带电粒子在匀强磁场中的运动例析

带电粒子在电磁场中运动的应用1、电视机电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区。

磁场方向垂直于圆面。

磁场区的中心为O ，半径为r 。

当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点。

为了让电子束射到屏幕边缘P ，需要加磁场，使电子束转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多少？解析： 电子在磁场中沿圆弧运动，如图所示，圆心为O ′，半径为R 。

以v 表示电子进入磁场时的速度，m 、e 分别表示电子的质量和电量，则221mv eU = R mv evB 2= Rr tg =2θ 由以上各式解得 221θtg e mU r B = 2、电磁流量计电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。

为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a 、b 、c ，流量计的两端与输送液体的管道相连接（图中虚线）。

图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。

当导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R 的电流表的两端连接，I 表示测得的电流值。

已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为 A. )(ac bR B I ρ+ B. )(c b aR B I ρ+ C. )(b a cR B I ρ+ D. )(abc R B I ρ+ 答案： A3、质谱仪下图是测量带电粒子质量的仪器工作原理示意图。

设法是某有机化合物的气态分子导入图中所示的容器A 中，使它受到电子束轰击，失去一个电子变成正一价的分子离子。

分子离子从狭缝s 1以很小的速度进入电压为U 的加速电场区（初速不计），加速后，再通过狭缝s 2、s 3射入磁感强度为B 的匀强磁场，方向垂直于磁场区的界面PQ 。

ʏ重庆市第四十九中学 廖华英带电粒子在匀强磁场中做圆周运动,当题目中出现 恰好 最大 最小 至少 等词语时,往往意味着存在临界现象㊂求解带电粒子在匀强磁场中的临界问题,首要任务是借助轨迹圆半径R 和速度v (或磁感应强度B )之间的约束关系进行动态分析,确定粒子运动轨迹和磁场边界(或磁感应强度B )的关系,找出临界状态㊂下面以两类常见临界问题为例,阐述解题策略,供同学们参考㊂类型一:求解磁场约束条件的临界问题这类问题主要解决的是欲使带电粒子完成规定要求的磁约束,需要满足的磁感应强度的最值或磁场区域的最小面积等问题㊂图1例1 如图1所示,坐标系O x y 所在空间区域内分布着垂直于纸面向内的匀强磁场,在原点O 处有一放射源,它可以在纸面内向四周均匀地发射质量为m ,带电荷量为+q ,速率均为v 0的粒子㊂厚度不计的竖直挡板MN 放置在原点O 左侧,挡板与x 轴的交点为O ',在纸面内挡板两端点M ㊁N 与原点O 恰好构成等边三角形㊂已知挡板两端点M ㊁N 间的距离为L ,不计粒子自身重力及粒子间的相互作用㊂(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,求磁感应强度的最小值㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,求磁感应强度的最大值㊂解析:因为әO MN 为边长为L 的正三角形,所以O ㊁O '两点间的距离L O O '=L c o s 30ʎ=3L2㊂设磁感应强度为B ,粒子的轨迹圆半径为r ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0B =m v 20r ,解得r =m v 0q B ㊂因为放射源发射的粒子的质量均为m ,带电荷量均为+q ,速率均为v 0,所以所有粒子的轨迹圆半径r 只与磁感应强度B 有关,且磁感应强度B越大,轨迹圆半径r 越小㊂图2(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,则需从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆在挡板所在位置右侧㊂画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图2所示,其中与挡板相切于O '点的轨迹圆的半径最大㊂根据几何知识可知,最大轨迹圆半径r m a x =12L O O '=3L4,最小磁感应强度B m i n =43m v 03qL ㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,则需挡板的两端点M ㊁N 均位于从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆内部㊂画出粒子在图3磁场中的运动轨迹的动态圆,如图3所示,其中经过M ㊁N 两点的轨迹圆的半径最小㊂因为最小轨迹圆的内接әO MN 为正三角形,所以最小轨迹圆半径r m i n =L 2c o s 30ʎ=3L 3,最大磁感应强度B m a x =3m v 0qL ㊂点评:本题考查带电粒子在匀强磁场中73解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月的受约束运动㊂因为所有粒子的入射速度大小相同,所以粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中的运动轨迹是一组放缩圆,在同一匀强磁场中的运动轨迹是一组半径相同的旋转圆㊂解答本题的关键是根据几何知识判断出粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中运动时的轨迹圆与约束条件的关系㊂图4例2 在平面直角坐标系O x y 中,曲线y =x220位于第一象限的部分如图4所示,第三象限内分布着方向竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度B =π10T ㊂在曲线上不同点以初速度v 0向x 轴负方向水平抛出质量为m ,带电荷量为+q 的小球,小球下落过程中都会通过坐标原点,之后进入第三象限恰好做匀速圆周运动,并在做匀速圆周运动的过程中都能打到y 轴的负半轴上㊂取重力加速度g =10m /s 2,q m=100C /k g ㊂求:(1)电场强度E 的大小㊂(2)小球的初速度v 0㊂(3)为了使所有的小球都能打到y 轴的负半轴,所加匀强磁场区域的最小面积㊂解析:(1)因为小球在第三象限内恰好做匀速圆周运动,所以在竖直方向上小球受力平衡,即m g =qE ,解得E =0.1N /C ㊂(2)设小球的抛出点坐标为(x ,y ),根据平抛运动规律得x =v 0t ,y =12g t 2,整理得y =g 2v 20x 2,又有y =x 220,则g 2v 20=120,解得v 0=10m /s ㊂(3)设小球进入第三象限时的速度为v ,与x 轴负半轴间的夹角为α,则v 0=v c o s α㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v B =m v2r,解得r =m vq B ㊂根据几何知识可知,小球打在y 轴负半轴上的点与原点间的距离H =2r c o s α=2m v 0qB ,可见所有小球均从y 轴负半轴上同一点进入第四象限,因此所加最小磁场区域应为一半径R =m v 0qB 的半圆,其面积S m i n =πR 22,解得S m i n =0.5m 2㊂点评:本题中小球的重力不可忽略,但其重力与静电力是一对平衡力,小球在第三象限内的运动相当于仅受洛伦兹力的匀速圆周运动㊂若小球的抛出点不同,则进入磁场时的速度方向与大小都将不同㊂解答本题的关键是通过分析得出所有的小球都是从y 轴负半轴上同一点离开磁场区域的,这样才能顺利找到所加最小磁场区域的边界㊂类型二:求解带电粒子初始运动条件的临界问题这类问题主要解决带电粒子以怎样的运动条件进入限定的有界磁场区域,使带电粒子在有限的空间内发生磁偏转,从规定的位置射出磁场区域㊂一般是求带电粒子的初速度的大小范围或运动时间的极值等㊂图5例3 如图5所示,长度为L 的水平两极板间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,两极板间距也为L ㊂初始状态下,两极板不带电,质量为m ,带电荷量为-q 的粒子从两极板左侧中点处以水平速度v 垂直于磁感线射入磁场㊂不计粒子自身重力㊂欲使粒子打到极板上,求其初速度v 的大小范围㊂解析:根据左手定则可知,粒子进入磁场时所受洛伦兹力的方向向下,粒子将向下偏转㊂粒子最终恰好打到下极板右端点和左端点是两个临界状态,分别作出这两个临界状态下粒子的运动轨迹,如图6甲㊁乙所示㊂当粒子最终恰好打到下极板的右端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 1,根据几何知识可知,在R t әO A B 中有R 21=R 1-L 22+L 2,解得R 1=5L4㊂根据洛伦兹力提供向心力得83 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月q v 1B =m v 21R 1,解得v 1=5q B L 4m ㊂当粒子最终恰好打到下极板的左端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 2,根据几何知识得R 2=L 4㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v 2B =m v22R 2,解得v 2=q B L 4m ㊂因此欲使粒子打到极板上,其初速度v 的大小范围应为qB L 4mɤv ɤ5q B L 4m㊂图6点评:外界磁场区域范围的限定,使得带电粒子的初始运动条件有了相应的限制㊂求解本题的关键是要确定临界状态,找出临界状态下粒子运动轨迹的圆心,求出对应轨迹圆的半径㊂图7例4 如图7所示,矩形区域a b c d 内分布着磁感应强度为B ,方向垂直于纸面向里的匀强磁场,矩形区域的a d 边长为L ,a b 边足够长㊂现有一带电粒子从a d 边的中点O 以初速度v 0垂直于磁感线射入磁场区域,已知粒子的质量为m ,带电荷量为q ,初速度v 0与直线O d 间的夹角α=30ʎ,不计粒子自身重力㊂(1)若粒子能从a b 边射出磁场区域,求初速度v 0的大小范围㊂(2)求粒子在磁场中运动的最长时间,以及在这种情况下粒子从磁场中射出时所在位置的范围㊂解析:(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图8所示㊂能够从a b边射出的图8粒子的两个临界运动轨迹是圆弧O C D和圆弧O E F ,其中圆弧O C D 与d c 边相切于C 点,与a b 边相交于D 点,圆心为O 1,对应粒子的最大轨迹圆半径;圆弧O E F 与a b 边相切与E 点,与a d 边相交于F 点,圆心为O 2,对应粒子的最小轨迹圆半径㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O C D 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 1=L ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m a xB =m v 20m a x r 1,解得v 0m a x =q B L m ㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O E F 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 2=L 3,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m i n B =m v 20m i n r 2,解得v 0m i n =q B L 3m ㊂因此满足题意的初速度v 0的大小范围为q B L 3m <v 0ɤq B L m㊂(2)当粒子从a d 边射出时,粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角最大,运动时间最长㊂根据几何知识可知,当粒子从a d 边射出时,在磁场中的运动轨迹所对的圆心角均为300ʎ,粒子从a d 边射出时的位置在O ㊁F 两点之间㊂因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T =2πmqB ,所以粒子在磁场中的最长运动时间t m a x =56T =5πm3qB ,O ㊁F 两点之间的距离L O F =r 2=L3,即粒子射出磁场区域时的位置在a d 边上O 点上方0~L3范围内㊂点评:根据速率可变的带电粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切,可以确定粒子在磁场中的临界运动轨迹;根据速率与轨迹半径的关系,可以确定粒子初速度的大小范围;根据粒子在磁场中的运动时间与轨迹圆所对圆心角的关系,可以求解运动时间的极值㊂(责任编辑 张 巧)93解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月。

第03讲带电粒子在匀强磁场中的运动【学习目标】(1)知道带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场会在磁场中做匀速圆周运动，能推导出匀速圆周运动的半径公式和周期公式，能解释有关的现象，解决有关实际问题。

(2)经历实验验证带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动以及其运动半径与磁感应强度的大小和入射速度的大小有关的过程，体会物理理论必须经过实验检验。

(3)知道洛伦兹力作用下带电粒子做匀速圆周运动的周期与速度无关，能够联想其可能的应用。

能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。

了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。

【基础知识】【考点剖析】一.带电粒子在匀强磁场中的运动已知带电粒子质量为m，电荷量为q，速度大小为v，磁感应强度为B，以下列不同方式进入磁场将做什么运动？（不计重力）1.不加磁场时，观察带电粒子的运动轨迹为电子束沿直线运动。

2.施加垂直于纸面的磁场后，观察电子束的径迹为电子束沿圆轨迹运动。

3.保持入射电子的速度不变，增加磁感应强度，电子束圆周运动的半径减小。

4.保持磁感应强度不变，增加出射电子的速度，电子束圆周运动的半径变大总结：带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，不受洛伦兹力，粒子做匀速直线运动；带电粒子垂直进入磁场时，粒子所受洛伦兹力总与速度方向垂直，所以洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，粒子做匀速圆周运动。

二.半径和周期的理论推导带电粒子以垂直磁感应强度方向的速度进入磁场时，带电粒子做匀速圆周运动.向心力由洛伦兹力提供，，根据向心力公式，，可得轨迹半径。

轨迹半径与带电粒子的质量和速度成正比，与带电粒子的电荷量和磁感应强度成反比。

由可知，磁感应强度增大，半径减小；速度增大，半径增大。

圆周运动的周期，把代入，可得：。

带电粒子的周期跟轨迹半径和运动速度无关。

总结：带电粒子的周期跟轨迹半径和运动速度无关，即同一带电粒子以不同的速度进入同一磁场，半径不同，但周期相同。

典题分析例1.质量和电荷量都相等的带电粒子M 和N ，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是( )A ．M 带负电，N 带正电B ．M 的速率小于N 的速率C ．洛伦兹力对M 、N 做正功D ．M 的运行时间大于N 的运行时间解析：根据左手定则可知N 带正电，M 带负电，选项A 正确；由qvB ＝m v 2r 得r ＝mv Bq，由题知m 、q 、B 相同，且r N ＜r M ，所以v M ＞v N ，选项B 错误；由于洛伦兹力的方向始终与带电粒子的运动方向垂直，故洛伦兹力不会对M 、N 做功，选项C 错误；又周期T ＝2πr v ＝2πmBq，两个带电粒子在磁场中运动的周期相等，由图可知两个粒子在磁场中均偏转了半个周期，故在磁场中运动的时间相等，选项D 错误. 答案：A三．带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动分析 1．轨迹圆心的两种确定方法（1）已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，如何确定圆心的位置？（提示：圆心一定在垂直于速度的直线上）作这两速度方向的垂线，交点即为圆心，如图所示。