2015考研数学线性代数真题解析

2015考研数学高数真题解析[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！2014年12月28日凯程考研数学教研组第一时间解析了2015考研数学(一)(二)(三)真题，今年的试题难度和去年相比差不多，出题的方向和题目的类型完全在预料之中。

没有偏题怪题，也没有计算量特别大的题目，完全按照考试大纲的要求，只要考生有比较扎实的基本功，复习比较全面，是比较容易拿到高分的。

相信同学们都能做的不错。

证明题是研究生考试几乎每年必考的内容，今年考研数学(一)(三)证明题与以往不同，之前经常考到的是有关中值等式的证明或不等式的证明等等，而今年的证明题是导数公式的证明，题目如下以上是这道证明题的解题过程，这道题也是咱们同济大学第六版高等数学上册教材88页的原定理，所以同学们在预习课本的时候，一定要重视定理、公式、法则、性质等的证明，近几年考研真题都有考过原定理的证明，比如08年考了边上限函数导数的证明，09年考查了拉格朗日中值定理的证明。

所以对于2016届考研的学子来说，一定要重视书中定理、公式、法则、性质等的证明。

在此对准备2016年考试的考生来说，复习安排应注意以下方面：首先，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一个坚实的数学基础，书本上每一个概念、每一个原理都要理解到位。

象今年考查的导数的运算法则，就是教材上的一个定理，选择题和部分填空题也是考查基本概念和基本原理，基础知识的考查占有相当大的比例，切不可开始就看复习资料而放弃课本的复习。

其次，注重公式的记忆，方法的掌握和应用。

填空题部分和一部分大题难度不大，需要能够理解原理，熟悉公式，灵活运用方法。

基础复习阶段非常重要，只要掌握好基础，对于后期题型的训练和方法的掌握都有很大的帮助，只有打好基础才能做题达到游刃有余。

再次，注重综合问题、实际问题，这部分内容是强化阶段重点关注的问题和需要培养的能力，需要大家练习一定量的问题，以达到巩固概念方法和原理、提高所学知识解决问题能力的目的。

2015考研数学真题完整版对于众多考研学子来说，考研数学真题具有极其重要的意义。

它不仅是检验学习成果的试金石，更是了解考试趋势、把握命题规律的关键依据。

2015 年的考研数学真题，整体呈现出了一定的特点和难度水平。

从题型分布来看，选择题、填空题和解答题的比例合理，涵盖了数学的各个重要知识点。

在选择题中，对于基本概念和定理的考查较为细致，需要考生对定义有清晰准确的理解。

例如，在高等数学部分，对于函数极限的概念、导数的定义等知识点进行了巧妙的设计，要求考生能够迅速准确地运用所学知识进行判断和计算。

填空题则更侧重于考查考生的计算能力和对公式的熟练运用。

像线性代数中的矩阵运算、概率论中的概率密度函数计算等，都需要考生在短时间内准确无误地得出答案。

这不仅考验了考生的基础知识掌握程度，还对其计算速度和准确性提出了较高的要求。

解答题的难度分布较为均匀，既有对基础知识的巩固考查，也有对综合运用能力和创新思维的挑战。

比如，在高等数学的解答题中，经常会出现与函数单调性、极值、曲线积分等相关的问题，需要考生熟练运用求导、积分等方法，结合几何意义进行深入分析。

在知识覆盖面上，2015 年考研数学真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大板块。

高等数学部分依旧是重点，占据了较大的比重。

函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学等知识点均有涉及，且考查方式灵活多变。

线性代数部分，重点考查了矩阵、向量、线性方程组等核心内容。

要求考生能够熟练掌握矩阵的运算、向量组的线性相关性以及线性方程组的求解方法。

概率论与数理统计部分，对于随机变量及其分布、数字特征、大数定律和中心极限定理等内容进行了考查。

考生需要具备运用概率统计知识解决实际问题的能力。

从难度层次上来看，2015 年的考研数学真题具有一定的区分度。

基础题目主要考查考生对基本概念、定理和公式的掌握程度，确保大部分考生能够拿到一定的分数。

而中高难度的题目则需要考生具备较强的综合分析能力和解题技巧，能够将多个知识点融会贯通，灵活运用。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dxx x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x ααβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，则11u v fu==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,)43D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩ 则 212t d y dx ==【答案】48【解析】 2222333(1)11dy dy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】 已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有1(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = .【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===， 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203c o s )1(s i n )1(lim kx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=22)(2V ππA x d x A -πππ2c o s 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求 (,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=， 故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x x ϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=xxde x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y xxx )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，xyy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E AE X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪⎪⎝⎭P AP文档内容由金程考研网整理发布。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1~8小题,每小题4分,共32分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的;1下列反常积分中收敛的是A ∫√x 2B ∫lnx x +∞2dxC ∫1xlnx +∞2dxD ∫x e x +∞2dx答案D;解析题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案;∫√x2=2√x|2+∞=+∞； ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫xe x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此D 是收敛的;综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学—一元函数积分学—反常积分2函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在-∞,+∞内 A 连续 B 有可去间断点C 有跳跃间断点D 有无穷间断点答案B解析这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选B; 综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限3设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0α>0,β>0.若f ′(x )在x =0处连续，则 A α−β>1 B 0<α−β≤1C α−β>2D 0<α−β≤2答案A解析易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是,f ′(0)存在α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时,lim x→0x α−1cos 1x β=0,lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0， 因此,f′(x )在x =0连续α−β>1;选A综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限4设函数f(x)在-∞,+∞内连续,其二阶导函数f ′′(x)的图形如右图所示,则曲线y =f(x)的拐点个数为A OB x A 0 B 1C 2D 3答案C解析f(x)在-∞,+∞内连续,除点x =0外处处二阶可导; y =f(x)的可疑拐点是f ′′(x )=0的点及f ′′(x)不存在的点;f ′′(x )的零点有两个,如上图所示,A 点两侧f ′′(x)恒正,对应的点不是y =f (x )拐点,B 点两侧f ′′(x )异号,对应的点就是y =f (x )的拐点;虽然f ′′(0)不存在,但点x =0两侧f ′′(x)异号,因而0,f(0) 是y =f (x )的拐点;综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点5设函数f(μ,ν)满足f (x +y,y x )=x 2−y 2，则f μ|μ=1ν=1与f ν|μ=1ν=1依次是 A 12,0 B 0,12C −12,0D 0,−12答案D解析先求出f (μ,ν)令{μ=x +y,ν=y x ,{x =μ1+ν,y =μν1+ν, 于是 f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1) 因此f μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0 f ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12 综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分6设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,函数f(x,y)在D 上连续,则∬f (x,y )dxdy =DA ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr B ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θrdr C ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr D ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θdr答案 B 解析D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,作极坐标变换,将∬f (x,y )dxdy D化为累次积分; D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4√sin 2θ≤θ≤√2sin 2θ因此 ∬f (x,y )dxdy D =∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θrdr综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算;7设矩阵A=[11112a 14a 2],b =[1d d 2];若集合Ω={1,2},则线性方程 Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为A aΩ,dΩB aΩ,d ∈ΩC a ∈Ω,dΩD a ∈Ω,d ∈Ω答案D解析Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德行列式,值为(a −1)(a −2),如果a?Ω,则|A |≠0，r (A )=3,此时Ax =b 有唯一解,排除A,B类似的,若d?Ω,则r (A |b )=3,排除C当a ∈Ω,d ∈Ω时,r (A |b )=r (A )=2,Ax =b 有无穷多解综上所述,本题正确答案是D;考点线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值,矩阵的秩,线性方程组求解;8设二次型f(x 1,x 2,x 3)在正交变换x =Py 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中P =(e 1,e 2,e 3),若Q =(e 1,−e 3,e 2)在正交变换x =Qy 下的标准形为A 2y 12−y 22+y 32B 2y 12+y 22−y 32C 2y 12−y 22−y 32D 2y 12+y 22+y 32答案A解析设二次型矩阵为A ,则P −1AP =P TAP =[20001000−1]可见e 1,e 2,e 3都是A 的特征向量,特征值依次为2,1,-1,于是-e 3也是A 的特征向量,特征值为-1,因此Q T AQ =Q −1AQ =[2000−10001]因此在正交变换x =Qy 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32综上所述,本题正确答案是A;考点线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量,正交变换化二次型为标准形;二、填空题：9~14小题,每小题4分,共24分;9设{x =acr tan t ,y =3t +t 3,则d 2y dx 2|t=1=解析由参数式求导法dy dx =y t ′x t ′=3+3t 211+t 2=3(1+t 2)2再由复合函数求导法则得d 2ydx 2=d dx [3(1+t 2)2]=d dt [3(1+t 2)2]dt dx =6(1+t 2)2t1x t ′ =12t(1+t 2)2, d 2y dx 2|t=1=48综上所述,本题正确答案是48;考点高等数学-一元函数微分学-复合函数求导10函数f (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数f (n )(0)=答案n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,)解析解法1 用求函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

2015考研数学一真题题型分布分析2015年考研]数学已落下帷幕，对于参考这次考研的考生来说基本已成定局，但真题对2016考研的考生具有非常大的指导意义。

因此老师下面就来分析下2015考研数学一的真题题型分布，真实感受下考场的气氛，以及对考研数学一的真题做个直观的了解。

卷面一共23道题，其中13道高等数学题目，5道线性代数题目，5道概率论与数理统计题目。

难度与2014年真题相当，只要是认真复习下来的考生考到高分的可能性是非常大的，所以参考2016考研的考生现在是不是信心满满？这就对了，树立好这样的必胜信心是成功的第一步，也是关键的。

言归正传，分析题型。

第一题求拐点个数，已知2阶导函数图像，倒推一阶导函数再倒推函数即可得到答案，考查对拐点的掌握并要会从图像中得到正确讯息。

此处也有可能考渐近线的个数，都是常考和易考题型。

第二题是常微分方程范畴中的已知特解求未知参数的题目，只需将特解代入方程就可轻易解出。

第三题考查幂级数在某点的收敛性问题，求出收敛区间看某点在不在区间内即可得出。

第四题是二重积分根据已知的积分区域写出正确的积分表达式，要熟练掌握极坐标和直角坐标的写法。

第五题是线性方程组解的情况，已知有无穷多解，求矩阵中的未知参数，属常规题。

第六题为求二次型的标准形。

第七题为随机事件的概率大小的比较，概率基础公式的考查。

第八题求期望。

从第九题开始是填空题，第九题为求极限，第十题求定积分，第十一题已知隐函数求全微分，第十二题求三重积分。

填空题考查的知识点很单一，每道题目仅涉及一个知识点，考生只要基础扎实再认真仔细，基本上不会丢分。

解答题共9道，占分比值很大。

第15题已知两个等价无穷小求参数，这已经是试卷中第3道求参数的题目，看来今年的出题老师较钟情这类题目，2016的考生要多加练习此类题目，总结解法。

第16题是一元函数微分学范畴的题目，已知函数在某点的切线和其他直线围成面积的值，求函数表达式，此类题目近几年是每年必考，看起来很复杂，仔细缕下来就感觉很容易了，其实是越看起来复杂的题目做起来更容易，反而看起来容易的题目做起来才发觉很难下手。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )x(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得111120021222(1)2(1)220022012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++122n +=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=201sin cos 1lim 13x ab x bx xx kx →++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M====3=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d θθ==(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=011223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n=为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以12min n X X X θ={,,,}为θ的最大似然估计量.。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题与答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2 (B)∫lnxx+∞2dx(C)∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x2=2√x|2+∞=+∞；∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞；∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx =2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin tx−1)=e x lim t→0sint t=e x(x≠0),f(x)在x=0处无定义，且limx→0f(x)=limx→0e x=1,所以 x=0是f(x)的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f(x)={xαcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,β>0).若f′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x)={αxα−1cos 1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有 f+′(0)=limx→0+f(x)−f(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，f−′(0)=0于是，f′(0)存在⟺α>1，此时f′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015考研线代真题2015年考研线代真题是考研数学科目中的一道经典题目，它涉及到线性代数的基本概念和运算方法。

线性代数作为数学的一个重要分支，对于理解和应用其他学科都具有重要意义。

在考研中，线性代数是一个必考的科目，因此掌握线性代数的基本知识和解题方法对于考生来说是非常重要的。

2015年考研线代真题的内容主要涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。

矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用，如物理、工程、经济等。

矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。

在解答这道题目时，首先需要计算矩阵的特征值。

特征值是矩阵的一个数值，它与矩阵的性质和运算有着密切的关系。

计算特征值的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值。

特征方程是一个关于特征值的方程，通过求解特征方程可以得到矩阵的特征值。

在计算特征值时，我们需要注意特征值的重数，即一个特征值对应的特征向量的个数。

特征值和特征向量是一一对应的，它们之间存在着重要的关系。

在得到矩阵的特征值后，接下来需要计算特征向量。

特征向量是与矩阵的特征值相对应的向量，它可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。

计算特征向量的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过求解矩阵的特征方程得到特征值，然后再通过代入特征值求解特征向量。

特征向量是一个非零向量，它与矩阵的特征值之间存在着重要的关系。

特征向量可以用来描述矩阵的变换效果，它可以帮助我们理解和应用矩阵的性质和运算。

在解答这道题目时，我们需要注意特征值和特征向量的计算方法和步骤。

特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。

在计算特征值和特征向量时，我们需要注意特征值的重数和特征向量的非零性。

特征值和特征向量是一一对应的，它们之间存在着重要的关系。

特征值和特征向量的计算是线性代数中的一个重要内容，它对于理解和应用其他学科都具有重要意义。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )x(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得111120021222(1)2(1)220022012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++122n +=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=201sin cos 1lim 13x ab x bx xx kx →++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M====3=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d θθ==(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=011223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n=为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以12min n X X X θ={,,,}为θ的最大似然估计量.。

2015考研数学真题主观题解析：线性代数
店铺考研数学频道讯：2015考研数学真题主观题解析：线性代数
2015考研数学真题主观题解析：线性代数
对于线性代数⽽⾔，数⼀、数⼆、数三所考知识点仅有⼀处是不⼀样的，数⼀要考向量空间这⼀部分的内容，包括向量空间的概念，基的概念，向量空间的及变换和坐标变换，过渡矩阵。

然⽽对于数⼆和数三是不考的。

⽽对于这个个别⼩点，在2015考研数学的考题中的主观题出现了。

【分析】此题考查的是3维向量空间基的概念及即在不同基下的坐标相同时，转化为⽅程组的求解。

此类型的题⽬在往年真题中解答题中出现的频率⽐较低。

若基础扎实，作为⼀个⼤纲要求的个别考点，认真对待和备考的话，此题没难度，问题不⼤。

若平时复习时对此块内容关注不多的话，则此题估计做的就不好。

从主观题的这三题来看，难度也都不⼤，⽐去年的题⽬要简单，不管是逻辑思维上，还是在计算量上，都⽐去年的难度⼩。

然⽽在数⼀中出现向量空间的⼤题，是令我们出乎意料的，这在历年真题中也是极其罕见的，往年⼀般是出⼀道⼩题。

这给要参加2016考研的同学⼀个警⽰：全⾯复习所有考点，打好基础，掌握基本题型和基本⽅法，这样在考试中才会旗开得胜。

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