2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.4 二项分布

1．定义一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A,每次试验中P（A）＝p〉0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．概率公式在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p（0<p 〈1）,即P（A）＝p，P(A)＝1－p＝q，则事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为P n(k)＝C k，n p k q n－k，k＝0，1，2，…，n.它恰好是（q＋p）n的二项展开式中的第k＋1项.连续掷一颗骰子三次，就是做三次独立重复试验．用A i（i＝1，2，3）表示第i次出现6点这一事件,用B1表示“仅出现一次6点”这一事件．问题1：试用A i表示B1.提示：B1＝（A1错误!2错误!3)＋（错误!1A2错误!3）＋（错误!1错误!2A3)．问题2：试求P（B1）．提示：∵P（A1)＝P（A2)＝P(A3)＝16，且A1错误!2错误!3，错误!1A2错误!3和错误!1错误!2A3互斥，∴P（B1)＝P（A1错误!1错误!2）＋P(错误!1A2错误!3)＋P（错误!1错误!2A3）＝错误!×错误!错误!＋错误!×错误!错误!＋错误!×错误!错误!＝3×错误!×错误!错误!。

问题3:用B k表示出现k次6点这一事件,试求P(B0）,P(B2)，P（B3）．提示：P（B0)＝P(错误!1错误!2错误!3）＝错误!错误!,P（B2)＝3×错误!错误!×错误!,P(B3）＝错误!错误!.问题4:由以上结果你得出何结论？提示:P（B k)＝C错误!错误!错误!错误!错误!,k＝0，1,2，3.若随机变量X的分布列为P（X＝k)＝C错误!p k q n－k,其中0<p<1,p ＋q＝1，k＝0，1，2,…，n,则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）．1．满足以下条件的试验称为独立重复试验：(1）每次试验是在同样条件下进行的；(2）各次试验中的事件是相互独立的;（3）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生;（4）每次试验中，某事件发生的概率是相同的．2．独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题．但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．3．判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二：其一是对立性，即一次试验中,事件发生与否二者必居其一；其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次．[例1] 某气象站天气预报的准确率为80％,计算：（结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2）5次预报中至少有2次准确的概率．[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的,且结果只有两种（或准确或不准确）,符合独立重复试验模型．[精解详析］（1）记预报一次准确为事件A,则P（A）＝0。

二项分布（1）教学设计执教人：李海青摘要：辩证唯物主义认识论，现代教学观和建构主义教学观与学习观指导下的“问题探，究，合作”教学实验，旨在培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题，形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。

创设教学情景是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的。

设计思路：建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。

在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。

而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释，而且，这种解释不是胡乱猜测的，而是他们从经验背景中出发推出的合乎逻辑的假设。

所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。

为此我们沿着自主先学——合作探究进行教学，使学生成为提出问题和解决问题的主题，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为主动获取知识，发展能力，体验数学的过程。

一、教学目标二、知识与技能:三、理解n次独立重复试验及二项分布模型,会判断一个具体问题是否服从二项分布,培养学生的自主学习能力、数学建摸能力,并能解决相应的试际问题。

四、过程与方法:五、通过主动探究、自主合作、相互交流,从具体事例中归纳出数学概念,使学生充分体会知识的发现过程,并渗透由特殊到一般,由具体到抽象的数学思想方法。

六、态度与价值观:七、使学生体会数学的理性与严谨,了解数学来源于试际,应用于试际的唯物主义思想,培养学生对新知识的科学态度,勇于探索和敢于创新的精神。

十、难点:二项分布模型的构建。

十一、三、教学方法与手段十二、学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳。

2.4 二项分布 教案一、教学目标1、理解n 次独立重复试验的模型（n 重伯努利试验）及其意义。

2、理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

二、教学重难点二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列三、教学过程 一．问题情境情景1：射击n 次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率p 是不变的；抛掷一颗质地均匀的筛子3次，每一次抛掷可能出现“5”，也可能不出现“5”，记出现5为事件A ，则每次出现5的概率p 都是16，不出现5的概率q 为1-p= 56； 情景2：种植n 粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是67%。

而且每次掷出“5”的概率p 都是；2．问题上述试验有什么共同特点？二．学生活动由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，每次试验中()0P A p =>。

三．建构数学1．n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。

我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

思考：在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为p ，那么，在这n 次试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是多少？我们先研究下面的问题：射击3次，每次射中目标的概率都为0p >。

设随机变量X 是射中目标的次数，求随机变量X 的概率分布。

分析1 这是一个3次独立重复试验，设“射中目标”为事件A ，则(),()1P A p P A p ==-（记为q ），用下面的树形图来表示该试验的过程和结果。

（图略）由树形图可见，随机变量X 的概率分布如下表所示。

分析2 在时，根据试验的独立性，事件A 在某指定的k 次发生时，其余的(3)k - 次则不发生，其概率为3kkp q-，而3次试验中发生k 次A 的方式有3kC 种，故有33(),0,1,2,3k k k P X k C p q k -===。

离散型随机变量的分布列（教学设计）教学目标：1知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

2过程与方法：通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。

3情感、态度与价值观：学会合作探讨，体验成功，提高学生学习数学的兴趣。

教学重点：离散型随机变量的分布列的概念教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列教学过程：一、复习引入：1随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）1．随机变量1随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η…表示．2所有取值可以一一列出的随机变量称为____型随机变量．3随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_____型随机变量2分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为1，2，…，3，…，ξ取每一个值i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表1)(0≤≤A P 11n i i p ==∑(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --===min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈2依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5又ξ＝1＝错误!＝错误!，ξ＝2＝错误!＝错误!，ξ＝3＝错误!＝错误!，ξ＝4＝错误!＝错误!，ξ＝5＝错误!＝错误!【互动探究】1．某次选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为错误!，错误!，错误!，且各轮问题能否正确回答互不影响． 1求该选手被淘汰的概率；2该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望注：本小题结果可用分数表示 考点2 超几何分布例2：从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛．1求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率；2设ξ为参加辩论比赛的女生人数，求ξ的分布列及数学期望．解题思路：ξ可能取值为0,1,2,3,4，分别求其对应概率，列表即可求得．解析：1P ＝错误!＝错误!2ξ可能取值为0,1,2,3,4，Pξ＝0＝错误!＝错误!，Pξ＝1＝错误!＝错误!，Pξ＝4＝错误!＝错误!所求的分布列为：∴Eξ＝0×错误!【互动探究】2．2021 年广东广州调研某商店储存的50 个灯泡中，甲厂生产的灯泡占60%，乙厂生产的灯泡占40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是80%1若从这50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡每个灯泡被取出的机会均等，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？2若从这50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡每个灯泡被取出的机会均等，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ，求Eξ的值．解：1方法一：设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”，事件B表示“灯泡为一等品”，依题意有P A＝，PB|A＝，根据条件概率计算公式得P AB＝P A·PB|A＝×＝方法二：该商店储存的50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有50×60%＝30个，乙厂生产的灯泡有50×40%＝2021其中是甲厂生产的一等品有30×90%＝27个，乙厂生产的一等品有20210%＝16个，故从这50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡，它是甲厂生产的一等品的概率是＝2ξ的取值为0,1,2，Pξ＝2＝错误!＝错误!∴ξ的分布列为：∴Eξ＝0×错误!＋1×考点3 二项分布例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的．1第一小组做了3 次实验，记该小组实验成功的次数为X，求X 的概率分布列及数学期望；2第二小组进行实验，到成功了4 次为止，求在第4 次成功之前共有 3 次失败的概率解析：1由题意，随机变量X可能取值为0,1,2,3，则X～B错误!，即PX＝0＝C错误!·错误!3＝错误!，PX＝1＝C错误!·错误!1·错误!2＝错误!，PX＝2＝C错误!·错误!2·错误!1＝错误!，PX＝3＝C错误!·错误!3＝错误!∴X的概率分布列为：∴X的数学期望EX＝02第二小组第7次实验成功，前面6次实验中有3次失败，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P＝C错误!·错误!3·错误!3·错误!＝错误!判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．【互动探究】3．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖1求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；2求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ解：1设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P A＝PB＝PC＝错误!P A·\to B·\to C＝P AP\to BP\to C＝错误!·错误!2＝错误!2ξ的可能值为0,1,2,3，Pξ＝＝C错误!错误!错误!3－＝0,1,2,3．所以中奖人数ξ的分布列为：Eξ＝0×错误!＋1×课堂小结：求一随机变量的分布列，可按下面的步骤进行：1明确随机变量的取值范围；2求出每一个随机变量的取值所对应的概率；3制成表格．通常会用到排列组合，古典概型，概率乘法公式来解决相关问题．对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要弄清楚基本模型课后作业：。

2.4. 二项分布 - 苏教版选修2-3教案一、教学目标1.了解二项分布的概念和特点；2.掌握计算二项分布概率的方法；3.能够运用二项分布解决实际问题。

二、教学重点1.二项分布的概念和特点；2.计算二项分布概率的方法。

三、教学难点二项分布的实际应用。

四、教学内容及时间安排教学内容时间（分钟）二项分布的概念15二项分布的特点10计算二项分布概率的方法25二项分布的实际应用20五、教学过程及课时安排第一课时（40分钟）1. 导入（5分钟）通过小组讨论的方式，复习离散型随机变量的概念，并引出本节课重点内容。

2. 二项分布的概念（15分钟）讲解二项分布的概念，强调其与伯努利分布的关系，并通过实例进行说明。

3. 二项分布的特点（10分钟）讲解二项分布的特点，包括随机试验、重复试验、试验结果的二元性、各次试验相互独立等。

4. 二项分布的计算方法（25分钟）讲解二项分布概率计算的方法，包括公式法和表格法，并提供相应例题进行讲解和练习。

第二课时（40分钟）1. 导入（5分钟）通过回顾上一节课的内容，引出二项分布的实际应用。

2. 二项分布的实际应用（20分钟）以实际例子说明二项分布在实际生活中的应用，并通过实例分析掌握二项分布求解实际问题的方法。

3. 应用题解题方法（15分钟）提供一些常见的应用题，并讲解应用题的解题方法。

4. 总结（5分钟）回顾本次教学内容，强调本节课重点和难点，提出下一节课预习内容。

六、教学方法讲授法、练习法、实验法。

七、教材及参考书目教材苏教版高中数学选修2-3参考书目1.《高中数学课程标准实验教材》（人民教育出版社）2.《高中数学教学参考书》（人民教育出版社）3.《高中数学教学方法与研究》（人民教育出版社）。

课堂导学三点剖析一、独立重复试验与二项分布【例1】 某地区每天保证用水量的概率为0.75,试求:(1)在最近7天内用水正常的天数的分布；(2)7天内至少有2天用水正常的概率.思路分析:7天中用水正常的天数可能是0天,也可能是1天,也可能是2天,...,也可能是7天.设用水正常的天数为X ,X 取值为0,1, (7)解:由题意知,X 服从参数n =7,P =0.75的二项分布,即X ～B (7,0.75).(1)由二项分布的概率分布知P (X =0)=07C (0.75)0(0.25)7≈0.000 06,P (X =1)=17C (0.75)1(0.25)6≈0.001 28,P (X =2)=27C (0.75)2(0.25)5≈0.011 54,P (X =3)=37C (0.75)3(0.25)4≈0.057 68,P (X =4)=47C (0.75)4(0.25)3≈0.173 03,P (X =5)=57C (0.75)5(0.25)2≈0.311 46,P (X =6)=67C (0.75)6(0.25)1≈0.311 46,P (X =7)=77C (0.75)7(0.25)0≈0.133 48.其概率分布为XP 00.000 06 10.001 28 20.011 54 30.057 68 40.173 03 50.311 46 60.311 46 70.133 48(2)P (X ≥2)=∑==72)(k k X p P (X =k)=P (X =2)+P (X =3)+P (X =4)+P (X =5)+P (X =6)+P (X =7)≈0.011 54+0.057 68+0.173 03+0.311 46+0.311 46+0.133 48=0.998 7.二、求独立事件的概率【例2】 甲、乙两个人独立地破译密码的概率分别为31和41,求:(1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率. 思路分析:我们把“甲独立地译出密码”记为事件A ,把“乙独立地译出密码”记为事件B ,显然A 与B 相互独立,同时A 与B ,A 与B ,A 与B 亦相互独立.解:A =“甲独立地译出密码”,B =“乙独立地译出密码”,且P (A )=31,P (B )=41. (1)两个人都译出密码的概率为P (AB )=P (A )P (B )=41×31=121. (2)两个人都译不出密码的概率为P (A B )=P (A )P (B )=［1-P (A )］［1-P (B )］=121)411)(311(=--. (3)恰有1人译出密码可分为两类:甲译出密码而乙未译出密码,其概率为P (A ·B )=P (A )·P (B ) =31×)411(-=41; 乙译出密码而甲未译出密码,其概率为 P (A ·B )=P (A )·P (B )=6141)311(=⨯- 综上,知恰有一人译出密码的概率为P (A ·B )+P (A ·B )=1256141=+. 【例3】 在一次考试中,出了六道判断题,正确的记“√”,不正确的记“×”.若某考生完全随意记上了六个符号,求:(1)全部正确的概率;(2)正确答案不少于4道的概率.解析:(1)全部正确的概率是P 6(6)=6415.0666=•C . (2)“正确答案不少于4道”包括有4道题正确、有5道题正确或6道题全正确,故所求概率是: P 6(4)+P 6(5)+P 6(6)=32115.05.05.05.05.0666562446=•+••+••C C C . 独立重复试验是同一试验的n 次重复,每次试验结果的概率不受其他次结果的概率的影响,每次试验有两个可能结果:成功和失败.n 次试验中A 恰好出现了k 次的概率为,)1(k n k k n p p C --,这k 次是n 次中的任意k 次,若是指定的k 次,则概率为k n k q p --)1(. 各个击破类题演练 1某射手每次击中目标的概率为0.6,如果射击5次,试求至少击中2次的概率.解析:设ξ表示击中的次数,则P (ξ≥2)=∑=52k p (ξ=k) =1-P (ξ=0)-P (ξ=1)=1-05C (0.6)0·(0.4)5-15C (0.6)1·(0.4)4≈0.826.变式提升 1某种产品的次品率为5%.现从一大批该产品中抽出20个进行检验,问20个该产品中恰有2个次品的概率是多少？解析:这里是不放回抽样,由于一批产品的总数很大,且抽出的样品的数量相对而言较小,因而可以当作是有放回抽样处理,这样做会有一些误差,但误差不会太大.抽出20个样品检验,可看作是做了20次独立试验,每一次是否为次品可看成是一次试验的结果,因此20个该产品中恰有两个次品的概率是P (恰有2个次品)=220C (0.05)2·(0.95)18≈0.187.类题演练 2某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网概率都是0.5(相互独立),(1)求至少3人同时上网的概率.(2)至少几个人同时上网的概率小于0.3？解析:(1)至少三人上网即恰三人,四人,五人,六人上网,所以至少三个人上网的概率等于1减去至多两人上网的概率,即1-06C (0.5)6-C 16(0.5)6-26C (0.5)6=1-3221641561=++. (2)因为至少4人上网的概率为)(665646C C C ++ (0.5)6=3211 >0.3. 至少5人上网的概率为6656C C + (0.5)6=647 <0.3,因此,至少5人同时上网的概率小于0.3. 变式提升 2甲、乙、丙三人独立地解同一道数学题,甲能解决这道题的概率是P 1,乙能解决这道题的概率是P 2,丙能解决这道题的概率是P 3,解决下列问题:(1)求没有人能解出这道题的概率；(2)求至少有一个人能解出这道题的概率；(3)求有人没解出这道题的概率；(4)求恰有一人能解出这道题的概率.解析:设甲、乙、丙能解出这道题的事件分别为A 1、A 2、A 3,则A 1、A 2、A 3是相互独立事件,但不是互斥事件.(1)没有人能解出这道题的事件A =A 1A 2A 3,∵A 1、A 2、A 3相互独立,∴P (A )=P (A 1A 2A 3)=(1-P 1)(1-P 2)(1-P 3).(2)至少有一人能解出这道题的事件为B ,但不能运用互斥事件的和的概率公式,注意到B 与A =A 1A 2A 3是对立事件, ∴P (B )=1-P (A 1A 2A 3)=1-(1-P 1)(1-P 2)(1-P 3).(3)有人没解出这道题的事件为C,如果直接表达C 比较复杂,由于C 与事件“A 1A 2A 3”是对立事件,∴P (C)=1-P (A 1A 2A 3)=1-P 1P 2P 3.(4)恰有一人能解出这道题的事件D=A 1A 2A 3+A 2A 1A 3+A 3A 2A 1.∵A 1A 2A 3,A 2A 3A 1与A 3A 1A 2彼此互斥,∴P (D)=P (A 1A 2A 3)+P (A 2A 3A 1)+P (A 3A 1A 2)=P 1(1-P 2)(1-P 3)+P 2(1-P 3)(1-P 1)+P 3(1-P 1)(1-P 2).类题演练 3甲、乙两支足球队鏖战90分钟踢成平局,加时赛30分钟后仍成平局,现决定各派5名队员,每人射一点球决定胜负,设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5.(1)不考虑乙队,求甲队仅有3名队员点球命中,且其中恰有2名队员连续命中的概率;(2)求甲、乙两队各射完5个点球后,再次出现平局的概率.解析:(1)甲队3名队员射中,恰有2名队员连续命中的情形有23A 种,故所求的概率为 P 1=23A ×0.53×(1-0.5)2=163. (2)再次出现平局包括0∶0,1∶1,…,5∶5等6种可能性,故其概率为 P 2=［05C ×0.50×(1-0.5)5］2+［15C ×0.51×(1-0.5)4］2+…+［55C ×0.55×(1-0.5)0］2=25636. 变式提升 3将一枚硬币连掷5次,如果出现k 次正面的概率等于出现k+1次正面的概率,那么k 的值为( )A .0B .1C.2D.3 解析:由1511555)21()21()21()21(--++-=k k k k k k C C , 即,155+=k k C C ∴k+(k+1)=5,k=2.答案:C。

2.4 二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？思考2 试验结果有哪些？思考3 各次试验的结果有无影响？梳理n次独立重复试验的特点(1)由________次试验构成．(2)每次试验____________完成，每次试验的结果仅有____________的状态，即________．(3)每次试验中P(A)＝p＞0.特别地，n次独立重复试验也称为伯努利试验．知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用B k表示仅投中k次这个事件．思考1 用A i如何表示B1，并求P(B1)．思考2 试求P(B2)和P(B3)．梳理一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P(A)＝1－p＝q.若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．类型一求独立重复试验的概率例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答)引申探究若本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙各击中1次的概率．(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．反思与感悟独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子． (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1＋P 2的值．类型二 二项分布例2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的概率分布．反思与感悟 (1)当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p . (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，必须在满足独立重复试验时才能应用，否则不能应用该公式；②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的概率分布．类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的概率分布；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解． 跟踪训练3 一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p .若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，求p 与n 的值．1．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________．2．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为35，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为____________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，在他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k(1－p )n －k.此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．答案精析问题导学 知识点一思考1 条件相同．思考2 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． 思考3 无，即各次试验相互独立．梳理 (1)n (2)相互独立 两种对立 A 与A 知识点二思考1 B 1＝(A 1A 2 A 3)∪(A 1A 2A 3)∪(A 1 A 2A 3)， 因为P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8，且A 1A 2 A 3、A 1A 2A 3、A 1 A 2A 3两两互斥， 故P (B 1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.思考2 P (B 2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P (B 3)＝0.83＝0.512.题型探究例1 解 (1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究解 记“甲击中1次”为事件A 4，记“乙击中1次”为事件B 4， 则P (A 4)＝C 12×23×(1－23)＝49，P (B 4)＝C 12×34×(1－34)＝38.所以甲、乙各击中1次的概率为P (A 4B 4)＝49×38＝16.跟踪训练1 解 (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， 所以甲坑不需要补种的概率为 1－18＝78. (2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为P 1＝C 13×78×⎝ ⎛⎭⎪⎫182＝21512. 由于3个坑都不需补种的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫783，则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫783＝169512. 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.例2 解 (1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)， 则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ， 则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12×710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100. 所以X 的概率分布如下表：跟踪训练2 解 取到黑球个数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150·⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125. 故X 的概率分布为例3 解 (1)由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的概率分布如下表：(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ·3，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的概率分布如下表：(3)所求概率为P (ξ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝211243.跟踪训练3 解 由题设知，C 24p 2(1－p )2>827.∵p (1－p )>0，∴不等式化为p (1－p )>29，解得13<p <23，故2<6p <4.又∵6p ∈N ，∴6p ＝3，即p ＝12.由3n ＝12，得n ＝6. 当堂训练1．[0.4,1] 2.81125 3.162625 4.①②5．解 由题意知ξ～B (3，25)，则P (ξ＝0)＝C 03(25)0(35)3＝27125，P (ξ＝1)＝C 13(25)1(35)2＝54125， P (ξ＝2)＝C 23(25)2(35)1＝36125， P (ξ＝3)＝C 33(25)3＝8125. 所以随机变量ξ的概率分布如下表：。

2.4 二项分布独立重复试验及二项分布1．一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p＞0，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．预习交流下列随机变量服从二项分布吗？如果服从，其参数各为多少？(1)100件产品有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，取得不合格品的件数；(2)一个箱子内有三个红球，两个白球，从中依次取2个球，取得白球的个数．提示：(1)服从二项分布，其参数n＝3，p＝3100；(2)不服从二项分布，因为每次取得白球的概率不相同．一、独立重复试验概率的求法某气象站天气预报的准确率为80%，计算，(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．2次准确的概率为：P＝C250.82×0.23＝0.051 2≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的反面为“5次预报都不准确或只有1次准确”．其概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C050.25＋C150.81×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99. (3)说明1,2,4,5次恰有1次准确．所以P ＝C 140.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞碟得2分，击中一个飞碟得1分，不击中飞碟得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为23，第二枪命中率为13，该运动员进行2轮比赛．(1)求该运动员得4分的概率为多少？(2)若该运动员所得分数为X ，求X 的分布列？ 解：(1)记“运动员得4分”为事件A ，则P (A )＝23×13×23×13＝481.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝P (X ＝4)＝481；P (X ＝1)＝P (X ＝3)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2081；P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝3381；∴X(1)有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．并且独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果，发生与不发生、成功与失败等．(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题. 二、二项分布的实际应用某大厦的一部专用电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列．思路分析：每位乘客在每一层下电梯的概率都是13，服从二项分布，利用二项分布的概率公式求解．解：考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，5位乘客即5次独立重复试验．即X ～B ⎝ ⎛⎪⎫5，1，也就是P (X ＝k )＝C k 5 ⎛⎪⎫1k ⎛⎪⎫25－k，k ＝0,1,2,3,4,5.从而X 的分布列如表：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率．(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A .因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”．所以事件A 发生的概率为P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.(2)记“这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意得P (B 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (B 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.由于事件B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B 发生的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为某一事件的某一类型，最后选用相应的恰当的公式去求解．1．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，则k ＝__________.答案：2解析：依题意有C k5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫125－(k ＋1)，所以C k 5＝C k ＋15，∴k ＝2. 2．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝__________.(用式子表示)答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫161⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫568解析：由题意知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，16， ∴P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫161⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫568.3．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (X ＝k )最大时，k ＝__________. 答案：1或2解析：依题意P (X ＝k )＝C k5×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)．可以求得P (X ＝0)＝32243，P (X ＝1)＝80243，P (X ＝2)＝80243，P (X ＝3)＝40243，P (X ＝4)＝10243，P (X ＝5)＝1243，故当k ＝1或2时，P (X ＝k )最大．4．某处有供水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的概率为110，随机变量X 表示同时被打开的水龙头的个数，则P (X ＝3)＝__________.答案：0.008 1解析：由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，110，∴P (X ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫1103⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝0.008 1.5．在甲、乙两个队的乒乓球比赛中，比赛的规则是“五局三胜制”，现有甲、乙两队获胜的概率分别为23和13.(1)若前2局乙队以2∶0领先，求最后甲、乙两队各自获胜的概率； (2)求乙队以3∶2获胜的概率．解：(1)由于前2局乙队以2∶0领先，即乙队已经赢了2局，所以甲队要想获胜，须在余下的3局中全部获胜，才能最终获胜，所以甲队获胜的概率是P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827；从而乙队获胜的概率为P 2＝1－P 1＝1－827＝1927.(2)依题意，乙队以3∶2获胜时，第五局必为乙队获胜，且在前4局中乙队有2局获胜(甲队也有2局获胜)，故乙队以3∶2获胜的概率为P ＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×13＝881.。