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2014届高考数学（理）一轮复习 14 离散型随机变量及其分布列一、选择题1．某射手射击所得环数X 的分布列为：X 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( ) A ．0.28 B ．0.88 C ．0.79D ．0.51解析：P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10) ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案：C2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C 47C 68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015.答案：C3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A.1220 B.2755 C.27220D.2125解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球， 故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C4．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝9D ．n ＝10解析：P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，∴n ＝10. 答案：D5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －1 0 1P0.51－2qq 2则q 等于( ) A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22解析：由分布列的性质得： ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0q 2≥00.5＋1－2q ＋q 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜q ≤12，q ＝1±22.∴q ＝1－22. 答案：C6．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝c k k ＋1，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P (12<X <52)的值为( )A.23 B.34 C.45D.56解析：由题意，得c 2＋c 6＋c 12＋c 20＝1，即c ＝54，于是P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝c 2＋c 6＝23c ＝23×54＝56. 答案：D 二、填空题7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．解析：甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一题并回答错误，乙抢到两题并且都回答错误，此时甲得－1分，故X 的所有可能取值为－1,0,1,2,3.答案：－1,0,1,2,38．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2 Pa1316F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1,2)时，F (x )＝________.解析：∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.答案：569．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ，y ”代替)，其表如下：X 1 2 3 4 5 6 P0.200.100.x 50.100.1y0.20则丢失的两个数据依次为______________．解析：由于0.20＋0.10＋0.x 5＋0.10＋0.1y ＋0.20＝1， 得0.x 5＋0.1y ＝0.40，于是两个数据分别为2,5. 答案：2,5 三、解答题10．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x 1，x 2，记ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2.(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； (2)求ξ的分布列．解：(1)掷出点数x 可能是：1,2,3,4.则x －3分别得：－2，－1,0,1.于是(x －3)2的所有取值分别为：0,1,4.因此ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8.当x 1＝1且x 2＝1时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最大值8，P (ξ＝8)＝14×14＝116；当x 1＝3且x 2＝3时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最小值0，P (ξ＝0)＝14×14＝116.(2)由(1)知ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8.P (ξ＝0)＝P (ξ＝8)＝116；当ξ＝1时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)．即P (ξ＝1)＝416；当ξ＝2时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)．即P (ξ＝2)＝416；当ξ＝4时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,3)、(3,1)． 即P (ξ＝2)＝216；当ξ＝5时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,1)、(1,4)、(1,2)、(4,1)．即P (ξ＝2)＝416.所以ξ的分布列为：ξ 0 1 2 4 5 8 P1161414181411611．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列． 解：(1)设乙厂生产的产品数量为m 件，依题意得1498＝5m ，∴m ＝35.答：乙厂生产的产品数量为35件．(2)∵上述样本数据中满足x ≥175且y ≥75的只有2件， ∴估计乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14件．(3)依题意，ξ可取值0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 23C 25＝310，P (ξ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 P3103511012．某师范大学地理学院决定从n 位优秀毕业生(包括x 位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师．每一位学生被派的机会是相同的．(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出n 与x 的值；(2)记X 为选派的2位学生中女学生的人数，写出X 的分布列．解：(1)从n 位优秀毕业学生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为C 2n ＝n n －12，2位学生中恰有1位女学生的结果数为C 1n －3C 13＝(n －3)×3.依题意可得C 1n －3C 13C 2n ＝n －3×3n n －12＝35，化简得n 2－11n ＋30＝0，解得n 1＝5，n 2＝6.当n ＝5时，x ＝5－3＝2；当n ＝6时，x ＝6－3＝3，故所求的值为⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6x ＝3.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5x ＝2时，X 可能的取值为0,1,2.X ＝0表示只选派2位男生，这时P (X ＝0)＝C 02C 23C 25＝310，X ＝1表示选派1位男生与1位女生，这时P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，X ＝2表示选派2位女生，这时P (X ＝2)＝C 22C 25＝110.X 的分布列为：X 0 1 2 P31035110当⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6x ＝3时，X 可能的取值为0,1,2.X ＝0表示只选派2位男生，这时P (X ＝0)＝C 23C 03C 26＝15，X ＝1表示选派1位男生与1位女生，这时P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，X ＝2表示选派2位女生，这时P (X ＝2)＝C 23C 03C 26＝15.X 的分布列为：X 0 1 2 P153515。
提能专训(十二)概率、随机变量的分布列一、选择题1．投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次的点数小于第二次的点数我们称其为“前效实验",若第二次的点数小于第一次的点数我们称其为“后效实验"，若两次的点数相等我们称其为“等效试验”．那么一个人投掷该骰子两次后出现“等效实验”的概率是( )A。
错误!B。
错误! C.错误!D。
错误!B 命题立意：本题主要考查古典概型，根据本题中的新定义，列出投掷两次出现的所有可能情况，查出点数相同的基本事件的个数,利用古典概型的概率公式计算．解题思路：投掷两次的所有基本事件总数为36，其中点数相等的有6种情况,所以投掷两次后出现“等效实验”的概率是错误!＝1。
62．随机变量ξ的概率分布列为P（ξ＝n)＝a错误!n(n＝0，1，2),其中a为常数，则P（0.1＜ξ＜2。
9)的值为( ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!C 命题立意：本题考查随机变量ξ的概率分布列的应用问题，难度中等．解题思路：因为随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n）＝a错误!n（n ＝0,1，2)，根据各个概率值的和为1，得a＝错误!，然后可得P(0.1＜ξ＜2.9)＝p（ξ＝1）＋p(ξ＝2)＝错误!，故选C。
3．(2013·山东日照一模)已知实数x∈[1，9］，执行如下图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（）A。
错误! B.错误!C.错误!D。
错误!B 解题思路：由程序框图可知，输出的结果为2[2（2x＋1）＋1］＋1≥55，解得x≥6，由几何概型可知，输出的x 不小于55的概率为错误!＝错误!，故选B.4．（2013·石家庄一模)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A 。
错误!B.错误! D 。
23 D 。
错误!A 解题思路：记3个兴趣小组分别为1，2，3,甲参加兴趣小组1，2，3分别记为“甲1”“甲2”“甲3"，乙参加兴趣小组1,2,3分别记为“乙1”“乙2”“乙3”，则基本事件为“甲1,乙1；甲1、乙2；甲1，乙3；甲2,乙1；甲2，乙2；甲2，乙3;甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2;甲3，乙3”，共3个．因此P (A )＝错误!＝错误!。
2014年历年概率汇编 答案20．湖北卷解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4200×0.2＋10 000×③安装3台发电机的情形． 依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得Y所以，E (Y )＝3400×0.2＋9200综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．四川卷17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为：(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 18．福建卷解：(1)设顾客所获的奖励额为X .(i)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12，(ii)依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.16天津卷．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960， 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)， 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.18．重庆卷解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384，P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.17．湖南卷解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.17．安徽卷解： 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.16．北京卷解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 相互独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.故P (C )＝P (AB )＋P (AB ) ＝35×35＋25×25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.21．江西卷解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为：E ξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2.又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k 2k 种． 所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2k ＝1C k 2k C n 2n.(3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，①用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． (ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时， 左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k 2k＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4Cm －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）· 2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边， 即当n ＝m ＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立．18．辽宁卷解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.X 的分布列为因为X ～B (3，0.6)(1－0.6)＝0.72. 20．全国卷解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.18．山东卷解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15 ＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. (2)由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ所以数学期望E ξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.19．陕西卷解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”， 由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.P (X ＝4000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(i ＝1，2，3)， 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.20．全国卷解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.。
2014高考数学理“硬”手笔（真题篇）常考问题：
随机变量的分布列、均值与方差
[真题感悟]
(2013·天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
(1)解 设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则
P (A )＝C 12C 35＋C 22C 2
5C 47＝67
. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67
. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.
P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435
， P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47
. 所以随机变量X 的分布列是
随机变量X 的数学期望EX ＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝5
. [考题分析]
题型 选择题、填空题、解答题
难度 低档 对排列、组合知识、二项式定理、离散型随机变量的数学期望的单项考查． 中档 对排列、组合知识的综合考查；对互斥事件、相互独立事件、独立重复试验概率的求解．。
1．(背景新)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则复数P 1＋P 2i 所对应的点P 与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是( )A ．P 在直线l 2的右下方B ．P 在直线l 2的右上方C ．P 在直线l 2上D ．P 在直线l 2的左下方命题猜想解析：如图所示，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线y ＝k(x ＋1)过定点C(－1,0)，根据抛物线的定义可知|AM|＝2|BN|，则B 为AC 的中点，所以x 2＝x 1－12，y 2＝y 12，由⎩⎨⎧y 21＝4x 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122＝4×x 1－12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝±22，所以直线斜率k ＝y 1x 1＋1＝±222＋1＝±223，故选A .答案：A [历 炼]1．解析：易知当且仅当a b ≠12时两条直线只有一个交点，而a b ＝12的情况有三种：a ＝1，b ＝2(此时两直线重合)；a ＝2，b ＝4(此时两直线平行)；a ＝3，b ＝6(此时两直线平行)．而投掷两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率为P 2＝1－336＝1112；两条直线平行的概率为P 1＝236＝118，P 1＋P 2i 所对应的点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫118，1112，易判断P ⎝ ⎛⎭⎪⎫118，1112在l 2：x ＋2y ＝2的左下方，故选D . 答案：D2．(定义新)点P 在曲线C ：x 24＋y 2＝1上，若存在过点P 的直线交曲线C 于点A ，交直线l ：x ＝4于点B ，满足|PA|＝|PB|，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是( )A ．曲线C 上的所有点都是“H 点”B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H 点” 3．(交汇新)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为( )A . 3B . 5C .10D .134．(交汇新)如图所示，已知圆O ：x 2＋y 2＝2交x 轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为22的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P 在圆O 上运动时(不与A ，B 重合)，直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[历炼]2．解析：设点P(x ，y)，B(4，m)．当|PA|＝|PB|，即点P 是AB 的中点时，则点A(2x －4,2y －m)，由于点A ，P 均在椭圆C 上，因此有⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，(2x －4)24＋(2y －m )2＝1，化简为⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，(x －2)2＋4⎝⎛⎭⎪⎫y －m 22＝1，结合图形不难看出(图略)，当m 取恰当的值时，椭圆x 24＋y 2＝1与(x －2)2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝1(该方程表示中心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，m 2的椭圆)始终会有交点，即在椭圆C 上满足|PA|＝|PB|的点P 有无数多个(但不是所有的点)，因此选D .答案：D3．解析：由题意可知，经过右顶点A 的直线方程为y ＝－x ＋a ，联立⎩⎨⎧y ＝b a x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a2a ＋b.联立⎩⎨⎧y ＝－b a x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a －b.因为b ＞a ＞0，所以a 2a －b ＜0，且a 2a ＋b＞0，又点B 的横坐标为等比中项，所以点B 的横坐标为a 2a －b ，则a·a 2a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b 2，解得b ＝3a ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝10.答案：C4．解析：(1)因为a ＝2，e ＝22，所以c ＝1，则b ＝1，即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：因为P(1,1)，所以k PF ＝12，所以k OQ ＝－2，所以直线OQ 的方程为y ＝－2x. 又Q 在直线x ＝－2上，所以点Q(－2,4)， ∴k PQ ＝－1，又∵k OP ＝1，∴k OP ·k PQ ＝－1，即PQ ⊥OP ，故直线PQ 与圆O 相切． (3)当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切的位置关系．证明如下：设P(x 0，y 0)(x 0≠±2)，则y 20＝2－x 20，所以k PF ＝y 0x 0＋1，k OQ ＝－x 0＋1y 0，所以直线OQ 的方程为y ＝－x 0＋1y 0x ，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2x 0＋2y 0. 所以k PQ ＝y 0－2x 0＋2y 0x 0＋2＝y 20－(2x 0＋2)(x 0＋2)y 0＝－x 20－2x 0(x 0＋2)y 0＝－x 0y 0，又k OP＝y 0x 0，所以k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ(P 不与A ，B 重合)，故直线PQ 始终与圆O 相切．。
提能专训(十四)直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质A组一、选择题1．（2013·河南安阳一模）平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1）,C(2，－3）两点，点D在直线3x－y＋1＝0上移动,则点B的轨迹方程为( )A．3x－y－20＝0 B．3x－y＋10＝0C．3x－y－9＝0 D．3x－y－12＝0A 解题思路：设AC的中点为O，即错误!.设B(x，y）关于点O 的对称点为(x0，y0），即D（x0，y0），则错误!由3x0－y0＋1＝0，得3x －y－20＝0.2．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3）2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( ）A．1 B．2错误!C。
错误!D．3C 解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小．因圆心(3，0）到直线的距离为d＝错误!＝2错误!，所以切线长的最小值是l＝错误!＝错误!.3．直线y＝x＋b与曲线x＝错误!有且只有一个交点，则b的取值范围是( ）A．｛b｜|b|＝错误!}B．｛b|－1＜b≤1或b＝－2｝C．{b|－1≤b＜1｝D．非以上答案B 解题思路：在同一坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2（就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示，相切时b＝－错误!，其他位置符合条件时需－1＜b≤1。
故选B.4．(2013·湖南长沙一模)过点(1，3）作直线l，若经过点(a,0)和（0,b)，且a∈N*，b∈N＊,则可作出的直线l的条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4B 解题思路：由题意，得错误!＋错误!＝1⇒(a－1）（b－3）＝3.又a∈N*，b∈N＊，所以有两个解错误!或错误!5．已知动点P到两定点A,B的距离和为8，且|AB|＝4错误!，线段AB的中点为O,过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（)A．5条B．6条C．7条D．8条D 命题立意：本题考查椭圆的定义与性质，难度中等．解题思路:依题意，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长是8，短轴长是2错误!＝4的椭圆．注意到经过该椭圆的中心O的最短弦长等于4，最长弦长是8，因此过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中,长度可以为整数4,5，6，7，8，其中长度为4,8的各一条，长度为5,6，7的各有两条,因此满足题意的弦共有8条,故选D.6．(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线（m＋1)x＋（n＋1)y －2＝0与圆(x－1）2＋(y－1）2＝1相切，则m＋n的取值范围是（）A．[1－3，1＋错误!]B．(－∞，1－错误!］∪［1＋错误!，＋∞)C．［2－2错误!，2＋2错误!］D．(－∞，2－2错误!]∪［2＋2错误!，＋∞）D 解题思路：∵直线与圆相切，∴错误!＝1,∴｜m＋n｜＝错误!，即mn＝m＋n＋1,设m ＋n ＝t ,则mn ≤错误!2＝错误!，∴ t ＋1≤错误!，∴ t 2－4t －4≥0，解得t ≤2－2错误!或t ≥2＋2错误!。
1．(交汇新)正态总体N (2,9)在区间(3,4)和(0,1)上取值的概率分别为m ，n ，则mn 与m ＋n 2的大小关系为( )A .mn ＞m ＋n 2B .mn ＝m ＋n 2C .mn ＜m ＋n 2D ．不确定2．(交汇新)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M(圆中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是________．3．(背景新)甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏．开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”(双方同时)：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片．规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束．设游戏结束时“出手”次数为ξ，则E(ξ)＝__________.4．(背景新)某品牌汽车的4S 店，对最近100位采用分期付款的顾客进行统计，统计结果如下表所示．已知分3期付款的频率为0.2,4S 店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示销售一辆汽车的利润．(2)若以频率为概率，求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及数学期望E(η)．[历 炼]1．解析：正态分布N (2,9)的曲线关于x ＝2对称，区间(3,4)和(0,1)关于对称轴x ＝2对称，故m ＝n ，则mn ＝m ＋n 2.答案：B2．解析：阴影部分的面积为2 ⎪⎪⎪⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )π0＝4，圆的面积为π3，所以点A 落在区域M 内的概率是4π3.答案：4π33．解析：P(ξ＝3)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝227， P(ξ＝4)＝2×C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝227，P(ξ＝5)＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＋C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝227， P(ξ＝6)＝1－P(ξ≤5)＝2127，E(ξ)＝227×3＋227×4＋227×5＋2127×6＝509.答案：5094．解析：(1)由a100＝0.2，得a＝20.又40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10.(2)记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3,4,5.依题意，得P(ξ＝1)＝40100＝0.4，P(ξ＝2)＝20100＝0.2，P(ξ＝3)＝0.2，P(ξ＝4)＝10100＝0.1，P(ξ＝5)＝10100＝0.1.则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率为P(A)＝0.83＋C13×0.2×(1－0.2)2＝0.896.(3)由题意，知ξ＝1时，η＝1；ξ＝2时，η＝1.5；ξ＝3时，η＝1.5；ξ＝4时，η＝2；ξ＝5时，η＝2.所以η的可能取值为1,1.5,2.其中P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.所以η的分布列为故η的数学期望2×0.2＝1.4.。
解答题专项训练(概率与统计)1.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率;(3)求比赛局数的分布列.2.为了在某次比赛中取得好成绩,某代表队已组织了多次比赛演练.某次演练中,该队共派出甲、乙、丙、丁、戊五位选手进行100米短跑比赛,这五位选手需通过抽签方式决定所占的跑道.(1)求甲、乙两位选手恰好分别占据1,2跑道的概率;(2)若甲、乙两位选手之间间隔的人数记为X,求X的分布列和数学期望.3.我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准a,用水量不超过a的部分按照平价收费,超过a的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位:t),制作了频率分布直方图.(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整;(2)用样本估计总体,如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准a,则月均用水量的最低标准定为多少吨,并说明理由;(3)若将频率视为概率,现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样),其中月均用水量不超过(2)中最低标准的人数为X,求X的分布列和均值.4.某品牌的汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示:已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款,其利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.(1)求上表中的a,b值;(2)若以频率作为概率,求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位采用3期付款”的概率P(A);(3)求η的分布列及数学期望E(η).5.现有4个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.(1)求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率;(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).6.某商店试销某种商品20天,试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货.若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货.将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望.7.省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员.现将这两所体校中的20名备选学生的身高绘制成如下茎叶图(单位:cm):若身高在180 cm以上(包括180 cm)定义为“高个子”,身高在180 cm以下(不包括180 cm)定义为“非高个子”.(1)用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,如果从这5人中随机选2人,那么至少有一个是“高个子”的概率是多少?(2)若从所有“高个子”中随机选3名队员,用ξ表示乙校中选出的“高个子”人数,试求出ξ的分布列和数学期望.8.为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进教育教学改革,郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛,共有200名学生参加,为了解成绩情况,从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题:(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本,现将所有学生随机地编号为000,001,002,…,199,试写出第二组第一位学生的编号;(2)求出a,b,c,d,e的值(直接写出结果),并作出频率分布直方图;(3)若成绩在95.5分以上的学生为一等奖,现在,从所有一等奖同学中随机抽取5名同学代表学校参加决赛,某班共有3名同学荣获一等奖,若该班同学参加决赛人数记为X,求X的分布列和数学期望.##1.解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A,则P(A)=··.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.因为乙以4比2获胜的概率为P1=··,乙以4比3获胜的概率为P2=··,所以P(B)=P1+P2=.(3)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7.P(X=4)=2,P(X=5)=2··,P(X=6)=2··,P(X=7)=2··.比赛局数的分布列为:2.解:(1)设“甲、乙两位选手恰好分别占据1,2跑道”为事件A,则P(A)=.所以,甲、乙两位选手恰好分别占据1、2跑道的概率为.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=.随机变量X的分布列为:因为E(X)=0×+1×+2×+3×=1,所以随机变量X的数学期望为1.3.解:(1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位,占样本总体的20%,由样本估计总体,要保证80%的居民每月的用水量不超出标准,月均用水量的最低标准应定为2.5吨.(3)依题意可知,居民月均用水量不超过(2)中最低标准的概率是,则X~B,P(X=0)=,P(X=1)=·,P(X=2)=·,P(X=3)=.X的分布列为:E(X)=3×.4.解:(1)由=0.2,得a=20.∵40+20+a+10+b=100,∴b=10.(2)记分期付款的期数为ξ,依题意得:P(ξ=1)==0.4,P(ξ=2)==0.2,P(ξ=3)=0.2,P(ξ=4)==0.1,P(ξ=5)==0.1.则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率:P(A)=0.83+0.2×(1-0.2)2=0.896.(3)∵η的可能取值为:1,1.5,2(单位:万元),P(η=1)=P(ξ=1)=0.4,P(η=1.5)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.4,P(η=2)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2,∴η的分布列为∴η的数学期望E(η)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元).5.解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率都为,去参加乙项目联欢的概率都为.设“这4个人中恰有i人去参加甲项目联欢”为事件A i(i=0,1,2,3,4),则P(A i)=.(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)=.(2)设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B,则B=A3∪A4,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.P(ξ=0)=P(A2)=;P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.∴ξ的分布列是∴E(ξ)=0×+2×+4×.6.解:(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为1件”)=.(2)由题意知,X的可能取值为2,3.P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)=;P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)=.故X的分布列为X 2 3PX的数学期望为E(X)=2×+3×.7.解:(1)根据茎叶图可知,这20名学生中有“高个子”8人,“非高个子”12人,用分层抽样的方法从中抽出5人,则每个学生被抽到的概率为,所以应从“高个子”中抽8×=2(人),从“非高个子”中抽12×=3(人).用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”,则它的对立事件表示“没有一名‘高个子’被选中”,则P(A)=1-P()=1-=1-,因此至少有1人是“高个子”的概率是.(2)依题意知,从乙校中选“高个子”的人数ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.因此,ξ的分布列如下:所以ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×.8.解:(1)编号为004.(2)a,b,c,d,e的值分别为13,4,0.30,0.08,1.频率分布直方图如图.(3)在被抽到的学生中获一等奖的人数为2,占样本的比例是=0.04,即获一等奖的概率为4%,所以获一等奖的人数估计为200×4%=8,随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.随机变量X的分布列为因为E(X)=0×+1×+2×+3×,所以随机变量X的数学期望为.。
提能专训(十六) 概率、随机变量的分布列一、选择题1．(2014·东北三校二模)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)，则c 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 因为ξ服从正态分布N (2,9)，即μ＝2为图象的对称轴，而P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)，即μ＝c 与μ＝c －2关于μ＝2对称，则有c ＋c －22＝2，c ＝3.2．(2014·某某二模)甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( )A.13B.23C.34D.35 [答案] A[解析] 第一种情况：甲安排在第一天，则有A 24＝12种；第二种情况：甲安排在第二天，则有A 23＝6种；甲安排在第三天，则有A 22＝2种，所以P ＝12＋6＋2A 35＝13. 3．(2014·某某第一次质检)甲、乙两名棋手比赛正在进行中，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率都是12，则甲最后获胜的概率是( )A.34B.1116C.58D.916 [答案] B[解析] 甲、乙再打2局甲胜的概率为12×12＝14；甲、乙再打3局甲胜的概率为2×12×12×12＝14；甲、乙再打4局甲胜的概率为3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝316.所以甲最后获胜的概率为14＋14＋316＝1116，故选B.4．(2014·某某调研)如图，在矩形OABC 内：记抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝x ＋1围成的区域为M (图中阴影部分)．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是( )A.118B.112C.16D.13 [答案] B[解析] 阴影部分的面积为S M ＝∫10[(x ＋1)－(x 2＋1)]d x ＝∫10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3 |1＝12－13＝16. 又矩形OABC 的面积S ＝2，故所求的概率为P ＝112.5．(2014·某某调研测试)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为( )A.12B.38C.14D.18 [答案] B[解析] 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000,502)，则三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率为p ＝12，设A ＝{超过1 000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}；B ＝{超过1 000小时，元件3正常}，C ＝{该部件的使用寿命超过1 000小时}，则p (A )＝1－(1－p )2＝34，p (B )＝12，p (C )＝p (AB )＝p (A )p (B )＝34×12＝38，故选B.6．(2014·某某质检一)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面点集中随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A.14B.34C.13D.23 [答案] B[解析] 作出不等式组对应的平面区域，是图中的三角形ABC ，其中事件A 对应的区域如图中阴影部分，所以事件A 发生的概率为34，故选B.7．盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同．若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率为( )A.23B.13C.1116D.516 [答案] A[解析] 记“取到蓝球”为事件A ，“取到玻璃球”为事件B .则已知取到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是B 发生的条件下A 发生的概率，记作P (A |B )．因为P (AB )＝416＝14，P (B )＝616＝38，所以P (A |B )＝P ABP B ＝1438＝23. 8．设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113 [答案] C[解析] 由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，得⎩⎪⎨⎪⎧23x 1＋13x 2＝43，⎝⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，由于x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.9．(2014·东北三省二模)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a ，击中9环的概率为b ，既未击中9环也未击中10环的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当10a ＋19b取最小值时，c 的值为( )A.111B.211C.511 D ．0[答案] A[解析] 因为运动员射击一次击中环数的期望为9，所以有10a ＋9b ＝9，所以10a ＋19b ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ＋19b (9b ＋10a )＝1990b a ＋10a 9b ＋101≥1219.当且仅当90b a ＝10a 9b 时取等号，即a ＝9b .将其和10a ＋9b ＝9联立可解得a ＝911，b ＝111.又因为a ＋b ＋c ＝1，所以c ＝111. 10．(2014·东北三省四市二联)P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.1325B.35C.1325πD.35π [答案] B[解析] 设Q (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则P (2x －x 0,2y －y 0)，代入x 2＋y 2＝9，得(2x －x 0)2＋(2y －y 0)2＝9，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋y －y 022＝94，故M 轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02为圆心、以32为半径的圆，又点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝25上，所以区域M 为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x 2＋y 2＝r 2(1≤r ≤4)，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为16π－π25π＝35，故选B.11．(2014·某某七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( )A.3＋316πB.3＋34π C.4π3＋3D.16π3＋3 [答案] B [解析] 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径) ∴⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°，即⎩⎨⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)．于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为P ＝S △ABC 圆的面积＝253＋3102π＝3＋34π.12．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [答案] C[解析] 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故应选C. 二、填空题13．(2014·乌鲁木齐二诊)如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )＝sin x 及直线x ＝a (a ∈(0,2π))与x 轴围成．向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为12，则a ＝________.[答案] π[解析] 根据题意，阴影部分的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·4a ＝∫a0sin x d x ，即－(cos a －cos 0)＝2，cos a ＝－1，又a ∈(0,2π)，故a ＝π.14．(2014·某某二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N (10,0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg 的概率为________．(精确到0.000 1)注：P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<x ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[答案] 0.022 8[解析] 因为袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N (10,0.12)， 所以P (ξ<9.8)＝12[1－P (9.8<ξ<10.2)]＝12[1－P (10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1)] ＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8. 15．(2014·潍坊一模)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为________．[答案]710[解析] 由题中茎叶图知，甲在五场比赛中的得分总和为18＋19＋20＋21＋22＝100；乙运动员在已知成绩的四场比赛中得分总和为15＋16＋18＋28＝77，乙的另一场得分是20到29十个数字中的任何一个的可能性是相等的，共有10个基本事件，而事件“甲的平均得分不超过乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7个基本事件，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为710.16．(2014·某某3月测试一)某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率为34，则该学生在面试时得分的期望为________．[答案]754[解析] 由题意得，该学生有可能答对0,1,2,3道，所以得分可能为－15，0,15,30.根据独立试验同时发生的概率计算公式可得，得分可能为－15，0,15,30对应的概率分别为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1－343·⎝ ⎛⎭⎪⎫340，C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342⎝ ⎛⎭⎪⎫341， C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－341·⎝ ⎛⎭⎪⎫342，C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1－340⎝ ⎛⎭⎪⎫343，即为164，964，2764，2764.所以期望为(－15)×164＋0×964＋15×2764＋30×2764＝754，故填754.三、解答题17．(2014·某某综合测试)甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙、丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)．解：(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A 1，A 2，A 3， 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，且满足⎩⎪⎨⎪⎧P A 1＝25，[1－P A 1][1－P A 3]＝625，P A2P A 3＝310，解得P (A 2)＝12，P (A 3)＝35.所以乙、丙各自能被聘用的概率分别为12，35.(2)ξ的可能取值为1,3. 因为P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋[1－P (A 1)][1－P (A 2)][1－P (A 3)] ＝25×12×35＋35×12×25＝625. 所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝3)＝1－625＝1925.所以ξ的分布列为：ξ 1 3 P1925625所以E (ξ)＝1×1925＋3×625＝3725.18．(2014·某某六校二联)生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：(2)生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在(1)的前提下：①求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；②记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由题可知，元件A 为正品的概率为45，元件B 为正品的概率为34.(2)①设生产的5件元件中正品件数为x ，则有次品5－x 件，由题意知100x －20(5－x )≥300得到x ＝4,5，设“生产5件元件B 所获得的利润不少于300元”为事件C ，则P (C )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫344×14＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫345＝81128.②随机变量X 的所有取值为150,90,30，－30， 则P (X ＝150)＝45×34＝35，P (X ＝90)＝15×34＝320， P (X ＝30)＝45×14＝15， P (X ＝－30)＝15×14＝120，所以X 的分布列为：E (X )＝150×35＋90×20＋30×5－30×20＝108.19．(2014·某某二诊)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A ，B 两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示．以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．(1)现从大量的A ，B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；(2)已知A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A 型节能灯每件产品的利润y (单位：元)与其使用时间t (单位：千小时)的关系如下表：的分布列及数学期望．解：(1)从A 型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P (A )＝12.从B 型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P (B )＝25.∴从A ，B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率P ＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫251×⎝ ⎛⎭⎪⎫351＋C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫122×C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫122×C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝37100. (2)据题意知，X 的可能取值为－40,0,20,40,60,80. ∵P (X ＝－40)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＝1100，P (X ＝0)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1101×⎝ ⎛⎭⎪⎫251＝225， P (X ＝20)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1101×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝110， P (X ＝40)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425， P (X ＝60)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫251×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝25，P (X ＝80)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，∴X 的分布列为：X －40 0 20 40 60 80 P11002251104252514∴数学期望E (X )＝10×－4×1100＋0＋2×110＋4×425＋6×25＋8×14＝52.20．(2014·某某实验中学一模)前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)由茎叶图知，众数为8.6，中位数是8.75.(2)在16人中极幸福的有4人．设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(3)解法一：ξ的可能取值为0,1,2,3.以这16人的样本数据来估计总体数据，则任取1人取到“极幸福”的概率为14，则P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (ξ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764； P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964； P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.所以ξ的分布列为：数学期望E (ξ)＝0×64＋1×64＋2×64＋3×64＝4.解法二：由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3.ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，14，则P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k.所以ξ的分布列为：数学期望E (ξ)＝3×4＝4.。
第6讲离散型随机变量的分布列【2014年高考会这样考】1．在理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念的基础上，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．2．考查两点分布和超几何分布的简单应用.对应学生177考点梳理1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，x i，…x n，X取每一个值x i(i ＝1,2，…，n)的概率为P(X＝x i)＝p i，则称表为随机变量X(4)分布列的两个性质①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝1－p X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列【助学·微博】一类表格离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格．第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数据代表事件的概率．利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．两条性质(1)第二行数据中的数都在(0,1)内；(2)第二行所有数的和等于1.三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．考点自测1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()．A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析A中取到的产品件数是一个常量而不是一个变量；B、D中的概率也是一个定值；而C中取到的次品数可能是0,1,2，是随机变量．答案 C2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()．A．0 B.12 C.23 D.13解析设X的分布列为即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，得p＝1 3.答案 D3．(2013·银川模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为()．A.27220 B.2755 C.1220 D.2125解析由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.答案 A4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()．A．25 B．10 C．7 D．6解析X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案 C5．(人教A版教材习题改编)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是________．解析Y的所有可能值为1,2,3,4P (Y ＝1)＝15，P (Y ＝2)＝15， P (Y ＝3)＝25，P (Y ＝4)＝15. ∴Y 的分布列为答案对应学生178考向一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】► (2012·广东改编)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．[审题视点] (1)抓住总面积和为1即可算得x 的值．(2)ξ的可能取值为0,1,2，算出其概率，即可列出ξ的分布列，从而求出ξ的期望．解 (1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3. 因此ξ可能取0,1,2三个值．P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19·C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.ξ的分布列为故E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.求离散型随机变量的分布列的步骤：①确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；②尽量寻求计算概率时的普遍规律；③检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．【训练1】 (2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数甲组 乙组⎪⎪⎪⎪⎪⎪9 9 1 1 01 9 8 9分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为17,18,19,20,21， P (Y ＝17)＝216＝18；P (Y ＝18)＝416＝14 P (Y ＝19)＝416＝14；P (Y ＝20)＝416＝14P(Y＝21)＝216＝1 8则随机变量Y的分布列是：(2)由(1)知E(Y)＝178＋184＋194＋204＋218＝19，设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y，则E(X)＝10E(Y)＝190.考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】►(2012·浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．[审题视点] 本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确．解(1)由题意，得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121，所以X的分布列为(2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝13 3.求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列．【训练2】(2012·安徽)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束，试题库中现共有n＋m道试题，其中有n 道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．解以A i表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nm＋n·n＋1m＋n＋2＝n(n＋1)(m＋n)(m＋n＋2).(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.P(X＝n)＝P(A1A2)＝nn＋n·nn＋n＝14，P(X＝n＋1)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＋nn＋n·nn＋n＝12，P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＝14，从而X的分布列是E(X)＝n×14＋(n＋1)×12＋(n＋2)×14＝n＋1.考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列【例3】►(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．[审题视点] (1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值．解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (ξ＝0)＝C03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000，P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000.所以，随机变量ξ的概率分布列为故随机变量ξE (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.解决随机变量分布列问题时，首先应先根据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变量的取值，再正确求出随机变量的各个取值对应的概率，同时要做到计算准确无误．【训练3】 (2013·中山期末)某校对新扩建的校园进行绿化，移栽香樟和桂花两种大树各2株，若香樟的成活率为45，桂花的成活率为34，假设每棵树成活与否是相互独立的．(1)求两种树各成活一株的概率；(2)设ξ表示成活的株数，求ξ的分布列及数学期望．解 (1)记“香樟成活一株”为事件A ，“桂花成活一株”为事件B .则事件“两种树各成活一株”即为事件A ·B .P (A )＝C 12·45×15＝825，P (B )＝C 12·34×14＝38，由于事件A 与B 相互独立，因此，P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝325.(2)ξ表示成活的株数，因此ξ可能的取值有0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1400；P (ξ＝1)＝C 12×45×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋C 12×34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝7200； P (ξ＝2)＝325＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝73400；P (ξ＝3)＝C 12·45×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋C 12·34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝2150； P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝144400＝925.ξ的分布列为因此，E (ξ)＝0×1400＋1×7200＋2×73400＋3×2150＋4×925＝3.1.对应学生179规范解答16——求解离散型随机变量分布列的答题技巧【命题研究】 通过对近三年高考试题分析可以看出，本部分在高考中主要考查独立事件的概率、离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差的计算，以及概率统计在实际问题中的应用，题型以解答题为主．预测2014年高考仍会坚持以实际问题为背景，结合常见的概率事件，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，一般属中等难度题目．【真题探究】► (本小题满分13分)(2012·天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望 E (ξ)．[教你审题] (1)本题是一个古典概型，根据上述规则可分别求出每个人参加甲游戏和乙游戏的概率，然后再利用二项分布的概率公式求解．(2)4个人中参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数含“3人参加甲游戏”和“4人全部参加甲游戏”两个互斥事件，利用二项分布和互斥事件的概率公式可求解．(3)分析出ξ的所有可能取值，求出各值对应的概率，建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期望．[规范解答] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(2分) (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(4分)(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，(5分) 由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(7分)所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(8分)(3)ξ的所有可能取值为0,2,4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.(10分) 所以ξ的分布列是(12分)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.(13分) [阅卷老师手记] 掌握离散型随机变量的分布列，需注意(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误． (3)公式运用正确和计算准确是不失分的关键．概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现，其解题的一般步骤为：第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；第二步：利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；第三步：画出随机变量的分布列；第四步：明确规范表述结论．【试一试】(2012·江西)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望E(V)．解(1)从6个点中随机选取3个点总共有C36＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C13C34＝12(种)，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝12 20＝3 5.(2)V的所有可能取值为0，16，13，23，43，因此V的分布列为由VE(V)＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.对应学生339A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )．.X 取每个可能值的概率是非负实数 .X 取所有可能值的概率之和为1.X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 .X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 解析 由离散型随机变量的性质，得p i ≥0，i ＝1,2，…n ，且 i ＝1np i ＝1.答案2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于 ( )． A.19B.16C.13D.14解析 ∵12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，P (X ＝2)＝22×3＝13.答案 C3．若随机变量X 的概率分布列为且p 1＝12p 2，则p 1等于( )． A.12B.13C.14D.16解析 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝13. 答案 B4．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )． A.316B.14C.116D.516解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·上海虹口3月模拟)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a ＝________.解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4.∴E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a ＝7. 答案 76．(2013·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．解析 η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 12C 12C 14C 14＝14，P (η＝1)＝2C 12C 12C 14C 14＝12，P (η＝2)＝C 12C 12C 14C 14＝14.∴η的分布列为答案三、解答题(共25分)7．(12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．解 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P ＝C 14C 16＋C 24C 210＝3045＝23.⎝ ⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26C 210＝1－1545＝23. (2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.所以X 的分布列为：8. (13分)(2012·江苏)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0 ；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是因此E (ξ)＝1×611＋2B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·长沙二模)若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c 的值为( )． A.23或13B.23 C.13D ．1解析⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，∴c ＝13.答案 C2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )．A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·郑州调研)设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512. 答案 5124．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题；X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；X ＝2时，甲抢到2题均答对；X ＝3时，甲抢到3题均答对． 答案 －1,0,1,2,3 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23. (1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．解 (1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19，P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19. ∴X 的分布列为(2)∵得分η＝5X ＋∵X 的可能取值为0,1,2,3.∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P (η＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (η＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (η＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (η＝15)＝P (X ＝3)＝19. ∴得分η的分布列为6. (13分)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．解X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.∴李明实际参加考试次数X的分布列为李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。
