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（A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在； （C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在。
xy , (x , y ) (0,0) 2 2 4.讨论函数 f ( x , y ) 2 x y (x , y ) (0,0) 0 ,
在点 (0,0) 处的连续性,可偏导性，可微性。
z z 的充要条件是 a b x y
2 2 2 11.n是 2 x 3 y z 6在点P（1,1,1）处 6x 8 y 指向外侧的法向量，求u= z 在点P处沿方向n的方向导数
2 2
11 （ ） 7
z 2＝2＋x 2＋y 2 12.求曲线 ，在（1,2, 7）处的切线 x＝1
f y ( 0,0)1 ，则（ C ）
（A） dz (0,0) 3dx dy ；
（B）曲面 z f ( x , y ) 在点 (0,0, f (0,0)) 的法向量为 {3, 1, 1} ；
z f ( x, y) （C）曲线 在点 (0,0, f (0,0)) 的切向量为 {1, 0, 3} ； y0
y
D （x,y） x 1，y 0 上有最小值 0。
x2 y2 z2 4 13.求曲线 2 2 x y 2x 在点P（1,1, 2）处的切线方程
x y 2z 4 （切线 y1
或
x 1
y 1 z 2 ） 0 1 2
14． 设函数 f ( x , y ) 在点 (0, 0) 附近有定义， f x (0,0) 3 ， 且
z f ( x, y) （D）曲线 在点 (0,0, f (0,0)) 的切向量为 {3, 0, 1} 。 y0
15.求由方程 2 x 2 y z 8 xz z 8 0
2 2 2
所确定的函数 z z ( x, y) 的极值
16 驻点为 (2,0), ( ,0) 7
z 求 2 x
2
6 .由e xy yz xz确定的隐函数
z
z （x，y）存在的充分条件是（ f
）
7.设 u f ( x, y, z ) 连续可偏导，且 z z( x , y )
由 xe ye ze
x y z
确定，求 du 。
1 1 8.已知 u x y , v , w ln z ( x y ) , x y
5.多元函数的极值或条件极值在几何、
物理与经济上的应用题; 求一个二元连续函数 在一个有界平面区域上的最大值和最小值。
. 重要关系:
函数连续 函数可微 偏导数连续
函数可导
方向 导数 存在
典型例题
1．考虑二元函数 f ( x , y ) 的下面 4 条性质： ①函数 f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处连续； ②函数 f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处两个偏导数连续； ③函数 f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微； ④函数 f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处两个偏导数存在。 则下面结论正确的是（
2 2
其中 w w(u, v) ，求经过变换后方程
z z y x ( y x) z 化成的最简形式。 x y w （ =0） v
9.利用变换u x ay , v x ay，x
2 2
10.证明：函数z f ( x , y )只是ax by的函数
5.设 z f (x y, x y，xy ) ，且 f 二阶连续可微，
2z 求 ，dz x y
2 z z z 0 2 5 .设z＝（3x y），求 ， ， dz， f x y x y
5 .已知z （x，y）由x y z z 10确定. z
1 2 2 3
A
）
（A）② ③ ①； （B）③ ② ①； （C）③ ④ ①； （D）③ ① ④。
2 .函数z f (x, y )在(x0 , y0 )处可微的 充分条件是（ ）
（1）f (x, y )在(x0 , y0 )处连续
（2）f x (x0 , y0 )，f y (x0 , y0 )存在
多元函数微分学
多元函数的微分学内容：
1.判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数 是否存在、是否可微，偏导数是否连续，以
及他们之间的关系 2.求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、
二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;
3.求二元、三元函数的方向导数和梯度;
4.求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面， 该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与 空间解析几何的综合题，应结合起来复习;
（3）z f x (x0 , y0 )x f y (x0 , y0 )y 0
z f x (x0 , y0 )x f y (x0 , y0 )y （4） 0 2 2 （x） y） （
x2 y , x 2 y 2 0 4 2 3．设 f ( x , y ) x y ，则在 (0, 0) 点处（ C ） 0 , x 2 y 2 0
16 8 z 极大值（0 , ） ， 7 7
极小值 f（--2,0）=1
16. 求函数 z x 12 xy 2 y 在区
2 2
域 D : 4 x y 25 上的最值。
2 2
1 （最大值为106 ， 最小值为 50 ） 4
17.求两曲面 x 2 y 1和x 2 y z 1
2 2 2
的交线上距原点最近的点。
1 18、经过（2，、 ）的所有平面中， 1 3 哪一个平面与三个坐标 面所围成的
立体的体积最小。
（a＝ ，b＝ ，c＝） 6 3 1
19.证明不等式 e ＋xlnx－x－xy 0，（x 1，y 0）
y
证： 令f（x,y）＝ e ＋xlnx－x－xy， 只须证明函数 f（x,y）在区域
