三角与平面向量综合学案

第07讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。

平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。

它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。

奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo 相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。

1. 奔驰定理如图，已知P 为ABC V 内一点，则有0PBC PAC PAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2. 奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOCAOBS S S S S BD DC S S S S S -====-V V V V V V V V V DC BD OD OB OCBC BC=+ AOCAOB AOC AOBAOC AOB S S OB OCS S S S =+++V V V V V V BOD COD BOD CODBOA COA BOA BOC AOC AOBCOA S S S S S OD OA S S S S S S +====++V V VBOCAOC AOBS OD OAS S ∴=-+V V V BOCAOC AOB AOC AOBAOC AOB AOC AOB S S S OA OB OCS S S S S S ∴-=++++V V V V V V V V V 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅=V V V3. 奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC V 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOC COA AOB S S S x y z=V V V 有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.3．设P 是ΔABC 所在平面内的一点,若2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅且222AB AC BC AP =-⋅.则点P 是ΔABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知点P 是ABC D 所在平面内一点，且满足()()cos cos AB ACAP R AB B AC C l l =+Î v vv v v ，则直线AP 必经过ABC D 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．设是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点， 动点P 满足，，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心1．若O 是ABC V 内一点，且OA OB OA OC OC OB ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC V 的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心2．已知点O 是ABC V 所在平面上的一点，ABC V 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB cOC ®®®®++=，则点O 是ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．已知点O 为ABC V 所在平面内一点，在ABC V 中，满足22AB AO AB ⋅= ，22AC AO AC ⋅= ，则点O 为该三角形的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心4．已知A ，B ，C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC 内一动点，若12OP OA AB BC l æö-=+ç÷èø，[)0,l Î+¥，则点P 的轨迹一定过ABC V 的（ ）A ．外心B ．重心C ．垂心D ．内心5．在平面上有ABC V 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC V 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．已知G ，O ，H 在ABC V 所在平面内，满足0GA GB GC ++=，||||||OA OB OC == ，AH BH BH CH CH AH ⋅=⋅=⋅，则点G ，O ，H 依次为ABC V 的（ ）A ．重心，外心，内心B ．重心、内心，外心C ．重心，外心，垂心D ．外心，重心，垂心1．奔驰定理：已知O 是ABC D 内的一点，BOC D ，AOC D ，AOB D 的面积分别为A S ，B S ，C S，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=v v v ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC D 内的一点，A ，B ，C 是ABCD 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ v v v v v v，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v B ．cos cos cos 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= v v v vC ．tan tan tan 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v D ．sin 2sin 2sin 20A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v 2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC AMC AMB △，△，△的面积分别为A B C S S S ，，，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若M 为ABC V 的外心，则()()()MA MB AB MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅=+⋅=D ．若M 为ABC V 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB Ð=1．奔驰定理：已知点O 是ABC V 内的一点，若,,BOC AOC AOB V V V 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC V 的垂心，且230OA OB OC ++=，则cos C =（ ）A B C D 2．（多选）如图.P 为ABC V 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=V V V成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）A ．若P 是ABC V 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC V 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC V 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n é+Îë6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C Ð=D ．若O 为△ABC 的垂心，3450OA OB OC ++= ，则cos AOB Ð=一、单选题1．在ABC V 中，动点P 满足222CA CB AB CP =-⋅，则P 点轨迹一定通过ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心2．若O ，M ，N 在ABC V 所在平面内，满足||||||,OA OB OC MA MB MB MC MC MA ==⋅=⋅=⋅，且0NA NB NC ++=，则点O ，M ，N 依次为ABC V 的（ ）A ．重心，外心，垂心B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，垂心，重心3．已知O 为ABC V 内一点，若分别满足①OA OB OC == ；②OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；③0OA OB OC ++= ；④0aOA bOB cOC ++=(其中,,a b c 为ABC V 中，角,,A B C 所对的边).则O 依次是ABC V 的A ．内心、重心、垂心、外心B ．外心、垂心、重心、内心C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心4．给定△ABC ，则平面内使得到A ，B ，C 三点距离的平方和最小的点是△ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．若H 为ABC V 所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心6．已知O ，A ，B ，C 是平面上的4个定点，A ，B ，C 不共线，若点P 满足()OP =OA+AB+AC l，其中R l Î，则点P 的轨迹一定经过ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心7．平面上有ABC V 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB V ，OBC △， O C A V 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a bc S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．已知点O 在平面ABC 中，且2220||||OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB AB AC BA BC CA CB æöæöæö⋅⋅⋅⋅⋅⋅ç÷ç÷-+-+-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则点O 是ABC V 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心9．奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，若BOC V 、AOC V 、AOB V 的面积分别记为1S 、2S 、3S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC V 的垂心，且240OA OB OC ++=，则cos B =( )AB ．13C ．23D10．已知O 是ABC V 所在平面上的一点,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b ,c ，若aPA bPB cPCPO a b c ++=++ v v vv （其中P 是ABC V 所在平面内任意一点），则O 点是ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++=，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为△ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OCÐ⋅+Ð⋅+Ð⋅=D ．若2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V 二、多选题12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC V 内的一点，A ，B ，C 是ABCV 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅.则（ ）A ．O 为ABC V 的外心B ．BOC A pÐ+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C=D ．::tan :tan :tan A B C S S S A B C=13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC V 内的一点，BAC Ð，ABC Ð，ACB Ð分别是ABC V 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为ABC V 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．若||||2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V D ．若O 为ABC V 的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC Ð⋅+Ð⋅+Ð⋅=14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC △，AMC V ，AMB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的是（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC Ð=°，60ABC Ð=°，M 为ABC V 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC V 的垂心，230MA MB MC ++= ，则cos BAC Ð=15．奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角ABC V 内的点，A 、B 、C 是ABC V 的三个内角，且满足13PA PB PC CA ++=，OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ，则（ ）A ．::4:2:3PAB PBC PCA S S S =△△△B ．πA BOC Ð+Ð=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C=D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 三、填空题16．在面上有ABC V 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC V 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= ，则O 为ABC V 的 心.17．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OA OB CA CB OP CA A CB B l æö+ç÷=++ç÷èø，R l Î，则P 的轨迹一定经过ABC V 的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：①若P 是ABC V 的重心，则有0PA PB PC ++= ；②若0aPA bPB cPC ++= 成立，则P 是ABC V 的内心；③若2155AP AB AC =+ ，则:2:5ABP ABC S S =△△；④若P 是ABC V 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n é+Îë；⑤若ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且7cos 8A =，O 为ABC V 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为45.则正确的命题有 .（填序号）19．1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知O 为ABC V 内一点，OBC △，OAC V ，OAB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++= ，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =，O 为ABC V 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为.20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若P 是ABC V 内一点，,,BPC APC APB V V V 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= .已知O 为ABC V 的内心，且1cos 3BAC Ð=，若AO mAB nAC =+ ，则m n +的最大值为 .。

八年级数学认识三角函数和平面向量课程的优秀教案范本一、引言本教案旨在帮助八年级学生全面认识三角函数和平面向量的概念和应用。

通过清晰明了的教学目标，以及多种交互式教学方法，旨在激发学生的学习兴趣，提高他们的数学思维能力和问题解决能力。

二、教学目标1. 了解三角函数的基本概念和定义；2. 掌握三角函数的常用性质和计算方法；3. 熟练运用三角函数解决实际问题；4. 理解平面向量的概念和性质；5. 能够进行向量的加减运算，并解决与向量相关的几何问题；6. 通过课堂练习和小组合作，培养乐于思考和合作的学习态度。

三、教学内容1. 三角函数的基本概念与定义a. 角度与弧度制的转换b. 正弦、余弦、正切等三角函数的定义c. 三角函数图像的性质2. 三角函数的性质和计算方法a. 周期性与对称性b. 三角函数的值域和定义域c. 三角函数的基本计算方法3. 三角函数的应用a. 角度的解法与应用b. 三角函数解决几何问题c. 三角函数与实际问题的联系4. 平面向量的概念与性质a. 平面向量的定义与表示b. 平行向量、共线向量和零向量的性质c. 向量的模长和方向角的计算5. 平面向量的运算与应用a. 向量的加减法b. 数量积和向量积的定义与计算c. 几何问题中的向量应用四、教学方法1. 导入：通过引发学生的兴趣，提出与三角函数和平面向量相关的实际问题，激发他们的思考和探索欲望。

2. 讲解：采用板书、示意图和多媒体等多种形式，对三角函数和平面向量的概念、性质和计算方法进行详细讲解，并提供实例进行演示。

3. 练习：组织学生进行课堂练习和小组合作，巩固所学内容，培养学生的合作能力和问题解决能力。

4. 探究：引导学生通过实例和问题的探究，深入理解三角函数和平面向量的应用，并锻炼学生的数学思维能力。

5. 总结：对本节课所学内容进行总结归纳，明确重点和难点，并进行重点复习和强化训练。

五、教学评估1. 在课堂练习中对学生的基础知识和应用能力进行评估；2. 通过小组合作和讨论，评估学生的合作能力和问题解决能力；3. 通过个人作业和考试来全面评估学生对三角函数和平面向量的掌握程度。

第3讲 平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. (2)(2017届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.13B.14C.12D.23 答案 A解析 由AD →＝tAC →，得OD →－OA →＝t (OC →－OA →)， 所以OD →＝tOC →＋(1－t )OA →，因为B ，O ，D 三点共线，所以BO →＝λOD →， 则2OA →＋OC →＝λtOC →＋(1－t )λOA →，故有⎩⎪⎨⎪⎧2＝(1－t )λ，1＝λt ，t ＝13，故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4) 答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. 热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( ) A ．2 B ．－152C.152D. －2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5 答案 B解析 向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)， 可得|a －b |2＝5，即|a |2＋|b |2－2a ·b ＝5，解得a ·b ＝0. |a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋16＝17， 所以|a ＋2b |＝17.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0,3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )， 则PA →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →|·|PD →|的最大值．又|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， 当且仅当|PA →|＝|PD →|时取等号，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________. 答案 2解析 因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )． (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值． 解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32.又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4， 所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 答案311解析 由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )． 由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立． 押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b )B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式． 答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( ) A.14 B.38C.32 D.34押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点． 答案 B解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1， BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34， 故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°，故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B.4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112 B.112C ．－292 D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为( ) A.43 B ．－43 C.23 D ．－23 答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为()A ．4 B.833C ．0D ．－4 答案 D解析 如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos ∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75 B ．－77125C.77125D.75 答案 B解析 由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35， 由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12B.3－1C.3－22 D.3＋12答案 A解析 因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A.7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△ABC 的面积为( ) A.85 B.75C.65 D.45 答案 C解析 如图所示，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方可得9＋24OA →·OB →＋16＝25，所以OA →·OB →＝0，因此OA →⊥OB →.同理3OA →＋5OC →＝－4OB →，4OB →＋5OC →＝－3OA →，两边分别平方可得cos 〈OB →，OC →〉＝－45，cos 〈OA →，OC →〉＝－35，根据同角三角函数基本关系可得sin 〈OB →，OC →〉＝35，sin 〈OA →，OC →〉＝45，所以S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △OBC＝12×1×1＋12×1×1×45＋12×1×1×35＝65，故选C. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 解析 因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )， 所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ， 故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组 能力提高11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则λ的最大值是( ) A.2＋22 B. 2－22C ．1 D. 2 答案 C解析 因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →， PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →， 故由CP →·AB →≥PA →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2， 也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1， 故选C.12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10, 记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．15 3B ．45C ．60 3D ．180 答案 D解析 因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP i →在AB 2→上的投影为AC ，m i ＝AB 2→·AP i →＝|AB 2→||AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D. 13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt △AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°.设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________． 答案 [－2,1]解析 由已知图形可知OP →，OA →的夹角∠AOP ∈[90°，180°]，所以x ≤0， OP →，OB →的夹角∠BOP ∈[0°，90°]，所以y ≥0，由平行四边形法则可知，当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数x 逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时x ＋y 取得最小值，因为OC ＝2OA ，OC ⊥OB ，所以x ＝－2，y ＝0，所以x ＋y ＝－2，当点P 在点B 处时x ＋y 取得最大值，因为OA ⊥OB ，所以x ＝0，y ＝1，所以x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[－2,1]．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)．(1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，|a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β， 当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2. (2)若α＝π4，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件， ∴cos β＝0.。

解三角形与平面向量导学案学习目标：1.通过基础知识的记忆默写夯实解三角形与平面向量的基本公式、结论等，并明确易错点。

2.熟练运用向量的公式，正、余弦定理解决相应的问题，提高学生解决实际问题的能力。

3.巩固向量与三角结合的题型，归纳总结常考题型、方法以及应注意的问题。

学习重点：向量与解三角形常考题型与方法。

学习难点：知识方法的灵活运用。

一．基础知识检测默写：1.（1）与向量a共线的单位向量为。

（2）向量共线定理及推论：。

（3）向量夹角定义及范围是。

（4）当两向量夹角为锐角、钝角是满足的条件是。

2.填表3.正弦定理：。

余弦定理：。

三角形面积公式：。

4.解决向量数量积运算有哪些方法？二：小组合作解决你的疑问:三：讲评四：针对性训练：1.已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，关于x的方程b(2x＋1)＋c(2x－1)－2ax＝0有两个相等的实根，且sin Ccos A－cos Csin A＝0，则△ABC的形状为()A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形2.已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb与b垂直，λ的值为()A.52B．－52 C.25D．－253.(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定4.设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足(2a＋c)BC·BA＋c CA·CB＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝23，试求AB·CB的最小值．五．归纳小结:重点知识、题型、方法六．检测：默写：七．你的收获与不足： 答案：1.解析：由b (x 2＋1)＋c (x 2－1)－2ax ＝0可得(b ＋c )x 2－2ax ＋b －c ＝0.由方程有相等实根可得Δ＝4a 2－4(b ＋c )(b －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝0，所以B ＝π2.又sin C cos A －cos C sin A ＝0，即sin(C －A )＝0且－π2<C －A <π2，所以A ＝C .∴△ABC 是以B 为直角的等腰直角三角形．2.解析：∵a ＝(3,4)，b ＝(3，－1)，∴a ＋λb ＝(3＋2λ，4－λ)， 故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0.∴λ＝－25.3.解析：因a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223. 又∵a <b ，∴B 有两个．4.解] (1)因为(2a ＋c ) BC ·BA ＋c CA ·CB＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，所以2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0. 所以sin A (2cos B ＋1)＝0.即cos B ＝－12.所以B ＝2π3.(2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4.当且仅当a ＝c 时取等号，此时ac 最大值为4 所以AB ·CB ＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2.即AB ·CB的最小值为－2典型题4.解析：由正弦定理知43sin 60°＝42sin B，∴sin B ＝22，又a ＞b ，∴A ＞B ，∴B ＝45°. 典型题7.解：①因为△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cosB=，sin （A+B ）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin 2A+cos 2A=1，得27sin 2A ﹣6sinA ﹣16=0， 解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin （A+B ）=sinC=，sinA=，所以a=2c ，又ac=2，所以c=1．典型题8.解：(1)∵m ∥n ，∴sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.∴1－cos 2A 2＋32sin 2A －32＝0.即32sin 2A －12cos 2A ＝1.即sin(2A －π6)＝1.∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈(－π6，11π6)． 故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2)∵BC ＝2，由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝4，又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)．从而S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝ 3.即△ABC 面积S 的最大值为 3.。

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：1．掌握三角函数的概念、图象与性质；熟练掌握同角公式、诱导公式、和角与差角、二倍角公式，且会推导掌握它们之间的内在联系。

掌握正弦、余弦定理，平面向量及有关的概念，向量的数量积以及坐标形式的运算。

2．熟练掌握解决以下问题的思想方法本专题试题以选择题、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊方法，如数形结合法、函数法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等。

另外对有些具体问题还要掌握和运用一些基本结论（如对正弦、余弦函数的图象的对称轴经过最高点或最低点，对称中心为三角函数值为零的点，应熟练的写出对称轴的方程及对称中心的坐标；应用三角函数线解三角方程、比较三角函数值的大小；对三角函数的角的限制及讨论；常数1的代换等）。

3．特别关注（1）与三角函数的图象与性质有关的选择、填空题；（2）向量、解三角形以及三角函数的图象与性质等知识交汇点命题； （3）与测量、距离、角度有关的解三角形问题。

第一讲 三角函数的图象与性质【最新考纲透析】1．了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。

2．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

3．能利用单位圆中的三角函数线推导出,2παπα±±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性。

4．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及图象与x 轴的交点等），理解正切函数在区间(,)22ππ-的单调性。

5．理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x+cos 2x=1,sinx/cosx=tanx.6．了解函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响。

7．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

与三角变换、平面向量、函数等综合的三角形问题高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考查，对三角形问题的考查重点在于三角变换、平面向量、函数、不等式等的综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考查三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，要求学生有综合处理问题的能力.纵观最近几年高考，试题难度中低，解答题往往综合性较强，如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的.【类型一】平面向量运算与三角形问题的综合运用【概要】三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以平面向量的数量积、夹角公式及线性运算，往往可与三角形问题相结合.解答此类问题，首先平面向量的基本概念、基本运算必须熟练，更要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意问题的转化，把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用.【题型示例】例1【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， a = 3b =，sin 2sin C A =，则sin A =__________ ；设D 为AB 边上一点，且2BD DA = ，则BCD ∆的面积为 __________．【答案】例2【河北衡水金卷2018届模拟一】已知ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边a ， b ， c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233AD AB AC =+ ．（1）求a 及角A 的大小；（2）求AD 的值． 【答案】（123π；（2）23. 【解析】试题分析：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理化简可得即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=，从而得1cos 2A =-．又()0,A π∈，所以23A π=，由余弦定理得a =（2）由1233AD AB AC =+ ，得221233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以23AD = ．点评：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 【类型二】三角变换与三角形问题的结合 【概要】三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.【题型示例】例3【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， S 为ABC ∆的面积，若2cos c a B =， 221124S a c =-，则ABC ∆的形状为__________， C 的大小为__________． 【答案】 等腰三角形 4C π=【解析】∵2cos c a B =例4【2018届河北省沧州市高三上学期联考】已知函数())2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再向下平移12个单位长度，得到函数()y g x =的图象. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若02A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）由题得， ()122223f x sin x x sin x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 由最小正周期为π，得1ω=.∴()23f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 由222232k x k πππππ-≤-≤+， Z k ∈， 得51212k x k ππππ-≤≤+， Z k ∈. 故函数()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， Z k ∈； （Ⅱ）∵()122g x sin x =-， ∴1022A g sinA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. ∴12sinA =. 又∵A 为锐角，∴2cosA =. 由余弦定理，得2222a b c bccosA =+-，∴2212b c bc =+≥.即2bc ≤b c =时，等号成立.∴12ABC S bcsinA ∆=≤∴ABC ∆. 【类型三】三角函数、向量、三角形问题的综合【概要】高考会将几方面结合起来命题，三角函数主要考查它的图象、常见性质；三角形主要考查正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考查向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，三角变换主要考查和差倍半的三角函数公式的应用. 解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如()sin y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.【题型示例】例5【浙江省台州中学2018届第三次统练】已知向量,14x m ⎫=⎪⎭ , 2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，记()f x m n =⋅ ． (1) 若()1f x = ，求πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； (2) 在锐角ABC ∆ 中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且满足()2cos cos a c B b C -= ，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）13(,]22.1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式可得结果；(2)由()2cos cos a c B b C -=，根据正弦定理得 ()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，再由两角和的正弦公式化简可得1cos 2B =，从而求得3B π=，求得2363A πππ<+<，利用三角函数的有界性即可得结果.点评：1.本题考查解三角形，利用正弦定理进行边角互化，继而求出B 的值；高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.例6【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2cos 2b C a =．⑴求B ∠的大小；⑵若2CA CB CM += ，且1CM = ，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）6π；（2）12+. （2）∵2CA CB CM += ，且1CM =∴M 为AB 中点在BCM ∆中由余弦定理可得221cos 62BM BC BM BC π+-=⋅∴2212BM BC BC BM BC +=⋅≥⋅，即2BM BC ⋅≤，当且仅当BM BC =时取等号 ∵11sin3022ABC S BC BA BC BM ∆=⨯︒=⨯∴ABC S ∆的最大值为1+ 【类型四】实际应用中的三角形问题【概要】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 【题型示例】例7【2018届福建省宁德市高三第一次质量检查】如图，岛A 、C 相距海里．上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市．（Ⅰ）若(]0,30V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-， sin ACB ∠=已知速度为V 海里/小时((]0,30V ∈)的小艇每小时的总费用为(21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？ 【答案】（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需.试题解析：（Ⅱ）在ABC ∆中， 4cos 5BAC ∠=-， sin 5ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角， 3sin 5BAC ∠=， cos ACB ∠=所以()()0sin sin 180sin sin cos cos sin B BAC ACB BAC ACB BAC ACB BAC ACB⎡⎤=-∠+∠=∠+∠=∠∠+∠∠⎣⎦34555525=⨯-⨯=. 由正弦定理得， sin sin BC AC BAC B=∠,例8.【2018届江苏省如皋市高三上学期调研（三）】在某城市街道上一侧路边边缘1l 某处安装路灯，路宽OD 为AB 长4米，且与灯柱OA 成120︒角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC 与灯的边缘光线(如图BM ， BN )都成30︒角，当灯罩轴线BC 与灯杆AB 垂直时，灯罩轴线正好通过OD 的中点.（1）求灯柱OA 的高h 为多少米;（2）设ABC θ∠=，且5122ππθ≤≤，求灯所照射路面宽度MN 的最小值.【答案】（1）10AO =（2）12 【解析】试题分析：（1）连接AC ， 设ACO α∠=，则60ACB α∠=- ，在直角ACO ∆与直角ACB ∆中，根据直角三角形的性质可得()4sin 60AC α==-，解得tan α= ，从而可得tan 10AO ON α=⋅=；（2）以O 为坐标原点， ON ， OA 分别为,x y轴，建立直角坐标系，可求出12tan M x θ=-+12tan 3N x πθ=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭1112tan tan 3M N MN x x πθθ⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，切化弦后利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式可得sin 2264MN θ=-+ ⎪⎝⎭，结合5,122ABC ππθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，可得到MN取最小值12.（2）以O 为坐标原点， ON ， OA 分别为,x y 轴，建立直角坐标系，则()()()0,10,,A B D ，又5,122ABC ππθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦ ①若2ABC π∠=，由（1）知，MN =②若5,122ABC ππθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭， 则直线BM的方程为(tan 12y x θ=-+，则120tan M x θ=-+>； 直线BN的方程为(tan 123y x πθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则12tan 3N x πθ=-+<⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

第3讲 平面向量[考情考向分析] 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，且为基础题.2.考查平面向量数量积及模的最值问题，以选择题、填空题为主，难度为中高档，是高考考查的热点内容.3.向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等结合，进行综合考查．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)如图，在△ABC 中，AB ＝3DB ，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，25B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫37，37 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，920 答案 A解析 由D ，F ，C 三点共线，可得存在实数λ，使得DF →＝λDC →，即AF →－AD →＝λ(AC →－AD →)， 则AF →＝(1－λ)AD →＋λAC →＝23(1－λ)AB →＋λAC →＝23(1－λ)a ＋λb . 由E ，F ，B 三点共线，可得存在实数μ，使得EF →＝μEB →， 即AF →－AE →＝μ(AB →－AE →)，则AF →＝μAB →＋(1－μ)AE →＝μAB →＋23(1－μ)AC →＝μa ＋23(1－μ)b .又a ，b 不共线，由平面向量基本定理可得 ⎩⎪⎨⎪⎧23(1－λ)＝μ，λ＝23(1－μ)，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝25，μ＝25，所以AF →＝25a ＋25b .所以x ＝25，y ＝25，即(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，25，故选A. (2)已知A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，过点P (m,0)的直线分别与线段AC ，BC 交于点M ，N (点M ，N 不同于点A ，B ，C )，且OA →＝xOM →＋yON →(x ，y ∈R )，若2≤|m |≤3，则x ＋y 的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12解析 设OP →＝λOA →，则有|λ|＝|OP →||OA →|＝|m |.∵M ，N ，P 三点共线，且点O 不在直线MN 上， ∴OP →＝nOM →＋(1－n )ON →.从而有nOM →＋(1－n )ON →＝λxOM →＋λyON →， 又OM →与ON →是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝n ，λy ＝1－n ，得x ＋y ＝1λ.由2≤|λ|≤3，得x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m的值为( ) A ．－4B ．－1C ．1D ．4答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，又AB →，AC →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且满足1CM2＋1CN 2＝1，若AC →＝xAM →＋yAN →，则x ＋y 的最小值为________．答案 54解析 连接MN 交AC 于点G .由勾股定理知，MN 2＝CM 2＋CN 2，所以1＝1CM 2＋1CN 2＝MN 2CM 2·CN 2，即MN ＝CM ·CN ，所以C 到直线MN 的距离为定值1，此时MN 是以C 为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示).AC →＝xAM →＋yAN →＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋y AM →＋y x ＋y AN →. 由向量共线定理知， AC →＝(x ＋y )AG →，所以x ＋y ＝|AC →||AG →|＝5|AG →|，又因为|AG →|max ＝5－1＝4，所以x ＋y 的最小值为54.热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 例2 (1)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝(2－2λ)2＋(2－4λ)2 ＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.(2)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值为________． 答案 13解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当t ＝12时“＝”成立．思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练2 (1)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形内(含边界)任意一点，则OE →·OF →的最大值为________．答案 32解析 ∵E 为AB 的中点，正方形OABC 的边长为1，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，得OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，又F 为正方形内(含边界)任意一点，设F (x ，y )，∴OF →＝(x ，y )，满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，则OE →·OF →＝x ＋12y ，结合线性规划知识可知，当F 点运动到点B (1,1)处时，OE →·OF →取得最大值32.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰CD 上的动点，则||3PA →＋BP →的最小值为__________． 答案522解析 以DA 为x 轴，D 为原点，过D 与DA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．由AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1， 可得D (0,0)，A (2,0)，B (2,1)，C (1,1)， ∵P 在CD 上，∴可设P (t ，t )(0≤t ≤1)， 则PA →＝(2－t ，－t )，BP →＝(t －2，t －1)， 3PA →＋BP →＝(4－2t ，－2t －1)，∴||3PA →＋BP →＝(4－2t )2＋(－2t －1)2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342＋252≥252＝522(当且仅当t ＝34时取等号)，即||3PA →＋BP →的最小值为522.真题体验1．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 答案 4 2 5解析 设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．2．(2017·浙江改编)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则I 1，I 2，I 3的大小关系是________________．答案 I 3<I 1<I 2解析 ∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， ∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3， ∴OB →与CA →所成的角为钝角， ∴I 1－I 2<0，即I 1<I 2. ∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos∠AOB －|OC →||OD →|cos∠COD ＝cos∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA <OC ，OB <OD ， ∴I 1－I 3>0，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.3．(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a·e |＋|b·e |≤6，则a·b 的最大值是________． 答案 12解析 由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a·e |＋|b·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·(a ＋b )|a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋b·(a ＋b )|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋b )·(a ＋b )|a ＋b |＝|a ＋b |.∵|a·e |＋|b·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a·b ≤6， ∴a·b ≤12，∴a·b 的最大值为12.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →|·|AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝AQ AP＝x ＋2(x ＋2)2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6. 方法二 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α<2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立． 押题预测1．已知向量a ，b 满足|a |＝3，且向量b 在向量a 方向上的投影为2，则a·(a －b )的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1押题依据 向量的数量积是高考命题的热点，常常考查平面向量的运算、化简、证明及其几何意义和平面向量平行、垂直的充要条件及其应用等几个方面． 答案 B解析 由向量b 在向量a 方向上的投影为2，得a·b |a |＝2，即a·b ＝6，则a·(a －b )＝a 2－a·b ＝9－6＝3.2．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.3．已知两个单位向量OA →，OB →的夹角为60°，向量OP →＝λOA →＋μOB →，且1≤λ≤2,1≤μ≤2，设向量OA →，OP →的夹角为α，则cos α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，255B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，63 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤277，5714 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤328，528押题依据 平面向量基本定理在向量中应用广泛，可与数量积等知识结合起来应用． 答案 C解析 如图，由题意知，动点P 在平行四边形CDEF 区域(含边界)内运动．易知∠AOD ≤α≤∠FOA . ∵|OF →|＝|OA →＋2OB →| ＝OA →2＋4OA →·OB →＋4OB →2＝7，∴cos∠FOA ＝OF →·OA →|OF →|·|OA →|＝OA →2＋2OA →·OB →7＝277.∵|OD →|＝|2OA →＋OB →| ＝4OA →2＋4OA →·OB →＋OB →2＝7，∴cos∠DOA ＝OD →·OA →|OD →|·|OA →|＝2OA →2＋OA →·OB →7＝5714.故277≤cos α≤5714，故选C. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是_________________________________________________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2. 又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ， 所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. 故选A.2．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112 B.112 C ．－292 D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 方向上的投影为( ) A.43 B ．－43 C.23 D ．－23 答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0， 即a 2－3a ·b ＝4－3a·b ＝0，a·b ＝43，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4.(2018·天津)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C解析 如图，连接MN .∵BM →＝2MA →， CN →＝2NA →， ∴AM AB ＝13＝AN AC， ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13，∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.故选C.5．(2018·宁波模拟)已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，M 为△OAB 内一点(包括边界)，OM →＝xOA →＋yOB →，若OM →·BA →≤－1，则以下结论一定成立的是( ) A.23≤2x ＋y ≤2 B.12x ≤y C ．－1≤x －3y D.23≤x ＋y ≤1 答案 B解析 因为|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，则不妨设OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，则OM →＝xOA →＋yOB →＝(x ＋y ，3y )，BA →＝(0，－3)， 所以OM →·BA →＝－3y ≤－1，解得y ≥13.又因为点M 为△OAB 内一点(包含边界)，所以x ，y 满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥13，x ＋y ≤1，取x ＝0，y ＝13，此时2x ＋y ＝13<23，故A 选项不一定成立；由y ≥13，x ＋y ≤1，得x ≤23，所以x 2≤13≤y ，故B 选项一定成立；取x ＝0，y ＝1，此时x －3y ＝－3<－1，故C 选项不一定成立；取x ＝0，y ＝13，此时x ＋y ＝13<23，故D 选项不一定成立，综上所述，选B.6．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，则|a ＋2b |＝________；a 与a －2b 的夹角为__________． 答案 2 3π3解析 由题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，所以|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝23，|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝2，则cos 〈a ，a －2b 〉＝a ·(a －2b )|a ||a －2b |＝|a |2－2a ·b |a ||a －2b |＝12，所以a 与a －2b 的夹角为π3. 7．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 由向量减法的三角形法则知，当a 与b 共线且反向时，|2a －b |的最大值为3. 此时设a ＝λb (λ<0)，则有|2a －b |＝|2λb －b |＝3， ∴|b |＝3|2λ－1|，|a |＝3|λ||2λ－1|.又由a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉，知 当a 与b 共线且反向时，a ·b 最小． ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos π＝－9|λ|(2λ－1)2＝9λ4λ2－4λ＋1＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λ－1λ－4≥－98⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当λ＝－12时取“＝”， ∴a ·b 的最小值为－98.8.如图，半圆的直径AB ＝6，O 点为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________．答案 －92解析 ∵PA →＋PB →＝2PO →， ∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2|PO →|·|PC →|cos π＝－2|PO →|·|PC →|， 由AB ＝6，得|CO →|＝3. 设|PO →|＝x (0≤x ≤3)，则－2|PO →|·|PC →|＝－2x (3－x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－92，当x ＝32时有最小值，最小值为－92.9．已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______． 答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0， ∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号．∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233， 即m ＋n 的最大值为233.10．(2018·浙江省重点中学联考)已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，点E 是AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，若AC →＝xAP →＋yDE →，则AC →·AP →的最小值是________，x ＋y 的最大值是________． 答案 1 5解析 如图，建立平面直角坐标系，则AC →＝(2,1)，DE →＝(1，－1)，直线BD 的方程为x 2＋y ＝1，∴设点P (2－2t ，t )(0≤t ≤1)， 则AP →＝(2－2t ，t )，∴AC →·AP →＝4－4t ＋t ＝4－3t (0≤t ≤1)， ∴当t ＝1时，AC →·AP →取得最小值1. 由AC →＝xAP →＋yDE →，得⎩⎪⎨⎪⎧(2－2t )x ＋y ＝2，tx －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32－t ，y ＝4t －22－t ，∴x ＋y ＝4t ＋12－t ＝92－t －4(0≤t ≤1)，∴当t ＝1时，x ＋y 取得最大值5.B 组 能力提高11.(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516 D ．3 答案 A解析 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116(0≤y ≤3)，∴当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116. 故选A.12.如图，已知圆O 的半径为2，A ，B 是圆O 上任意两点，且∠AOB ＝2π3，PQ 是圆O 的直径，若点C 满足OC →＝3λOA →＋3(1－λ)OB →(λ∈R )，当CP →·CQ →取得最小值时，λ的值为( )A.12 B.13 C.14 D.15答案 A解析 由已知得OP →＋OQ →＝0，OP →·OQ →＝－4，OA →·OB →＝2×2×cos 2π3＝－2，OA →2＝OB →2＝4，所以CP →·CQ →＝(CO →＋OP →)·(CO →＋OQ →)＝CO →2＋(OP →＋OQ →)·CO →＋OQ →·OP →＝CO →2＋OQ →·OP →＝[3λOA →＋3(1－λ)·OB →]2－4＝9λ2OA →2＋9(1－λ)2OB →2＋18λ(1－λ)OA →·OB →－4＝36λ2＋36(1－λ)2－36λ(1－λ)－4＝36(3λ2－3λ＋1)－4＝108⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋5≥5，当且仅当λ＝12时取等号，所以当λ＝12时，CP →·CQ →取得最小值5.故选A.13．(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，|b |＝________________________________________________________________________. 答案 2 2解析 设〈b ，c 〉＝θ，则由2|b －c |＝b ·c 得 4(b －c )2＝(b ·c )2，即4|b |2sin 2θ－16|b |cos θ＋16＝0，则4cos θ＝|b |sin 2θ＋4|b |≥2|b |sin 2θ·4|b |＝4sin θ，当且仅当|b |sin 2θ＝4|b |，即|b |＝2sin θ时，等号成立， 则tan θ＝sin θcos θ≤1，所以θ≤π4，当θ＝π4时，|b |＝2 2.14．已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，233解析 如图所示，记θ＝〈β，β－α〉，由正弦定理得|β|sin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝sin θ×23＝233sin θ. 又0°<θ<120°，∴0<sin θ≤1. 即0<|α|≤233.15．已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )． (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值．解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )单调递减．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时，sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64. 16．已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.。

专题一三角函数与平面向量高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。

解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。

三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。

平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。

向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算。

但同时，平面向量的工具性不容忽视。

以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、不等式等知识点的综合是我们值得注意的方向。

关于三角向量命题方向：（1）三角函数、平面向量有关知识的运算；（2）三角函数的图像变换；（3）向量与三角的综合运用及解三角形。

（4）与其它知识的结合，尤其是与解析几何的结合。

小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。

1、同角的三角函数关系：平方关系222222sin cos111tancos11cotsinαααααα⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩；倒数关系sin csc1cos sec1tan cot1αααααα⋅=⎧⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩；商数关系sin tan cos cos cot sin αααααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2、诱导公式可以概括为一句口诀：奇变偶不变，符号看象限。

诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin α与cos α对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2k π⋅+α的整数k 来讲的，象限指2k π⋅+α中，将α看作锐角时，2k π⋅+α所在象限，如将cos(23π+α)写成cos （32π⋅+α），因为3是奇数，则“cos ”变为对偶函数符号“sin ”，又23π+α看作第四象限角，cos(23π+α)为“+”，所以有cos(23π+α)=sin α。

专题三 三角函数与平面向量的综合应用1． 三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2． 三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t ＝ωx ＋φ，y ＝A sin t ，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3． 解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4． 平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．1． 已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin 9π2＋α ＝－sin α²sin α－sin α²cos α＝tan α.根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－34.2． 已知f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)的一条对称轴为y 轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.答案π6解析 f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，由θ＋π3＝k π＋π2 (k ∈Z )及θ∈(0，π)，可得θ＝π6.3. 如图所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2)图象的一部分，则f (x )的解析式为____________．答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋1解析 由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，B ＝1. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得φ＝π6.由图象知ω(－π)＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z )，得ω＝－2k ＋23(k ∈Z )．又2πω>2π，∴0<ω<1.∴ω＝23.∴函数f (x )的解析式是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋1.4． (2012²四川改编)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin∠CED ＝________. 答案1010解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解． 由题意知，在Rt△ADE 中，∠AED ＝45°， 在Rt△BCE 中，BE ＝2，BC ＝1，∴CE ＝5，则sin∠CEB ＝15，cos∠CEB ＝25. 而∠CED ＝45°－∠CEB ，∴sin∠CED ＝sin(45°－∠CEB ) ＝22(cos∠CEB －sin∠CEB ) ＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15＝1010. 方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解． 由题意得ED ＝2，EC ＝12＋22＝ 5. 在△EDC 中，由余弦定理得cos∠CED ＝CE 2＋DE 2－DC 22CE ²DE ＝31010，又0<∠CED <π，∴sin∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫310102＝1010. 5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →²PA →取得最小值时，tan∠DPA 的 值为________． 答案1235解析 如图，以A 为原点，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)，B (3，0)，C (3,2)，D (0,1)，设∠CPD ＝α，∠BPA ＝β， P (3，y ) (0≤y ≤2)．∴PD →＝(－3,1－y )，PA →＝(－3，－y )， ∴PD →²PA →＝y 2－y ＋9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋354，∴当y ＝12时，PD →²PA →取得最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， 易知|DP →|＝|AP →|，α＝β. 在△ABP 中，tan β＝312＝6，tan∠DPA ＝－tan(α＋β)＝2tanβtan 2β－1＝1235.题型一 三角恒等变换例1 设π3<α<3π4，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值． 思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系． 解 方法一 由π3<α<3π4，得π12<α－π4<π2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45.所以cos α＝cos[(α－π4)＋π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝210，所以sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝14＋5250.方法二 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，得sin α－cos α＝325， 两边平方，得1－2sin αcos α＝1825，即2sin αcos α＝725>0.由于π3<α<3π4，故π3<α<π2.因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝3225，故sin α＋cos α＝425，解得sin α＝7210，cos α＝210.下同方法一．探究提高 三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C ．－45D.45答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 题型二 三角函数的图象与性质例2 (2011²浙江)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．解 (1)由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ²RQ ＝A 2＋9＋A 2－ 9＋4A 2 2A ²9＋A2＝－12，解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝3.探究提高 本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A 是本题的难点．已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，φ＝2k π＋π6 (k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，解得x ＝k ＋13，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例3 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m²n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m²n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cosB ＝b cosC ，求函数f (A )的取值范围．思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC 中，求出∠A 的范围，再求f (A )的取值范围． 解 (1)m²n ＝3sin x 4²cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m²n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 探究提高 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B－lg cos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )²(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，所以a b ＝cos B cos A≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ， 所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B . 所以△ABC 是非等腰的直角三角形．(2)由m ⊥n ，得m²n ＝0.所以2a 2－3b 2＝0.① 由(m ＋n )²(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14， 所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14，即－3a 2＋8b 2＝14.② 联立①②，解得a ＝6，b ＝2.所以c ＝a 2＋b 2＝10. 故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10.高考中的平面向量、三角函数客观题典例1：(5分)(2012²山东)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3考点分析 本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想． 解题策略 根据整体思想，找出角π6x －π3的范围，再根据图象求函数的最值．解析 由题意－π3≤πx 6－π3≤7π6.画出y ＝2sin x 的图象如图，知， 当π6x －π3＝－π3时，y min ＝－ 3. 当π6x －π3＝π2时，y max ＝2. 故y max ＋y min ＝2－ 3. 答案 A解后反思 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)可看作由函数y ＝A sin t 和t ＝ωx ＋φ构成的复合函数．(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到．典例2：(5分)(2012²天津)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →²CP →＝－2，则λ等于( ) A.13B.23C.43D ．2考点分析 本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力．解题策略 根据平面向量基本定理，将题中的向量BQ →，CP →分别用向量AB →，AC →表示出来，再进行数量积计算．解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →²CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.答案 B解后反思 (1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；(2)本题在求解过程中利用了方程思想．方法与技巧1．研究三角函数的图象、性质一定要化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后利用数形结合思想求解．2．三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解． 失误与防范1．三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围．2．向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012²大纲全国)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ²b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →等于( ) A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 答案 D解析 利用向量的三角形法则求解．如图，∵a ²b ＝0，∴a ⊥b ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5. 又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ²AB ，∴AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b .2． 已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a²b 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π答案 B解析 f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 3． 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析 由m ⊥n 得m²n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0，∵π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.4． 已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，512πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤512π，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π答案 D解析 由题意，得：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以 点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使向量OA →与圆相 切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012²北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________． 答案π2解析 利用正弦定理及三角形内角和性质求解． 在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B， 即sin B ＝b sin Aa ＝3³323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.6． 在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______． 答案π2或π3解析 因为AB →＝(2cos x ＋1，－2cos 2x －2)，OC →＝(cos x,1)， 所以AB →²OC →＝(2cos x ＋1)cos x ＋(－2cos 2x －2)²1 ＝－2cos 2x ＋cos x ＝0，可得cos x ＝0或cos x ＝12，所以x 的值为π2或π3.7． 已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos x －sin 2x ＝________. 答案 －195解析 由题意知，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )， 得cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3， 所以1＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝1＋sin 2xcos 2x －2sin x cos x＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →²BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →²BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.9． (12分)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． 解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A .故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－A＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6，所以12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，所以32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫32，32. B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012²江西)已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析 将函数整理，利用奇函数性质求解． 由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2，令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎪⎫lg 15＋12，则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 2． 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值等于( ) A ．1 B.32C.12D.22答案 B解析 方法一 a ＋t b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋t ，32＋3t ，∴|a ＋t b |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3t 2＝4t 2＋2t ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋142＋34，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |2取得最小值34，即|a ＋t b |取得最小值32. 方法二 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，在OB 上任取一点T ，使得OT →＝－t b (t <0)，则|a ＋t b |＝|TA →|，显然，当AT ⊥OB 时，取最小值． 由TA →²OB →＝(a ＋t b )²b ＝a²b ＋t b 2＝0，得t ＝－14，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |取得最小值32.3． 在△ABC 中，AB →²BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2答案 B解析 记AB →与BC →的夹角为θ，AB →²BC →＝|AB →|²|BC →|²cos θ＝3，|AB →|²|BC →|＝3cos θ，S △ABC ＝12|AB →|²|BC →|²sin(π－θ)＝12|AB →|²|BC →|sin θ＝32tan θ，由题意得tanθ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，正确答案为B.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2011²安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．5．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 答案593 解析 ∵0<α<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝232，∵－π2<β<0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos[⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2]＝13³33＋232³63＝593.6． (2012²山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向 滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________． 答案 (2－sin 2,1－cos 2)解析 利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1³cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1³sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos 2， ∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)． 三、解答题7． (13分)已知f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 2－sin 4x2(a >0且a ≠1)，试讨论函数的奇偶性、单调性．解 f (x )＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2x 2＝log a 1－cos 2x 8.故定义域为cos 2x ≠1，即{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称且满足f (－x )＝f (x )，所以此函数是偶函数． 令t ＝18(1－cos 2x )，则t 的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )； 递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π2，k π(k ∈Z )．所以，当a >1时，f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )；递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π2，k π(k ∈Z )．当0<a <1时，f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π2，k π(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．。

高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求学生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的. 1向量运算与三角形问题的综合运用解答这类题，首先向量的基本概念和运算必须熟练，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用. 例. （镇江市2017届高三上学期期末）已知向量)sin ,(),,(cos αα21=-=，其中),(20πα∈，且⊥．（1）求α2cos 的值； （2）若1010=-)sin(βα，且),(20πβ∈，求角β的值．（2）由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-=，则cos()αβ-=……9分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---=-= ……12分因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分法二（1）由m ⊥ n 得，2cos sin 0αα-=，tan 2α=， ……2分故22222222cos sin 1tan 143cos2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-====-+++. ……4分2三角函数与三角形问题的结合三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.例 （苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()B C -的值． 解（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=， ………………2分即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1cos 2A =， ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π3A =． ……………………………………………………6分（2）因为3cos 5B =，(0,π)B ∈，所以4sin 5B ，…………………8分 所以24sin22sin cos 25B B B ==，27cos212sin 25B B =-=-， ……………10分 所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=- 2π2πsin 2cos cos2sin33B B =-………………………………12分2417()25225=-⨯--=14分 3.三角变换、向量、三角形问题的综合高考会将几方面结合起来命题，三角函数主要考察它的图象、常见性质；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，三角变换主要考察求值、化简、变形.例 （扬州市2017届高三上学期期中）在ABC ∆中，6AB =，AC =18AB AC ⋅=-． （1）求BC 的长； （2）求tan 2B 的值．又(0,)B π∈，所以sin B sin 1tan cos 3B B B ==，-------------11分所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3B B B ==--. ---------------------14分方法二：由6AB =，AC =cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-可得cos =2A -， 又(0,)A π∈，所以34A π=. ---------------------8分在ABC ∆中，sin sin BC AC A B =，所以sin sin 10AC AB BC⨯===，-----------10分 又(0,)4B π∈，所以cos 10B ，所以sin 1tan cos 3B B B ==， 所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3B B B ==--. ---------------------14分 4.实际应用中的三角形问题在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的.例（扬州市2017届高三上学期期末）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在∆ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方.经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=.记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域∆PMN 的面积为S 平方米． （1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：5tan 34≈） （2）求S 的最小值..所以s i n 22s i n c o s s i n ()2P E P E N PN PNE πθθ⨯∠===∠-， ---------------------4分所以∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 4sin 222θθ=+88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1，--------------------8分当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-， 所以35044πθ≤≤-. 综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.---------------------10分方法二：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理可知：sin sin ME PEPMEθ=∠， 所以s i 4s i s i n sis in ()4PE ME PME θθπθ⨯===∠-，---------------------2分又点P 到DE 的距离为4sin4d π==，---------------------6分所以∆PMN 的面积S=21441cos 212cos sin cos sin 222MN d θθθθθ⨯==+++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1，---------------------8分当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-， 所以35044πθ≤≤-. 综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.---------------------10分⑵当242ππθ+=即350,844ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S取得最小值为1)=.---------13分 所以可视区域∆PMN 面积的最小值为1)平方米.---------------------14分综合上述几个方面的阐述，解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键． 6.向量与三角形问题的结合向量具有“双重身份”，既可以像数一样满足“满足运算性质”进行代数形式的运算，，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景. 6.1 向量与三角形谈“心”内心（三角形内切圆圆心）：三角形三条内角平分线的交点； 外心（三角形外接圆的圆心）：三角形各边中垂线的交点； 垂心：三角形各边上高的交点； 重心：三角形各边中线的交点， 用向量形式可表示为如下形式：若P 是ABC ∆内的一点，(),0()0AB ACAP AB AC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩，P 是ABC ∆的内心；若D E 、两点分别是ABC ∆的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PCEP PC EP PA⎧⋅=⋅⎪⎨⋅=⋅⎪⎩P ⇒是ABC ∆的外心； 若0GA GB GC ++=,则G 是ABC ∆的重心；若P 是面ABC ∆内的一点，且PA PB PA PC PC PB ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC ∆的垂心. 例在ABC ∆中，16,7,c o s ,5A CBC A O A B C ===∆是的内心，若OP xOA yOB =+，01,01x y ≤≤≤≤其中，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 .思路分析：根据题意先在ABC ∆中，由余弦定理求出边AB ，再根据两种处理三角形面积的方法: 1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅和1()2ABC S OE AB AC BC ∆=++求出三角形面积，利用面积相等可求出内切圆的半径OE ，最后由题中所给条件OP xOA yOB =+，结合向量加法法则，不难得出动点的轨迹就为以OA 和OB 为邻边的平行四边形，由2S OAB =⨯∆即可求出平行四边形的面积.解析：由OP xOA yOB =+，01,01x y ≤≤≤≤其中.可得点P 的轨迹如图的阴影部分的面积，在三角形ABC 中由余弦定理可得AB=5.所以三角形ABC 的面积为11sin 5622ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯=.又由16(),23ABC S OE AB AC BC OE ∆=++∴=.所以阴影部分面积1625233S =⨯⨯⨯=.故填3. 点评：本题考查了三角形余弦定理、三角形面积公式和向量的应用，综合性高，难度大，密切联系已知条件和合理构思是解题的关键，在三角形中运用余弦定理和面积公式是基础，正确合理处理条件OP xOA yOB =+，其中01,01x y ≤≤≤≤是关键步骤.6.2判断三角形形状三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算，结合平面几何知识来判断三角形的形状例ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，()0BA BC AC +⋅=，则ABC ∆一定是 三角形思路分析：由三内角等差可判断3B π=，由()0B A B C A C +⋅=可得到三角形是等腰三角形，故三角形是等边三角形.解析：ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则有2B A C =+,所以3B π=，设D 是AC 边的中点 ，则=2BA BC BD +，所以20BD AC ⋅=，BD AC ⊥，所以ABC ∆一定是等边三角形.。