《一次函数图像的应用》典型例题

《一次函数图像的应用》典型例题
例1 某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程。

开始时风速平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时。

一段时间，风速保持不变。

当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米/时，最终停止。

结合风速与时间的图像，回答下列问题：
（1）在y 轴（ ）内填入相应的数值； （2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？
（3）求出当25 x 时，风速y （千米/时）与时间x （小时）之间的函数关系式。

例 2 某批发商欲将一批海产品由A 地运往B 地．汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务．已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时．两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
运输工具
运输费单价
（元/吨·千
米）
冷藏费单价 （元/吨·小时）
过路费（元）
装卸及管理费（元） 汽车 2 5 200 0 火车
1.8
5
1600
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费，“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费．
（1）设该批发商待运的海产品有x （吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为1y （元）和2y （元），试求1y 与2y 与x 的函数关系式；
（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应该选择哪个货运公司承担运输业务？
例3某市20位下岗职工在近郊承包了50亩土地，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩所需职工数和产值预测如下表：
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．
例4下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜）．
（1）若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
（2）公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售（每种蔬菜不少于一车），如何装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？
例5 我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共200吨．按合同，每吨荔枝售价为人民币0.3万元，每吨芒果售价为人民币0.5万元．现设销售这两种水果的总收入为人民币y万元，荔枝的产量为x吨（0＜x＜200）．（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的20％，但不大于60％，请求出y值的范围．
例6 A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台.已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元.
（1）设B市运往C村机器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
参考答案
例1 分析 （1）沙尘暴开始时，风速平均每小时增加2千米，那么4小时后，风速达到8千米，后来的6个小时中，风速每小时增加4千米，那么6个小时风速增加24千米，达到32千米/时，后来风速平均每小时减少1千米，那么已达到32千米/时的沙尘暴要32个小时才平息。

解 （1）8，32.
（2）572532=+（小时），∴ 沙尘暴从发生到结束共经过57小时。

（3）设所求函数解析式为b kx y +=，由图像可知，该函数图像过点（25，
32）和（57，0），则⎩⎨⎧=+=+.057,3225b k b k 解得⎩
⎨⎧=-=.57,1b k
∴ 572557≤≤+-=x x y ，.
例2 分析 在列函数式时要注意：1y 等于运费加上冷藏费再加过路费，2y 等于运费加上冷藏费再加上装卸及管理费．
解 （1）根据题意，得.20025060
120
512022001+=⨯
+⨯+=x x x y .1600222100
120
51208.116002+=⨯+⨯+=x x x y （2）分三种情况：
①若21y y >，1600222200250+>+x x ，解得50>x ； ②若21y y =，1600222200250+=+x x ，解得50=x ； ③若21y y <，1600222200250+<+x x ，解得50<x .
综上所述，当所运海产品不少于30吨且不足50吨时，应选择汽车货运公司承担运输业务，当所运海产品刚好50吨时，可选择汽车货运公司，铁路货运公司中的任意一家承担运输业务；当所运海产品多于50吨时，应选择铁路货运公司承担运输业务．
例3 分析 本题中有两个相等的关系：（1）三种作物面积之和为50，（2）共有职工20人，有三个未知量：蔬菜、烟叶、小麦的种植亩数．由于未知数比相等
关系多一个，因此无法求出这三种作物种植的亩数，只能找到它们之间的关系，从而通过分析这些关系得出问题的解．
解 设种植蔬菜x 亩、烟叶y 亩，则种植小麦)50(y x --亩，根据题意，得
20)50(41
3121=--++y x y x . 即 903=+y x ，∴ .390x y -= 设预计总产值为W ，则
3000015500)50(6007501100++=--++=y x y x y x W ，
把x y 390-=代入上式，得x W 5043500+=.
∵ 0390≥-=x y ，∴ 300≤<x ，又由每亩蔬菜所需职工人数为2
1
可知x 为偶数．
由一次函数的性质知，当30=x 时，2050,0=--=y x y ，此时W 的值最大，为45000元．
此时种蔬菜的人数为15人，种小麦的人数为5人．
答：种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶，这时所有职工都有工作，且农作物预计总产值为45000元．
例4 分析 （1）第（1）问比较简单，可以用一元一次方程求得其解．（2）第（2）问中，由于现在有甲、乙、丙三种蔬菜，而条件只有两个：20辆汽车、36吨菜，这样列式就比较困难．如果用y 辆汽车装运甲种蔬菜，z 辆汽车装运乙种蔬菜，则用)](20[z y +-辆汽车装运丙种蔬菜，根据蔬菜一共36吨，找到y 与z 之间的关系，由于每种蔬菜不少于一车，这样可以求出y 的取值范围．
在此基础上，可以列出所获利润S 与y 的函数关系，通过讨论y 的值的情况，求出所获最大利润的情况．
解 （1）设用x 辆汽车装运乙种蔬菜，则用)8(x -辆汽车装运丙种蔬菜． 根据题意，得11)8(5.1=-+x x ，∴ .682=-=x x ，
即应安排2辆汽车装运乙种蔬菜，6辆汽车装运丙种蔬菜．
（2）设安排y 辆汽车装运甲种蔬菜，z 辆汽车装运乙种蔬菜，则用
)](20[z y +-辆汽车装运丙种蔬菜，根据题意：
36)](20[5.12=+-++z y z y ，化简，得12-=y z ，
∵ 1232)(20,1,1≥-=+-≥≥y z y z y ，∴5.1513≤≤y . 设获得利润为S 百元，则
4)](20[5.17252⨯+-++⨯=z y y S
.1085)232(6)232(6)12(710+=-+-+-+=y y y y y 当15=y 时，183=最大S ，此时2)(20312=+-=-=z y y z ，，
∴ 安排15辆汽车装运甲种蔬菜，3辆汽车装运乙种蔬菜，2辆汽车装运丙种蔬菜，可获得最大利润1.83万元．
说明：从本题的解题过程中看到，一次函数虽然没有最大值或最小值，但当自变量在某一个确定的范围内变化时，一次函数就有最大值或最小值了．
例5 解:（1）因为荔枝为x 吨，所以芒果为)200(x -吨.依题意，得
.
1002.0)
200(5.03.0+-=-+=x x x y
即所求函数关系式为：
)2000(1002.0<<+-=x x y .
（2）芒果产量最小值为：
40%20200=⨯（吨）
此时，16040200=-=x （吨）； 最大值为：120%60200=⨯（吨）. 此时，80120200=-=x （吨）.
由函数关系式1002.0+-=x y 知，y 随x 的增大而减少，所以，y 的最大值为：
84100802.0=+⨯-=y （万元）
最小值为：
681001602.0=+⨯-=y （万元）.
∴y 值的范围为68万元≤≤y 84万元.
说明：本题主要考查一次函数的应用，用一次函数来解决实际问题。

例6 分析：本题的已知条件比较多，读了题目后，要依据题意列出下列表格，各个数量之间的关系就容易看出，就可以列出等量关系了。

解：由已知条件分析得下表
（1）依题意得
)]6(8[800)10(400)6(500300x x x x W --+-+-+=
8600200+=x )60(≤≤x
所以W 与x 的函数关系式为
8600200+=x W )60(≤≤x （2）由90008600200≤+=x W
得2≤x .又因为x 必须是正整数.
所以x 可以取0，1，2三个数，共有三种调运方案. （3）因为8600200+=x W 是一次函数，且W 随x 的增大而增大.
所以当x 取最小值时，W 最小.
即当0=x 时，)(860086000200min 元=+⨯=W .
答：当从A 市调运10台给C 村，调2台给D 村，从B 市调6台给D 村时，总运费最低，最低运费是8600元.
说明：题目中如果数量关系比较多，等量关系不容易找，可以考虑列出表格，来帮助理解题意。