平面向量,三角形恒等变换知识点

数学解题技巧方法谈第一集1、三角恒等变换的基础、应用及技巧（1）2、关于简单三角变换的问题（21）3、三角恒等变换易错题剖析（28）4、知识大盘点基本初等函数及三角恒等变换（31）5、应试答题技巧（33）6、考前状态调整（36）7、数学(理)：2009年命题预测及名师指导（38）8、第二章数学科考试大纲导读（40）9、必考内容与要求：函数概念（44）10、必考内容与要求：立体几何初步（50）11、平面解析几何初步（54）12、算法初步（57）13、高考数学知识网络图（58）古人云：工欲善其事，必先利其器。

方法对头，百事不愁。

解题之道，技巧先行。

一. 教学内容：暑假专题——三角恒等变换的基础、应用及技巧二. 教学目的1、复习三角恒等变换的基本公式及相互关系2、分析三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧三. 教学重点、难点三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧四. 知识分析1. 三角函数恒等变形公式（1）两角和与差公式（2）二倍角公式（3）三倍角公式（4）半角公式（5）万能公式，，（6）积化和差，，，（7）和差化积，，，2. 网络结构3. 基础知识疑点辨析（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。

另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同：。

（2）怎样正确理解正切的和差角公式？正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。

②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不等于。

③用代替，可把转化为，其限制条件同②。

（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。

②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。

第1讲 平面向量和三角恒等变形知识要点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）=±)sin(βα （2）=±)cos(βα（3）=±)tan(βα 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（火箭班补万能公式） （1）=α2sin（2）=α2cos（3）=α2tan3、化异公式（辅助角公式）： =+x b x a cos sin运用此公式的注意事项：4、三角恒等的证明方法（1）从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简。

（2）等式两边同时变形为同一个式子。

（3）将式子变形后再证明。

5、向量的坐标运算： 若),(11y x a =，),(22y x b = （1）=+ （2）=-b a （3）a λ= （4）=⋅b a6、两非零向量平行、垂直的充要条件 若),(11y x a =，),(22y x b =则∥⇔ ⇔ ⇔⊥ ⇔ 7、求向量的夹角的问题 设θ为a 与b 的夹角，则（1）=θcos ；（2）若),(11y x =，),(22y x =，则=θcos （3）夹角大小的判定方法若a b a ⇔⋅0 与b 的夹角θ为 ；若a b a ⇔=⋅0与b 的夹角θ为 ；（,≠≠） 若a b a ⇔⋅0 与b 的夹角θ为 ；基础题演练1、若54cos -=α，α是第三象限的角，则)4sin(πα+=（ ）A.1027-B.1027C.102-D.102 2、已知是第二象限的角，34)2tan(-=+απ，则=αtan 3、设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（ ）= B.22=⋅b a C.b a -与b 垂直 D. a ∥b 4、b a ,为平面向量，已知)18,3(2),3,4(=+=，则b a ,夹角的余弦值等于（ ） A.658 B. 658- C.6516D. 6516-5、已知向量)2,1(),,1(),1,2(-=-=-=c m b a ，若c b a //)(+，则m =考点、热点、难点突破题型一 三角化简求值【例1】（1）已知παπβ 20，且32)2sin(,91)2cos(=--=-βαβα，求)cos(βα+的值；（2）已知),0(,πβα∈，且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值变式训练1（2010年北京）已知函数x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2-+=. （1）求)3(πf 的值（2）求)(x f 的最大值和最小值题型二 向量的有关概念及其运算【例2】(1)（2010年湖北）已知△ABC 和点M 满足0=++MC MB MA ，若存在实数m 使得m =+成立，则m=（ ）A.5B.4C.3D.2（2）（2010年山东）定义平面向量之间的一种“☉”如下：对于任意的),(),,(q p b n m a ==，令☉np mq -=错误的是（ ）A.若a 与b 共线，则a ☉b =0B. a ☉b =b ☉aC.对任意的R ∈λ，有（a λ）☉b =λ（a ☉b ）D.（☉2)+2)(⋅变式训练2（1）平面向量b a ,的共线的充要条件是（ ）A 、b a ,方向相同B 、b a ,两向量中至少有一个为零向量C 、存在a b R λλ=∈,D 、存在不全为零的实数0,,2121=+b a λλλλ （2）（2009年山东理科）设P 是ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+则（ ） A.0=+PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PB PC D. 0=++PC PB PA题型三 平面向量和三角函数【例3】（2009年江苏）设向量)sin 4,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(ββββαα-===c b a（1）若a 与c b 2-垂直，求)tan(βα+的值； (2)+的最大值；（3）若16tan tan =βα，求证：//变式训练3在四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB （1）若=，试求x 与y 满足的关系式；（2）若x ，y 满足（1）同时又有BD AC ⊥，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积。

三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。

第一讲 任意角的三角函数一．知识梳理⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合. (1).象限角：终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为________________________________; 第三象限角的集合为_________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ （2）.轴线角：终边落在坐标轴上，则成α为轴线角. 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为_______________________终边在坐标轴上的角的集合为________________________ 3、与角α终边相同的角的集合为________________________4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()r r =>，则s i n ____α=，cos ___________α=，()tan ___________0x α=≠．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：_____________________； 变形：（2）商数关系：_______________； 变形 ：13﹑诱导公式()()1sin 2_________k πα+=，()cos 2________k πα+=，()()tan 2__________k k πα+=∈Z ．()()2sin _________πα+=，()cos _________πα+=，()tan ________πα+=．()()3sin _________α-=，()cos ________α-=，()tan _________α-=．()()4sin __________πα-=，()cos __________πα-=，()tan _______πα-=．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin _________2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos _____--2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin ______2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos _______2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限一．精典习题练 习 一（一）．选择题（共26小题）3．已知角α、β的终边相同，那么α﹣β的终边在（ ）6．若α是第一象限角，则﹣是（）B D10．已知扇形的周长是3cm，面积是cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）D12．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）13．设地球半径为R，在北纬60°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是（）B D14．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）B﹣﹣16．若角θ的终边过点P（﹣4a，3a）（a≠0），则sinθ+cosθ等于（）17．已知点P（sin，cos）落在角θ的终边上，则tanθ=（）BB D﹣19．角α的终边在直线上，则cosa的值是（）B D20．角α的终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x，则sinα等于（）x BxD﹣21．点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）D．22．若，且0＜α＜π，则tanα的值是（）B D23．若，下列选项正确的是（）24．已知a=sin（﹣1），b=cos（﹣1），c=tan（﹣1），则a、b、c的大小关系是（）25．的大小关系是（）B D二．填空题（共3小题）27．根据角α终边所在的位置，写角α的集合，在y轴上，_________，k∈Z第二象限角平分线，_________，k∈Z第一、第三象限角平分线，_________28．经过一个小时，时针转过的弧度数为_________rad．（不考虑方向）29．若扇形OAB的面积是2cm2，它的周长是4cm，则该扇形圆心角的弧度数是_________．三．解答题（共1小题）30．（1）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，），且cosα=x，求sinα与tanα的值；（2）已知角θ的终边上有一点P（x，﹣1）（x≠0），且tanθ=﹣x，求sinθ，cosθ．练习二一．选择题（共28小题）1．本式的值是（）D2．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）B D3．已知sin（）=，则=（）B D﹣4．已知，则的值为（）B DB D 6．（2008•四川）已知，则=（）7．已知=﹣5，那么tanα的值为（）D﹣第二讲三角函数的图像和性质一．知识梳理2（1）、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移______个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的______伸长（缩短）到原来的______倍（纵坐标不变），得到函数()s i n y x ωϕ=+的图象；再将函数()s i n y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的___倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．（2）.函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的____倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移_____个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长或缩短）到原来的___倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：______；②周期：_______； ③频率：__________；④相位：_______；⑤初相：_______．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，若当1x x =时，取得最小值为m in y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m ax m in 12y y A =-，()m ax m in 12y y B =+，()21122x x x x T =-<．一． 精典习题1．（2011•山东）若函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（ ）B．．．3．的图象是（ ）关于点关于直线4．函数y=|sinx|的一个单调增区间是（ ）BD5．下列函数的图象与右图中曲线一致的是（ ）y=|sinx|+y=|sin2x|+（﹣xD.8．函数y=|sinx|﹣2sinx 的值域是（ ）2B，[，，[11．函数在下列区间上为增函数的是（ ）[，[，﹣﹣，12．已知函数f （x ）=sin （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）x=对称关于点（﹣对称关于点（第三讲 三角恒等变换一．知识梳理1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos __________________αβ-=；⑵()cos _________________αβ+=； ⑶()sin __________________αβ-=；⑷()sin _________________αβ+=； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（tan tan ____________________αβ-=）；⑹()tan _____________αβ+=（tan tan __________________αβ+=）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 2_______________α=．⑵cos 2___________________________________________α=== （2cos ___________α=，2sin ____________α=）． ⑶tan 2_________________α=．3、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．二．精典习题练习一1．（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）B D2．（2006•重庆）若，，，则cos（α+β）的值等于（）B D3．已知sin（α﹣β）cos α﹣cos（α﹣β）sin α=，那么cos 2β的值为（）B﹣﹣4．已知，且，则cosα=（）B﹣5．已知，则的值是（）B D6．（2012•湛江）若函数y=f（x）=sinx+cosx+2，x∈[0，2π），且关于x的方程f（x）=m 有两个不等实数根α，β，则sin（α+β）=（）B D7．（2011•番禺区）若在x∈[0，]内有两个不同的实数值满足等式cos2x+sin2x=k+1，则k的取值范围是（）8．已知锐角α、β满足，则α+β等于（）B211．（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED 则sin∠CED=（）B D12．在△ABC中，∠C=120°，，则tanAtanB的值为（）B D13．已知，，那么的值是（）B DB D﹣15．已知A+B=，则（1+tanA）（1+tanB）=（）B DD17．（2012•江西）若tanθ+=4，则sin2θ=（）B D 18．（2011•福建）若tanα=3，则的值等于（）19．已知，用单位圆求证下面的不等式：（1）sinx＜x＜tanx；（2）．20．设，化简．练习二1．（2011•辽宁）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）D ﹣2B D3．（2009•陕西）若3sinα+cos α=0，则的值为（）B D4．（2008•海南）=（）B5．（2005•江苏）已知，则cos（π+2α）的值为（）B D6．已知θ为第Ⅲ象限角，则等于（）cos1．，用反余弦表示x的式子是（）sinx3．w是正实数，函数f（x）=2sinwx在上是增函数，那么（）B D4．函数y=定义域是（）（其中k∈Z）．5．函数的单调减区间为（）（k∈Z）（k∈Z）（k∈Z）（k∈Z）6．函数的单调递减区间是（）（k∈Z）（k∈Z）（k∈Z）（k∈Z）7．函数的单调增区间为（），k∈Z ，k∈Z，k∈Z ，k∈Z8．M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（）D9．（2000•北京）函数的最大值是（）B D10．对于函数f（x）=，给出下列四个命题：①该函数的值域为[﹣1，1]；②当且仅当x=2kπ+（k∈z）时，该函数取得最大值1；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈z）时，f（x）＜0．上述命题中错误命题的个数为（）T）为（）12．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期并写出其图象的对称中心的坐标；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．13．已知函数为常数）．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）若时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．14．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．15．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的递增区间；（3）当时，求f（x）的值域．16．已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最小值g（λ）（用参数λ的代数式表示）；（2）若函数f（x）的最小值等于﹣8求λ的值．17．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值，以及对应的x的值．18．已知函数f（x）=（Ⅰ）若tan2x=，求f（x）的值；（Ⅱ）若x，求f（x）的最值．19．已知函数f（x）=sin2xsinφ﹣2cos2xcos（π﹣φ）﹣sin （+φ）（0＜φ＜π）在x=时取得最大值．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上个点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，若g（a）=，求sina的值．20．已知函数．（1）若x∈R，求f（x）的单调递增区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值．21．已知函数（1）当x∈R时，求f（x）的单调递增区间；（2）当时，且f（x）的最小值为2，求m的值．练习四1．已知α、β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）=_________．2．的值为_________．3．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．4．若，，且，，求（1）sin2β的值．（2）cosα的值．5．（2011•天津）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．6．已知函数，x∈R．（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？7．已知函数f （x ）=sin2x •sin φ+2cos 2x •cos φ﹣cos φ，其中φ∈（﹣，），且f （）=．（1）求f （x ）的解析式，并利用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象； （2）当x ∈（0，）时，求f （x ）的值域．8．已知函数（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （2）求出f （x ）的周期、单调增区间；（3）说明此函数图象可由y=sinx 的图象经怎样的变换得到．练 习 五1. =︒330sin ____________________________2.已知aa x --=432cos ，且x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是________3.已知α是第二象限的角，21tan -=α，则=αcos ___________4.若2tan =α，则ααααcos 2sin cos 2sin +-的值为__________________5.已知2tan =θ，则=-+θθθθ22cos 2cos sin sin ________6.已知23)2cos(=+ϕπ，且2||πϕ<，则=ϕtan __________7.下列关系式中正确的是( )A.︒<︒<︒168sin 10cos 11sinB.︒<︒<︒10cos 11sin 168sinC.︒<︒<︒10cos 168sin 11sinD.︒<︒<︒11sin 10cos 168sin8．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα．（2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．9.满足函数x y sin =和x y cos =都是增函数的区间是（）A ．]22,2[πππ+k k , Z k ∈B ．]2,22[ππππ++k k , Z k ∈ C ．]22,2[ππππ--k k , Z k ∈D ．]2,22[πππk k -Z k ∈10.要得到函数)42sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象（ ）（A ）向左平移4π个单位 （B ）向右平移4π个单位 （C ）向左平移8π个单位 （D ）向右平移8π个单位11.函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．612．已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为（ ） A ．x y 23sin2= B ．)23sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 21=第四讲 平面向量一． 知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．（3）运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+= ．．3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ．①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向______；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向______；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．．6、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使____________a =．（不共线的向量1e 、baCBAa b C C -=A -AB =B2e作为这一平面内所有向量的一组基底）7、平面向量的数量积：⑴()cos 0180a b a b θθ⋅=≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a和b 都是非零向量，则①_________a b ⊥⇔．②当a 与b 同向时，______a b ⋅=；当a 与b 反向时，_______a b ⋅= ；22a a a a ⋅== 或a =③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①_____a b ⋅=；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()__________a b c +⋅=．8. 坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y = ，则___________a b ⋅=__________a =cos <a b>_________a ba b⋅== ，________________a b +=______________a b -=(),_________a x y λλ==．当且仅当__________ _时，向量()//0a b b ≠．______________a b ⊥⇔．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则( )A B =，．二．精典习题练习一1．化简（）B D2．△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P一定在（）3．在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足，则P是△ABC的（）4．（2007•北京）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）B D5．已知A、B、C三点在同一条直线l上，O为直线l外一点，若=，p，q，6．下列三个说法不正确的个数是①零向量是长度为0的向量，所以零向量与非零向量不平行．②因为平面内的向量与这个平面内的有向线段一一对应，所以平面内的向量可以用这个平面内的有向线段表示．③因为向量，所以AB∥CD．（）9．已知、是两单位向量，下列命题中正确的是（）B D若，是两个单位向量，则若向量和共线，则向量，11．若，且，则四边形ABCD是（）12．已知下列各式：①；②③④其中结果为零向量的个数为（）13．在△ABC中，，，且，则等于（）B D14．在△ABC中，点P是AB上一点，且=+，又=t，则t的值为（）B D15．如图，O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，，∠OAB=∠ABC=，则的坐标为_________．16．在△ABC 中，，，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，用a 、b 表示为 _________ ．17．与向量平行的单位向量是 _________ ．18．向量与向量的夹角为600，且，，则的值为_________ ．19．已知向量，，且，f （x ）=•﹣2λ||（λ为常数），求：（1）•及||；（2）若f （x ）的最小值是，求实数λ的值．练 习 二1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．)0,0(=a )2,1(-=bB ．)2,1(-=a)4,2(-=b C ．)5,3(=a )10,6(=b D ．)3,2(-=a)9,6(=b2.已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm 等于( ) A ．21-； B ．21； C ．2-；D ．2；3.已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a + b =（1，3），则a 等于（ ）A ．2 B .3 C. 5 D. 104. 已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5.(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为 （ ）A． B ． 2C ．D ．106.已知)1,6(),2,3(-==b a ，而)()(b a b a λλ-⊥+，则λ等于（ ）A ．1或2B ．2或－12C ． 2D ．以上都不对C ．2-D ．37.,,3AB a AC b BD D C === ，则AD =( )A ．34a b +B ．1344a b +C ．1144a b +D ．3144a b +8.设向量1(cos ,)2a α=的模为2，则cos 2α的值为（ ）A. 14- B. 12- C. 1229. 已知(sin ,1)a α= ，(2,3)b =，若a 与b 平行，则cos 2α=练 习 三一．选择题（共30小题）1．（2012•重庆）设x ∈R ，向量=（x ，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（ ）B22．（2012•重庆）设x ，y ∈R ，向量=（x ，1），=（1，y ），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（ ）BDABCD3．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（）B D4．（2012•辽宁）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（）∥B⊥||=|+=﹣5．（2012•江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）6．（2012•大连）设向量、满足：||=1，||=2，•（﹣）=0，则与的夹角是（）7．（2011•辽宁）已知向量=（2，1），=（﹣1，k），•（2﹣）=0，则k=（）8．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，则=（）B D9．（2010•四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（）10．（2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得11．（2009•陕西）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（）B D12．（2009•山东）设p是△ABC所在平面内的一点，，则（）B D13．（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）B14．（2009•湖南）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）++=0 B﹣+=0 +﹣=0 D﹣﹣=0 15．（2009•广东）已知平面向量=（x，1），=（﹣x，x2），则向量+（）16．（2009•福建）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于（）以，以，，为两边的三角形面积以，17．（2008•浙江）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）D18．（2008•辽宁）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（）B D19．（2008•辽宁）已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，则顶点D的坐标为（）B20．（2007•山东）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）。

高二必修四数学三角恒等变换知识点
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

以下是为大家整理的高二必修四数学三角恒等变换知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，一直陪伴您。

知识结构：
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。

难点：两角差的余弦公式的探索和证明。

2.简单的三角恒等变换
重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点.
难点：公式的灵活应用.
三角函数几点说明：
1.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟练配角和sin和cos的计算.
3.已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展.
4.熟练掌握函数y=Asin(wx+j)图象、单调区间、对称轴、对称点、特殊点和最值.
5.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆.
6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
最后，希望小编整理的高二必修四数学三角恒等变换知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。

解三角形： 1、正弦定理变形：A R a sin 2= R aA 2sin =C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理 变形： 3、△ABC 中,sin A>sin B ⇔ A>B4、△ABC 中，C B A -=+π，求取值范围时转化为函数用消元法（注意变量的取值范围）()()()C B A C B A C B A tan tan ,cos cos ,sin sin -=+-=+=+例：在ABC ∆中，已知C B A <<，B a cos =，A b cos =，C c sin =．（1）求ABC ∆的外接圆半径R 和角C 的值；（2）求c b a ++的取值范围5、判断三角形形状：（1）转化为边（2）转化为角 例：（1）已知B b A a cos cos =,判断三角形形状(等腰或直角三角形) （2）已知A b B a cos cos =,判断三角形形状（等腰三角形）6、△ABC 面积公式：A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===例：ABC ∆的三边分别为c b a ,,，面积22)(c b a S --=，则=2tanA____7、构成锐角三角形：构成三角形且最大角为锐角 构成钝角三角形：构成三角形且最大角为钝角 例：（1）锐角ABC ∆中，若1=a ，2=b ，则c 的取值范围是_________（2）已知1+k 、2+k 、3+k 为钝角三角形的三条边，且此三角形的最大角不超过 120，则实数k 的取值范围是8、△ABC 中，若A 为最大角，则018060<≤A ，若A 为最小角，则0600≤<A 9、已知锐角b a A ,,，三角形无解：A b a sin 0<<，一解：A b a sin =或b a ≥ 两解：b a A b <<sin已知钝角b a A ,,，三角形无解：b a ≤<0 一解：b a > 10、A 为锐角222c b a +<，A 为钝角222c b a +>R CB A cb a C B Ac b a C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin =----=++++===C ab b a c Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=2ab c b a cosC 2ac b c a cosB 2bcac b cosA222222222-+=-+=-+=11、在ABC ∆中，21sin =A 则030=A 或0150（一般求A cos ） 12、bc c b c b ,,-+与正余弦定理的结合例：ABC ∆中，15,8,2==+=+ac c a B C A ，求b向量知识点：1、a ∥b ⇔a ＝λb (0≠b )⇔x 1y 2－x 2y 1＝02、()()2211,,,y x B y x A 中点公式()y x M ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x xx ()()212212y y x x -+-=()()()332211,,,,,y x C y x B y x A 的重心坐标⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x G3、a ⊥b ⇔b a ⋅＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O （注意反过来时a 与b 为非零向量） 4、θb a =⋅（θ为a 与b 的夹角要共起点，001800≤≤θ）b a =θcos =222221212121y x y x y y x x +⋅++5、A 、B 、C 三点构成三角形：AB 与AC 不共线6、重视共线向量（夹角为0或32π） 例：同一平面上的向量c b a,,321====++b7、a 与b 夹角为锐角：0>⋅b a 且a 与b 不共线。

α第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ⑴ c os (- ) = cos cos + s in sin ；⑵ c os (+ ) = cos cos - s in sin ； ⑶ s in (-) = s incos - c os sin ；⑷ s in (+) = s incos + c os sin ；⑸tan (-)= tan - tan⇒ 1+ tan tan⑹tan (+ ) = tan + tan⇒1- tan tan（ tan - tan = tan (- )(1+ tan tan ) ）；（ tan + tan = tan (+ )(1- tan tan ) ）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴⇒ 1 ± s in 2= s in 2 + c os 2 ± 2 s incos = (sin± c os )2sin 2= 2 sincos．⑵ cos 2= cos 2- sin 2= 2 cos 2-1 = 1- 2 sin 2⇒ 升幂公式1 + cos = 2 cos 2 2 ⇒ 降幂公式cos 2cos 2+1，- cos = 2 s in 2221- cos 226、 =2万能公式:sin= ．22 tan α 1 - tan 2 αsin α= 2 ; cos α=2 1 + tan 2 α 2 1 + tan 2 α 2tan 2=2 tan．1- tan227、半角公式:cos = ± 2 1+ cos α α ; sin ± 2 21- cos α2 tan α= 2⇒ （后两个不用判断符号，更加好用）28、合一变形 ⇒ 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y = A sin(x +) + B 形式。

A sin + B cos =(+) ，其中tan= B ． A29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件， 灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1） 角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的A 2+ B 2,1= sin α = 1- cos α 1+ cos α sin α 1- cos α 1+ cos α3(差异，使问题获解，对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是的二倍；是的二倍；o o o o o 30o2 2 4②15 = 45 - 30 = 60 - 45 = ；问：sin2 12 =；cos =12；③= (+) -；④+=4 2-) ；4⑤2= (+) + (-) = (4 +) -4-) ；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。