《弹塑性力学》第八章 柱体的自由扭转问题.ppt
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弹塑性力学扭转问题
o T q Tdx a dy b dx y d T
x
y x Tdy
z
c
简化后得
2z 2z T 2 2 q 0 x y
17
即
q z T
2
此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即
zs 0
由于q/T为常量，所以以上两式可改写为
T z 1 0, q
zx
, y
zy
4
将应力分量代入不计体力的 相容方程，可见：前三式及最后 一式得到满足，其余二式要求
注：体力为零时，空间问题 应力分量表示的相容方程
2 (1 ) x 2 0 x 2 2 (1 ) y 2 0 y
0, x d y dy
b a o x y
则 成为
2 C
d C 2 dy
2
22
积分，并注意在边界上
y b
即得
应力分量为
6M zx 3 y y ab zy 0 x
0
2
C 2 b2 y 2 4
15
§9-3 薄膜比拟
由上节的例子可以看出，对于椭圆形这种简单等截面 直杆，我们给出了横截面上剪应力的计算表达式，但却没 有指出截面最大剪应力的位置及其方向；而对于矩形、薄 壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相 当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复 杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建 立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜 之间数学关系相似的基础上。 设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比 例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜 内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示 z 方向微 小的垂度。
弹塑性力学第8章—柱体扭转问题
2
2
所以横截面上切应力的合力与应力函数的梯度成正比，即 ∂ψ τ = Gθ = Gθ gradψ 其中n为ψ等值线的外法线。 τ 的方向则沿ψ 等值线的切线方向， 由此 ψ 等值线也称为剪应力线。 ψ
坡度 ∂ψ = τ zy ∂x
∂n
ψ 等值线
ψ 表面坡度ຫໍສະໝຸດ ∂ψ = τ zx ∂yτ zy
O
τ zx
x
τ zxl + τ zy m = 0
如右图所示，
（*）
y dy ds dx
K n
Γ
dy dx l = cos ( n, x ) = , m = cos ( n, y ) = − ds ds
x
其中 x = x (s )，y = y (s )，s 为边界弧长坐标。
8.2 基本方程
∂ψ ∂ψ , τ zy = −Gθ 将应力的表达式 τ zx = Gθ 代入式（*）， ∂y ∂x
8.1 基本概念 边界条件：
y
n
τ zx
τ zy
ds
τ zy
dF τ zx
x
侧面边界条件：
端部边界条件：
σ x l + τ xy m = 0 ⎫ ⎪ τ yx l + σ y m = 0 ⎬ τ zx l + τ zy m = 0 ⎪ ⎭
l = cos ( n, x ) , m = cos ( n, y )
w = w( x, y, z )
上式称为翘曲函数，用以描述各截面的翘曲变形。
8.1 基本概念 自由扭转 柱体扭转时，如果两端没有轴向约束，称为自由扭转，此时 w = w ( x , y ) = θϕ ( x , y ) ϕ ( x , y ) 称为圣 其中 θ 为柱体轴向单位长度上的相对扭转角， 维南翘曲函数，用以描述横截面的翘曲形状。 约束扭转 柱体扭转时，如果端部有轴向约束，横截面将不能自由翘 曲，称为约束扭转。本教材只分析自由扭转。
弹塑性力学 第08章柱形杆的扭转
⎛ ∂v ∂u ⎞ τ xy = G⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ τ yz = G⎜ ⎜ ∂y + x ⎟ ⎟ ⎜ ∂z + ∂y ⎟ ⎟ = αG⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂w ∂x ⎞ − y⎟ + ⎟ = αG⎜ τ zx = G⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠
M = − αG ∫
S1,S 2 ,L,S n n
Φ ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
R R
= −αG ∑ ∫ ki ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
i =1 Si
由斯托克斯公式计算得
∫ (xl + ym)ds = − ∫ (xl + ym)ds = −2∫∫
处切应力大小应等于薄膜的斜率即由前述可知扭矩等于oxy平面与薄膜之间体设内外边界所围面积的平均值即薄壁杆截面中线所包围的面积为a于可见切应力与杆壁的厚度还成反比最大切应力发生在杆壁最薄为求单位长度上的扭转角先计算图示杆截面中心线即虚线上的应力环量以a表示中心线所包围的面积于是有为截面中心线的长度若闭口薄壁杆有凹角如上图在凹角处可能发生高度的应力集中现象
§8-1 扭转问题的位移解法·圣维南扭转函数
需要完全精确地求解柱形杆的扭转问题是十分困难的。 因为，一方面，在实际问题中，柱形杆两端面上外力分布情 况往往是不清楚的，而只知道它 们的静力效应；另外，即使知道 M 了外力在端面上的分布情况，也 很难得到一组解答能精确地满足 端面上的精确条件。但是，如果 杆足够长，就能够按局部性原理 对其端面处的边界条件进行放松， n 而使问题得到解决。 O 本章仍然采用半逆解法求解 M 柱形杆的扭转问题。
弹塑性力学 Microsoft PowerPoint
J 2 = s 2 13=2s
（1） 管的两端是自由的；
应力状态为，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z=0
J2 = =
1 [(zr)2+(r)2+(z)2+6( 2 2 2z )] zr r 6
1 1 2]= [2(pR/t) (pR/t)2 3 6
z
2
z 2
2 z = s
将其展开后得
z f2 = 2
z 2 2 z ( s ) =0 2
2
2 f 2 = s z s z z s2 = 0
2
从(5.4-4)式可知，弯矩 M 与曲率 k 呈线形关系，且
M k= EI z
将它代入式 x = E = Eky
式(5.4-5)与材料力学的结果完全一样，表明应力 x
My x = Iz
(5.4-5)
在梁的横截面呈线性分布，即与 y 成比例，且随着弯矩 M 的增加，梁的上下最外层最先达到屈服应力，对应的弯矩称为弹性 极限弯矩，记为 M e 。由(5.4-5)式可得弹性极限弯矩为
压应力 y 主要由载荷 q 产生的, 现因 q 为常数, 所以,可以假定,对于不
6 z = s 7
将该式微分，得
时达到屈服．
( s )d z ( s z )d 2 z d z = 0
1 d z d 2 d z = d ( s ) E
1 d d z 2 d = d ( s z ) E
对AB面
f1 d = d1 = d1 1 f1 p d 2 = d1 = d1 2 f d 3p = d1 1 = 0 3
弹塑性力学PPT课件精选全文
◆ 体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
《柱体的弹塑性扭转》课件
《柱体的弹塑性扭转》 PPT课件
# 柱体的弹塑性扭转 ## 简介 介绍弹塑性扭转的概念和应用场景。
稳定性分析
1
线弹性方法
采用线弹性方法进行柱体扭转稳定性分析。
转稳定性分析的步骤。
3
数值方法
使用数值方法进行柱体扭转稳定性分析的优势和应用。
弹塑性扭转的基本理论
航空航天领域
介绍柱体弹塑性扭转在航空航天领域中的关键 应用和研究进展。
桥梁工程设计
探究柱体弹塑性扭转在桥梁工程设计中的实际 应用。
汽车工程
讲解柱体弹塑性扭转在汽车工程中的重要性和 应用示例。
解析计算
探讨使用解析方法进行弹塑性扭 转计算的理论和应用。
实验研究
1
材料试验
介绍柱体弹塑性材料试验的设计和实施。
2
试验结果分析
分析柱体弹塑性扭转试验中的结果，并与理论进行对比。
3
参数敏感性分析
讨论柱体弹塑性扭转模型中参数的敏感性和误差分析。
应用案例
高层建筑结构设计
展示柱体弹塑性扭转在高层建筑结构设计中的 应用案例。
材料的应力-应变关系
介绍弹塑性材料在扭转过程中的应力-应变关系。
截面形状对扭转刚度的影响
讲解不同截面形状对柱体扭转刚度的影响。
弹塑性扭转方程
推导弹塑性扭转方程，解释其物理意义。
弹塑性扭转的计算方法
试验数据的获取
介绍获取弹塑性扭转试验数据的 方法和注意事项。
有限元分析
讲解使用有限元分析进行弹塑性 扭转计算的步骤和技巧。
# 柱体的弹塑性扭转 ## 简介 介绍弹塑性扭转的概念和应用场景。
稳定性分析
1
线弹性方法
采用线弹性方法进行柱体扭转稳定性分析。
转稳定性分析的步骤。
3
数值方法
使用数值方法进行柱体扭转稳定性分析的优势和应用。
弹塑性扭转的基本理论
航空航天领域
介绍柱体弹塑性扭转在航空航天领域中的关键 应用和研究进展。
桥梁工程设计
探究柱体弹塑性扭转在桥梁工程设计中的实际 应用。
汽车工程
讲解柱体弹塑性扭转在汽车工程中的重要性和 应用示例。
解析计算
探讨使用解析方法进行弹塑性扭 转计算的理论和应用。
实验研究
1
材料试验
介绍柱体弹塑性材料试验的设计和实施。
2
试验结果分析
分析柱体弹塑性扭转试验中的结果，并与理论进行对比。
3
参数敏感性分析
讨论柱体弹塑性扭转模型中参数的敏感性和误差分析。
应用案例
高层建筑结构设计
展示柱体弹塑性扭转在高层建筑结构设计中的 应用案例。
材料的应力-应变关系
介绍弹塑性材料在扭转过程中的应力-应变关系。
截面形状对扭转刚度的影响
讲解不同截面形状对柱体扭转刚度的影响。
弹塑性扭转方程
推导弹塑性扭转方程，解释其物理意义。
弹塑性扭转的计算方法
试验数据的获取
介绍获取弹塑性扭转试验数据的 方法和注意事项。
有限元分析
讲解使用有限元分析进行弹塑性 扭转计算的步骤和技巧。
弹塑性力学第八章
在x,y方向面力应用圣维南原理
第一个方程
第二个方程
A zxdA AXdA 0
A zydA AYdA 0
A
zx
dA
A
y
dxdy
(
y
dy)dx
(
A
B
)dx
0
第一、二方程恒满足。
2020/5/6
27
§8-2 按应力函数求解
MT
x
在x,y方向面力应用圣维南原理
oX
Y
第三个方程 A (Yx Xy)dA MT
u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为
扭曲函数。
2020/5/6
3
§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。
未知量为：K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz ,
（工程）应变分量：
w= K(x,y)
x
y
2zx =0 2zy =0
2020/5/6
19
§8-2 按应力函数求解
边界条件： 在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0)
面力：X Y Z 0；前两个方程满足；
第三个力边界条件：lzx+mzy = 0
在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)
面力：Z z 0 满足。
i 1
蜒
Ci
(xl ym)ds
si
Ci
(xdy ydx)
si
Ci (1 (1)dA Ci 2Ai
2020/5/6
30
§8-2 按应力函数求解
总结：
按应力函数(x,y)求解,(x,y)须满足 2 =-2KG= C，
弹性和塑形力学-弹性部分-第八章
端面处的边界条件： dxdy 0 dxdy 0 ( x y )dxdy M
R zx R zy R zy zx
(a )
R为 横 截 面 组 成 的 区 域 周 ，界为 s。 利 用(8 3b)， 同 时 ， 又 因 为 （ 8 - 2） ， 故 有 zx dxdy G ( y )dxdy R R x G { [ x ( y )] [ x ( x )]}dxdy R x x y y
(d )
( x , y )在 区 域 R的 周 界 s上 所 需 满 足 的 边 界 条 ： 件 由 于 在 柱 形 杆 的 侧 面f ， n 0， x f y f z 0， 同 时 ， f x x l yx m zx n 在周界 s上 有 边 界 条 件 f y xy l y m zy n f z xz l yz m z n dy dx 前 两 式 很 容 易 满 足 ，第 而三 式 ， 由 于 有 l ，m ds ds d dx dy 故第三式变为 0 ds x ds y ds 则积分后得 k（ 在 横 截 面 周 界 s上 ，k为 常 数 ） ( x, y ) （ 0 在横截面周界 s上 ，k为 常 数 ） (8 9) (8 10) 对于单连通域，可取 k 0， 于 是 边 界 条 件 （ 8 - 9） 最 终 可 写 成
2
(8 15)
2 -2 ( x , y ) 0
此 即 薄 膜 平 衡 时 垂 度满 所足 的 微 分 方 程 。 垂 度 在 边 界 上 显 然 为即 零Z 0 (8 16) （8 - 15， 16） 分 别 与 方 程 （ 8 - 8， 10） 比 较 ， 发 现 两 者 相 ， 同 都 是 泊 松 方 程 ， 未 知数 函都 满 足 相 同 的 边 界件 条。
《弹塑性力学》幻灯片
弹塑性力学根本方程
• 弹塑性力学的根本方程是： • 〔1〕平衡方程； • 〔2〕几何方程。 • 〔3〕本构方程。 • 前两类方程与材料无关，塑性力学与弹性力学的主要
区别在于第三类方程
1.2 弹塑性力学开展历史
• 1678年胡克〔R. Hooke〕提出弹性体的变形和 所受外力成正比的定律。
• 19世纪20年代，法国的纳维〔C. I. M. H. Navier 〕、柯西〔A. I. Cauchy〕和圣维南〔A. J. C. B. de Saint Venant〕等建立了弹性理论
M r F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U(VW)v1 v2 v3 (UV)W
w1 w2 w3
• 称为三重标量积或框积，是以U、V、W 为边的平行六面体的体积或体积的负值。 可用[U，V，W]来表示。
U ( V W ) ( U W ) V ( U V ) W
2.2.5 标量场和矢量场
• 函数 (x1,x2,x3)c 称为一个标量场，
梯度 grade1x1e2x2e3x3 (,,)
x1 x2 x3
• 构成矢量场， 垂直于 =常数的外表。
• 矢量的散度：
Vv1v2v3 x1 x2 x3
• 矢量的旋度：
e1
e2
e3
Vcurl/V x1 /x2 /x3
v1
v2
v3
2.3 张量
• 1.3.1 指标记法和求和约定 • 1.3.2 ij 符号〔Kronecker符号〕 • 1.3.3 ijk 符号〔交织张量〕 • 1.3.4 坐标变换 • 1.3.5 笛卡尔张量 • 1.3.6 张量性质
2.3.1 指标记法和求和约定
工学弹塑性力学轴的扭转55页PPT
事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
工学弹塑性力学轴的扭转
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
工学弹塑性力学轴的扭转
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
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2020/10/9
5
§8-1 位移法求解
按位移法求解，基本方程为平衡微分方程 （三个）。
两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程 为：
zx zy z 0
x y z
2 2
GK( x2 y2 ) 0
或 2 = 0
2020/10/9
6
§8-1 位移法求解
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由 基本方程可见(x,y)为一个调合函数。
应力：x=y=z=xy=0 ，
zx
MT y I
zy
MT x I
位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 ,
K为单位长扭转角。
K MT GI
2020/10/9
2
对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由
扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设——半逆解。
§8-1 位移法求解
（工程）应变分量：
w= K(x,y)
x
u x
0,
y
v y
0,
z
w z
0,
xy
u y
v x
0
zx
u z
w x
K
x
Ky
K (
x
y)
zy
v z
w y
K
y
Kx
K (
y
x)
2020/10/9
4
§8-1 位移法求解
应力分量：x=y=z=xy=0，
zx
GK(
x
y)
zy
GK (
y
x)
所有物理量均由K和(x,y) 表示。
X 0 l x m xy n zx 0
Y 0 l xy m y n zy 0
MT
z
满足
Z
0
l zx
m zy
n z
lGK(
x
y) mGK(
y
x)
2020/10/9
8
§8-1 位移法求解
上式也可以用
MT o
-dx
x
l( y) m( x) 0
dy n
x
y
y
——边界条件用(x,y)的偏微分表示。
扭曲函数(x,y)除了满足 2 = 0,还需
要满足边界条件，
同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。
2020/10/9
7
§8-1 位移法求解
首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）
在侧边上方向余弦
(l,m,n)=(l,m,0)
o
MT
面力： X Y Z 0 y
x
X i n j ij
§8-2 按应力函数求解
2.1 按应力法求解方程
同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0 仅存在 zx(x,y)=xz 和 zy(x,y)=yz
两个应力分量，将应力分量代入应力法的 基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）
2020/10/9
17
§8-2 按应力函数求解
三个平衡方程：
zx 0,
z
对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量：
u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为
扭曲函数。
2020/10/9
3
§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。
未知量为：K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz ,
y
y )dA ——扭转刚度
x
当(x,y) 和K均找到后，则扭杆的位移、
应力均可求出。
2020/10/9
14
作业：
证 面明 杆扭x2曲 函y2 数 1的扭 bb转22 问aa22题xy，能其用中来a求和椭b圆为截
a2 b2
椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为
GKa3b3
M z a2 b2
2020/10/9
x
y)dA
y
KG
(
x
y
x2 )dA
2 = 0
KG
x
x(
x
y)
y
x(
y
x)
dxdy
利用格 林公式
KG
s
x
(
x
y)l (
y
x)m
ds
0
2020/10/9
12
§8-1 位移法求解
而第三个方程为：
KG
(x2
A
y2
x
y
y
x
)dA
Mz
——扭矩MT与K 和(x,y)的关系。
小结：
由于
l
cos(n, x)
dx
dy
dn ds
m
cos(n,
y)
dy
dx
dn ds
则 dx dy l m
n x dn y dn x y
代入侧面边界条件 dx dy ly mx
n x dn y dn
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§8-1 位移法求解
在扭杆端面（如z = 0):
o MT
x
y
法线的方向余弦
MT
(l,m,n)=(0,0,-1)
z
杆端截面法线方向面力 Z z 0，满足；
而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣
维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求
合力为零 合力矩为
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AXdA 0 AY dA 0
A (Yx Xy)dA
§8-2 按应力函数求解
按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程
2 = 0,其边界条件
ly mx
n
( (x,y) 的微分形式）但能满足边界条件调
合函数 (x,y) 是不易找到的。下面讨论按应力
法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函
数法求解等截面杆扭转问题的作法。
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用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数
(x,y)和单位扭转角K。
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§8-1 位移法求解
2 = 0
在V上
由 l( y) m( x) 0在杆侧边上
x
y
当(x,y)确定后，利用杆端面条件
求(x,y)
GK
(x2
A
y2
x
y
y
x
)dA
Mz
——求K
令
D GA (x2
y2
x
第八章 柱体的自由扭转问题
§8-1 位移法求解 §8-2 按应力函数求解 §8-3 薄膜比拟 §8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 §8-5 薄壁杆的自由扭转
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在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转 问题为例来说明空间三维问题的求解过程。 （无体力）
对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT）
上式也可以表示为
A
zy
dA
0
A
zx dA
0
( A
zx
y
zy
x)dA
M
z
可以证明当扭曲函数(x,y)在主
要边界上力边界条件满足时，
则 A zxdA 0和 A zydA 0 自然满足。见以下：
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§8-1 位移法求解 l( y) m( x) 0
A
zx
dA
KGA ( x
zy 0,
z
zx zy 0
x y
前两式自然满足，剩下一个控制方程
无体力相容方程为：
2 ij
1
1
,ij
0
由于设 x=y=z=0， = 0
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§8-2 按应力函数求解
则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个 控制方程
2zx =0 和
按应力法求解 基本方程为三个
2zy =0
zx (x, y) zy (x, y) 0