(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用定理：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A证明：如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则；BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆；OD =DC BC OB +BCBDOC =C B BS S S +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++===∴ CB A S S S OD +-=OA ； ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论 O 是ABC ∆内的一点，且0OA OB OC x y z •••++=，则::::BOC COA AOB S S S x y z ∆∆∆=有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0OA OB OC ++= O 是ABC ∆的内心 [三角形的内心在向量AB AC ABAC+所在的直线上. ]⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0OA OB OC a b c •••++= O 是ABC ∆的外心OA OB OC ⇔==⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC •••++= O 是ABC ∆的垂心[OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅⇔O 为△ABC 的垂心.]⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :； ∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆例1 P 是ABC ∆内一点，2155AP AB AC =+，则ABP ABC S S ∆∆= .例2 若ABC ∆接于以O 为圆心， 1 为半径的圆，且3450OA OB OC ++= ，则该ABC ∆ 的面积为（ ）例3 P 为ABC ∆内部一点，且满足22PB PA ==，56APB π∠=，且2340PA PB PC ++=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．98B ．43C ．1D ．65奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、 四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲 动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。

是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・ 例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩 為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点 在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +AC AC 所在的直线上. AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0 ⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD =DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC ，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD ，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC ，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC ，由已知得BC =a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC ，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC ⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +AC ACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C 【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC AC 为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +AC AC，即AP =λAB AB +AC AC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB +cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B 【解析】因为IB =IA +AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB +cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +c AC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC=-bc a +b +c AB c +AC b=-bc a +b +c AB AB +AC AC ，所以IA 在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yAC x ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN =NC ,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC ，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A 【解析】PA =PB =PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B 【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA +OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO =( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D 【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA 2，得BH ⋅HC =CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC 2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH ⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB ，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC ，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC =0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC =0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA +5HB +6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB +6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC =0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO =( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC 【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC .故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB 2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与ABAB cos B +AC ACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB 2=12AB2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC =0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF =13λAE +13μAF ，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB AB cos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C=AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C AC cos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +AC AC cos C与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，∴AB AB cos B +AC AC cos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD ，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD ，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE ，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC ，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA =2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC ,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC =35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×AD AO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC =36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13 ，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D 【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC =0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0 ，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP =OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD ，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab =22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB ，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC)，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO ，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，因此，BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0，D 对.故选：BCD .17.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =14【答案】ABC【解析】有题意可知：OA =OB =OC =1．对于A ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA =-3OB -4OC．两边同时平方得到：4OA 2=9OB 2+16OC 2+24OB ⋅OC．解得OB ⋅OC =-78，故A 正确．对于B ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA -2OB =-5OB -4OC ⇒2AB =5OB +4OC．两边再平方得到：4AB 2=25OB 2+16OC 2+40OB ⋅OC．结合A 可得：AB =62．所以B 正确．对于C ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒3BO =2OA +4OC．两边平方得到：9BO 2=4OA 2+16OC 2+16OA OCcos ∠AOC ．解得cos ∠AOC =-1116．同理可得cos ∠AOB =14，cos ∠BOC =-78．∵∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．∴cos2∠C =14<12，所以π3<2∠C <π2，则2π3<4∠C <π，cos2∠A =-78<-22，所以3π4<2∠A <π，∵cos4∠C =2cos 22∠C -1=2×142-1=-78=cos2∠A ，2∠A =4∠C ．∴∠A =2∠C ．故C 正确；由cos2∠A =2cos 2∠A -1=-78，所以cos 2∠A =116，所以sin 2∠A =1516，所以sin ∠A =±154，显然sin ∠A =154，故D 错误．故选：ABC ．18.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG【答案】ABCD【解析】在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA =-2GD ，又D 为BC 的中点，所以GB +GC =2GD ，所以GA +GB +GC =-2GD+GD =0 ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，∴△AHG ∽△DOG ，∴GH OG =AH OD =AGDG=2，∴GH =2OG ，AH =2OD ，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE ⊥BC ，垂足为E ，∴△DEG ∽△DNA ，则GE AN =DG DA=13，∴△BGC 的面积为S △BGC =12×BC ×GE =12×BC ×13×AN =13S △ABC ；同理，S △AGC =S △AGB =13S △ABC ，选项D 正确.故选：ABCD19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-4【答案】AB【解析】选项A ：因为AO =OD ，所以O 为AD 中点，由题易知AO =OD =12OB +OC ，故A 正确．选项B ：若AO =2OD ，则点O 为△ABC 的重心，(三角形重心的性质)则OB =2EO，故B 正确．选项C ：若AO =3OD ，则OB =OD +DB =14AD +12CB =14×12AB +AC +12AB -AC=58AB -38AC，故C 错误．选项D ：若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OD ⊥BC ，(三角形外心的性质)故OB ⋅BC =OD +DB ⋅BC =-12BC 2=-8，故D 错误．故选：AB20.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC =0B.AG ⋅BC =-73 C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC【答案】ACD【解析】对于A 选项，由垂心的性质可知AH ⊥BC ，则AH ⋅BC=0，A 对；对于B 选项，设D 为BC 的中点，则AG =23AD，AD =AB +BD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，所以，AG =23AD =13AB +AC ，所以，AG ⋅BC =13AC +AB ⋅AC -AB =13AC 2-AB 2 =73，B错；对于C 选项，由外心的性质可知OB =OC ，则OD ⊥BC ，∴AO ⋅BC =AD +DO ⋅BC =AD ⋅BC =12AB +AC ⋅AC -AB =12AC 2-AB 2 =72，C 对；对于D 选项，由AH ⎳OD 得AH OD =AGGD=2，所以AH =2OD ，因为OD =OB +BD =OB +12BC =OB +12OC -OB =12OB +OC，所以OH -OA =AH =2OD =OB +OC ，即OH =OA +OB +OC，D 对.故选：ACD .三、填空题21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.【答案】6,-6 【解析】设点C a ,b ，∵G (2,0)是△ABC 的重心，所以，-6+6+a 3=22+4+b 3=0，解得a =6b =-6 ，故点C 的坐标为6,-6 .故答案为：6,-6 .22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA=1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．【答案】①③【解析】由题意可知：OA =OB =OC =1．①2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA =-3OB -4OC ，两边同时平方得到：4=9+24OB ⋅OC +16，解得：OB ⋅OC =-78，故①正确．②2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA -2OB =-5OB -4OC ，2BA =-5OB -4OC ，两边再平方得到：4AB 2=25+16+40OB ⋅OC=6．所以|AB =62，所以②不正确．③2OA +3OB +4OC =0 ，4OC =-3OB -2OA ，两边平方得到：16=9+4+12OA ⋅OB =13+12OA OB cos ∠AOB ，cos ∠AOB =14，∠AOB ∈0,π2，同理可得：cos ∠BOC =-78，∠BOC ∈π2,π ，∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．故cos2C =14，cos2A =-78，且∠C ∈0,π4 ，∠A ∈π4,π2，cos4C =2cos 22C -1=2×14 2-1=-78=cos2A ，即∠A =2∠C ．故③正确．故答案为：①③23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB=___________．【答案】-72【解析】如图：E ,F 分别为CB ,CA 的中点，则OE ⊥BC ,OF ⊥AC∴OC ⋅AB =OC ⋅CB -CA =OC ⋅CB -OC ⋅CA=OE +EC ⋅CB -OF +FC ⋅CA=OE ⋅CB +EC ⋅CB -OF ⋅CA -FC ⋅CA=-12|CB |2--12|CA |2 =12CA |2- CB |2 =12×9-16 =-72.故答案为：-72.24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.【答案】①②③④【解析】对于①，若△ABC 是钝角三角形，由tan C =-tan (A +B )=-tan A +tan B1-tan A tan B得tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C <0，故①正确，对于②，若△ABC 是锐角三角形，则A +B >π2，有0<π2-B <A <π2且0<π2-A <B <π2，则cos B =sin π2-B<sin A ，同理得cos A <sin B ，故cos A +cos B <sin A +sin B ，故②正确，对于③，由HG ⋅BC =(AG -AH )⋅BC =AG ⋅(AC -AB )=12(AC 2-AB 2)=4，故③正确，对于④，若sin B =25,tan C =34，则sin C =35，sin B <sin C <22，则B <C <π4，故A >π2>C >B ，故④正确，故答案为：①②③④25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN =2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.【答案】596【解析】分别取AB ,AC 的中点E ,F ，连接OE ,OF ，因为O 为△ABC 的外心，∴OE ⊥AB ,OF ⊥AC ，∴AB ⋅OE =0,AC ⋅OF =0，∵BN =2NC ，∴BN =23BC ，∴AN =AB +BN =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，∴AO ⋅AB =12AB +EO ⋅AB =12AB 2=92，AO ⋅AC =12AC +FO ⋅AC =12AC 2=252，∴AN ⋅AO =13AB +23AC ⋅AO =13AB ⋅AO +23AC ⋅AO =13×92+23×252=596故答案为：59626.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，则∠A =___________．【答案】π3【解析】首先我们证明一个结论：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，a ,b ,c 为△ABC 的三边长，若a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ,则O 是△ABC 的内心.证明:OB =OA +AB ,OC =OA +AC ,则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ⇔(a +b +c )⋅OA +b ⋅AB +c ⋅AC =0 ,等式两边同时除以a +b +c 得，AO =bc a +b +c AB |AB |+AC |AC | ，AB |AB |表示AB 方向上的单位向量，同理AC |AC |表示AC 方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知bc a +b +c AB |AB |+AC |AC |表示∠BAC 的角平分线方向上的向量，则AO 为∠BAC 的角平分线，同理BO 、CO 分别为∠ABC ,∠ACB 的角平分线，所以O 是△ABC 的内心.于是我们得到本题的一个结论aGA +bGB +cGC =0 ．又∵cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，∴由正弦定理与题目条件可知sin A :sin B :sin C =a :b :c =cos A :cos B :cos C ．由sin A :sin B =cos A :cos B 可得sin A cos B -cos A sin B =sin (A -B )=0，可得A =B ，同理可得B =C ,C =A ，即A =B =C =π3．故答案为：π3.27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA =11+OF OA=11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-3228.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC =___________【答案】6-23【解析】解法1：不难发现，△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID =IE =IF =r ，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD =BF =r ，从而AD =2-r ，CF =23-r ，易证AE =AD ，CE =CF ，所以AE =2-r ，CE =23-r ，故AE +CE =2+23-2r =AC =4，从而r =3-1，AD =2-r =3-3，AI ⋅BC =AI ⋅AC -AB =AI ⋅AC -AI ⋅AB =AI ⋅AC ⋅cos ∠IAC -AI ⋅AB ⋅cos ∠IAB=AE ⋅AC -AD ⋅AB =AD AC -AB =2AD =6-23.故答案为:6-23.解法2：按解法1求得△ABC 的内切圆半径r =3-1，由图可知AI在BC 上的投影即为3-1，所以AI ⋅BC =3-1 ×23=6-23.故答案为:6-23.。

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1 =ODBCDCOB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCΘ CB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD+-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是厶ABC 内的一点， BOC^ AOC^ AOB 的面积分别为 S A , S B ,S C ,求证:S A ∙OA S B ∙OB S C ∙OC = 0S B S CS A ∙OA S B ∙OB S C ∙O^ 0推论0是ABC 内的一点，且X ・OA y ∙OB z*O^ = 0 ,则S BOC : S COA S AOB =x: y:ZOD洼OBID OCS BOBSB ' S CS B⅛OCOD OA_ S BOD SBOA_ S COD SlSCOABOD■ S CODSBOA ' S COAS A S B S COD =-S A OA—OAS B S CS⅛OBS⅛OC如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BD DC图1有此定理可得三角形四心向量式S AOB =1:1:1= OA QB OC = 0O 是:ABC 的外心二 S BQC : S-CQA : S AoB =Sin2A:Sin2B: Sin2C =Sin2AQA sin2B∙0B Sin2C QC = 0O 是ABC 的垂心U S-BOC : S 'COA : S AOB =tan A: tan B: tanC =tan A ∙0A tan B ∙0B tanC ∙0C = 0S BOC : S COA=DB : ADS 岳OC : S^COA =tan A: tan B同理得 S COA : S AO B ^tan B：tanC , S BOC : S-AO B^tan A ：tanCS BoC : S COA : S AOB H tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统O 是ABC 的内心=abc =a ∙OA b*OBtan^≤D,tanBAD CD — =——=tan A: ta n B = DB: AD DBO 是ABC 的重心B证明：如图O 为三角形的垂心,4.2三角形“四心”的相关向量问题一•知识梳理:四心的概念介绍：垂心：高线的交点，高线与对应边垂直;如图⑴.Op=OA …（AB ∙AC）, ■（0, •：：）,则P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）.A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】由题意AP=^.(AB AC),当…(0, •时，由于■ (AB ■ AC)表示BC边上3 Q程ABC所在平面内一点，动点P满足' -"λ(∈( 0, +∞)),则动点P的轨迹一定通过厶ABC的( )A.内心B.重心C.外心D.垂心重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2 : 1；内心：角平分线的交点(内切圆的圆心) ,角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心：中垂线的交点(外接圆的圆心) ,外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量中的三角形四心问题结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(Θ四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

即内切圆的圆心。

结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABC P CB CB CA BC BA AC AB ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,21211121λλ结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，不共线，则与由于证明：不妨设ABC P ACB CD ab DB DA b ac b a DB DA PC b a c b a c b a c a PCPD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=,0,)()()()(b λλλλλ。

三角形的“四心”与平面向量一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC 的< ）b5E2RGbCAPＡ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P 是△ABC的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕.A．重心 B.垂心 C.外心 D.内心与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：①设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心。

②设，则向量必平分∠BAC的邻补角③设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心④△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心⑤点是△ABC的外心⑥点是△ABC的重心⑦点是△ABC的垂心⑧点是△ABC的内心(其中a、b、c为△ABC三边>⑨△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥⑩设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心，则有并且重心G<错误!，错误!）内心I<错误!，错误!）p1EanqFDPw例1：<2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的< ）DXDiTa9E3d<A）外心 <B）内心<C）重心 <D）垂心例2：<2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的< ）RTCrpUDGiT<A）外心 <B）内心 <C）重心 <D）垂心例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的< ）<A）外心 <B）内心 <C）重心 <D）垂心申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

平面向量中的三角形四心问题(总5页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。

本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,22结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222ABC H ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+2)()())(()(四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

+

| |
或＝＋
⁠
若△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即为经
典的“奔驰定理”.若△ABC的三边为a，b，c，有a·＋b·＋c·＝0，则O
为△ABC的 （
）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析：B
∵＝＋，＝＋，∴a·＋b·＋c·＝a·
＝·，则点G可能通过△ABC的
（填：重心、内心、垂心或外
⁠
心）.
解析：由·＝·⇔·－·＝0⇔·（－）＝0，
【例4】 在△ABC中，设 2 － 2 ＝2·，那么动点M形成的图形必经过
△ABC的
A.垂心
（
）
B.内心
C.外心
D.重心
解析 如图所示，设线段BC的中点为D，则＋＝2，
∵ 2 － 2 ＝2·
，∴（＋）·
（－）＝
2·
，∴·
（＋－2）＝0，∴·
【例1】 已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ（＋
）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的 （
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
）
解析 因为动点P满足＝＋λ（＋）（λ≥0），所以＝λ（＋
），取BC中点D（图略），则＝2λ，则动点P的轨迹一定过△ABC的重
＋b（＋）＋c（＋）＝（a＋b＋c）·＋b·＋c·＝0，


∴＝
++
+




，∵ ， 分别是，方向上的单位向量，∴向




量 ＋ 平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠ABC，∴O为

平面向量中的三角形四心问题（定稿）第一篇：平面向量中的三角形四心问题（定稿）平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。

本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：若G为∆ABC所在平面内一点，则GA+GB+GC=0⇔G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD=GB+GCGA+GB+GC=0⇔-GA=GB+GC∴-GA=2GD,这表明，G 在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为∆ABC的重心结论2：1若P为∆ABC所在平面内一点，则PG=(PA+PB+PC)3⇔G是∆ABC的重心1证明：PG=(PA+PB+PC)⇔(PG-PA)+(PG-PB)+(PG-PC)=03⇔GA+GB+GC=0⇔G是∆ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：若H为∆ABC所在平面内一点，则HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA⇔H是∆ABC的垂心证明：HA⋅HB=HB⋅HC⇔HB⋅(HA-HC)=0⇔HB⋅AC=0⇔HB⊥AC同理，有HA⊥CB,HC⊥AB故H为三角形垂心结论4：若H为∆ABC所在平面内一点，则HA+BC=HB+AC=HC+AB⇔H 是∆ABC的垂心证明：由HA+BC=HB+CA得，HA+(HB-HC)=HB+(HC-HA)2⇔HB⋅HC=HC⋅HA同理可证得，HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA由结论3可知命题成立2222222222222三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：若O是∆ABC所在平面内一点，则OA=OB=OC⇔O是∆ABC的外心证明：由外心定义可知命题成立结论6：若O是∆ABC所在平面内一点，则（OA+OB)⋅BA=(OB+OC)⋅CB=(OC+OA)⋅AC ⇔O是∆ABC的外心 3 证明：Θ(OA+OB)⋅BA=(OA+OB)(OA-OB)=OA-OB∴(OB+OC)⋅CB=OB-OC( OC+OA)⋅AC=OC-OA222222222故OA-OB=OB-OC=OC-OA⇒OA=OB=OC故O为∆ABC的外心222四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

一、知识要点1、若O 为ABC ∆内一点，则m n r S S S OC r OB n OA m OBC OAC OAB ::::0=⇔=++∆∆∆→→→2、若O 为ABC ∆的重心，则ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===313、若O 为ABC ∆的垂心，则A B C S S S OBC OAC OAB tan :tan :tan ::=∆∆∆，故0tan tan tan=⋅+⋅+⋅→→→OA A OB B OC C4、若O 为ABC ∆的内心，则a b c S S S OBC OAC OAB ::::=∆∆∆，故0=⋅+⋅+⋅→→→OA a OB b OC c5、若O 为ABC ∆的外心，AB C BOC AOC AOB S S S OBC OAC OAB 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::==∆∆∆故02sin 2sin 2sin=⋅+⋅+⋅→→→OA A OB B OC C二、要点证明1、若O 为ABC ∆内一点，则m n r S S S OC r OB n OA m OBC OAC OAB ::::0=⇔=++∆∆∆→→→证明：先证充分性，即已知0=++→→→OC r OB n OA m ，求证m n r S S S OBC OAC OAB ::::=∆∆∆ 如图所示，分别在射线OA ，OB 上去点1A ，1B ，使得→→=OA m OA 1，→→=OB n OB 1，并以→→11,OB OA 为邻边作平行四边形11DB OA ，连接OD ，11B A故→→→→→→-=+=+=OC r nOB OA m OB OA OD 11，因此OC r OD =。

设S S DB OA 211=，则S S S S S DB A B OA ODB D OA ====111111，mn S OB A n OB m OA AOB OB OA S OAB =⋅=⋅⋅=1111sin 21sin 21，同理mrSS nr S S OAC OBC ==,。

近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、 外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔 〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心 ，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。

专题十 平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0．(2)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A⇔sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0． (3)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0⇔ sin A ·OA →＋sin B ·OB →＋sin C ·OC →＝0．(4)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔ tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0．关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G 为△ABC 的重心，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33．④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ． ②2=S r a b c ++，特别地，在Rt △ABC 中，∠C =90°，=2a b c r +-． (4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．考点一 三角形四心的判断【例题选讲】[例1] (1) 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点答案 C 解析 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2(1－λ)3OD →＋1＋2λ3OC →，而2(1－λ)3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．答案 内心 解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．(3)在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必经过△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心答案 C 解析 设BC 边中点为D ，∵AC →2－AB →2＝2 AM →·BC →，∴(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2 AM →·BC →，即AD →·BC →＝AM →·BC →，∴MD →·BC →＝0，则MD →⊥BC →，即MD ⊥BC ，∴MD 为BC 的垂直平分线，∴动点M 的轨迹必经过△ABC 的外心，故选C ．(4)已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B＋AC →|AC →|cos C)，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心答案 B 解析 因为OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，所以AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C)，所以BC →·AP →＝BC →·λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C)＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．(5)已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA bOB cOC ++=0，②tan tan tan A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0，③sin 2sin 2sin 2A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0，④OA OB OC ++=0则点O 分别为ABC ∆的( )A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心答案 D(6)下列叙述正确的是________． ①1()3PG PA PB PC G =++⇔为ABC ∆的重心． ②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心．③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的外心．④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA O +⋅=+⋅=+⋅=⇔为ABC ∆的内心．答案 ①② 解析 ①G 为ABC ∆的重心⇔GA GB GC ++=0⇔PA PG PB PG PC PG -+-+-=0⇔1()3PG PA PB PC =++，①正确；②由PA PB PB PC ⋅=⋅⇔()0PA PC PB -⋅=⇔0CA PB AC ⋅=⇔⊥PB ，同理AB PC ⊥，BC PA ⊥，②正确；③||||||AB PC BC PA CA PB ++=0⇔||||()AB PC BC PC CA ++||()CA PC CB ++=0(||||||)||||AB BC CA PC BC CA CA CB ⇔++++=0．||||||||BC CA CA CB =，∴ ||BC CA ||CA CB +与角C 的平分线平行，P ∴必然落在角C 的角平分线上，③错误；④()OA OB AB +⋅=(OB 222)()0||||||OC BC OC OA CA OA OB OC OA OB OC O +⋅=+⋅=⇔==⇔==⇔为ABC ∆的外心，④错误．∴正确的叙述是①②．故答案为：①②．【对点训练】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心1．答案 C 解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．2．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2OB OC OP AP λ+=+，且1λ≠，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心2．答案 C 解析 设BC 的中点为M ．由已知原式可化为2PA OB OP OC OP λ=-+-．即2PA PB λ= 2PC PM +=，所以PM PA λ=，所以P ，A ，M 三点共线．所以P 点在边BC 的中线AM 上．故P 点 的轨迹一定过ABC ∆的重心．3．已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB |sin B ＋AC →|AC |sin C ，λ∈(0，＋∞)， 则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．答案 C 解析 ∵|AB |sin B ＝|AC |sin C ，设它们等于t ，∴OP →＝OA →＋λ·1t(AB →＋AC →)，设BC 的中点为D ， 则AB →＋AC →＝2AD →，λ·1t(AB →＋AC →)表示与AD →共线的向量AP →，而点D 是BC 的中点，即AD 是△ABC 的中线，∴点P 的轨迹一定通过三角形的重心．故选C ．4．O 为ABC ∆所在平面内一点，A ，B ，C 为ABC ∆的角，若sin sin sin A OA B OB C OC O ⋅+⋅+⋅=，则点O 为ABC ∆的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心4．答案 C 解析 由正弦定理得2sin 2sin 2sin 0R AOA R BOB R COC ++=，即0aOA bOB cOC ++=， 由上式可得()()cOC aOA bOB a OC CA b OC CB =--=-+-+，所以()a b c OC aCA bCB ++=--=ab - ()||||CA CB CA CB +，所以OC 与C ∠的平分线共线，即O 在C ∠的平分线上，同理可证，O 也在A ∠，B ∠的 平分线上，故O 是ABC ∆的内心．5．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC ∆的( ) A ．垂心 B ．外心 C ．内心 D ．重心 5．答案 C 解析3AB =，2AC =，13||22AB ∴=，33||42AC =．即133||||242AB AC ==，设12AE AB =， 34AF AC =，则||||AE AF =，∴1324AD AB AC AE AF =+=+．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形．AD ∴为菱形的对角线，AD ∴平分EAF ∠．∴直线AD 通过ABC ∆的内心．故选C ． 6．已知ABC ∆所在的平面上的动点M 满足||||AP AB AC AC AB =+，则直线AP 一定经过ABC ∆的( )A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心6．答案 C 解析||||AP AB AC AC AB =+∴11||||()||||AP AB AC AC AB AC AB =+，∴根据平行四边 形法则知11||||AC AB AC AB +表示的向量在三角形角A 的平分线上，而向量AP 与11||||AC AB AC AB +共线，P ∴点的轨迹过ABC ∆的内心，故选C ．7．设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，P 是ABC ∆所在平面上的一点，c PA PB PA PC b⋅=⋅ +22b c c a c PA PB PC PB b a a--=⋅+，则点P 是ABC ∆的( ) A ．重心 B ．外心 C ．内心 D ．垂心7．答案 C 解析 因为22c b c c a c PA PB PA PC PA PB PC PB b b a a--⋅=⋅+=⋅+，所以2PA PB PA ⋅-= ()c PA PC PA b ⋅-，2()c PA PB PB PB PC PB a ⋅-=⋅-，所以c PA AB PA AC b ⋅=⋅，c BA PB PB BC a⋅=⋅，所以||cos ||cos c PA c PAB PA b PAC b ⋅∠=∠，||cos ||cos c PB c PBA PB a PBC a⋅∠=∠，所以PAB PAC ∠=∠，PBA PBC ∠=∠，所以AP 是BAC ∠的平分线，BP 是ABC ∠的平分线，所以点P 是ABC ∆的内心，故选C ．8．已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心8．答案 B 解析9．P 是△ABC 所在平面内一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心9．答案 D 解析 由P A →·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，P A →⊥BC →．∴P 是△ABC 的垂心．10．若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+则点H 是ABC △的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心10．答案 D 解析11．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+，则点(O )A ．在AB 边的高所在的直线上 B ．在C ∠平分线所在的直线上C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是ABC ∆的外心11．答案 A 解析 取AB 的中点D ，则22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+，∴2()||BA OA OB BC ⋅+=-+2||AC ，∴2(2)BA OD AB CD ⋅=⋅-，∴20BA OC =，∴BA OC ⊥，∴点O 在AB 边的高所在的直线上，故选A ．12．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．答案 D 解析BC OC OB =-，CA OA OC =-、AB OB OA =-，∴由22222OA BC OB CA OC +=+=2AB +，得222222()()()OA OC OB OB OA OC OC OB OA +-=+-=+-，∴OB OC OA OC OA OB ⋅=⋅=⋅， 即()()()OC OB OA OA OC OB OB OC OA ⋅-=⋅-=⋅-，∴OC AB OA BC OB AC ⋅=⋅=⋅，则OC AB ⊥， OA BC ⊥，OB AC ⊥．O ∴是ABC ∆的垂心．故选D ． 13．已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||, OA OB OC NA NB NC ==++=0，且PA PB ⋅=PB PC ⋅=PA PC ⋅，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心13．答案 C14．点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC ∆的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足()(0)||||AB AC OP OA AB AC λλ=++>，则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中； ③动点P 满足()(0)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足()(0)||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C λλ+=++>，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中．14．答案 ①②③④⑤ 解析 对于①，动点P 满足OP OA PB PC =++，∴AP PB PC =+，则点P 是ABC ∆的心，故①正确；对于②，动点P 满足()(0)||||AB AC OP OA AB AC λλ=++>，∴(||AB AP AB λ=+ )||AC AC (0)λ>，又||||AB AC AB AC +在BAC ∠的平分线上，∴AP 与BAC ∠的平分线所在向量共线，ABC ∴∆的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λ=++ (0)λ>，∴()||sin ||sin AB AC AP AB B AC Cλ=+，(0)λ>，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则||sin AB B = ||sin AC C AD =，()AP AB AC AD λ=+，向量AB AC +与BC 边的中线共线，因此ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足()(0)||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C λλ=++>， (AP λ=∴)(0)||cos ||cos AB AC AB B AC C λ+>，∴()(||||cos ||cos AB AC AP BC BC BC AB B AC Cλλ=+=- ||)0BC =，∴AP BC ⊥，ABC ∴∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满 足OP =()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC AB B AC C λλ+++>，设2OB OC OE +=，则(||cos AB EP AB Bλ=+ )||cos AC AC C，由④知()0||cos ||cos AB AC BC AB B AC C +=，∴0EP BC =，∴EP BC ⊥，P ∴点的轨迹为 过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；ABC ∴∆的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的 命题是①②③④⑤．考点二 三角形四心的应用【例题选讲】[例2] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝__________．答案 π6解析 由G 为△ABC 的重心知GA →＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此a GA →＋b GB →＋ 33c (－GA →－GB →)＝⎝⎛⎭⎫a －33c GA →＋⎝⎛⎭⎫b －33c GB →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c ．由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c 2＝32，又0<A <π，所以A ＝π6． (2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AC ＝3，设O 是△ABC 的内心．若AO →＝pAB →＋qAC →，则p q＝________． 答案 32 解析 如图，O 为△ABC 的内心，D 为AC 中点，则O 在线段BD 上，cos ∠DAO ＝12||AC →||AO →＝32|AO →|，根据余弦定理cos ∠BAC ＝4＋9－42×2×3＝34；由AO →＝pAB →＋qAC →得AO →·AB →＝pAB →2＋qAB →·AC →，所以||AO ，→||AB ，→cos ∠BAO ＝pAB →2＋q ||AB →||AC →cos ∠BAC ，所以3＝4p ＋92q ①；同理AO →·AC →＝pAB →·AC →＋qAC →2，所以可以得到92＝92p ＋9q ②．①②联立可求得p ＝37，q ＝27，所以p q ＝32．(3)已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( )A ．⎝⎛⎭⎫45，35B ．⎝⎛⎭⎫35，45C ．⎝⎛⎭⎫－45，35D ．⎝⎛⎭⎫－35，45 答案 A 解析 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →，OM →＝AM→－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－y AC →－xAB →．由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，①，由ON →⊥AC →，得⎝⎛⎭⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，②，又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③，把③代入①、②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35．故实数对(x ，y )为⎝⎛⎭⎫45，35． (4)在△ABC 中，O 是△ABC 的垂心，点P 满足：3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是________．答案 23 解析 如图，设AB 的中点为M ，设12OA →＋12OB →＝ON →，则N 是AB 的中点，点N 与M 重合，故由3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，可得2OP →＝OM →－OP →＋2OC →，即2OP →－2OC →＝OM →－OP →，也即PM →＝2CP →，由向量的共线定理可得C 、P 、M 共线，且MP ＝23MC ，所以结合图形可得△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是23． (5)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是ABC ∆的外心、垂心，且M 为BC 中点，则( )A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=-C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-答案 D 解析 如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =，M 为BC 中点，∴ AB AC +22()2(2)4224AM AH HM OM HM OM HM HM MO ==+=+=+=-．故选D ． A B (H )CM O【对点训练】1．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________．1．答案 4 解析 设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos 60°＋32)＝4．2．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC ＝0，则B 的大小为________．2．答案 60° 解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0．又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°．秒杀 ∵G 为△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，又∵sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC ＝0，∴sin A ＝sin B ＝sin C ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°．3．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________．3．答案 112解析 设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA →＋3b ·GB →＋3c ·GC →＝0， 则2a ·GA →＋3b ·GB →＝－3c ·GC →＝－3c (－GA →－GB →)，即(2a －3c ) GA →＋(3b －3c ) GB →＝0．又GA →，GB →不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112． 秒杀 ∵G 为△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，又∵2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，∴2sin A ＝3sin B ＝3sin C ，∴2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112． 4．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．4．答案 5 解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝⎛⎭⎫12，32．设C (a ，0)．∵AC →·AB →＝－1，∴⎝⎛⎭⎫a －12，－32·⎝⎛⎭⎫－12，－32＝ －12⎝⎛⎭⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4．∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12(BA → ＋BC →)＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12，32＋(4，0)＝⎝⎛⎭⎫32，36．∴BO →·AC →＝⎝⎛⎭⎫32，36·⎝⎛⎭⎫72，－32＝5． 5．过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，PC →＝34AC →，QC →＝nBC →，则n 的值为____． 5．答案 35 解析 因为O 是重心，所以OA →＋OB →＋OC →＝0，即OA →＝－OB →－OC →，PC →＝34AC →⇒OC →－OP →＝34(OC →－OA →)⇒OP →＝34OA →＋14OC →＝－34OB →－12OC →，QC →＝nBC →⇒OC →－OQ →＝n (OC →－OB →)⇒OQ →＝nOB →＋(1－n ) OC →，因为P ，O ，Q 三点共线，所以OP →∥OQ →，所以－34(1－n )＝－12n ，解得n ＝35．6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．答案 B 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →．又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，故选B ．7．已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60˚，则△OBC 的面积为( )A ．33B ．3C ．32D ．237．答案 A 解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴ |AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60˚，∴|AB →|·|AC →|＝4．又S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A ． 8．已知在△ABC 中，点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．8．答案 (－2，0) 解析 依题意，设OP →＝λOC → (0<λ<1)，由OA →＋OB →＋OC →＝0，知OC →＝－(OA →＋OB →)，所以OP →＝－λOA →－λOB →，由平面向量基本定理可知，m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2，0)．9．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋OC ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°9．答案 B 解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°．10．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝( )A ．10B ．9C ．8D ．610．答案 A 解析 作OS ⊥AB ，OT ⊥AC ∵O 为△ABC 的外接圆圆心．∴S 、T 为AB ，AC 的中点，且AS →·SO →＝0，AT →·TO →＝0，AO →＝AS →＋SO →，AO →＝AT →＋TO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝AO →·AB →＋AO →·AC →＝(AS →＋SO →)·AB →＋(AT→＋TO →)·AC →＝AS →·AB →＋SO →·AB →＋AT →·AC →＋TO →·AC →＝12AB →·AB →＋12AC →·AC →＝12|AB →|2＋12|AC →|2＝8＋2＝10．故选A ． 优解：不妨设∠A ＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B (4，0)，C (0，2)，则O 为BC 的中点O (2，1)，∴AB →＋AC →＝2AO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝2|AO →|2＝2(4＋1)＝10．故选A ．11．若点P 是△ABC 的外心，且P A →＋PB →＋λPC →＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1 11．答案 C 解析 设AB 的中点为D ，则P A →＋PB →＝2PD →．因为P A →＋PB →＋λPC →＝0，所以2PD →＋λPC →＝0，所以向量PD →，PC →共线．又P 是△ABC 的外心，所以P A ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB ．因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而P A →＋PB →＝2PD →＝PC →，所以2PD →＋λPC→＝PC →＋λPC →＝0，所以λ＝－1，故选C ．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( )A ．32B ．3C ．3D ．23 12．答案 C 解析 ∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB →＝－OC →，故点O 是BC 的中点，且△ABC 为直角三角形，又△ABC 的外接圆的半径为1，|OA →|＝|AB →|，∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°，∴CA →·CB →＝|CA→||CB →|·cos 30°＝3×2×32＝3． 13．若△ABC 的面积为3，AB →·AC →＝2，则△ABC 外接圆面积的最小值为( )A ．πB ．4π3C ．2πD ．8π313．答案 B 解析 设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由题意可得12bc sin A ＝3，bc cos A ＝2，∴tan A ＝3．又A ∈(0，π)，∴A ＝π3．∴bc cos π3＝2，即bc ＝4．由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝4，即a ≥2．又由正弦定理得a sin A＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴2R sin A ＝a ≥2，即3R ≥2，∴R 2≥43，∴三角形外接圆面积的最小值为4π3． 14．已知O 为锐角△ABC 的外心，|AB →|＝3，|AC →|＝23，若AO →＝xAB →＋yAC →，且9x ＋12y ＝8，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OA →·OC →，则( )A ．I 2<I 1<I 3B ．I 3<I 2<I 1C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 3<I 114．解析：选D 如图，分别取AB ，AC 的中点，为D ，E ，并连接OD ，OE ，根据条件有OD ⊥AB ，OE⊥AC ，∴AO →·AB →＝12|AB ―→|2＝92，AO →·AC →＝12|AC ―→|2＝6，∴AO →·AB →＝(xAB →＋yAC →)·AB →＝9x ＋63y ·cos ∠BAC ＝92，①，AO →·AC →＝(xAB →＋yAC →)·AC →＝63x cos ∠BAC＋12y ＝6，②，又9x ＋12y ＝8，③，∴由①②③解得cos ∠BAC ＝33－78．由余弦定理得，BC ＝9＋12－2×3×23×33－78＝15＋3212．∴BC >AC >AB ．在△ABC 中，由大边对大角得，∠BAC >∠ABC >∠ACB ，∴∠BOC >∠AOC >∠AOB ，∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，且余弦函数在(0，π)上为减函数，∴OB →·OC →<OA →·OC →<OA →·OB →，即I 2<I 3<I 1．15．已知O 是△ABC 的外心，∠C ＝45°，则OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－2，1)C ．[－2，－1]D ．(1，2]15．答案 B 解析 由题意∠C ＝45°，所以∠AOB ＝90°，以OA ，OB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A (1,0)，B (0,1)，则C 在圆O 的优弧AB 上，设C (cos α，sin α)，则α∈⎝⎛⎭⎫π2，2π，显然OC →＝cos αOA →＋sin αOB →，即m ＝cos α，n ＝sin α，m ＋n ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，由于α∈⎝⎛⎭⎫π2，2π，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，9π4， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎣⎡⎭⎫－1，22，所以m ＋n ∈[－2，1)，故选B ． 16．已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，△ABC 的顶 点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，如图所示，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．416．答案 B 解析 因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，在Rt △BOC 中，OG 是斜边BC 上的中线，则|OG |＝12|BC |＝1，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA ―→|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2．17．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．17．答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1．由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)，得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|．∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19．18．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||P A →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．53 18．答案 D 解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0，故P A →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →．又||4PO →＋OC →2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75，故||P A →＋PB →＋2PC →≤53，当PO →，OC →同向共线时取最大值．19．已知O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心，且A θ∠=，若cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则m ＝( ) A ．sin θ B ．cos θ C ．tan θ D ．不能确定 19．答案 A 解析 设外接圆半径为R ，则：cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=可化为：cos ()sin BOB OA C⋅-+ cos ()2sin COC OA m AO B⋅-=⋅ (*)．易知OA 与OB 的夹角为2C ∠，OC 与OA 的夹角为2B ∠，OA 与OA 的夹角为0，||||||OA OB OC R ===．则对(*)式左右分别与OA 作数量积，可得：cos sin B OA OB C ⋅⋅-cos sin BC 222cos cos 2sin sin C C OA OC OA OA mOA B B ⋅+⋅⋅-⋅=-．即cos sin B C⋅2R 22cos (cos21)(cos21)2sin C C R B mR B -+⋅-=-．2sin cos (2sin cos )2C B B C m ∴-+-=-，sin cos sin cos C B B C m ∴+=，即sin()B C m +=．因为sin A = sin[()]sin()B C B C π-+=+且A θ∠=，所以，sin sin m A θ==，故选A ．20．在ABC ∆中，5BC =，G ，O 分别为ABC ∆的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC ∆的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能20．答案 B 解析 在ABC ∆中，G ，O 分别为ABC ∆的重心和外心，取BC 的中点为D ，连接AD 、OD 、GD ，如图：则OD BC ⊥，13GD AD =，OG OD DG =+，1()2AD AB AC =+，由5OG BC =，则()OD DG BC DG BC +=1()56AB AC BC =-+=，即1()()56AB AC AC AB -+-=，则2230AC AB -=-，又5BC =，则有222226||||||||||5AB AC BC AC BC =+>+，由余弦定理可得cos 0C <，即有C 为钝角．则三角形ABC 为钝角三角形．故选B ．21．在ABC ∆中，3AB =，BC =2AC =，若点O 为ABC ∆的内心，则AO AC ⋅的值为( )A ．2B ．73C ．3D ．5-21．答案 D 解析3AB =，BC =2AC =由O 为ABC ∆的内心可知，AO 平分A ，设圆O 交AC与D ，由余弦定理可得4971cos 2322CAB +-∠==⨯⨯60CAB ∴∠=︒，sin CAB ∴∠=，1232ABC S ∆∴=⨯⨯=，内切圆的半径为r ，则根据内切圆的半径公式222s r a b c ===++，=，∴在三角形AOD 中，22AO r ==，∴622510AO AC ==-+， 故选D ．22．设O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，若AO →＝λ1AB →＋λ2AC →，则( )A ．λ1λ2＝b cB ．λ21λ22＝b cC ．λ1λ2＝c 2b 2D ．λ21λ22＝c b22．答案 A 解析 设AM →＝λ1AB →，AN →＝λ2AC →．因为O 是△ABC 的内心，所以AO 平分∠BAC ，所以平行四边形AMON 为菱形，且λ1>0，λ2>0，由|AM →|＝|AN →|，得|λ1AB →|＝|λ2AC →|，即λ1c ＝λ2b ，亦即λ1λ2＝b c ，故选A ．23．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．43D ．6223．答案 B 解析 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC＝1463． 24．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形24．答案 A 解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又AB →|AB →|·AC→|AC →|＝AB →|AB →|AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．25．ABC ∆外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m 的值( )A ．12 B ．2 C ．1 D ．3425．答案 C 解析 如图，OH AH AO =-，()OH m OA OB OC =++，∴()AH AO m OA OB OC -=++，∴(1)()AH m OA m OB OC =-++，取BC 边的中点D ，连接OD ，则OD BC ⊥，∴2OB OC OD +=，0OD BC ⋅=．又AH BC ⊥，∴0AH BC ⋅=．∴(1)2AH BC m OA BC mOD BC ⋅=-⋅+⋅，(1)m OA BC ∴-⋅ 0=，又OA BC ⋅不恒为0，∴必有10m -=，解得1m =．故选C ．。

1
线( O ， G ， H 三点连线称为欧拉线)，且 OG ＝ GH .
三角形的“四心”与平面向量
题型一 三角形的“重心”与平面向量
重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点
到对边中点距离之比为2∶1.
在向量表达形式中，设点 G 是△ ABC 所在平面内的一点，则当点 G
1
是△ ABC 的重心时，有 ＋ ＋ ＝0或 ＝ ( ＋ ＋ )(其

｜｜cos
所以 ＝ － ＝λ
所以 · ＝ ·λ
＋

｜｜cos

｜｜cos

｜｜cos
＋
＋
，

｜｜cos

｜｜cos
｜ ｜)＝0，
所以 ⊥ ，所以点 P 在 BC 的高线上，
即动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心.
示△ AB 1 C 1的面积，
1
1
所以 S △ COA ＝ S ， S △ AOB ＝ S ，
9
6
1
1
1
1
S △ BOC ＝ △1 ＝ × △1 1 ＝ S .
2
2
3
18
1
1
1
于是 S △ BOC ∶ S △ COA ∶ S △ AOB ＝
平行四边形为OAC'B， OC 与 AB 交于点 D (图略)，则 D 为 AB 的中点，由
＋ ＝ ′ 得， ＝－ ′ ，即 C ， O ， D ，C'四点共线，故 CD
为△ ABC 的中线，所以 O 在边 AB 的中线上，同理可证， O 在边 AC 的中
线上， O 在边 BC 的中线上，所以 O 是三角形 ABC 的重心.

平面向量基本定理与三角形四心已知O是ABC 内的一点，BOC , AOC , AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A OA S B OB S C OC 0A如图 2 延长O A与B C边相交于点D 则OBDS A S S SBD BOD ABD BODSCB C DC S SACD COD SACDS C OD SB图1 OD D C OBB C B D OC BCAOSB SBSCOBSBSCSCOCB CDOD SBOD SCODSBODSCODSAOA SBOA SCOASBOASCOASBSC图2SAOD OASB SCSB SASCOASBSBSCOBSBSCSCOCS A OA S B OB S C OC 0推论O是ABC 内的一点，且x OA y OB z OC 0，则S BOC : S COA : S AOB x:y:z有此定理可得三角形四心向量式O是ABC的重心S BOC S S1:1:1OA OB OC0:COA AOB:O是ABC的内心S BOC:S COA:S AOB a:b:c a OA b OB c OC0O是ABC的外心S BOC:S COA:S AOB sin2A:sin2B:sin2Csin2A OA sin2B OB sin2C OC0O是ABC的垂心S BOC:S COA:S AOB tan A:tan B:tan Ctan A OA tan B OB tan C OC0COA D B证明：如图O为三角形的垂心，CD CDtan tan A:tan B DB:AD A,tan BAD DBS BOC:S DB:ADCOAS BOC:S COA tan A:tan B同理得S COA:S tan B:tanC，S BOC:S AOB tan A:tanCAOBS BOC:S COA:S AOB tan A:t an B:tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2 三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。