。

2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。

高考数学模拟试卷(理科)【附答案】本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数ii4332-+-（是虚数单位）所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=xx N ，则N C M R ⋂等于A ．[]1,1-B ．)0,1(-C ．[)3,1D ．)1,0(3.61(2)x x-的展开式中2x 的系数为A.240-B. 240C. 60-D. 60 4．“2πϕ=”是“函数()x x f cos =与函数()()ϕ+=x x g sin 的图像重合”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 设m 、n 为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④6．数列{}n a 满足11=a ， 11++=+n a a n n (*N n ∈)，则201321111a a a +++ 等于 A. 20132012 B. 20134024 C. 10072013 D. 100710067. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是A . 403k ≤≤B . <0k 或4>3kC . 3443k ≤≤D . 0k ≤或4>3k8.对数函数x y a log =（10≠>a a 且）与二次函数()x x a y --=21在同一坐标系内的图象可能是9. 已知函数31,0()9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()a x x f =+22有六个不同的实根，则实数a 的取值范围是A ．(]2,8B ．(]2,9C ．()9,8D ．(]8,910. 记集合{}8,6,4,2,0=P ,{}P a a a a a a m m Q ∈++==321321,,,10100，将集合Q 中的所有元素排成一个递增数列，则此数列第68项是 A ．68 B ．464 C ．468 D ．666第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ▲ 12. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 ▲13.等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{n a }的公比为___▲ __14．若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 02，且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为__▲15.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 ▲16．已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为▲17. 如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y轴正半轴上移动，则OB OC ⋅的最大值是 ▲ (第17题图)三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. （本题满分14分）已知函数()21)cos sin 3(cos +-=x x x x f ωωω（0>ω）的周期为π2.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足a c A b 32cos 2-=，求)(B f 的值．19. 某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品，假定参与者答对每道填空题的概率为21，答对每道选择题的概率为31，且每位参与者答题互不影响.(Ⅰ)求某位参与竞猜活动者得3分的概率；(Ⅱ)设参与者获得纪念品的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.20.如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC （点D 与点P 重合），使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB . (Ⅰ)证明：⊥BD 平面PAC ；(Ⅱ)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求二面角C AB P --的大小.21.（本题满分15分） 已知点M 到定点()0,1F 的距离和它到定直线4:=x l 的距离的比是常数21,设点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程;（Ⅱ）已知曲线C 与x 轴的两交点为A 、B ,P 是曲线C 上异于A ，B 的动点,直线AP 与曲线C 在点B 处的切线交于点D ，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．22. 已知函数xa x x f ln )()(2-=（其中a 为常数）.(Ⅰ)当0=a 时，求函数的单调区间；(Ⅱ) 当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<.证明：ex x 231>+.数学试卷(理科)参考答案二、填空题(4×7=28分) 11.16 12.3 13.31 14. 4915. 3 16. 1- 17. 2 三、解答题(共72分) 18．解：（Ⅰ）()2122cos 12sin 2321cos cos sin 32++-=+-=x x x x x x f ωωωωω x x ωω2cos 212sin 23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62s i n πωx 21=∴ω ——7分（Ⅱ）解法（一）a c A b 32cos 2-=a c bca cb b 3222222-=-+⋅⇒ 整理得ac b c a 3222=-+，故232cos 222=-+=ac b c a B 6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分解法（二）a c A b 32cos 2-=A C A B sin 3sin 2cos sin 2-=⇒A B A A B sin 3)sin(2cos sin 2-+=⇒0sin 3cos sin 2=-⇒A B A 0)3cos 2(sin =-⇒B A0sin ,0≠∴<<A A π 23c o s =∴B 又6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分19解：(Ⅰ)答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为9231)32(21223=⨯⨯⨯C ， 答错填空题且答对三道选择题的概率为541)31(213=⨯（对一个4分）∴某位参与竞猜活动者得3分的概率为541354192=+； ………………… 7分 (Ⅱ)由题意知随机变量ξ的取值有0，1,2，3，4.又某位参与竞猜活动者得4分的概率为9132)31(21223=⨯⨯⨯C 某位参与竞猜活动者得5分的概率为541)31(213=⨯ ∴参与者获得纪念品的概率为547……………………… 11分 ∴)547,4(~B ξ，分布列为kk k C k P -==44)5447()547()(ξ，4,3,2,1,0=k∴随机变量ξ的数学期望ξE =27145474=⨯. ……………………… 14分 20解：(Ⅰ)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中，∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠, ∴BD AC ⊥又∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC 平面ABCE =AC ∴⊥BD 平面PAC ……… 6分(Ⅱ)如图，以O 为原点，直线OA ，OB 分别为x 轴，y 轴，平面PAC 内过O 且垂直于直线AC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，可设点),0,(z x P 又)0,0,32(A ，)0,2,0(B ，)0,0,3(-C ，)0,1,3(-E ，且由2=PE ，7=PC 有⎩⎨⎧=++=++-7)3(41)3(2222z x z x ，解得332==z x ，∴)332,0,332(P ………… 9分 则有)332,0,334(-=AP ，设平面PAB 的法向量为),,(c b a n =， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎩⎨⎧==x y x z 32，故可取)2,3,1(= ……… 12分又易取得平面ABC 的法向量为)1,0,0(，并设二面角C AB P --的大小为θ，∴2281)2,3,1()1,0,0(cos =⋅⋅=θ，∴4πθ=∴二面角C AB P --的大小为4π. …………………14分 21．解：（Ⅰ）设点M ()y x ,，则据题意有()214122=-+-x y x ∴化简得22143x y += 故曲线C 的方程为22143x y +=，…………5分 （Ⅱ）如图由曲线C 方程知()()0,2,0,2B A -,在点B 处的切线方程为2=x .以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+． 所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………7分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切．当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y kk x k==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．点E 到直线PF 的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为k R BD 42== ，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………15分 22解：(Ⅰ) xx x x f 2ln )1ln 2()('-= 令0)('=x f 可得e x =.列表如下:单调减区间为()1,0,e ,1;增区间为(+∞,e .------------5分(Ⅱ)由题，xx a x a x x f 2ln )1ln 2)(()('-+-=对于函数1ln 2)(-+=x a x x h ，有22)('x ax x h -= ∴函数)(x h 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a上单调递增∵函数)(x f 有3个极值点321x x x <<， 从而012ln2)2()(min <+==a a h x h ，所以ea 2<， 当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ， 此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xax x h 的两个零点，————9分即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+01ln 201ln 23311x ax x ax ，消去a 有333111ln 2ln 2x x x x x x -=-令x x x x g -=ln 2)(，1ln 2)('+=x x g 有零点ex 1=，且311x ex <<∴函数x x x x g -=ln 2)(在)1,0(e上递减，在),1(+∞e上递增要证明 ex x 231>+⇔132x e x ->⇔)2()(13x e g x g ->()()31x g x g = ∴即证0)2()()2()(1111>--⇔->x eg x g x eg x g构造函数())2()(x e g x g x F --=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛e F 1 =0 只需要证明]1,0(ex ∈单调递减即可.而()2)2ln(2ln 2+-+='x ex x F ，()0)2()22(2''>--=x ex x ex F ()x F '∴在]1,0(e 上单调递增, ()01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，ex x 231>+.————————15分。

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（含答案）理科数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知全集R U =，集合{}Z x x x A ∈≤≤=,72和{}51<<-=x x B 的关系的韦恩（venn ）图如图所示，则阴影部分所表示的集合为（ ）. A ．{}76≤≤x x B ．{}50≤≤x x C ．{}4,3,2 D ．{}7,6,52.i 为虚数单位，复数z 满足iiz -=1，那么z 对应复平面内的点在（ ）象限. A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四3．设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是公差为d 的等差数列，前n 项和为n S ，若12,363==a a ，则=8S ( )A ．10B ．11C ．12D ．13 4.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．18 5.︒︒︒160cos 80cos 40cos =( )A ．81B ．81-C ．41D ．41-6.下列程序框图中，输出的A 的值( )A ．128 B ．129 C ．131 D ．1347．已知双曲线12222=-b y a x 的离心率为332，则双曲线的两渐近线的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π8.若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，则=+)3()4(f f （ ）A. 7B. 5 C ．-2 D ．-39. 如图所示，点A (1,0)，B 是曲线132+=x y 上一点，向矩形OABC 内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ） A ．21B ．32C ．73 D ．94 10．已知函数()()()⎩⎨⎧≤<<=0,210,log 3x x x x f x ,若()()41=x f f ，则=x （ ）A ．31B ．91C ．-9D ． -211．已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当APB ∠最大时，PB PA •的值为（ ） A ．32 B ．2C ．52 D ．3 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()'f x 是它的导函数，且恒有()()'tan f x f x x >⋅成立．则（ ）A ．)3()6(3ππf f <B ．)1(1cos 2)6(3f f ⋅>πC ．)4(2)6(6ππf f >D ．)3()4(2ππf f > 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4)31(xx -的展开式中常数项为 ．（用数字表示） 14.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则++21ln ln a a …=20ln a ________．15.若圆C ：02422=++-+m y x y x 与y 轴交于B A ,两点，且︒=∠120ACB ，则实数m 的值为 .16.已知函数x x f lg )(=，)()(,0b f a f b a =>>，则)12)(1(++b a 的最小值等于 .三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和清算步骤）17．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，向量),sin 2,3(B m -=)2cos ,12cos 2(2B Bn -=，且m //n ，B 为锐角． （I ）求角B 的大小； （II ）设2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．18.(本题满分12分)在直角梯形ABCP 中，AP BC //，AB AP ⊥，==BC AB,221=AP D 为AP 的中点，,,E F G 分别为PC PD CB 、、的中点，将PCD ∆沿CD 折起，使点P 在平面ABCD 上的射影为点D ，如图：（I ）求证：AP //平面EFG .（II ）求二面角E FG D --的余弦值.19．（本题满分12分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率． （II ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．1231020 30 40 50 参加人数 活动次数20.（本小题满分12分）已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点1()2A m ，，A 点到抛物线焦点的距离为1.（I ）求该抛物线的方程；（II ）设00(,)M x y 为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦MP ,MQ ,求证：PQ 恒过定点00(2,)x y +-.21.(本小题满分12分)设a 为实数，函数()22x f x e x a =-+，x R ∈. （I ）求()f x 的单调区间与极值；（II ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，⊙O 内切△ABC 的边于AC AB F E D =,,,，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G . （I ）证明：圆心O 在直线AD 上； （II ）证明：点C 是线段GD 的中点.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.已知在直角坐标系x0y 中，曲线1C：sin cos x y θθθθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数），在以平面直角坐标系的原点）为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：sin()16πρθ+=．（I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（II ）曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，分别求这三个点的极坐标．24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知函数()|1||22|.f x x x =-++（I ）解不等式()5f x >； （II ）若不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，求a 的取值范围. B G CDH FAOE普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学答案一、选择题。

高考数学（理科）模拟考试卷(附参考答案与解析)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若复数z满足iz=4+3i，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}和B={(x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 03. 已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√ 3和|a⃗⃗−2b⃗⃗|=3，则a⃗⃗⋅(a⃗⃗+b⃗⃗)=( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16=3+13.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是( )A. 15B. 215C. 115D. 255. 的展开式中x3y3的系数为40，则实数a的值为( )A. 4B. 2C. 1D. 126. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率为√ 22，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2，则a=( )A. 1B. 2C. √ 2D. 47. 在△ABC中cosC=23，AC=4和BC=3则cos A2=( )A. √ 306B. √ 33C. 13D. 568. 如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED和AB=ED=2FB=2，则三棱锥F−ACE 的体积为( )A. 23B. 43C. 2D. √ 39. 在正方体AC1中，点M为平面ABB1A1内的一动点，d1是点M到平面ADD1A1的距离，d2是点M到直线BC的距离，且d1=λd2(λ>0)(λ为常数)，则点M的轨迹不可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3，则f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )A. 3B. 2C. 0D. 5011. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AB=AC=2√ 3和BC=6，则三棱锥D−ABC 体积的最大值为( )A. 3√ 3B. 6√ 3C. 12√ 3D. 18√ 312. 已知a∈R，设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立则a 的取值范围为( )A. [0,e2] B. [0,2] C. [0,1] D. [0,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则a15=______ ．14.15. 在直线l：y=−2上取一点D作抛物线C：x2=4y的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：x2+ y2−4x−2018=0交于M，N两点，当|MN|最小时，则D的横坐标是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，下述四个结论：①若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②若φ=π4，且f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]有且仅有2个极大值点； ③若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,π10)上单调递增； ④若φ=π3，且f(x)在(0,π)有且仅有2个零点和3个极值点，则ω的范围是(136,83)． 其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。

高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论.【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1.故答案为：1.【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m.故答案为：60m.【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，co sα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2.又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2.∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴bn=2n.∴.∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==.【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点.【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴.由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1.【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点.是一道导数的综合题，难度较大.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标.【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1.（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率.由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m.从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证.②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）.【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

高考数学（理科）模拟试卷及答案模拟试卷一一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}2|0N x x x =-<，则下列结论正确的是 ( )A ．φ=)(N C M U IB ．N N M =IC ．U N M =ID ．)(N C M U ⊆ 2．下面关于复数Z =i--12的四个命题: ( );2:1=z p z p :2的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为)1,1(--z p :3的虚部为-1; i z p 2:24-=,其中的真命题是A ．32,p pB ．21,p pC ．42,p pD ．43,p p3．下列有关命题的说法正确的是 ( ) A ．若""q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题 B ．"1"-=x 是"065"2=--x x 的必要不充分条件 C ．命题"11,1"<>xx 则若的逆否命题为真命题 D ．命题,"0R x ∈∃使得"01020<++x x 的否定是：,"R x ∈∃均有"012≥++x x4．设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则 （ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >> 5．空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的有（ ）1p ：若αβ⊥且αγ⊥，则βγ∥； 2p ：若a b ⊥且a c ⊥，则b c ∥；3p ：若a α⊥且b α⊥，则a b ∥； 4p ：若a α⊥，b β⊥且αβ⊥，则a b ⊥.A.1p ，2p B. 2p ，3p C. 1p ，3p D. 3p ，4p6．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为77,n s b a =， 则13s = （ ） A. 26B. 52C. 78D. 1047．已知四棱锥S ­ABCD 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．33D ．238．已知函数2,(),x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞9．如图所示的图象对应的函数解析式可能是 ( )A. 221xy x =-- B. 2sin 41x xy x ⋅=+C. ln x y x=D. ()22e xy x x =- 10．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是 ( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增 11． “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在,当正视图和侧视图完全相同时,它的的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a , C. b c , D ．d b , 12．已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有'()(23)()x f x e x f x =++（e 是自然对数的底数），(0)1f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是 （ ） A. 21[,0)e-B. 21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 21(,0]e-D. 21(,0)e-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为a ，则2cos d 2xa x π⎰=__． 14．已知向量(cos(),1),(1,4),3a b πα=+=如果∥a b ，那么cos(2)3πα-的值为_______． 15．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是_____ 16．已知⊿ABC 为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=u u u r u u u r__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅u u u r u u u r的取值范围为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角ABC ∆中， a ， b ， c 为内角A ，B ，C 的对边，且满足()2cos 0c a cosB b A --=． （1）求角B 的大小．（2）已知2c =，边AC 边上的高321BD =，求ABC ∆的面积S 的值． 18．已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．19．在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA//BE ，4AB PA ==，2BE =． （1）求证：CE//平面PAD ；（2）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点. (1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离.(3)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.21．(本小题12分) 已知函数321()212f x ax x x =-++-在1x =处的切线斜率为2. (1)求()f x 的单调区间和极值;(2)若()ln 20f x k x '-->在[1,)+∞上无解,求k 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为510cos ()10sin x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． (1) 求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程； (2) 若直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值.答案1-12：BCCDDBCDDDAC13．3π．14．15．316． (1). (2).17.解：（1）∵()2cos 0c a cosB b A --=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0C A B B A --=， ∴()2sin sin sin cos C A cosB B A -=，()2sin cos sin 0C B A B -+=， ∵πA B C +=-且sin 0C ≠，∴1cos 2B =，∵()0,πB ∈，π3B =． （2）∵11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入c ，321BD =3sin B =7b a =， 由余弦定理得：22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-，代入73b a =，得29180a a -+=， 解得37a b =⎧⎪⎨=⎪⎩67a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，又∵锐角三角形，∴222a c b <+，∴3a =，∴11333sin 2322ABC S ac B V ==⨯⨯=18.解：（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩即12135,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩又因为0d ≠，所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+.（2）因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以 111111233412n T n n =-+-++-=++L ()112222n n n -=++. 存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立,以存在*N n ∈，使得()()2022nn n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()222n n λ≤+成立.又()21114416222424nn n n n n =⋅≤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当2n =时取等号）. 所以116λ≤，即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19.解：（1）设中点为，连结， 因为//，且，所以//且， 所以四边形为平行四边形，所以//，且． 因为正方形，所以//，所以//，且，所以四边形为平行四边形，所以//． 因为平面，平面，所以//平面．（2）如图如图，建立空间坐标系，则，，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，所以．令，则，所以．假设存在点满足题意，则，．设平面的一个法向量为，则，令，则，所以．因为平面平面，所以，即， 所以， 故存在点满足题意，且．20.证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB.因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP2＋OB2＝PB2知，OP ⊥OB.由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB∩AC＝O ，知PO ⊥平面ABC.(2)解 作CH ⊥OM ，垂足为H.又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM.故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC·MC·sin∠ACB OM ＝455. 所以点C 到平面POM 的距离为455.(3)解 如图，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，23)，＝(0，2，23).取平面PAC 的一个法向量＝(2，0，0).设M(a ，2－a ，0)(0<a≤2)，则＝(0，4－a ，0). 设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z).由·n＝0，·n＝0得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a)，所以cos 〈，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a2＋a2.由已知可得|cos 〈，n 〉|＝32，所以23|a －4|23（a －4）2＋3a2＋a2＝32，解得a ＝－4(舍去)，a ＝43， 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.又＝(0，2，－23)，所以cos 〈，n 〉＝34. 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34. 21.解(1)∵，∴， ∴，令，解得或..当变化时，的变化情况如下表:∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.∴函数的极小值为，极大值为.(2)令，∵在上无解,∴在上恒成立,∵，记，∵在上恒成立,∴在上单调递减,∴， 若，则，∴，∴单调递减,∴恒成立,若，则，存在，使得， ∴当时，，即，∴在上单调递增,∵，∴在上成立,与已知矛盾,故舍去综上可知，.22．解(1) 曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+= 曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=由两圆心的距离3(10102)d =∈,以两圆相交,以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =.所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. (2) 直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l 的参数方程为22242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得292310t t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t 所以1292t t +=-，1231t t =，所以1t ，2t 同号. 所以121292MA MB t t t t +=+=+=模拟试卷二第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x │x 2-4x>0}，N={x │m<x<8}，若M ∩N={x │6<x<n},则m+n=（ ） A.10B. 12C.14D.162.“01x <<”是“1x x >”的( ). A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3．在△ABC 中，,AB a AC b ==u u u r r u u u rr， M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN =u u u r( )A ．1233a b +r r ,B ．1132a b +r rC ．1124a b +r rD ．1142a b +r r4.设a>0，b>0且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2 5.下列结论正确的个数是( )(1)命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；(2)函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π是“a ＝1”的必要不充分条件； (3)x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； (4)“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6已知函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=⋅并且(1)1f =，那么2222((1))((2))((3))((1010))(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅的值为（ ）A. 2019B. 1010C. 4038D. 3030 7．函数的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．.8.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（ ） A.43π B.4π C.0 D.4-π 9.函数f (x )=A sin(2x+φ)(|φ|≤π,A>0)的部分图象如图所示,则f (x )( ). A.在上是减函数 B.在上是增函数 C.在上是减函数 D.在上是增函数10.已知定义在R 上 的函数()22xf x a -=-与函数()222x g x x -=+-的图像有唯一公共点，则实数a 的值为（ ）A.-1B. 0C. 1D.2 11.已知在等比数列{}n a 中，21a =，524a =，若12231n n a a a a a a m +++⋅⋅⋅+<对任意n *∈N 都成立，则m 的最小值为( ).A.12B. 2C. 2D. 22 12.函数f(x)是定义在R 上的函数，且满足3(2)()2f x f x +=，当x ∈[-1,1)时，2()1f x x =-+，则方程29()log 08f x x -=在（0,5］的根的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x ,y 满足约束条件则z=3x-2y 的最小值为 .14．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝________．15.已知数列{a n },{b n }，满足a 1=b 1=1，a n+1-a n =nn b 1b +=2，，则数列{n a b }的前10项的和为________．16.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则·(+)的最小值是________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.(本小题满分10分)设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.18.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足25a =，45313a a a +=+.设正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2481b b =，3S 13=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .19.(本小题满分12分)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos ∠CAD 的值; (2)若cos ∠BAD=-,sin ∠CBA=,求BC 的长.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1，2]上的最小值．21. (本小题满分12分) 已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S（2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问使得n T >10002015成立的最小正整数n 是多少? .22.(本小题满分12分)已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，R a ∈． (1)若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>答案一、选择题（每题5分，满分60分）1. C2.B3.D4.C5.B6.B7.A8.B9.B 10.D 11.D 12.B 二、填空题（每题5分，满分20分） 16.23- 13.-5 14.2 15. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦………………………………………5分（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A = 由题意知A 为锐角，所以3cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：22132bc b c bc +=+≥ 即：23,bc ≤+当且仅当b c =时等号成立.因此123sin 24bc A +≤所以ABC ∆面积的最大值为234+…………………5分 18.（1）设公差为d ，因为25a =，45313a a a +=+， 所以5+2d +5+3d =5+d +13，解得2d =.又因为25a =，所以2(2)21n a a n d n =+-⋅=+.因为2481b b =，所以2381b =，b =9，即219b q =，①又313S =，所以()311131b q q-=-，即()21113b q q++=，②由①除以②，得()21219131b q b q q =++，化简得24990q q --=，因为0q >，所以3q =，所以3313933n n n n b b q ---==⨯=.…………………………………………………6分 （2）因为1(21)3n n n n c a b n -==+⋅，所以0121335373(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅L ，③1233335373(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯+++⋅L ，④由③减④，得()121232333(21)3n nn T n --=++++-+⋅L ，所以()1331232(21)32331n n n nT n n ---=+⨯-+⋅=-⋅-.所以3nn T n =⋅.……………………………………………………………………12分19.解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠CAD===.………4分(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos ∠CAD=,cos ∠BAD=-,所以sin ∠CAD===,sin ∠BAD===.于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)=sin ∠BADcos ∠CAD-cos ∠BADsin ∠CAD =×-×=.………………………………………………………………8分在△ABC 中,由正弦定理,得=,故BC===3.………………………12分20.(1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．……………2分②当a >0时，令f (x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.……………4分(2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1，2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .………………………………………………………………………………5分②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1，2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .………………6分③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ， 所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .…………………………………………10分 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .……………………………………12分21. 解:（1）()113f a ==Q ,()13xf x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-,()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a c a ===-=-- ，所以 1c =；公比2113a q a ==，所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *n N ∈ ；……………4分 1111n n n n n n n n S S S S S S S S -----==Q ()2n ≥又0n b >0n S >, 11n n S S -∴=； 数列{}nS 构成一个首相为1公差为1()111n S n n +-⨯= ， 2n S n =当2n ≥， ()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；21n b n ∴=-(*n N ∈)；……8分（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； 由1000212015n n T n =>+得100015n >，满足10002015n T >的最小正整数为67. ……12分22. (1).()ln 24f x x ax +'=-． ∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立， 即ln 24x a x x≥+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln x g x x --'=，∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内为增函数；当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭…………………………………………………………………4分(2).若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ，由（I ），知e04a <<． 由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-．不妨设120x x <<， ∴要证明1212x x a+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--． 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令函数2(1)()ln ,011x h x x x x -=-<≤+．∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减．∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+． 即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立． 综上，得1212x x a +>．………………12分模拟试卷三本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数ii215+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知集合A = {x| x 2- x - 2 < 0} ， B = {x| | x |> 1}，则 A ∩B = （ ）A ． (-2, -1)B ． (-1,1)C ． (0,1)D ． (1, 2)3.已知 x , y ∈ R ，且 x > y > 0 ，则（）A. cos x - cos y > 0B. cos x + cos y > 0 C ． l n x - ln y > 0 D ． l n x + ln y > 0 4.函数 f (x )的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y = e x 关于y 轴对称，则 f (x ) = （ ）A.1+-x eB.1--x eC.1-x eD.1+x e5.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶 点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A.53 B.169 C.167 D.526.已知等比数列}{n a 满足24,363121=-=-a a a a ，则使得n a a a Λ21取得最大值的n 为（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 67.已知α为锐角，53cos =α则=-)4tan(απ（ ）8.已知双曲线C:12222=-by a x ，O 为坐标原点，直线a x =与双曲线C 的两条渐近线交于A, B 两点，若△OAB 是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（）9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW ，达到 114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值B ．10 年来全球新增装机容量连年攀升C ．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GWD ．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过31 10.已知函数12121)(+++=x x f x，且3)2()(2>+a f a f ，则a 的取值范围是（ ）11.已知函数 f (x ) = sin x + sin(πx )，现给出如下结论： ① f (x )是奇函数 ② f (x )是周期函数 ③ f (x )在区间(0, π) 上有三个零点 ④f (x ) 的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 412.已知正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱长为4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA 1 ,BB 1 ,CC 1分别交于点 M , N , Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（）第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）14.在△ ABC 中， AB = 2 ， AC = 3 ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 AP ⋅ BC =。