二次函数桥洞问题技巧

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：初三

课 时 数：3

学员姓名：凌志翔 辅导科目：数学

学科教师： 舒金燕

授课

类型T (同步知识

主题)C 二次函数应用

（一）

面积、桥洞、隧道

问题T （学法与能

力主题）

授课日期

时段2014年 月 日 17:30-19:30

教学内容

一、检查作业及错题讲解

二、课前检测

1．当n= 时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y

轴．

2．已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值

是 ．

3．如果一条抛物线与抛物线y=－

x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式

是 ．

4．若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值

为 ．

5．抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，向下平移3个单位，则所得抛

物线为（ ）

A．y=3（x＋2）2＋1 B．y=3（x－2）2

－1

C．y=3（x＋2）2－5 D．y=3（x－2）2

－26．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（

）

A．（－1，1） B．（1，－1） C．（－1，－

1） D．（1，1）

7．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平

面 内的点，则点P在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8、已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP

的面积。

三、知识点梳理

1、二次函数与几何的结合

（1）通常与几何图形的面积结合考察，求面积的最值问题

（2）求直线与二次函数的交点，联立方程组

（3）求直角坐标系中的多边形面积，采用分割法（把多边形分割成

几个可以求的简单图形）

常用的求三角形面积公式：（1）三角形面积=底高2， （2）

2、二次函数的实际应用（通常是桥洞隧道问题及利润问题）

（1）设变量（2）根据题意列出函数关系式

（3）根据函数解析式求最值问题（考虑自变量的范围）。

一、二次函数线段最值问题

1、平行于x轴的线段最值问题

1）首先表示出线段两个端点的坐标

2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标

3）得到一个线段长关于自变量的二次函数

4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

2、平行于y轴的线段最值问题

1）首先表示出线段两个端点的坐标

2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标

3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式

4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题

1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴

2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标

3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长

4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）

5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数

6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可

二、二次函数周长最值问题

1、矩形周长最值问题

1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值

2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长

3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值

1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量

2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值

3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长

三、二次函数面积最值问题

1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）

1）首先表示出所需的边长及高

2）利用求面积公式表示出面积

3）得到一个面积关于自变量的二次函数

专题05 用二次函数解决问题压轴题七种模型全攻略

考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题

考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题

考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题

考点七 用二次函数解决图形运动问题

考点一 用二次函数解决增长率问题

例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万

件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．

【答案】2

(1)yx=+

【解析】

【分析】

因为产量的平均增长率相同，所以2021的产量为

11+x´

，2022年的产量为

11+1+xx´´

，由此即可知道

2022年的产量y（万件）与x间的关系式．

【详解】

解：∵2020年产量为1万件，且产量年均增长率为x．

∴2021年产量为

11+x´

；2022年的产量为2

11+1+=1xxx´´+

．

∴2022年的产量y（万件）与x间的关系式为2

(1)yx=+

．

故答案为：2

(1+)yx=

【点睛】

本题考查二次函数的实际问题，能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．

【变式训练】

1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每

年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么

y与x之间的关系式应表示为________．

【答案】2

242yxx=++

或2

2(1)yx=+

【解析】

【分析】

根据平均增长问题，可得答案．典型例题【详解】

解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2

．

故答案为：y＝2（x+1）2

．

【点睛】

本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．

2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实

1 二次函数与规律性问题

对于非零的自然数n，抛物线y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1与x轴相交于An，Bn两点，若以|AnBn|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2015B2015|= ．

6．对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-)1(12nnnx+)1(1nn 与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+„+A2015B2015的值是

．

16.二次函数223yx的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，„，A2010在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，„，B2010在二次函数第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，„，△A2009B2010A2010都为等边三角形，请计算△A2009B2010A2010的边长= ．

二次函数y=31x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点O，A1，A2，A3，„，在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，„，在二次函数y=31x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，„，都为等边三角形，则第n个等边三角形An-1BnAn（n≥1的整数）的边长是 ．

如图，点A1、A2、A3、„、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、„、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、„、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2011B2010B2011的腰长= ．

2

2．如图，直线l：y＝31x+41经过点M（0，41），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）„Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）„，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1=d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是 ．