15.4.1 提公因式法

15.4.1 因式分解---提公因式学习目标：1、理解因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念；2、会用提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法。

学习重点; 会用提公因式法分解因式．学习难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式。

学习过程：一、回顾引入：1、把630分成质因数的乘积为：630= .2、计算：x(x+1)= ；(x+1)(x－1)= 。

3、请你将下列各式写成乘积的形式：x2+x=_______ ；x2-1=______ ；（3）am+bm+cm=_ _；观察上面三个等式的特点：等号左边是式，等号的右边是形式。

二、新知探究：（一）因式分解的概念：定义：把一个化成的的形式，叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式。

x2-1 (x+1)(x-1)练习一.1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2；(5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ；(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).2.下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；(3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）； (6)xxxxx3)2)(2(342++-=+-(7))11(1xxx+=+； (8)18a3bc=3a2b·6ac.(二)提公因式法分解因式:1、方法探究:在多项式am+bm+cm中,公因式是 ,分解因式:am+bm+cm= .多项式中各项都含有的因式,叫做这个多项式 .把多项式ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m 所得的商，•像这种分解因式的方法叫做．2、在下列各式右边括号前添上适当的符号，使左式与右式相等：① a-b=____(b-a) ② -a+b=____(b-a)3、运用新知：例把下列各式分解因式分解：(1)8a3b2 +12ab3c ．分析：公因式是，8a3b2 = ▪ , 12ab3c= ▪解:原式= ▪ + ▪ =(2)3x3-6xy+x．(3)-4a3+16a2-18a, (4)2a（b+c）-3（b+c） (5)6（x-2）+x（2-x）解: (2) 3x3-6xy+x＝▪－▪＋▪＝．(3) -4a3+16a2-18a＝▪＋▪ + ▪＝(4) 2a（b+c）-3（b+c）= ;(5) 6(x-2）+x(2-x）= = .(6)()()323a a a-+-（7）()()4a y zb z y---(8)7 ( a–3 ) –b ( 3–a) (9)x3(y-3)+x2(3-y)判断多项式是否为因式分解，需要注意：①因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算，而是把多项式由一种形式变成另一种形式；②一个多项式的变形是不是因式分解，关键要看变形后的多项式是否为几个整式的乘积．整式可以是单项式，也可以是多项式．③因式分解是一种恒等变形，因式分解与整式乘法是互为相反的一种恒等变形，检验因式分解的结果是否正确，可以利用整式乘法运算看是否与原多项式相等，相同因式之积应写成幂的形式．四、当堂练习: 1.说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb , (2)4kx －8ky, ; (3)5y 3+20y 2 , ; (4)a 2b －2ab 2+ab, . 2.把下列各式因式分解(1)3mx-6my (2)x 2y+xy 2 (3)12a 2b 3－8a 3b 2－16ab 4(4)8m 2n+2mn (5)12xyz-9x 2y 2 (6)2a(y-z)-3b(z-y)(7)c ab ab b a 3222834+- (8)xz xy x -+-2212（9）2a （b+c ）-3（b+c ） （10）6(x-2）+x(2-x ）（11）yz x z xy z y x 223323153510+--3.计算：(1)4.28×31+42.8×2.9+8.56×20 (2) )5×34+24×33+63×324、先因式分解再求值：()()5242x m x m -+-，其中0.4, 5.5x m ==5、先化简,再求值: 3x 2（x 2－y 2）+6xy （x 2－y 2），其中x=2，y=3．6、拓展题:(1)．710－79－78能否被41整除.(2)计算：（－2）2002+（－2）2001的值．(3) 分解因式：(x+y)2-x-y。

人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿一. 教材分析《提公因式法因式分解》是人教版数学八年级上册第15章第4节的一个内容。

这一节主要介绍了提公因式法在因式分解中的应用。

在此之前，学生已经学习了平方差公式和完全平方公式的因式分解，提公因式法是这两种方法之外的一种重要因式分解方法。

本节内容的学习，不仅丰富学生的因式分解方法，也为后续学习分式分解、二次方程的解法等知识打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对因式分解的概念和方法有一定的了解。

但是，对于提公因式法这种方法的理解和应用还不够深入。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法的原理和应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解提公因式法的原理，能够运用提公因式法进行因式分解。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探索和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：提公因式法的原理和应用。

2.教学难点：如何引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。

2.教学手段：利用多媒体课件，进行直观演示和讲解。

六. 说教学过程1.导入：回顾平方差公式和完全平方公式的因式分解，引出提公因式法。

2.自主学习：学生自主探索提公因式法的原理和应用。

3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的理解和发现。

4.教师讲解：针对学生的疑问和困难，进行讲解和引导。

5.练习巩固：学生进行相关的练习，巩固所学知识。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容。

七. 说板书设计板书设计如下：提公因式法因式分解1.原理：找出多项式的公因式，提取公因式后，得到因式分解的结果。

a.找出多项式的公因式b.提取公因式c.验证因式分解的结果八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。

提公因式法（基础）【学习目标】1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、（•石家庄校级模拟）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．【答案】C.【解析】A 、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；B 、右边结果不是积的形式，不符合题意；C 、a 2﹣3a ﹣4=（a +1）（a ﹣4），符合题意；D 、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．故选：C ．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解,等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：【变式】（•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）A.a 2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21B.a 2+4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）C.（a ﹣3）（a+7）=a 2+4a ﹣21D.a 2+4a ﹣21=（a+2）2﹣25【答案】B.类型二、提公因式法分解因式 2、(1)多项式2363x xy -+的公因式是________；(2)多项式324168mn m m --的公因式是________；(3)多项式()()()x b c a y b c a a b c +--+----的公因式是________；(4)多项式2(3)(3)x x x -+-的公因式是________．【答案】(1)3 (2)4m (3)b c a +- (4)3x -【解析】解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m ．公因式为4m .(3)公因式是（b c a +-），为一个多项式因式．(4)多项式可变形()()233x x x ---，其公因式是3x -．【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．举一反三：【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A ．2x y -B ．22x x +C ．2x y 2+D ．2x xy y 2-+3、若()()()232p q q p q p E ---=-，则E 是（ ）A ．1q p --B ．q p -C ．1p q +-D ．1q p +-【答案】C ；【解析】解：()()23p q q p ---=()()21q p p q -+-．故选C ．【总结升华】观察等式的右边，提取的是()2q p -，故可把()2p q -变成()2q p -，即左边＝()()21q p p q -+-.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．举一反三：【变式】把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是（ ）A ．1m +B ．2mC ．2D ．2m +【答案】D ；解：()()()111m m m +-+-，＝()()111m m -++，＝()()12m m -+． 4、（春•新沂市期中）分解因式：3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）.【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果．【答案与解析】解：原式=3x （a ﹣b ）+6y （a ﹣b ）=3（a ﹣b ）（x+2y ）．【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）A ．()222129343abc a b c abc ab -=- B ．()2233632x y xy y y x x y -+=-+ C ．()2a ab ac a a b c -+-=--+ D ．()2255x y xy y y x x +-=+解：A.()222129343abc a b c abc abc -=-，故本选项错误；B.()2233632x y xy y y x x -+=-+，故本选项错误； C.()2a ab ac a a b c -+-=--+，正确；D.()22551x y xy y y x x +-=+-，故本选项错误． 类型三、提公因式法分解因式的应用 5、若0232=-+x x ，求x x x 46223-+的值.【答案与解析】解： 由0232=-+x x ，得232x x +=()3222642342240x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，()3222623x x x x x +=+，这样就能由已知整体代入求值了.【巩固练习】一.选择题1. （•长沙模拟）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）A ．x （a ﹣b ）=ax ﹣bxB ．x 2﹣1+y 2=（x ﹣1）（x +1）+y 2C ．y 2﹣1=（y +1）（y ﹣1）D ．ax +by +c=x （a +b ）+c2.（春•东营区校级期末）多项式6ab 2c ﹣3a 22bc+12a 2b 2的公因式是（ ）A.abcB.3a 2b 2C.3a 2b 2cD.3ab 3. 多项式32n n n a a a +-+分解因式的结果是（ ）A.()321n a a a -+B. ()22n n a a a -+ C. ()221n n a a a -+ D. ()31n n a a a -+ 4. 分解因式()()2552x y x -+-的结果是（ ）A. ()()251x y -+B. ()()251x y --C. ()()521x y -+D. ()()521x y --5. 下列因式分解正确的是（ ）A.()()()m a b n a b a b mn -+-=-B.()()()()m x y n y x x y m n ---=--C. ()()1mn x y mn x y mn ++=++D.()()()()232232y x x y x y x y -+-=---6. 把3223284x y x y xy ++提公因式得（ ）A ．2232(42)x x xy y ++B ．32232(42)x y x y xy ++C ．222(42)xy x xy y ++D ．22(4)xy x xy +二.填空题7. 因式分解是把一个______________化为______________的形式.8. ,,ax ay ax -的公因式是___________；236,2,4mn m n mn -的公因式是__________.9. （南京）分解因式：2a （b +c ）﹣3（b +c ）= ．10. 多项式33222339a b a b a b --的公因式是______________.11.（•澄海区一模）分解因式：m （x ﹣y ）+n （y ﹣x ）=_____________________.12. 因式分解243210515m n m n m n -+-＝_____________________.三.解答题13. 应用简便方法计算：（1）1098222--； （2）16 3.148 3.1426 3.14⨯+⨯+⨯14.已知1,3a b ab +==-，求22a b ab +和3322a b ab +的值.15.（春•常州期中）分解因式：6a （b ﹣1）2﹣2（1﹣b ）2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．2. 【答案】D ．【解析】解：系数的最大公约数是3，相同字母a 的最低次数是1，b 的最低次数也是1，∴公因式为3ab ．故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】()32221n n n n n a a a a a a +-+=-+. 4. 【答案】B ；【解析】()()()()()()25522525251x y x x y x x y -+-=---=--.5. 【答案】C ；【解析】()()()()m a b n a b a b m n -+-=-+；()()()()m x y n y x x y m n ---=-+；()()()()232332y x x y x y x y -+-=--+.6. 【答案】C ；【解析】()322322284242x y x y xy xy x xy y ++=++. 二.填空题7. 【答案】多项式；几个整式的积；8. 【答案】;2a mn ；9. 【答案】（b +c ）（2a ﹣3）.10.【答案】23a b ；【解析】()332222233933a b a b a b a b ab b --=--. 11.【答案】（x ﹣y ）（m ﹣n ）．【解析】解：m （x ﹣y ）+n （y ﹣x ）=m （x ﹣y ）﹣n （x ﹣y ）=（x ﹣y ）（m ﹣n ）．故答案为：（x ﹣y ）（m ﹣n ）．12.【答案】()22523m n m mn --+； 【解析】()24322210515523m n m n m n m n m mn -+-=--+.三.解答题13.【解析】解：（1）()109882822222212256--=--==； （2）()16 3.148 3.1426 3.14 3.1416826 3.1450157⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=.14.【解析】解：()22313a b ab ab a b +=+=-⨯=-；()()233222222[2]a b ab ab a b ab a b ab +=+=+- ()()23[123]42=⨯-⨯-⨯-=-.15.【解析】解：6a （b ﹣1）2﹣2（1﹣b ）2=2（b ﹣1）2（3a ﹣1）．。

15.4 因式分解15.4.1提公因式法主备人：杨玉英预习内容：教科书八年级上册第165至167页.一、学习目标：理解因式分解的概念；掌握因式分解的方法提公因式法. 重 点：理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法一提公因式法. 难 点：寻找公因式.二、预习提纲1. 细读第165页，思考：630能被哪些整数整除？说说你是怎样想的？_______________________________2.阅读教材第165页的探究，完成第165页的填空.请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)________(2)_______________ 总结：上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式____________，也叫做把这个多项式 . 另外：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即____________________ .下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ；(4)4x 2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a 2+6a=3a （a+2）；(6)x x x x x 3)2)(2(342++-=+- (7))11(1x x x +=+；(8)18a 3bc=3a 2b ·6ac 。

3.阅读166页第一段内容.公因式的概念：_______________________________阅读第二段内容.什么叫提公因式法？找出公因式：c ab ab b a 3222834+- (2)532)32(21)32(14)32(7y x y x y x -+---（3） 22x x y x +- （4）yz x z xy z y x 223323153510+-- 通过上面四道题能否总结如何找公因式.4.细读166页例1、例2.注意解答过程.5.尝试练习：（1）c ab ab b a 3222834+- （2）6a(m+c) -3a 2(m+c)（3）ax x a ax +-223 （4）)2()2(52x a x -+-（5）)23)(5()7)(32(a b y x y x b a --++-（6）（a 2-ab ）+c （a-b ）简化计算：（1）14.37.014.35414.31.2⨯+⨯-⨯ （2）72.46241.23⨯-⨯三、交流与讨论;四、展示与点评：教师适当的补充.五、知识提炼：1.因式分解定义：因式分解与整式乘法的关系.2.公因式：3.提公因式：提公因式的关键：确定公因式4.确定公因式的步骤：（1）找系数的 .（2）找多项式各项中的 .（3）相同字母的 .3222236312x y x y x y -+20122013(2)(2)-+-222(3)(1)x bx c x x ++=-+六、当堂检测A 组1.下面从左到右的变形中，哪一个是因式分解（ ）222()1()1()()()()()()()()4()34(3)A ax bx x a bB a b a b a bC x a b b b a a b x bD x x x x x --=--+-=--+-=--+-=+-2.下列各个多项式的各项中，有公因式的是（ ） ()229A x y - ()235B x x -+()33C a b +()32D a b ab ab -+B 组3.多项式 的公因式 .4.分解因式：2（x-3)+x （3-x ）= . C 组5.计算：6.已知多项式 则b、c 的值是 . 课堂作业A 组1.分解因式：22x x -= .2.分解因式：()()23x y x y +-+= .3.已知多项式28x mx n +-因式分解的结果为()()4323x x -+，那么m-n= .4.已知6x y +=，3xy =-，则22x y xy += .5.下列各式从左到右的变换是因式分解的是（ ） ()()()()()()()2224444105521163(4)(4)3A a x y ax ayB x x x xC x x x xD x x x x x+=+-+=-+-=--+=+-+6.下列因式分解结果正确的是（ ） ()()()()23222222222282(4)()()1111444(2)(2)A m n n n m nB a b a b a bC x x x x xD m n m n m n -=-+-=-⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭-=+-7.多项式332224914a bc a b c +在分解因式时应提取的公因式是（ ） ()()()()3322222227777A a bc B a b c C ab c D a bcB 组8.利用因式分解计算: 10010122-等于（ ）A -2B 2C 1002-D 10029.如果33,a b -=-那么式子53a b -+的值为 .10.因式分解：2m mn nx mx --+= .11.分解因式：（1）2721a a - (2) 3238124x y xy z xyz -+（3）3()2()x m n y n m -+- (4) 22(3)4(3)a x a x -+-C 组12.求证：若n 为正整数，则n n 332-+能被24整除 13.7622110-74125.21-76135.1074175.31⨯⨯⨯+⨯32322010*********(4)201020102011-⨯-+-。

新疆石河子市第八中学八年级数学《1541 因式分解—提公因式法》教案一、教学目标㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。

㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想。

（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。

（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。

㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。

二、教学重点和难点重点：因式分解的概念及提公因式法。

难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。

教学环节教师活动预设学生行为设计意图活动1：复习引入看谁算得快：用简便方法计算：（1）7/9 ×13-7/9 ×6+7/9 ×2= ；（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= ；（3）992–1= 。

学生在计算是分为两类：一是正确应用因数分解的办法进行简便计算；二是不懂正确应用因数分解的办法进行简便计算，而采取实实在在计算办法进行计算。

如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式。