《直线与圆》讲义

九年级数学时间: 学生:第讲直线与圆的位置关系【知识点】1直线和圆的位置关系有三种：, 。

2设r为O O的半径，d为圆心O到直线l的距离， d r, 则直线l与O O相交。

d r,则直线l与O O相切d r,则直线l与O O相离。

3圆的切线的性质：圆的切线垂直于_________________ 的半径。

4圆的切线的判定定理：经过直径的一端，并且____________ 这条直径的直线是圆的切线。

5圆的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

6.三角形的内切圆：（1）定义：与三角形三边都相切的圆称为三角形的内切圆。

（2）_________________________________ 内切圆的作法；______ .（3）_________________________ 内心的性质：内心是 _______ 的交点，内心到的距离相等，内心与三角形顶点的连线________ 这个内角。

【课前自测】1. （2011?成都）已知O O的面积为9n cm2,若点0到直线I的距离为n cm则直线l与。

O的位置关系是（）A、相交B、相切 C 、相离D无法确定2.如图，从O O外一点A引圆的切线AB切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC若/ A= 26°，则/ ACB的度数为▲.3.已知O O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则O O上有且只有_______________ 到直线AB的距离为3.4.如图，已知AB是O O的一条直径，延长AB至C点，使得AC= 3BQ 个占I 八、、CD与O O相切，切点为D.若CD= d，则线段BC的长度等于5.如图23, PA与O O相切，切点为A, PO交O O于点C,点B是优弧CBA上一点，若 / ABC=32，则/ P的度数为【例题讲解】例1.如图，AB是O O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O O于点C,若/ A=25°, 则/ D 等于A. 20°B.30°C.40°D.50°例2已知BD是O O的直径，OAL OB,M是劣弧AB上的一点，过M作O O的切线MP交OA的延长线于点P, MD交OA于点N。

第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。

解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。

2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件,列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。

3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。

规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。

根据直线上一点及斜率可求直线方程。

4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角）,t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号,若P 0P 方向向上则取正,否则取负）。

5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2,将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ,夹角为α,则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。

直线与圆、圆与圆的位置关系讲义课前双击巩固1.直线与圆的位置关系设圆O 的半径为r (r>0),圆心到直线l 的距离为d ,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系 相离 相切 相交图形量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何观点d r d r d r2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R ,r (R>r ),两圆圆心间的距离为d ,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系 相离 外切 相交 内切 内含图形量的关系常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x 或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2√r 2-d 2.(2)代数法:设直线y=kx+m 与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x 的一元二次方程,求出x M +x N 和x M ·x N ,则|MN|=√1+k 2·√(x M +x N )2-4x M ·x N.题组一常识题1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.题组二常错题◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a=.6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程7.若直线过点P-3,-32为.课堂考点探究探究点一直线与圆的位置关系1 (1)直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定(2)直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A.0<m<1B.-4<m<0C.m<1D.-3<m<1[总结反思]判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.式题 (1)圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y -1=0θ∈R ,θ≠π2+kπ,k ∈Z 的位置关系是 (横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).(2)过定点P (-2,0)的直线l 与曲线C :(x-2)2+y 2=4(0≤x ≤3)交于不同的两点,则直线l 的斜率的取值范围是 . 探究点二 圆的切线与弦长问题2 (1) 过点(1,1)的直线l 与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A ,B 两点,当|AB |=4时,直线l 的方程为 .(2) 已知圆的方程是x 2+y 2=1,则经过上一点M √22,√22的切线方程是 .[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上,则过点M 的圆的切线方程为x 0x+y 0y=r 2.式题 (1)已知直线l :x+y-2=0和圆C :x 2+y 2-12x-12y+m=0相切,则实数m 的值为 . (2) 设直线y=kx+1与圆x 2+y 2+2x-my=0相交于A ,B 两点,若点A ,B 关于直线l :x+y=0对称,则|AB |= .(3)已知点M 在直线x+y+a=0上,过点M 引圆O :x 2+y 2=2的切线,若切线长的最小值为 2√2,则实数a 的值为 ( )A. ±2√2B.±3C.±4D. ±2√5探究点三 圆与圆的位置关系3 (1) 已知圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:x 2+y 2+6x-8y+16=0,则圆C 1和圆C 2的位置关系是 ( )A.相离B.外切C.相交D.内切(2)已知经过点P1,32的两个圆C1,C2都与直线l1:y=12x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.[总结反思](1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.式题(1)已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=√2|PM|,则r的最小值是.(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课时作业一、填空题1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是________．2．过两圆x2＋y2＋3x＋2y＝0及x2＋y2＋2x＋6y－4＝0的交点的直线方程是________．3．已知直线l：y＝k(x－1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为________．4．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是________．5．若过点P(1，3)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝________．6．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．7．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则________．8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于________．9．设直线l截圆x2＋y2－2y＝0所得弦AB的中点为(－12，32)，则直线l的方程为________；|AB|＝________．10．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a＝________.二、解答题12．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．13．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．。

直线与圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心三、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S _l_ A_ O_ F _ E_ D _ C _ B_ A_ C_ B _ A _ C_ B_ A_c_b _a_c_b_a_ A_l _ T _ A 2M ⎪⎭为切点_ A_l则内切圆半径（1）srp=，其中()12p a b c=++；图（2）中，90C∠=︒，则()12r a b c=+-四、典例分析：切线的性质及判定【例1】如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作O的切线，切点为C，若25A=︒∠，则D=∠______．例1 例2【例2】如图，直线AB与O⊙相切于点A，O⊙的半径为2，若30OBA∠=︒，则OB的长为( )A． B．4C． D．2【例3】如图，若O的直径AB与弦AC的夹角为30︒，切线CD与AB的延长线交于点D，且O的半径为2，则CD的长为（）A．B．C．2 D．4例3【例4】如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D C E，，．求证：以AB为直径的圆与CD相切．例4【例5】已知：如图，在ABC∆中，AB AC=，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE AC⊥，垂足为点E．求证：（1）ABC∆是等边三角形；（2）13AE CE=．AD_A_O_C_B_O【例6】 如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。