复合函数和初等函数30页PPT

练习题答案
[e , e 3 ] ； 一、1 、基本初等函数； 2 、 x2 3、 y e ； 4、 y sin u, u ln v , v 2 x ； 5 、[-1,1],[ 2k , 2k ],[ a ,1 a ] , 1 [a ,1 a ] 0 a 2 . 1 a 2 e , x 1 1, x 0 f [ g ( x )] 0 , x 0 三、 ； g[ f ( x )] 1, x 1 . 1, x 0 1 , x 1 e
三、分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不 同的式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
一般来说，分段函数不是初等函数，但也有例外 .
x, 例如 y x ,
复合而成.
练习：习题1.3 第2题
（ 1）y u , u 1 x 2 （2）y eu , u x 1 3x （3）y sin u, u 2 （4）y u 2 , u cos v, v 3 x 1 （5）y ln u, u v , v 1 x (6) y arccos u, u 1 x 2
二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 .
1，x 1 三、设 f ( x ) 0，x 1 ，g ( x ) e x ， 1，x 1 求 f [ g( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的图形 .
四、火车站行李收费规定如下： 20 千克以下不计费， 20～50 千克每千克收费 0.20 元，超出 50 千克超 出部分每千克 0.30 元，试建立行李收费 f ( x ) (元 ) 于行李重量 x (千克) 之间的函数关系，并作出图 形.

它们的复合函数为 : y = 2 ，这两种复合结果是不一 样的。
x3
也就是说：两个函数复合时， 也就是说：两个函数复合时，内层函数 与 外层函数 的 次序不可颠倒 ！
（2） 两个以上函数，在可复合的条件下，可以进行有次序的多次 ） 两个以上函数，在可复合的条件下， 复合。例如： 复合。例如：
y = sin x, y = arctgx 与 y = x 2 + 1 按照先后次序可以复合 成：
§4.复合函数与初等函数 复合函数与初等函数 1. 复合函数概念 1）定义 给定函数 u = f ( x )，x ∈ D 和 y = g ( u )，u ∈ U . ） 假定 Z ( f ) ⊆ U .现在以前一函数的定义域 D 作为 新的定义域 ， 现在以前一函数的定义域 如下： 并定义 新的对应规律 如下：对于任意的 x ∈ D , 先令唯一的 u = f ( x ) 与之相对应，因为这里 u ∈ Z ( f ) ⊆ U 与之相对应， 所以再可令唯一的 y = g ( u ) 与 x 最后相对应 ， 即 : x → u → y . 这样定义出的 新函数 被称为原函数 u = f ( x )，x ∈ D 与 y = g ( u )，u ∈ U 的 复合函数，记为 : 复合函数， y = g ( f ( x ) ) ，x ∈ D . 我们称 u = f ( x ) ，x ∈ D 为内层函数 ， y = g ( u ) ，u ∈ U 为 为中间变量。 外层函数 ， u 为中间变量。 由于习惯记法 ， 表示， 表示，因此我们也可说： 函数的自变量总用 x 表示，因变量总用 y 表示，因此我们也可说： 当 Z ( f ) ⊆ U 时 ， y = f ( x )， x ∈ D 与 y = g ( x )， x ∈ U 可以 复合成 复合函数 : y = g ( f ( x ) ) ，x ∈ D .

作 业
• 习题一的第16、17题（交） • 课外作业，习题一的1-20题中没做过的。
常见的经济函数
1、成本函数 某商品的成本是指生产一定数量的产品所需的全
部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用
总额，它由固定成本与可变成本组成． 平均成本是生产一定数量的产品，平均每单位产 品的成本． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条 件下，产品的成本与平均成本都是产量的函数． 成本函数 平均成本函数
3x 2 例如 函数 y ax bx c， y ， 4x 6
2
x 1 x 2 x , x 0 而y x , y 1 x x2 xn e , x ≥ 0
5
y ln
( x 2 1) cos 2 x
等都是初等函数；
是非初等函数。 大部分分段函数不是初等函数。
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
3、复合函数的中间变量可以不止一个，也就是可以由两个以上 的函数经过复合而成。
x 例如 y cot , 2
y u,
u cot v ,
v
x . 2
例 1：下列函数能否构成复合函数？若能，写出 y=f[g(x)]，并求 其定义域： （ 1） y u ,
（2）幂函数：y=x （常数
x
x
)
a
(特别地，常用对数 y=lgx，自然对数 y=lnx) （5）三角函数：y=sinx， y=cosx， y=tanx， y=cotx， y=secx， y=cscx （6）反三角函数：y=arcsinx， y=arccosx， y=arctanx， y=arccotx，

y ax
(a 1)
• (0,1)
11
首页
上页
返回
下页
结束
铃
3. 对数函数 y loga x (a 0,a 1)
y ln x
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
12
首页
上页
返回
下页
结束
铃
4. 三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
13
首页
上页
返回
幂函数 指 对数 数函 函数 数 三角函数 反三角函数
23
首页
上页
返回
下页
结束
铃
幂函数 y = x α （∈R），
指数函数 y = a x （a ＞0,且 a ≠1） 对数函数 y = log a x (a＞0,且a≠1) 三角函数 y = sin x , y = cos x
y = tan x , y = cot x 反三角函数 y = arcsin x , y = arccos x
例 如 y x3 , x R是 单 射 ， 其反函数为x 3 y, y R 通常写作y 3 x, x R
7
首页
上页
返回
下页
结束
铃
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
8
首页
上页
返回
下页
结束
铃
三、初等函数
余割函数 y csc x 1
sin x
y csc x
18

第一章 极限与连续
笛卡儿 (法)
（Descartes）
（1596——1650）
数学中的转折点是 笛卡儿的变数，有了变 数，运动进入了数学， 辩证法进入了数学，微 分和积分也就立刻成为 必要的了。
—— 恩格斯
1
1.1初等函数
（一）映射的定义
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集 合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元 素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的 对应法则f)叫做集合A到集合B的映射.
y arcsin x
y arccos x
21
F.反三角函数
y
y
2 y arctan x
O
x
2
2 y arccot x
O
x
2
22
2、复合函数
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g(D) D1, 则由下式确定的函数
y f g(x), x D
(2) y f (u) u, u log 1 x ( x 1).
2
2. 下列函数由哪些较简单的函数复合而成？
(1) y sin x2; (2) y sin2 x;
(3) y
1;
ln
sin
1 x
(4)
y
e cos 2
1
x.
33
R f
f(X){ f
(x)
x
X }为函数f的值域，记作
R f
x为自变量，y为因变量.
6
思考:映射和函数有什么区别和联系?
联系：都是从A到B 的单值对应； 区别：构成函数的两个集合必须是数集， 而构成映射的两个集合可以是其它集合；

无限地接近,向右与x轴无限地接近.
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -

2

3
2 x 0
2
-1

2

3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .

例2 函数 y f (u) u 与 u g( x) 1 x2 是否构成复合函数?
解 因 D( f ) [0,) R(g) (,1] 而 D( f ) R(g) 故可以构成复合函数 复合关系式为 y f [g( x)] 1 x2
定义域为 D x 1 x 1.
例3 设 f ( x)的定义域为[0,1] ,求
例4 考察三角函数的反函数.
解
y
sin x
,
x
[
,
]
时有反函数
22
x arcsin y y [1,1]
即y arcsin x x [1,1].
y cos x , x [0, ] 时有反函数
x arccos y y [1,1] 即y arccos x x [1,1].
y
tan x
,
x (
y sec x 1 cos x
(正割函数)
y csc x 1
(余割函数)
sin x
6.反三角函数
(1)反正弦函数：y= arcsin x
正弦函数y=sin x在区间
[ π,π] 22
上单调增
加,值域为[－1,1].将y=sin x在 [ π , π ] 上的反函
22
数定义为反正弦函数,记为y=arcsin x,其定义域
,
)
时有反函数
22
x arctan y y ( , )
即y arctan x x ( , ).
y cot x , x (0, ) 时有反函数
x arc cot y y ( , ) 即y arc cot x x ( , ).
第五节 复合函数
一.定义 (1) y f (u) D( f ) R( f )

w z3, z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x

三角函数的图像
三角函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=sin x$和$y=cos x$的图 像。
对数函数的图像
对数函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=log_a x$（$a>0$且 $aneq1$）的图像。
Part
04
反函数与复合函数的应用
在数学中的应用
解决方程问题
通过反函数，可以将一个方程问 题转化为另一个方程问题，从而 简化求解过程。
在某些情况下，反函数和初等函数可以是同一个函数，例如对于线性函数y=ax+b ，其反函数也是初等函数。
反函数与初等函数在数学中的地位
反函数和初等函数在数学中都具有重要的地位，是数学研究和应用的基础。反函 数的概念有助于深入理解函数的性质和图像，而初等函数则是数学分析、微积分 等课程中的基本工具。
在解决实际问题时，常常需要将实际问题转化为数学模型，而反函数和初等函数 是构建这些数学模型的重要工具。
初等函数的性质
有界性
初等函数在其定义域内都 1
是有一定界限的，即其值 域是有限的。
可微性
4
在定义域内，初等函数可 以求导数，即具有可微性 。
单调性
根据不同的定义域和对应
2
法则，初等函数在其定义
域内可以是单调增函数或
单调减函数。
周期性
3 有些初等函数具有周期性
，例如正弦函数和余弦函 数。
初等函数的图像
复合函数的奇偶性
复合函数的值域
复合函数的值域由外层函数的值域和 内层函数的值域共同决定。
如果一个复合函数的内层函数和外层 函数都是奇函数或偶函数，那么这个 复合函数可能是奇函数或偶函数。
复合函数的求法

求arccos x
在[0, ]内确定一点 使cos x 则arccos x
例 如 求 a 1 r ) ccos(
2
因 为 c 2 o 1 所 s 以 a r 1 ) 2 c cos
3 2
2 3
《微积分》(第三版) 电子教案
首页 上一页 下一页 结束
二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式 f[g(x)]是有意义的 则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量 的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
( 1 ) y 3 x 1 ; ( 2 ) y ( 1 l g x ) 5 ; ( 3 ) y e e x 2
答案：1.y 2cos2 x
2.(1)y u,u3x1
(2)yu5,u1v,vlgx
(3)yeu,uev,vx2
《微积分束
例1.15
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
《微积分》(第三版) 电子教案
首页 上一页 下一页 结束
(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
《微积分》(第三版) 电子教案
首页 上一页 下一页 结束
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?