复合函数和初等函数 ppt课件
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1.3复合函数和初等函数
1.3 复合函数、初等函数
第1页，共22页。
基本初等函数
课前复习
1、常数函数
2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
第2页，共22页。
5、三角函数
6、反三角函数
y sin x y tan x
x x0
而
y
|
x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果分
段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
第15页，共22页。
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
y u , u lg v , v sinw , w x2
的复合。
第8页，共22页。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本
初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例 指出下列各函数的复合过程：
(1) y sin x
(2) y e 1x2
u (x) 称为内层。
例如： y arcsin x2 可看作由 y arcsinu 和 u x2 复合而成。
其中， y arcsinu 为外层， u x2 为内层。
第5页，共22页。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 y f (u) arcsinu , u 2 x2 不能复合。
3. 分段函数
第1页，共22页。
基本初等函数
课前复习
1、常数函数
2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
第2页，共22页。
5、三角函数
6、反三角函数
y sin x y tan x
x x0
而
y
|
x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果分
段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
第15页，共22页。
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
y u , u lg v , v sinw , w x2
的复合。
第8页，共22页。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本
初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例 指出下列各函数的复合过程：
(1) y sin x
(2) y e 1x2
u (x) 称为内层。
例如： y arcsin x2 可看作由 y arcsinu 和 u x2 复合而成。
其中， y arcsinu 为外层， u x2 为内层。
第5页，共22页。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 y f (u) arcsinu , u 2 x2 不能复合。
3. 分段函数
1.3 复合函数和初等函数
练习题答案
[e , e 3 ] ； 一、1 、基本初等函数； 2 、 x2 3、 y e ； 4、 y sin u, u ln v , v 2 x ； 5 、[-1,1],[ 2k , 2k ],[ a ,1 a ] , 1 [a ,1 a ] 0 a 2 . 1 a 2 e , x 1 1, x 0 f [ g ( x )] 0 , x 0 三、 ； g[ f ( x )] 1, x 1 . 1, x 0 1 , x 1 e
三、分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不 同的式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
一般来说，分段函数不是初等函数，但也有例外 .
x, 例如 y x ,
复合而成.
练习：习题1.3 第2题
（ 1）y u , u 1 x 2 （2）y eu , u x 1 3x （3）y sin u, u 2 （4）y u 2 , u cos v, v 3 x 1 （5）y ln u, u v , v 1 x (6) y arccos u, u 1 x 2
二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 .
1，x 1 三、设 f ( x ) 0，x 1 ，g ( x ) e x ， 1，x 1 求 f [ g( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的图形 .
四、火车站行李收费规定如下： 20 千克以下不计费， 20～50 千克每千克收费 0.20 元，超出 50 千克超 出部分每千克 0.30 元，试建立行李收费 f ( x ) (元 ) 于行李重量 x (千克) 之间的函数关系，并作出图 形.
复合函数课件
2 常见求导法则
根据复合函数中各个函数的性质和运算规则， 可以推导出常见的复合函数的求导法则。
复合函数的逆运算与逆函数的求解
逆运算
复合函数的逆运算可以通过将复合函数的内外 函数交换位要解方程f(g(x))=x，找 到使得等式成立的函数g(x)。
复合函数的性质和运算规则
结合律
复合函数满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
分布律
复合函数满足分布律，即f∘(g+h) = (f∘g)+(f∘h)。
单位元
单位元函数是指f(x)=x，它与任何函数的复合都 不改变原函数。
逆元素
逆元函数是指f(g(x))=x，即复合函数和原函数相 互抵消。
复合函数ppt课件
本课件将详细介绍复合函数的定义、例子、性质和运算规则，以及复合函数 在实际问题中的应用。还将探索复合函数与反函数的关系，介绍复合函数的 求导法则和逆运算求解。
复合函数的定义和例子
定义
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数， 其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例子
例如，如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函 数为f(g(x))。
复合函数可以用来模拟经济变量之间的 相互关系，帮助经济学家预测市场走势。
工程学
复合函数可以用来优化工程设计，提高 系统的性能和效率。
复合函数与反函数的关系
反函数
反函数是指复合函数的逆运算，将一个函数的输出作为输入，返回原来的输入。
复合函数的求导法则
1 链式法则
复合函数求导的链式法则是将外函数的导数 与内函数的导数相乘。
复合函数的图像和图像变换
图像
复合函数的图像是由两个函数的图像组合而成的。
第一章第4节 复合函数与初等函数
作 业
• 习题一的第16、17题（交） • 课外作业，习题一的1-20题中没做过的。
常见的经济函数
1、成本函数 某商品的成本是指生产一定数量的产品所需的全
部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用
总额，它由固定成本与可变成本组成． 平均成本是生产一定数量的产品，平均每单位产 品的成本． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条 件下，产品的成本与平均成本都是产量的函数． 成本函数 平均成本函数
3x 2 例如 函数 y ax bx c， y ， 4x 6
2
x 1 x 2 x , x 0 而y x , y 1 x x2 xn e , x ≥ 0
5
y ln
( x 2 1) cos 2 x
等都是初等函数；
是非初等函数。 大部分分段函数不是初等函数。
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
3、复合函数的中间变量可以不止一个，也就是可以由两个以上 的函数经过复合而成。
x 例如 y cot , 2
y u,
u cot v ,
v
x . 2
例 1：下列函数能否构成复合函数？若能，写出 y=f[g(x)]，并求 其定义域： （ 1） y u ,
（2）幂函数：y=x （常数
x
x
)
a
(特别地，常用对数 y=lgx，自然对数 y=lnx) （5）三角函数：y=sinx， y=cosx， y=tanx， y=cotx， y=secx， y=cscx （6）反三角函数：y=arcsinx， y=arccosx， y=arctanx， y=arccotx，
复合函数课件-高一上学期数学人教A版
新授课 课时10 复合函数
学习目标
学习活动
学习总结
1.了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域； 2.掌握复合函数单调性的判断方法； 3.学会复合函数奇偶性的判断方法.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域
任务1：观察下列函数，归纳复合函数的概念. 设y是u的函数，且满足关系式 y f (u) 1 ，同时u是x的函数，且u=g（x）
u =2x+1.那么y与x的函数关系是什么，如何表示呢？
解： y f (u) f [g(x)] 1 .
2x 1
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复合函数定义：
如果y是u的函数，记为 y f (u) ，又u是x的函数，记为 u g(x) ， 且 g(x) 的值域与f（u）的定义域交集不为空集，则确定了一个y关于 x的函数 y f [g(x)] ，这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量， y f (u) 叫外层函数，u g(x) 叫内层函数.
2.已知复合函数 f (x) 的定义域为A，求函数 f [g(x)] 的定义
域 解不等式 g(x) A .
学习目标
学习活动
学习总结
目标二：掌握复合函数单调性的判断方法
任务：判断复合函数单调性，归纳复合函数单调性的判断方法.
1.已知函数 f (u) 在区间A上单调递增，函数 u g(x) 在区间B上单调递增 ，判断函数f [g(x)] 在区间B上的单调性.
解：1.因为函数 f (u) 在区间A上是奇函数，所以 f (u) f (u) ，函数 g(x) 在区间B上是奇函数，所以 g(x) g(x) ，则对于在区间B上， ，所以f [g函(数x)]在 区f [间g(Bx上)] 是 奇f [函g(x数)].
学习目标
学习活动
学习总结
1.了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域； 2.掌握复合函数单调性的判断方法； 3.学会复合函数奇偶性的判断方法.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域
任务1：观察下列函数，归纳复合函数的概念. 设y是u的函数，且满足关系式 y f (u) 1 ，同时u是x的函数，且u=g（x）
u =2x+1.那么y与x的函数关系是什么，如何表示呢？
解： y f (u) f [g(x)] 1 .
2x 1
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复合函数定义：
如果y是u的函数，记为 y f (u) ，又u是x的函数，记为 u g(x) ， 且 g(x) 的值域与f（u）的定义域交集不为空集，则确定了一个y关于 x的函数 y f [g(x)] ，这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量， y f (u) 叫外层函数，u g(x) 叫内层函数.
2.已知复合函数 f (x) 的定义域为A，求函数 f [g(x)] 的定义
域 解不等式 g(x) A .
学习目标
学习活动
学习总结
目标二：掌握复合函数单调性的判断方法
任务：判断复合函数单调性，归纳复合函数单调性的判断方法.
1.已知函数 f (u) 在区间A上单调递增，函数 u g(x) 在区间B上单调递增 ，判断函数f [g(x)] 在区间B上的单调性.
解：1.因为函数 f (u) 在区间A上是奇函数，所以 f (u) f (u) ，函数 g(x) 在区间B上是奇函数，所以 g(x) g(x) ，则对于在区间B上， ，所以f [g函(数x)]在 区f [间g(Bx上)] 是 奇f [函g(x数)].
复合函数和初等函数
w z3, z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
§3 函数概念教学内容：函数的定义与表示法;复合函数与反函数;初等
7、函数的实际背景．
3、函数的表示法 解析法（公式法）、列表法、图象法等．
4、几个重要函数（分段函数） 符号函数、狄雷克利（Dirichlet）函数，黎曼（Riemann）函
数． 5、函数的图象 函数 y f (x) 的图象定义为有序数对集合：
G (x,y)y f (x),x D
3
二、由已知函数“制作”新函数 方法1 函数的四则运算法 方法2 复合函数法 实际背景． 定义（解析式法、映射观点解释，有关名词）．
例1 求y f (u) u 与 u g(x) 1 x2的复合函数。 注：不可复合的问题． 方法3 反函数法
定义 设有
y f (x), x D
( 3)
如果对值域 f(D)中的每个 y 仅有一个 x D, 使 y f (x)，则按此对应
法则所得f(D)上的函数称为函数y f (x)的反函数，记为
§3 函数概念
教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数。 教学重点：函数概念，复合函数。 教学要求：掌握函数的概念与表示法；理解复合函数与反函数；理解
初等函数的定义。
函数是数学分析研究的对象，本节主要讨论函数的概念． 一、函数的定义
1、关于函数 中学已给出并讨论了函数，现在为我们研究顺利开展，需重新给 出函数的定义． 2、函数的定义
y
1 2
x
y log1 x
2
0 a 1的情形
10
1 的情形
11
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx , arccosx 图像
asin (x )
1.5 3
1 2.5
0.5 2
0 1.5
-0.5 1
-1 0.5
-1.5 0
3、函数的表示法 解析法（公式法）、列表法、图象法等．
4、几个重要函数（分段函数） 符号函数、狄雷克利（Dirichlet）函数，黎曼（Riemann）函
数． 5、函数的图象 函数 y f (x) 的图象定义为有序数对集合：
G (x,y)y f (x),x D
3
二、由已知函数“制作”新函数 方法1 函数的四则运算法 方法2 复合函数法 实际背景． 定义（解析式法、映射观点解释，有关名词）．
例1 求y f (u) u 与 u g(x) 1 x2的复合函数。 注：不可复合的问题． 方法3 反函数法
定义 设有
y f (x), x D
( 3)
如果对值域 f(D)中的每个 y 仅有一个 x D, 使 y f (x)，则按此对应
法则所得f(D)上的函数称为函数y f (x)的反函数，记为
§3 函数概念
教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数。 教学重点：函数概念，复合函数。 教学要求：掌握函数的概念与表示法；理解复合函数与反函数；理解
初等函数的定义。
函数是数学分析研究的对象，本节主要讨论函数的概念． 一、函数的定义
1、关于函数 中学已给出并讨论了函数，现在为我们研究顺利开展，需重新给 出函数的定义． 2、函数的定义
y
1 2
x
y log1 x
2
0 a 1的情形
10
1 的情形
11
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx , arccosx 图像
asin (x )
1.5 3
1 2.5
0.5 2
0 1.5
-0.5 1
-1 0.5
-1.5 0
反函数复合函数初等函数课件
三角函数的图像
三角函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=sin x$和$y=cos x$的图 像。
对数函数的图像
对数函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=log_a x$（$a>0$且 $aneq1$）的图像。
Part
04
反函数与复合函数的应用
在数学中的应用
解决方程问题
通过反函数，可以将一个方程问 题转化为另一个方程问题，从而 简化求解过程。
在某些情况下，反函数和初等函数可以是同一个函数，例如对于线性函数y=ax+b ，其反函数也是初等函数。
反函数与初等函数在数学中的地位
反函数和初等函数在数学中都具有重要的地位，是数学研究和应用的基础。反函 数的概念有助于深入理解函数的性质和图像，而初等函数则是数学分析、微积分 等课程中的基本工具。
在解决实际问题时，常常需要将实际问题转化为数学模型，而反函数和初等函数 是构建这些数学模型的重要工具。
初等函数的性质
有界性
初等函数在其定义域内都 1
是有一定界限的，即其值 域是有限的。
可微性
4
在定义域内，初等函数可 以求导数，即具有可微性 。
单调性
根据不同的定义域和对应
2
法则，初等函数在其定义
域内可以是单调增函数或
单调减函数。
周期性
3 有些初等函数具有周期性
，例如正弦函数和余弦函 数。
初等函数的图像
复合函数的奇偶性
复合函数的值域
复合函数的值域由外层函数的值域和 内层函数的值域共同决定。
如果一个复合函数的内层函数和外层 函数都是奇函数或偶函数，那么这个 复合函数可能是奇函数或偶函数。
复合函数的求法
高数上1.2.1反函数、复合函数、初等函数
2ex1, 1 x 2
y
解: 当1 x 0 时, y x2 (0,1] ,
2e
则 x y , y (0,1]
当0 x 1 时, y ln x ( , 0] , 则 x ey , y(, 0]
当1 x 2 时, y 2ex1( 2, 2e] ,
则
x
1
ln
y 2
,
y(2, 2e]
x 2
四、初等函数
以下函数称为基本初等函数
1.幂函数： y x （ 是常数）
2.指数函数： y a x （ a是常数 , a 0, a 1）
3.对数函数：y loga x （ a是常数，a 0, a 1）
特别当ae时, 记为yln x;
4.三角函数： y sin x, y cos x, y tan x, y cot x
1 o1 x
g 2 (x) 1 0 x 1或x ln 2
ln g(x)
x 1或 ln 2 x 0
(x3 1)2 1
(2ex ln(
1)2 x3 1)
1
ln(2ex 1)
0 x 1 x ln 2
x 1 ln 2 x 0
六个函数复合在而成.
分段函数的复合运算
例5
设
f
(
x)
ex, x 1
,
x, x 1
(
x)
x 2, x 0
x2
1,
x
, 0
求 f [( x)].
解
e(x),( x) 1 f [( x)] ( x),( x) 1
(1) 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1
或 x 0, ( x) x2 1 1 0 x 2;
1.5基本初等函数、初等函数、复合函数PPT
求arccos x
在[0, ]内确定一点 使cos x 则arccos x
例 如 求 a 1 r ) ccos(
2
因 为 c 2 o 1 所 s 以 a r 1 ) 2 c cos
3 2
2 3
《微积分》(第三版) 电子教案
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二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式 f[g(x)]是有意义的 则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量 的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
( 1 ) y 3 x 1 ; ( 2 ) y ( 1 l g x ) 5 ; ( 3 ) y e e x 2
答案：1.y 2cos2 x
2.(1)y u,u3x1
(2)yu5,u1v,vlgx
(3)yeu,uev,vx2
《微积分束
例1.15
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
《微积分》(第三版) 电子教案
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
《微积分》(第三版) 电子教案
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
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们称这样的函数 y 为 y f (u) 和 u (x) 的复合函数， 记作 y f [(x)]，其中 u 称为中间变量．
注意：
1、复合函数并不是一种新函数，复合函数的特征是 函数“套”函数。
2、可以把 y f [(x)]中的 y f (u) 称为外层，
u (x) 称为内层。 例如： yarcsixn2 可看作由 yarcsiun 和
注意:
(1) 分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函 数，不能理解为几个函数;
(2) 它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集;
(3) 求分段函数的函数值 f (x0 )时，要根据 x0所在的 范围选用相应的解析式，其图象要分段作出.
x2 , 2 x 0; 例 7 设函数 f (x) 2, x 0;
6、反三角函数
yarcsixn
yarccxos
yarctaxn
yarccoxt
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
y f (u) 的定义域内，则通过变量 u ，y 也是 x 的函数．我
y 3 u , u xw, w t , t 1 x2.
*例6 (1)yln3ln2ln(1x)
(2)ylnln2ln3(1x)
解：（1）原函数由 y u 3 , u ln v, v w 2 ,
w ln z, z ln t, t 1 x 复合而成 （2）原函数由 y ln u, u v 2 , v ln w,
（3）
y
4
y x2
2
1
-2
Ｏ
y1x
3x
思考：分段函数是初等函数吗？
1
符号函数
y
sgn
x
0
1
x0 x 0 不是初等函数； x0
x x0
而
y
|
x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果
分段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
（3） y cos2 (3x 9) 是由
yyuu22,,uuccoossvv, v 3x 9 复合而成的
（4） y lg(1 1 x2 ) 是由
y lg u, u 1 v, v z , z 1 x2
复合而成的
1
例4 y esin2 x ：
y
e
u
，
u
1 v2
,
v sin x .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例5 y 3 x 1 x2 ：
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
Ａ． y sin(x2 1)2 Ｂ． y sin2 (x2 1) Ｃ． y sin(x2 1) Ｄ． y sin2 x2 1
5、复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以 有多个。
例1 设 y u2 , u ln v, v cos x 2 ,则这三个
函数的复合为
y ln 2 v ln2(cosx2)
例2 函数 y lg(sinx2 ) 可看成函数
y u , ulgv,vsinw, w x2
的复合。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数 （基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
e1
Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
（ D ）2．下列函数为复合函数的是
Ａ． y x 51
Ｃ．
y
(5) e
x
Ｂ． y cos x 4
Ｄ． y x5 1
（ A ）3.设 f (x) sin x2 ，且(x) x2 1 ， 则 f [(x)]
w z 3 , z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算 或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x，ylnxe2x
yln1(sin x)，等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
yC (C是常)数
yxa (a是常 ,a 数 0)
3、指数函数
yax (a0 ,a1 )
4、对数函数
y lo a x( g a 0 ,a 1 )
5、三角函数
ysin x ycoxs
ytaxn ycoxt
ysexc ycsxc
1 x,0 x 3.
（1）求函数的定义域； （2）求 f (2), f (1), f (0), f (1)； （3）作出函数的图象．
解：(1) 函数的定义域是 [2,3]．
(2)由于 2 [2,0)， f (x) x2，
故 f (2) (2)2 4；
同理 f (1) (1)2 1； f (0) 2； f (1) 11 2 ．
u x2 复合而成。 其中，yarcsiun为外层， u x2为内层。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 yf(u)arcus,inu2x2 不能复合。
4、注意复合次序：
复合后的函 数要有意义
f(x)six n , g(x)x2，
则f[g(x)]sinx2，而g[f(x)] sin2 x 。
都是初等函数．
1.1.5 分段函数
定义 1.8 若函数 y f (x) 在它的定义域内
的不同区间（或不同点）上有不同的表达式，则称 它为分段函数．
x,x0 如 y| x|x,x0
5,
0 x 4,
y 5 1.3(x 4),
4 x 10,
12.8 1.9(x 10), x 10.
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例3 指出下列各函数的复合过程：
(1)y sin x
(2)y e 1x2
(3)ycos2(3x9) (4)ylg(1 1x2)
解：（1）函数 y sin x 是由
y sin u, u x 复合而成的
（2）函数 y e 1x2 是由
y e u , u v , v 1x2 复合而成的
注意：
1、复合函数并不是一种新函数，复合函数的特征是 函数“套”函数。
2、可以把 y f [(x)]中的 y f (u) 称为外层，
u (x) 称为内层。 例如： yarcsixn2 可看作由 yarcsiun 和
注意:
(1) 分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函 数，不能理解为几个函数;
(2) 它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集;
(3) 求分段函数的函数值 f (x0 )时，要根据 x0所在的 范围选用相应的解析式，其图象要分段作出.
x2 , 2 x 0; 例 7 设函数 f (x) 2, x 0;
6、反三角函数
yarcsixn
yarccxos
yarctaxn
yarccoxt
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
y f (u) 的定义域内，则通过变量 u ，y 也是 x 的函数．我
y 3 u , u xw, w t , t 1 x2.
*例6 (1)yln3ln2ln(1x)
(2)ylnln2ln3(1x)
解：（1）原函数由 y u 3 , u ln v, v w 2 ,
w ln z, z ln t, t 1 x 复合而成 （2）原函数由 y ln u, u v 2 , v ln w,
（3）
y
4
y x2
2
1
-2
Ｏ
y1x
3x
思考：分段函数是初等函数吗？
1
符号函数
y
sgn
x
0
1
x0 x 0 不是初等函数； x0
x x0
而
y
|
x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果
分段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
（3） y cos2 (3x 9) 是由
yyuu22,,uuccoossvv, v 3x 9 复合而成的
（4） y lg(1 1 x2 ) 是由
y lg u, u 1 v, v z , z 1 x2
复合而成的
1
例4 y esin2 x ：
y
e
u
，
u
1 v2
,
v sin x .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例5 y 3 x 1 x2 ：
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
Ａ． y sin(x2 1)2 Ｂ． y sin2 (x2 1) Ｃ． y sin(x2 1) Ｄ． y sin2 x2 1
5、复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以 有多个。
例1 设 y u2 , u ln v, v cos x 2 ,则这三个
函数的复合为
y ln 2 v ln2(cosx2)
例2 函数 y lg(sinx2 ) 可看成函数
y u , ulgv,vsinw, w x2
的复合。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数 （基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
e1
Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
（ D ）2．下列函数为复合函数的是
Ａ． y x 51
Ｃ．
y
(5) e
x
Ｂ． y cos x 4
Ｄ． y x5 1
（ A ）3.设 f (x) sin x2 ，且(x) x2 1 ， 则 f [(x)]
w z 3 , z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算 或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x，ylnxe2x
yln1(sin x)，等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
yC (C是常)数
yxa (a是常 ,a 数 0)
3、指数函数
yax (a0 ,a1 )
4、对数函数
y lo a x( g a 0 ,a 1 )
5、三角函数
ysin x ycoxs
ytaxn ycoxt
ysexc ycsxc
1 x,0 x 3.
（1）求函数的定义域； （2）求 f (2), f (1), f (0), f (1)； （3）作出函数的图象．
解：(1) 函数的定义域是 [2,3]．
(2)由于 2 [2,0)， f (x) x2，
故 f (2) (2)2 4；
同理 f (1) (1)2 1； f (0) 2； f (1) 11 2 ．
u x2 复合而成。 其中，yarcsiun为外层， u x2为内层。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 yf(u)arcus,inu2x2 不能复合。
4、注意复合次序：
复合后的函 数要有意义
f(x)six n , g(x)x2，
则f[g(x)]sinx2，而g[f(x)] sin2 x 。
都是初等函数．
1.1.5 分段函数
定义 1.8 若函数 y f (x) 在它的定义域内
的不同区间（或不同点）上有不同的表达式，则称 它为分段函数．
x,x0 如 y| x|x,x0
5,
0 x 4,
y 5 1.3(x 4),
4 x 10,
12.8 1.9(x 10), x 10.
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例3 指出下列各函数的复合过程：
(1)y sin x
(2)y e 1x2
(3)ycos2(3x9) (4)ylg(1 1x2)
解：（1）函数 y sin x 是由
y sin u, u x 复合而成的
（2）函数 y e 1x2 是由
y e u , u v , v 1x2 复合而成的