初中数学全等三角形知识点

全等三角形(知识点讲解)全等三角形(知识点讲解)全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的核心内容之一。

在这篇文章中，我们将从定义、判定全等三角形的条件以及全等三角形的性质等方面进行讲解。

一、全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同的三边和三角的三角形。

简而言之，在几何学中，当两个三角形的对应边长相等、对应角度相等时，我们称这两个三角形是全等的。

二、全等三角形的判定条件为了判断两个三角形是否全等，我们有以下几个常用的判定条件：1. SSS判定法：即边-边-边判定法。

当两个三角形的三条边分别相等时，它们就是全等的。

2. SAS判定法：即边-角-边判定法。

当两个三角形的一对夹角和夹角两边分别相等时，它们就是全等的。

3. ASA判定法：即角-边-角判定法。

当两个三角形的一对夹角和夹角对边分别相等时，它们就是全等的。

4. AAS判定法：即角-角-边判定法。

当两个三角形的两对夹角和一个非夹角边分别相等时，它们就是全等的。

需要注意的是，这些判定条件是相互独立的，即只要满足其中一种条件，就可以判定两个三角形是全等的。

三、全等三角形的性质全等三角形具有以下重要性质：1. 对应边对应角相等性质：全等三角形的对应边对应角相等。

即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF，并且∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

2. 全等三角形的任意一角都与对应角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

3. 全等三角形的任意一边都与对应边相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF。

4. 全等三角形的外角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠BAC =∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE。

通过以上性质，我们可以进行全等三角形的各种推理和计算。

四、全等三角形的应用全等三角形在几何学的应用非常广泛。

全等三角形知识点总结全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的基础知识之一。

全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角分别相等。

全等三角形的性质和判定方法对于解题和证明都有很大的帮助。

下面我们来总结一下全等三角形的知识点。

1. 全等三角形的性质。

全等三角形的性质包括以下几点：（1）对应边相等，如果两个三角形全等，则它们的对应边相等。

（2）对应角相等，如果两个三角形全等，则它们的对应角相等。

（3）全等三角形的面积相等，如果两个三角形全等，则它们的面积相等。

2. 全等三角形的判定方法。

判定两个三角形是否全等有以下几种方法：（1）SSS判定法，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

（2）SAS判定法，如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

（3）ASA判定法，如果两个三角形的一对角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。

（4）AAS判定法，如果两个三角形的两对角和一条边分别相等，则这两个三角形全等。

3. 全等三角形的应用。

全等三角形的性质和判定方法在解题和证明中有着广泛的应用，特别是在几何证明中常常会用到全等三角形的知识。

例如，通过证明两个三角形全等，可以推导出它们的其他性质，进而解决一些几何问题。

此外，在实际生活中，全等三角形的知识也有着一定的应用。

例如在建筑、工程等领域，利用全等三角形的性质可以进行测量、设计和施工等工作。

总之，全等三角形是几何学中的重要概念，掌握全等三角形的性质和判定方法对于学习和应用几何知识都具有重要意义。

希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和运用全等三角形的知识。

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。

例如，图13-1和图13-2就是全等图形。

2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。

从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：⎪⎩⎪⎨⎧→→SSS SAS 找另一边找夹角 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边找任一角边为角的对边 ⎩⎨⎧→→AASASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角．（三）基本图形梳理注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型：它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到．2．对称型 如图4，下面几种图形属于对称型：它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点．3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型：它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3图4图6（1）两个三角形不一定全等；如图6（1）中的两个三角形的每个角都是600，但这两个三角形显然不全等； （2）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如图6（2），中的△ABC 和△ABD 中，虽然有AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，但它们显然不全等． 2．在判定三角形全等时，还要注意的问题 在判定三角形全等时，应做到以下几点：（１）根据已知条件与结论认真分析图形；（２）准确无误的确定每个三角形的六个元素；（３）根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；（４）对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；（５）想办法找出所需的条件来．四、例题：例1．如图7（1），E 、F 分别是四边形ABCD 的边BA 、DC 延长线上的点，AB//CD ，AD//BC ，且AE=CF ，EF 交AD 于G ，交BC 于H ．（1）图中的全等三角形有 对，它们分别是 ；（不添加任何辅助线）（2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明． 我选择的是： ．解：（1）2，△AEG ≌△CFH 和△BEH ≌△DFG ． （2）如求证明：△AEG ≌△CFH ．证明：在平行四边形ABCD 中，有∠BAG=∠HCD ， 所以∠EAG=1800－∠BAG=1800－∠HCD=∠FCH ． 又因BA ∥DC ，所以∠E=∠F ．又因AE=CF ，所以△AEG ≌△CFH ．点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．例2．如图8，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式：○1AB=AC ○2AD=AE ○31=∠2○4BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．（提示：答案不唯一）．点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中 有的是假命题，请同学们注意分辨．例3．如图9，点E 在AB 上，AC=AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

初中数学知识归纳全等三角形全等三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用全等三角形。

一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

两个三角形全等的条件是：两边对应相等且夹角对应相等，或三边对应相等。

二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角都相等。

2. 全等三角形的各边对应的中点连线互相平行，且长度相等。

3. 全等三角形的高、中线、角平分线等都互相平行，且长度相等。

4. 全等三角形的高度、中线、角平分线等的交点都在各个对应边上。

三、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

2. SAS判定法：如果两个三角形的两边分别相等且夹角相等，则这两个三角形全等。

3. ASA判定法：如果两个三角形的两角分别相等且夹边相等，则这两个三角形全等。

4. AAS判定法：如果两个三角形的两个角分别相等且夹边的对应边相等，则这两个三角形全等。

5. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形全等。

四、全等三角形的应用1. 利用全等三角形的性质可以求解各种几何问题，如求线段长度、角度大小等。

2. 利用全等三角形的判定法可以帮助我们判断是否存在全等三角形，解决相应的几何问题。

3. 全等三角形在建筑、工程测量等实际问题中具有广泛的应用，如通过测量已知边长的三角形来计算未知边长的三角形。

五、常见的全等三角形1. 等腰三角形：如果一个三角形两边相等，则它是等腰三角形，等腰三角形的底角及顶角相等。

2. 等边三角形：如果一个三角形的三条边相等，则它是等边三角形，等边三角形的三个内角均为60°。

3. 直角三角形：如果一个三角形有一个角为90°，则它是直角三角形，直角三角形是全等三角形中常见的一种形式。

通过对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳，我们可以更好地理解和应用全等三角形。

全等三角形 知识总结一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)轴对称知识梳理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容，它对于解决几何问题有着关键作用。

下面就来对全等三角形的相关知识点进行一个全面的归纳。

一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。

也就是说，如果两个三角形全等，那么它们相对应的边的长度是一样的。

2、全等三角形的对应角相等。

对应角的度数完全相同。

3、全等三角形的周长相等。

因为对应边相等，所以三条边相加的总和也相等。

4、全等三角形的面积相等。

由于形状和大小完全相同，所占的空间大小也就一样。

三、全等三角形的判定方法1、“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

比如有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。

2、“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

例如在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么这两个三角形全等。

3、“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。

4、“角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

比如三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，这两个三角形就是全等的。

5、“斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，如果斜边 AC ＝斜边DF，直角边 BC ＝直角边 EF，那么这两个直角三角形全等。

四、寻找全等三角形的对应边和对应角的方法1、有公共边的，公共边是对应边。

例如三角形 ABC 和三角形 ABD，AB 就是两个三角形的公共边，是对应边。

O
B1
A
E
D
C
7
知识点三：”旋转“ 模型
典例分析
AAS
例3：如图,∠A=∠B, AE= BE, 点D在AC边上 ,∠1=∠2,AE,BD
交于点O.求证:∆AEC≌∆BED.
证明：∵ ∠ADE3;∠C
又∵ ∠ ADE= ∠ 1+∠BDE
且∠ 1= ∠ 2
∴ ∠C= ∠BDE 在∆AEC和∆BED中，
△ABD,若∠ABC=25°,∠ADB=110°,
A3
1B
则∠DAC的度数是 90 ° .
D
2、将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示
E
的图形.已知∠CEB'=60°,则
B
C
∠AEB′= 60 °.
B′
A
D
6
知识点二：”翻折对称“ 模型
学以致用
对顶角模型
3、如图，OA=OB,OC=OD,∠O=50°，∠D=35°,则∠AEC的度数 为 60 °.
∵ AD⊥CD AE⊥BE ∴ ∠AEB= ∠ADC=90 ° ∠BAE= ∠CAD （已证） 在△ABE和△ACD中， ∠AEB= ∠ADC （已证）
AB=AC（已知）
∴△ABE≌△ACD(AAS)
12
AAS
5
知识点二：”翻折对称“ 模型
学以致用
公共边模型
C
1、如图,△ABC沿直线AB向下翻折得到
“平移”模型
A
D
求证:AB∥DE.
证明：∵BE=CF ∴BE+EC=CF+EC（等式性质） B ∴BC=EF
AB=DE（已知）
在△ABC和△DEF中， AC=DF（已知）

全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。

本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。

关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。

在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。

2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。

- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。

- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。

- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。

- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。

3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。

- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。

- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。

- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。

4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。

通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。

5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。

加深理解
E A
F
B
C
∆ABC ≌ ∆FDE
对应顶点 对应顶点 对应顶点 对应角 对应角 对应角 对应边 对应边 对应边
41
课堂测试 1.如果∆ABC≌ ∆ADC，AB=AD，∠B=70°, BC=3cm,那么∠D=___7_0,D°C=____3cm
D
课堂测试
2、若△AOC≌△BOD，对应边是 应角是 ；
小组讨论完成
解：∵ △ABD ≌ △EBC，∴AB=EB，BD=BC, ∵BD=ED+EB ∴DE=BD-EB=BC-AB=5-3=2cm.
三、巩固练习
基础练习（教材第三十二页练习1-2题）
四、课堂小结，请大家回顾一下：
这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？学生充分讨论回答。
点评梳理：
（1）全等三角形的概念及表示方法； （2）全等三角形的性质及应用。
思考
将两个全等三角形重合在一起，
重合的顶点叫对应顶点
A
D
重合的边叫对应边
重合的角叫对应角
根据动画效果，你能说出
这两个全等三角形的对应顶点、
B
CE
F 对应边、对应角各是什么吗？
36
全等三角形表示
如果两个三角形全等，那么该如何表示吗？
A
D
右图中的∆ABC和∆DEF全等
记作: ∆ABC ≌ ∆DEF
五、课后练习
1、教材第33-34页，1-6题。
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
人教版 数学（初中） （八年级 上）
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初中数学全等知识点总结1. 全等的定义全等是指两个或多个图形在形状和大小上完全一致的情况。

对于三角形而言，如果两个三角形的对应边相等，对应角相等，那么这两个三角形就是全等的。

2. 判定全等的条件全等三角形的判定条件一共有五种，分别是：a) SSS判定条件：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

b) SAS判定条件：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

c) ASA判定条件：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

d) AAS判定条件：如果两个三角形的两个角和一边分别相等且夹在这条边中间，那么这两个三角形就是全等的。

e) HL判定条件：如果两个直角三角形的斜边和一个尖角直角分别相等，那么这两个直角三角形就是全等的。

3. 全等的性质全等三角形具有一些性质，包括：a) 对应部分相等：全等三角形的对应角相等，对应边相等。

b) 全等三边则全等：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

c) 全等中位线的性质：全等三角形的中位线相等，并且平行。

d) 全等三角形的面积相等：如果两个三角形全等，那么它们的面积也是相等的。

4. 全等的应用在实际生活和数学中，全等三角形有着广泛的应用，例如建筑物的设计、地图的绘制等都会使用全等概念进行测量和计算。

5. 全等的证明证明两个三角形全等的方法有很多，比如SSS, SAS, ASA, AAS等。

在给定一些条件的情况下，通过这些条件进行推导和推理，最终得出两个三角形全等的结论。

数学知识点总结1. 直角三角形直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。

在直角三角形中，有一些关键的概念和性质：a) 斜边与直角边：直角三角形的斜边是较长的一条边，直角边是斜边所对的直角的两条边。

b) 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。

c) 特殊角度：在直角三角形中，30度角、45度角和60度角是比较特殊的角度，它们的三角函数值具有特殊的关系。

人教版 数学 八年级 上册
12.1 全等三角形/
12.1 全等三角形
导入新知
12.1 全等三角形/
观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何 图形吗？
导入新知
12.1 全等三角形/
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
素养目标
12.1 全等三角形/
3. 初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形 变化与全等形的关系.
12.1 全等三角形/
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
①
②
③
④
⑤
探究新知
12.1 全等三角形/
归纳总结
全等图形定义： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形性质： 如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
探究新知 下面哪些图形是全等图形？
12.1 全等三角形/
大小、形状 完全相同
课后作业
作业 内容
12.1 全等三角形/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
2. 熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用 全等三角形的性质解决相应的几何问题.
1. 熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找 出全等三角形的对应边、对应角.
探究新知
12.1 全等三角形/
知识点 1 全等图形的定义及性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
探究新知
正确的结论并证明.
解：结论：EF∥NM
其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
巩固练习
12.1 全等三角形/
如图，△ABC ≌△CDA，AB 与CD，BC 与DA 是对应边，

全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。

全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。

全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。

本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。

一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。

用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。

全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。

也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。

2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。

也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。

3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。

二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。

1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。

判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。

2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。

判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。

3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

9.如图，已知 AB⊥BD 于 B，ED⊥BD 于 D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____. 10.如图，F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB 的延长线上,FB=EB,AF 交CE 于G,则∠AGC的度数是______.
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11.如图,△ABC 是不等边三角形,DE=BC，以 D,E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ ABC 全等,这样的三角形最多可以画出_____个．
0
31.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD的长.
32.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E 是 AD上一点,延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE．
33.如图,在ΔABC 中, ∠ABC=60°,AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD。

已知：∠AOC=∠BOD


重叠线段问题：
已知：CE=AF
已知：CE=AF


角平分线的性质与判定 角平分线性质： 角平分线判定： 常见辅助线作法 截长补短题型： 倍长中线题型： 角平分线题型： ； ； ； ； ；
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1.如图∠1=∠2=20 ，AD=AB,∠D=∠B，E 在线段BC 上，则∠AEC=（ 0 0 0 A.20 B.70 C.50
度.
7.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠ACB=∠AED=1050，∠CAD=150 ,∠B= ∠D=300， 则∠1的度数为 8.如图， △ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB、 AC 边翻折1800形成的， 若∠1:∠2:∠3=28:5:3， 则∠a 的 度数为

全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

第十二章全等三角形12.1 全等三角形1、全等形：能够完全重合的两个图形.例1．在下列图形中，与左图中的图案完全一致的是【答案】B【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．与A、C、D中的图案不一致，只有与B中的图案一致．故选B．例2．下列说法正确的个数为（）（1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形（3）所有的正六边形是全等形（4）面积相等的两个正方形是全等形A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】试题分析：根据全等图形的定义依次分析各小题即可判断.（1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形，正确；（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形，正确；（3）所有的正六边形形状相同，但大小不一定相等，不一定是全等形，故错误；（4）面积相等的两个正方形是全等形，正确；故选C.考点：本题考查的是全等图形的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握两个能够完全重合的图形称为全等图形.例3．下列命题：（1）只有两个三角形才能完全重合；（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；（3）两个正方形一定是全等形；（4）边数相同的图形一定能互相重合.其中错误命题的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】试题分析：根据全等图形的定义依次分析各小题即可判断.（1）只要形状和大小完全相同的两个图形均能重合，故错误；（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同，正确；（3）两个正方形形状相同，但大小不一定相等，不一定是全等形，故错误；（4）边数相同的图形形状、大小不一定相同，不一定能互相重合，故错误；故选B.考点：本题考查的是全等图形的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握两个能够完全重合的图形称为全等图形.2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形.3、对应顶点：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点.4、对应边：重合的边叫做对应边.5、对应角：重合的角.6、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等.例1．如图，△ABC ≌△DCB ，点A 、B 的对应顶点分别为点D 、C ，如果AB ＝7cm ，BC ＝12cm ，AC ＝9cm ，那么BD 的长是（ ）．A ．7cmB ．9cmC ．12cmD ．无法确定【答案】B【解析】试题分析：已知△ABC ≌△DCB ，根据全等三角形的性质可得BD=AC ＝9cm ，故答案选B ．考点：全等三角形的性质．例2．如图，△AOC ≌△BOD ，∠A 和∠B ，∠C 和∠D 是对应角，下列几组边中是对应边的是（ ）ODCBAA.AC 与BDB.AO 与ODC.OC 与OBD.OC 与BD【答案】A【解析】由全等三角形的性质可知，AC 与BD 是对应边，AO 与OB 是对应边， OC 与OD 是对应边， 故选A例3．一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：（1）对应线段平行；（2）对应线段相等；（3）对应角相等；（4）不改变图形的形状和大小，其中正确的有（ ）A.（1）（2）（3）B.（1）（2）（4）C.（1）（3）（4）D.（2）（ 3）（4）【答案】D【解析】试题分析：一个图形无论经过平移还是旋转，对应线段和角相等，不改变图形的形状和大小，旋转后对应的线段可能不平行．故选：D ．考点：几何变换的类型．例4．如图，△ABC ≌△DEF ，点A 与D ，B 与E 分别是对应顶点，且测得BC=5cm ，BF=7cm ，则EC 长为_________cm ．【答案】3．【解析】试题分析：∵△ABC ≌△DEF ，∴EF=BC=5cm ，∵BF=7cm ，BC=5cm ，∴CF=7cm-5cm=2cm ，∴EC=EF-CF=3cm ，故EC 长为3cm ．考点：全等三角形的性质．12.2三角形全等的判定三角形全等的判定：1、三边分别相等的两个三角形全等（SSS ）.例．如图所示，△ABC 为等腰三角形，AB=AC 且AD ⊥BC ，垂足为D ，求证：△ABD ≌△ACD.（图1）D CBA【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理SSS 可以证得△ABD ≌△ACD ；试题解析：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，在△ABD 和△ACD 中，BD CD AD AD AB AC ===⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）；考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质．2、两边和它们的夹角分别相等的三角形全等（SAS ）.例1．已知：如图，AB ∥DE ，AB=DE ，AF=DC ．求证：ABF ∆≌DEC ∆．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据AB ∥DC ，可得∠C=∠A ，然后由AE=CF ，得AE+EF=CF+EF ，最后利用SAS 判定△ABF ≌△CDE ． 试题解析：∵AB ∥DC ，∴∠C=∠A ，∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF ，在△ABF 和△CDE 中，A=C AF=CE AB CD =⎧⎪⎨⎪⎩∠∠，∴△ABF ≌△CDE （SAS ）．考点：全等三角形的判定．例2．如图，C 为线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，且CD ＝CE ，求证：△ACD ≌△BCE ．【答案】见解析A CB D E【解析】 试题分析：CD 平分∠ACE ，所以∠1=∠2;CE 平分∠BCD ，所以∠2=∠3;所以∠1=∠2=∠3 C 是线段AB 的中点，AC=CB ，已知CD=CE ，由边角边得△ACD ≌△BCE试题解析：∵C 是线段AB 的中点∴AC=BC∵CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD∴∠ACD=∠ECD ，∠BCE=∠ECD∴∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．考点：全等三角形的判定3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA ）.4、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.例1．（7分）如图，在ΔABC 与ΔDCB 中，AC 与BD 交于点E ，且，∠A=∠D ，AB=DC ．（1）求证：ΔABE ≌ΔDCE（2）当∠AEB=70°时，求∠EBC 的度数．【答案】（1）详见解析；（2）35°．【解析】 试题分析：（1）根据AAS 即可推出ΔABE ≌ΔDCE ;（2）由（1）得EB=EC ，推出∠EBC=∠ECB ，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC ，代入即可求出∠EBC 的度数．试题解析：（1）证明：∵在△ABE 和△DCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DC AB DEC AEB D A ， ∴△ABE ≌△DCE （AAS ）．∵△ABE ≌△DCE ，∴BE=EC ，∴∠EBC=∠ECB ，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=70°，∴∠EBC=35°．考点：全等三角形的判定及性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质．5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL).6、证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1．如图，在△ABC 和△DEF 中，满足AB=DE ，∠B=∠E ，如果要判定这两个三角形全等，添加的条件不正确的是（ ）A ．BC=EFB ．AC=DFC ．∠A=∠D D ．∠C=∠F【答案】B【解析】试题解析：A.∵在△ABC 和△DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），正确，故本选项错误；B 、根据AB=DE ，∠B=∠E ，AC=DF 不能推出△ABC ≌△DEF ，错误，故本选项正确；C 、∵在△ABC 和△DEF 中，A D AB DE BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），正确，故本选项错误；D 、∵在△ABC 和△DEF 中，C F B E AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （AAS ），正确，故本选项错误；故选B ．考点：全等三角形的判定．例2．如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A ．∠BCA=∠DCAB ．∠BAC=∠DAC C ．CB=CD D ．∠B=∠D=90°C A BD【答案】A．【解析】试题分析：A、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意．故选：A．考点：全等三角形的判定定理．例3．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．【答案】AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．【解析】试题解析：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，若利用“HL”，可添加EB=BD，若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”证明．综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．考点：全等三角形的判定．例4．如图，已知AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中共有__________对全等三角形．【答案】3．【解析】试题分析：已知AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=BD，利用SAS可判定△ABD≌△CDB；由全等三角形的性质可得AD=BC，∠BAD=∠DCB，再由AB=CD，∠BOA=∠DOC，利用AAS可得△BOA≌△DOC；再由AD=BC，AB=CD，AC=CA，利用SSS可得△BAC≌△DCA．故图中有3对全等三角形．考点：全等三角形的判定及性质．12.3角的平分线的性质1、角的平分线的点到角两边的距离相等.2、角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.例1．如图所示，在RtΔACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB的距离是（）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】D．【解析】试题分析：∵BC=16，BD=10∴CD=6由角平分线的性质，得点D 到AB 的距离等于CD=6．故选D ．考点：1.角平分线的性质；2.角平分线的定义．例2．如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，则∠BPC 的大小是（ ） A ．100° B ．110° C ．115° D ．120°【答案】C ．【解析】试题分析：∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，∴∠BPC=115°．故选C ．考点：１.三角形内角和定理；２.角平分线的定义．例3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，若CD ＝5cm ，则点D 到 AB 的距离为______cm ．【答案】5【解析】试题分析：过点D 作DE AB ⊥于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE CD =，从而得解． 如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵90C ∠=︒ ，BD 平分ABC ∠∴DE CD =，∵5CD cm =，∴5DE cm =，即点D 到AB 的距离为5cm ．考点：角平分线的性质．例4．如图，点P 是∠ABC 的平分线上一点，PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，垂足分别是M 、N ．求证：（1）∠PMN=∠PNM；（2）BM=BN．【答案】见解析【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质得到PM=PN，根据等腰三角形的性质证明即可；（2）根据同角的余角相等解出证明．证明：（1）∵PB是∠ABC的平分线，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM；（2）∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB=∠PNB=90°，又∠PMN=∠PNM，∴∠BMN=∠BNM，∴BM=BN．考点：角平分线的性质．。

【初中数学】初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线技巧三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

缺个角的条件：缺条边的条件：构造辅助线的常用方法1.当题目的条件中出现角平分线时，要根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F 为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。

(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。