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匀变速直线运动的位移与时间、速度的关系【知识点归纳】1、匀变速直线运动位移与时间的关系的公式表达：2021at t v s += s 为t 时间内的位移。
当a=0时，t v s 0= 当v 0=0时，221at s =当a<0时，2021at t v s -= 可见2021at t v s +=是匀变速直线运动位移公式的一般表示形式，只要知道运动物体的初速度v 0和加速度a ，就可以计算出任意一段时间内的位移，从而确定任意时刻物体所在的位置。
位移公式也可以用速度——时间图像求出面积得位移而推出。
2、匀变速直线运动的位移和速度的关系as v v t 2202=-这个关系式是匀变速直线运动规律的一个重要的推论。
关系式中不含时间t ，在一些不涉及到时间的问题中，应用这个关系是较方便的。
3、匀变速直线运动的两个推论1．匀变速直线运动的物体在连续相等的时间(T)内的位移之差为一恒量。
公式：S 2-S 1=S 3-S 2=S 4-S 3=…=S n -S n-1=△S=aT2 2．某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度，即： v v t =2【案例分析】例1．某物体作变速直线运动，关于此运动下列论述正确的是( )A ．速度较小，其加速度一定较小B ．运动的加速度减小，其速度变化一定减慢C ．运动的加速度较小，其速度变化一定较小D ．运动的速度减小，其位移一定减小例2．火车从车站由静止开出做匀加速直线运动，最初一分钟行驶540米，则它在最初l0秒行驶的距离是( )A ．90米B ．45米C ．30米D ．15米例3一物体由静止沿光滑斜面匀加速下滑距离为L 时，速度为V ，当它的速度是v ／2时，它沿全面下滑的距离是A ．L ／2 B.2L/2 C ．L ／4 D ．3L ／4例4：一物体以初速度v １做匀变速直线运动，经时间t 速度变为v ２求：(1)物体在时间t 内的位移. (2)(3)比较vt/2和v s/2例5：一辆沿平直路面行驶的汽车，速度为36km/h ．刹车后获得加速度的大小是4m/s 2，求：(1)刹车后3s 末的速度；(2)从开始刹车至停止，滑行一半距离时的速度．例6、一个质点作初速为零的匀加速运动，试求它在1s ，2s ，3s ，…内的位移s 1，s 2，s 3，…之比和在第1s ，第2s ，第3s ，…内的位移S Ⅰ，S Ⅱ，S Ⅲ，…之比各为多少？【一试身手】1．下列说法正确的是A ．加速度增大，速度一定增大B ．速度变化量Δv 越大，加速度就越大C ．物体有加速度，速度就增加D ．物体速度很大，加速度可能为零2. 关于速度和加速度的关系A ．物体的速度为零时，加速度一定为零B ．物体的加速度为零时，速度一定为零C ．物体的速度改变时，加速度不一定改变D ．物体的加速度方向改变时，速度方向不一定改变3．如图所示，Ⅰ、Ⅱ两条直线分别描述P 、Q 两个物体的s —t 图象，下列说法正确的是A ．两物体均做匀速直线运动B ．M 点表示两物体在时间t 内有相同的位移C ．t 时间内P 的位移较小D ．0～t ，P 比Q 的速度大，t 以后P 比Q 的速度小 4．某质点做匀变速直线运动，加速度的大小为2m/s 2，则在任意1s 内A ．质点的末速度一定是初速度的2倍B ．质点的末速度一定比初速度大2m/sC ．质点的初速度可能比末速度大2m/sD ．质点的速度大小一定改变了2m/s 5．做匀变速直线运动的质点，它在通过某一段位移中点位置的速度为v ，通过这段位移所用时间的中间时刻的速度为u ，则该质点A ．做匀加速运动时，v ＜uB ．做匀减速运动时，v ＜uC ．做匀加速运动时，v ＞uD ．做匀减速运动时，v ＞u6．一个质点做方向不变的直线运动，加速度的方向始终与速度的方向相同，但加速度的大小逐渐减小为零，在此过程中（ ）A ．速度逐渐减小，当加速度减小到零时，速度达到最小值B ．速度逐渐增大，当加速度减小到零时，速度达到最大值C ．位移逐渐增大，当加速度减小到零时，位移将不再增大D ．位移逐渐减小，当加速度减小到零时，位移达到最小值7．关于匀变速直线运动，下列说法中正确的是A 、加速度越大，物体的速度一定越大B 、加速度越小，物体的位移一定越小C 、物体在运动过程中的加速度保持不变D 、匀减速直线运动中，位移随时间的增加而减小8．质点做直线运动，当时间t = t 0时，位移S > 0，速度v > 0，加速度a > 0，此后加速度a 逐渐减小，则它的 （ ）A ．速度的变化越来越慢B ．速度逐渐减小C ．位移继续增大D ．位移、速度始终为正值t st o M Ⅰ Ⅱ9．甲、乙、丙和丁是以时间为横轴的匀变速直线运动的图象，下面说法正确的是（ ）A ．图甲是加速度—时间图象B ．图乙是加速度—时间图象C ．图丙是位移—时间图象D ．图丁是速度—时间图象10．滑块以某一初速度冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为零.已知滑块通过斜面中点时的速度为v ，则滑块在前一半路程中的平均速度大小为A 、212 vB 、（2+1）vC 、2vD 、21v 11．一匀变速运动物体的位移随时间变化的函数关系是S=4t+t 2(m), 则它运动的初速度、加速度及２ｓ末的速度分别是( )A ． 0、 4m/s 2 、4m/sB ． 4m/s 、 2m/s 2 、８m/sC ． 4m/s 、1m/s 2 、８m/sD ． 4m/s 、 ２m/s 2 、６m/s12．一个物体做初速度为零的匀加速运动，该物体通过前一半位移和通过后一半位移所用的时间之比是（ ）A ．2∶1B ．2∶ 1C ．(2+1)∶1D ．(2-1)∶1二、填空题1．汽车以2m/s 2的加速度由静止开始启动，则第5s 末汽车的速度是_______m/s ，第5s 内汽车的平均速度是________m/s, 第5s 内汽车的位移是___________m 。
3匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标]1.知道匀速直线运动的位移与v－t图象中矩形面积的对应关系.2.了解利用极限思想推导位移公式的方法.3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关匀变速直线运动问题．(重点、难点)4.知道x－t图象，能应用x－t图象分析物体的运动．(难点)一．匀速直线运动的位移1．匀速直线运动位移公式：x＝v t.注：取运动初始时刻（t=0)时刻物体的位置坐标为坐标原点，这样，物体从开始到时刻t所发生的位移等于这时的坐标x,从开始到时刻t 的时间间隔为t.2．匀速直线运动v－t图象,如图v－t图象特点：(1)平行于时间轴的直线．(2)位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．[再思考]v－t图象中图线与时间轴所围成的面积有时在时间轴上方，有时在时间轴下方，这与物体的位移有何关系？据v－t图象的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与时间轴所围的矩形的面积代表物体的位移为正值，同理图线与时间轴所围的矩形的面积在时间轴的下方表明物体的位移是负值．二、匀变速直线运动的位移(对于匀变速直线运动，它的位移与它的v－t图象是不是也有类似的关系呢？）(1)推导：①把物体的运动分成几个小段，如图2－3－2，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和．②把运动过程分为更多的小段，如图2－3－3，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程中的位移．图2－3－2 图2－3－3③把整个过程分得非常非常细，如图2－3－4，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．图2－3－4(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．图2－3－4中，梯形的面积是OA AB OC S ⨯+=)(21把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成t v v x )(210+= 又at v v +=0，代入得到匀变速直线运动位移与时间关系式：x ＝v 0t ＋12at 2.理解：1．适用条件：位移公式x ＝v 0t ＋12at 2适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：因为v 0、a 、x 均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v 0的方向为正方向．若a 与v 0同向，则a 取正值；若a 与v 0反向，则a 取负值；若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正； 若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负3．两种特殊形式：(1)当a ＝0时，x ＝v 0t (匀速直线运动)．(2)当v 0＝0时，x ＝12at 2(由静止开始的匀加速直线运动)4．由于匀变速直线运动的位移x 是时间t 的二次函数，故匀变速直线运动的位移与时间不是线性关系，位移不是随时间均匀变化，由数学知识可知匀变速直线运动的x －t 图象应为抛物线．。
3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标] 1.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系，会用公式x ＝v 0t ＋12at 2解决匀变速直线运动的问题(重点)。
2.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系式并会应用公式v 2－v 02＝2ax 解题(难点)。
一、匀变速直线运动的位移1．物体做匀速直线运动，其v －t 图像与t 轴围成的矩形面积有什么意义？答案 做匀速直线运动的物体在时间t 内的位移大小对应着v －t 图线与t 轴围成的矩形面积，即v －t 图像与t 轴围成的矩形面积表示物体的位移大小。
2．如图是某物体以初速度v 0做匀变速直线运动的v －t 图像。
(1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中画出这5小段的位移之和。
(2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？(3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？(4)梯形面积为多少？试结合v ＝v 0＋at 推导出位移x 与时间t 的关系。
答案 (1)位移为图中矩形面积之和，如图所示。
(2)图乙更接近整个过程中的位移。
(3)可以。
(4)S ＝v ＋v 02t ＝v 0＋at ＋v 02t ＝v 0t ＋12at 2，则x ＝v 0t ＋12at 2。
1．匀变速直线运动位移与时间的关系式：x ＝v 0t ＋12at 2当v 0＝0时，x ＝12at 2(由静止开始的匀加速直线运动)，此时x ∝t 2。
2．适用范围：仅适用于匀变速直线运动。
3．公式的矢量性：公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向。
一般选v 0的方向为正方向。
当物体做匀加速直线运动时，a 取正值。
当物体做匀减速直线运动时，a 取负值，计算结果中，位移x 的正、负表示其方向。
4．各物理量的单位都要使用国际单位制单位。
说明：推导匀变速直线运动的位移大小等于图像下方的面积时用到了微元法。
匀变速直线运动中位移与时间的关系一、匀速直线运动的位移时间关系1、匀速直线运动的速度始终保持不变，所以 vt x =2、从v-t 图像看位移匀变速直线运动的速度时间图像是一条平行于时间轴的直线即 v观察v-t 图像发现面积刚好就是 0v 位移，其中0v 是高，t 是底。
o t t 面积 位移二、匀变速直线运动的位移时间关系问题：匀速直线运动中位移大小可以用v-t 图像与坐标轴位的面积表示。
这个结论能否用于匀变速直线运动呢？1、我们知道对于变速运动的描述，最初使用的是平均速度即tx v ∆∆= ① 我们由①式出发稍微做一个变形就可以得到t v x ∆=∆ ② 2、我们来看一下匀变速直线运动的v-t 图像v0vo t我们观察图形会发现是一个梯形，所以我们不能用底乘以高即0v t 表示示其面积，那为什么就不行呢？因为这个图像中我们可以看出来从0到t 时刻存在一个很大的速度变化量即v ∆。
若从梯形中间做一条线，将其一分为二，我们在观察，还是不想矩形，但是会发现看其中一半是v ∆变小了，如果我们一直这样分下去会发现对一个细长的小梯形来说v ∆ 0，也就是说这个细长的梯形就可以看做一个矩形了，那么我们就可以用他的面积来表示位移的大小了。
于是我们就将梯形划分成许多细长的小梯形，所有小梯形的面积之和就是这段时间内物体的位移大小，也是整个梯形的面积。
故我们可以用梯形的面积来代表晕变速直线运动的位移大小。
所以我们求位移就可以通过求解梯形的面积。
解梯形的面积高下底上底⨯+==2s x t v v x t ⨯+=20––––––③高中位线⨯==s xt v x t ⨯=2––––––④ 因为at v v t +=0，所以我们将③式做一个简单的变形会得到2021at t v x += 这就是匀变速直线运动中位移与时间的关系，即位移公式3.对比将 ④三式进行对比会发现202t tv v v v +== 即中间时刻的速度等于平均速度等于初末速度之和的一半例：汽车刹车前的速度0v =5m/s ，a=-0.42s m ,求（1）开始刹车后20s 内滑行的距离？（2）汽车从刹车开始，位移x=30m 所用的时间？（3）在静止前2.5s 内滑行的距离？解：（1）错解：由2021at t v x +=可知x =5⨯202204.021⨯⨯-=20m 正解：法1：由a v at v v t 0t 0-v t =+=可知刹车制停的时间 又已知s m v /50= 2/4.0s m a -= 0=t v故t=12.5s 由于12.5<20，所以在t=12.5s 以后车就静止不动了。
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系课程内容要求核心素养提炼1.能利用v －t 图像得出匀变速直线运动的位移与时间关系式x ＝v 0t ＋12at 2，进一步体会利用物理图像分析物体运动规律的研究方法．2.能推导出匀变速直线运动的速度与位移关系式v 2－v 20＝2ax ，体会科学推理的逻辑严密性．3.能在实际问题情境中使用匀变速直线运动的位移公式解决问题，体会物理知识的实际应用价值．4.了解v －t 图像围成的面积即相应时间内的位移．提高应用数学研究物理问题的能力，体会变与不变的辩证关系.1.物理观念：掌握匀变速直线运动的位移与时间关系的公式，及其简单应用．2.科学思维：培养运用数学知识——函数图像的能力．3.科学探究：培养认真严谨的科学分析问题的品质．4.科学态度与责任：从知识是相互关联、相互补充的思想中，培养建立事物相互联系的唯物主义观点.一、匀速直线运动的位移1．做匀速直线运动的物体在时间t 内的位移x ＝v t .2．在v －t 图像中，位移在数值上等于v －t 图像与时间轴所围的面积. 二、匀变速直线运动的位移1．图像表示：在v －t 图像中，做匀变速直线运动的物体的位移对应着v －t 图像中的图线和时间轴包围的面积．如图所示，在0～t 时间内的位移大小等于梯形的面积．2．位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2.式中v 0表示初速度，a 表示加速度，x 表示物体在时间t 内运动的位移.[思考]由匀减速直线运动的位移公式x ＝v 0t －12at 2可知，当时间t 足够大时，位移x 可能为负值．位移为负值有没有意义？提示 位移为负值，表明物体先向正方向做匀减速运动，当速度减为零以后，又沿负方向做匀加速直线运动，故随着时间的推移总位移可能沿正方向先增加再减小，然后沿负方向增加．故位移为负值，表明物体返回到出发点后继续向负方向运动．三、速度与位移的关系 1．公式：v 2－v 20＝2ax . 2．推导速度公式v ＝v 0＋at . 位移公式x ＝v 0t ＋12at 2.由以上两式可得：v 2－v 20＝2ax . [思考]速度与位移的关系式是由速度公式和位移公式推导出来的，应用速度与位移的关系式有何优势？提示 因公式v 2－v 20＝2ax 不涉及物体的运动时间，故在不要求计算时间时，应用该式分析匀变速直线运动较简便.探究点一 匀变速直线运动的位移公式及其应用某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v 0，在t 时刻的速度为v ，加速度为a .完成下列填空，推导匀变速直线运动的位移与时间关系，体会微元法的基本思想．(1)把匀变速直线运动的v －t 图像分成几个小段，如图甲所示．每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积．故物体在整个过程中的位移≈各个小矩形的________.甲(2)把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的________可以更精确地表示物体在整个过程中的位移．乙(3)把整个运动过程分割得非常细，如图丙所示，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC ，________就代表物体在相应时间间隔内的位移．丙如图丙所示，v －t 图线下面梯形的面积 S ＝12(OC ＋AB )·OA 把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成 x ＝12(v 0＋v )t ① 又因为v ＝v 0＋at ② 由①②两式可得 x ＝v 0t ＋12at 2.提示 (1)面积之和 (2)面积之和 (3)梯形面积1．适用条件：位移公式x ＝v 0t ＋12at 2只适用于匀变速直线运动．2．矢量性：x ＝v 0t ＋12at 2为矢量式，其中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v 0的方向为正方向：(1)匀加速直线运动中，a 与v 0同向，a 取正值；匀减速直线运动中，a 与v 0反向，a 取负值．(2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反．3．两种特殊情况(1)当v 0＝0时，x ＝12at 2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x 与t 2成正比．(2)当a ＝0时，x ＝v 0t ，即匀速直线运动的位移公式．国歌从响起到结束的时间是48 s ，国旗上升的高度是17.6 m ．国歌响起同时国旗由静止开始向上做匀加速直线运动，时间持续4 s ，然后匀速运动，最后做匀减速运动，减速时间为4 s ，恰好到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束．求：(1)国旗匀加速运动的加速度大小； (2)国旗匀速运动时的速度大小．[思路点拨] ①国旗上升的高度是国旗匀加速运动、匀速运动、匀减速运动的位移之和． ②国旗匀速上升的时间为48 s －4 s －4 s ＝40 s. ③国旗匀加速运动的末速度为国旗匀速上升的速度．解析 由题意知，国旗匀加速上升时间t 1＝4 s ，匀减速上升时间t 3＝4 s ，匀速上升时间t 2＝t 总－t 1－t 3＝40 s ，对于国旗加速上升阶段：x 1＝12a 1t 21对于国旗匀速上升阶段：v ＝a 1t 1，x 2＝v t 2 对于国旗减速上升阶段：x 3＝v t 3－12a 2t 23由于国旗匀加速和匀减速运动的时间相等，根据运动的对称性可知这两个过程中a 1＝a 2x 1＋x 2＋x 3＝17.6 m 由以上各式可得：a 1＝0.1 m/s 2 v ＝0.4 m/s. 答案 (1)0.1 m/s 2 (2)0.4 m/s [题后总结] 应用位移公式应注意的问题(1)位移公式反映了匀变速直线运动的规律，只能应用于匀变速直线运动．(2)对于初速度为零(v 0＝0)的匀变速直线运动，位移公式为x ＝12at 2，即位移x 与时间t的二次方成正比．[训练1] 一物体做匀变速运动的位移函数式是x ＝4t ＋2t 2＋5(x 的单位为m ，t 的单位为s)，那么它的初速度和加速度大小分别是( )A ．2 m/s,0.4 m/s 2B ．4 m/s,2 m/s 2C ．4 m/s,4 m/s 2D ．4 m/s,1 m/s 2C [将公式x ＝4t ＋2t 2＋5和位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2进行类比可知物体的初速度v 0＝4m/s ，加速度为4 m/s 2，故A 、B 、D 错误，C 正确．][训练2] 一辆汽车以10 m/s 的速度匀速行驶，遇到紧急情况，突然以大小为2 m/s 2的加速度匀减速刹车，则从刹车开始计时，汽车在6 s 内的位移是( )A ．24 mB ．25 mC ．60 mD ．96 mB [汽车停止运动时间为t ＝0－v 0a ＝102s ＝5 s ，汽车在第5 s 末就已经停止运动，所以汽车在6 s 内的位移等于在5 s 内的位移，故有x ＝0－v 202a ＝1022×2m ＝25 m ，B 正确．]探究点二 速度与位移关系式v 2－v 20＝2ax 及其应用处理交通事故时，交警为了了解汽车开始刹车时的车速，判断汽车是否超速，只要知道刹车时的加速度大小，再测出刹车痕迹的长度就行．这是怎么办到的？(根据已知量a 、x 、v ＝0，如何计算汽车开始刹车时的速度v 0？)提示 由以上活动可知时间t 是未知的，但是由速度公式v ＝v 0＋at 和位移公式x ＝v 0t ＋12at 2联立，消去t ，可得速度与位移的关系式v 2－v 20＝2ax ，末速度v 为零，测量出刹车距离x ，并将已知的加速度a 代入关系式即可计算出汽车开始刹车时的速度v 0.1．公式的适用条件：只适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：公式中v 0、v 、a 、x 都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v 0方向为正方向：(1)物体做加速运动时，a 取正值；做减速运动时，a 取负值．(2)x ＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x ＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反．3．两种特殊形式(1)当v 0＝0时，v 2＝2ax (初速度为零的匀加速直线运动)．(2)当v ＝0时，－v 20＝2ax (末速度为零的匀减速直线运动，如刹车问题)．4．公式选用技巧：如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，可选用公式v 2－v 20＝2ax ，往往使问题的解决更简便．一隧道限速108 km/h.一列火车长100 m ，以144 km/h 的速度行驶，驶至距隧道200 m 处开始做匀减速运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道．若隧道长500 m ．求：(1)火车做匀减速运动的最小加速度的大小； (2)火车全部通过隧道的最短时间．[思路点拨] ①火车匀减速运动的位移为200 m ，而匀速通过隧道的位移为100 m ＋500 m ＝600 m.②火车到达隧道口的速度为108 km/h 时，做匀减速运动的加速度最小． 解析 (1)火车减速过程中v 0＝144 km/h ＝40 m/s ，x ＝200 m ， v ＝108 km/h ＝30 m/s当车头到达隧道口速度恰为108 km/h 时加速度最小，设为a 由v 2－v 20＝2ax得a ＝v 2－v 202x ＝302－4022×200m/s 2＝－1.75 m/s 2.(2)火车以108 km/h 的速度通过隧道，所需时间最短，火车通过隧道的位移为 x 2＝100 m ＋500 m ＝600 m 由x ＝v t 得t ＝x 2v ＝60030 s ＝20 s.答案 (1)1.75 m/s 2 (2)20 s[题后总结] 解答匀变速直线运动问题时公式的“巧选”(1)若题目中涉及运动时间，则一般选用速度公式v ＝v 0＋at 或位移公式x ＝v 0t ＋12at 2.(2)若题目中不涉及运动时间t ，则一般选用公式v 2－v 20＝2ax .[训练3] A 、B 、C 三点在同一条直线上，某物体自A 点从静止开始做匀加速直线运动，经过B 点时速度为v ，到C 点时速度为2v ，则AB 和BC 两段距离大小之比是( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶1B [根据公式v 2－v 20＝2ax ，可得AB 两段距离为：x 1＝v 22a ，BC 段的距离为：x 2＝(2v )2－v 22a＝3v 22a，故x 1∶x 2＝1∶3.] [训练4] 一辆小汽车在高速公路上以108 km/h 的速度行驶，司机突然发现同一车道的正前方100 m 处停有一辆故障车，由于无法从其他车道避让，司机从发现前方故障车到开始制动有1 s 的反应时间，制动后小汽车以a ＝－6 m/s 2的加速度做匀减速直线运动，请你通过计算判定这辆小汽车是否会与前方故障车发生追尾事故．解析 司机反应时间内小汽车做匀速直线运动， v 0＝1083.6m/s ＝30 m/s则x 1＝v 0t ，代入数据解得x 1＝30 m ，随后小汽车做匀减速直线运动，设减速到停下的位移为x 2，则v 20＝2ax 2，代入数据解得x 2＝3022×6m ＝75 m ，从发现故障车到停下来通过的距离 x ＝x 1＋x 2＝105 m ，x ＞100 m ，故会发生追尾事故．答案 这辆小汽车会与前方故障车发生追尾事故。
匀变速直线运动的位移与时间的关系公式
匀变速直线运动的位移与时间的关系公式可以由运动学公式推导得到，具体分为两种情况：
1. 匀速直线运动的位移与时间的关系公式：
位移 = 速度 ×时间
其中，位移表示物体在运动过程中从起点到终点的距离，速度表示物体的运动速度，时间表示运动的时间长度。
2. 变速直线运动的位移与时间的关系公式：
位移 = 初速度 ×时间 + 0.5 ×加速度 ×时间²
其中，初速度表示运动开始时的速度，加速度表示运动过程中的加速度。
这个公式描述了的位移与时间的关系可以用来计算变速直线运动下物体在不同时间点的位置。
注意，这个公式的适用条件是运动过程中加速度是一个常量。
另外还有一种特殊情况，匀变速直线运动中，如果物体的位移与时间的关系符合二次函数的形式，可以使用二次函数公式来描述位移与时间的关系。
例如：位移 = a ×时间² + b ×时间 + c，其中a、b和c是常数。
匀变速直线运动的位移与时间的关系【考点归纳】（1）匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v0t+at2。
（2）公式的推导①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。
②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即＝．结合公式x＝vt和v＝v t+at可导出位移公式：x＝v0t+at2（3）匀变速直线运动中的平均速度在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度v t/2＝v0+a×t＝，该段时间的末速度v＝v t+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0+at＝＝＝＝v t/2。
即有：＝＝v t/2。
所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
（4）匀变速直线运动推论公式：任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是常数，即△x＝x2﹣x1＝aT2．拓展：△x MN＝x M﹣x N＝（M﹣N）aT2。
推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。
【命题方向】例1：对基本公式的理解汽车在平直的公路上以30m/s的速度行驶，当汽车遇到交通事故时就以7.5m/s2的加速度刹车，刹车2s内和6s内的位移之比（）A.1：1B.5：9C.5：8D.3：4分析：求出汽车刹车到停止所需的时间，汽车刹车停止后不再运动，然后根据位移时间公式求出2s内和6s内的位移。
解：汽车刹车到停止所需的时间＞2s所以刹车2s内的位移＝45m。
t0＜6s，所以刹车在6s内的位移等于在4s内的位移。
＝60m。
所以刹车2s内和6s内的位移之比为3：4．故D正确，A、B、C错误。
3 匀变速直线运动位移与时间的关系[学习目标] 1.理解匀变速直线运动位移与时间的关系，会用位移公式x ＝v 0t ＋12at 2解决匀变速直线运动的问题。
2.知道v －t 图像中的“面积”与位移的对应关系，并会用此关系推导位移和时间关系式。
匀变速直线运动位移与时间的关系 1．利用v －t 图像求位移(如图)v －t 图像中，对应时间t 的速度图像与两个坐标轴所围成的梯形面积，在数值上等于在时间t 内的位移值。
2．匀变速直线运动的位移与时间的关系式(位移公式)：x ＝v 0t ＋12at 2。
1．判断下列说法的正误。
(1)位移公式x ＝v 0t ＋12at 2仅适用于匀加速直线运动。
( × )(2)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大。
( × ) (3)在v －t 图像中，图线与时间轴所包围的“面积”与物体的位移大小相等。
( √ ) (4)如果a ＜0，由位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，知位移随着时间逐渐减小。
( × )2．一辆汽车沿平直公路做匀加速运动，初速度为10 m/s ，加速度为2 m/s 2,5 s 末汽车的速度为________m/s,5 s 内汽车的位移为________m 。
答案 20 75一、匀变速直线运动位移与时间的关系 导学探究如图所示，某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v 0，在t 时刻的速度为v ，加速度为a ，利用位移大小等于v －t 图线下面梯形的面积，推导匀变速直线运动的位移与时间关系。
答案 如题图所示，v －t 图线下面梯形的面积 x ＝12(v 0＋v t )t ① 又因为v t ＝v 0＋at ② 由①②式可得x ＝v 0t ＋12at 2。
知识深化1．位移公式x ＝v 0t ＋12at 2只适用于匀变速直线运动。
2．公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向。
一般选v 0的方向为正方向。
3匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标] 1.知道匀速直线运动的位移与v－t图象中矩形面积的对应关系. 2.了解利用极限思想推导位移公式的方法. 3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关匀变速直线运动问题．(重点、难点) 4.知道x－t图象，能应用x－t图象分析物体的运动．(难点)[1．位移公式：x＝vt.图2－3－12．v－t图象如图2－3－1.3．v－t图象特点：(1)平行于时间轴的直线．(2)位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．[再思考]v－t图象中图线与时间轴所围成的面积有时在时间轴上方，有时在时间轴下方，这与物体的位移有何关系？【提示】据v－t图象的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与时间轴所围的矩形的面积代表物体的位移为正值，同理图线与时间轴所围的矩形的面积在时间轴的下方表明物体的位移是负值．[后判断]1．匀速运动的速度一定是正的．()2．匀速运动的位移一定是正的．()3．匀速运动的加速度等于零．()[1．由v－t图象求位移：2－3－2(1)推导．①把物体的运动分成几个小段，如图2－3－2，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和．②把运动过程分为更多的小段，如图2－3－3，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程中的位移．2－3－3③把整个过程分得非常非常细，如图2－3－4，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．2－3－4(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v －t 图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．2．位移与时间关系式：x ＝v 0t ＋12at 2.[再思考]1．位移公式的推导过程中采用了近似处理，推导结果是否严密？【提示】 位移公式的推导过程中应用了合理的近似，并应用了极限的思想，推导结果是严密的、正确的．2．初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大吗？【提示】 不一定，匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关，仅根据初速度和时间不能确定位移的大小．[后判断]1．公式x ＝v 0t ＋12at 2，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．()2．应用公式x ＝v 0t ＋12at 2计算时，x 、v 0、a 三者方向必须相同．()3．做单向匀减速直线运动的物体，速度越来越小，位移越来越大．()[1．匀速直线运动的x －t 图象为一条倾斜直线，静止物体的x －t 图象为一条平行于时间轴的直线．如图2－3－5所示，A 、B 表示物体做匀速直线运动，C 表示物体处于静止状态．图2－3－52．x －t 图象的物理意义：描述了物体的位移随时间的变化关系． 3．x －t 图象的斜率等于物体的运动速度． [再思考]匀变速直线运动的位移公式为x ＝v 0t ＋12at 2，那么它的x －t 图象应为什么形状？【提示】 匀变速直线运动的位移x 是时间t 的二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的x －t 图象应为抛物线．[后判断]1．x －t 图象只能描述直线运动)2．x －t 图象表示的是物体的运动轨迹．()3．匀速直线运动物体的x －t 图线是一条倾斜直线．()学生分组探究一 位移公式x ＝v 0t ＋12at 2的理解(深化理解)第1步 探究——分层设问，破解疑难1．利用公式x ＝v 0t ＋12at 2求出的位移大小等于物体运动的路程吗？【提示】 不一定，当物体匀减速运动到速度为零再反向以等大的加速度匀加速运动时，位移的大小小于路程．2．物体做匀加速直线运动时速度随时间均匀增大，位移也随时间均匀增大吗？ 【提示】 不是，匀加速直线运动的速度公式是v ＝v 0＋at ，速度与时间成线性关系，均匀增大；位移公式是x ＝v 0t ＋12at 2，位移与时间不成线性关系，位移虽增大，但不是均匀增大．第2步 结论——自我总结，素能培养1．适用条件：位移公式x ＝v 0t ＋12at 2适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：因为v 0、a 、x 均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v 0的方向为正方向．若a 与v 0同向，则a 取正值； 若a 与v 0反向，则a 取负值；若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正； 若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负． 3．两种特殊形式：(1)当a ＝0时，x ＝v 0t (匀速直线运动)．(2)当v 0＝0时，x ＝12at 2(由静止开始的匀加速直线运动)．第3步 例证——典例印证，思维深化(2014·宿州期末)飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216km/h ，在最初2 s 内滑行114 m ．求：(1)5 s 末的速度大小是多少？ (2)飞机着陆后12 s 内滑行多远？x ＝v 0t －12at 2中a 的理解物体做匀减速直线运动时，若以初速度方向为正方向，并使a 仅表示加速度的大小，这时匀减速直线运动的位移时间关系式可变形为x ＝v 0t －12at 2，这时v 0、a 、t 均取正值，更适合于我们的习惯．第4步巧练——精选习题，落实强化1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t2，x与t的单位分别为m 和s，则质点的初速度与加速度分别为( ) A．4 m/s与2 m/s2B．0与4 m/s2C．4 m/s与4 m/s2D．4 m/s与02．(2015·合肥高一检测)一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2，求：(1)物体在3 s内的位移大小；(2)物体在第3 s内的位移大小．学生分组探究二位移—时间图象及其应用(拓展延伸) 第1步探究——分层设问，破解疑难1．在x－t图象中，纵坐标一定表示物体位移的大小吗？【提示】不一定．在x－t图象中纵坐标表示物体相对于参考系的位移，不一定是相对于自己出发点的位移．2．物体运动的快慢和方向怎样用x－t图象来表示？【提示】x－t图线的斜率大小表示物体运动速度的大小，斜率的正、负可以表示物体运动速度的方向，斜率为正值，表明物体沿正方向运动；斜率为负值，表明物体沿负方向运动．第2步结论——自我总结，素能培养1．三种常见运动的图象(1)静止物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图2－3－6中a.(2)匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图2－3－6中b.图2－3－6(3)匀变速直线运动的x－t图象是抛物线，如图2－3－5中c.2．x－t图象的意义(2014·绍兴一中高一检测)如图2－3－7是A、B两个质点做直线运动的位移—时间图象．则( )图2－3－7A．在运动过程中，A质点总比B质点运动得快B．在0～t1这段时间内，两质点的位移相同C．当t＝t1时，两质点的速度相等D．当t＝t1时，A、B两质点的加速度不相等x－t图象的应用技巧1．确认是哪种图象，v－t图象还是x－t图象．2．理解并熟记五个对应关系．(1)斜率与加速度或速度对应．(2)纵截距与初速度或初始位置对应．(3)横截距对应速度或位移为零的时刻．(4)交点对应速度或位置相同．(5)拐点对应运动状态发生改变．第4步巧练——精选习题，落实强化3．下列图中表示物体做匀变速直线运动的图象是( )A B C D4．(多选) (2015·郑州一中高一检测)甲、乙两位同学在放学时，从学校所在地骑自行车沿平直的公路回家，先到乙同学家，休息一会，甲同学继续骑车前行，在70 min时到家，甲同学的x－t图象如图2－3－8所示，下列说法正确的是 ( )图2－3－8A．在前20 min内甲同学做匀加速运动B ．甲同学在乙同学家停留了50 minC ．甲、乙两同学家相距3.6 kmD ．甲从离开学校至到家的这段时间内，平均速度为2 m/s学生分组探究三 匀变速直线运动的两个结论(拓展延伸)第1步 探究——分层设问，破解疑难1．做匀变速直线运动的物体，既然速度随时间均匀变化，那么在一段时间t 内的平均速度与这段时间内中间时刻的瞬时速度有何关系？与这段时间初、末速度矢量和的一半有何关系？2．做匀变速直线运动的物体，任意两个连续相等的时间间隔内的位移差Δx 有何关系？是否能找到Δx 和已学物理量的关系？第2步 结论——自我总结，素能培养 1．平均速度公式：v －＝v t 2＝v 0＋v2即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t 内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．2．逐差相等匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T 内的位移分别为x Ⅰ、x Ⅱ、x Ⅲ、…、x N ，则Δx ＝x Ⅱ－xⅠ＝x Ⅲ－x Ⅱ＝…＝aT 2.第3步 例证——典例印证，思维深化(2014·苏州高一期末)有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m 和64 m ，连续相等的时间为4 s ，求质点的初速度和加速度大小．应用推论v ＝v t 2＝v 0＋v2解题时的三点注意：1．推论v ＝v t 2＝v 0＋v2只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式，应注意v 0与v的正负．2．该推论是求瞬时速度的常用方法． 3．当v 0＝0时，v t 2＝v 2；v ＝0时，v t 2＝v 02.第4步 巧练——精选习题，落实强化5．(多选)(2015·昆明高一检测)汽车从A 点由静止开始沿直线ACB 做匀变速直线运动，第4 s 末通过C 点时关闭发动机做匀减速运动，再经6 s 到达B 点停止，总共通过的位移是30 m ，则下列说法正确的是( )A ．汽车在AC 段与BC 段的平均速度相同B ．汽车通过C 点时的速度为3 m/s C ．汽车通过C 点时的速度为6 m/sD ．AC 段的长度为12 m6．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx 所用时间为t 1.紧接着通过下一段位移Δx 所用时间为t 2，则物体运动的加速度为( )A.2Δx t 1－t 2t 1t 2 t 1＋t 2B ．Δx t 1－t 2t 1t 2 t 1＋t 2C.2Δx t 1＋t 2t 1t 2 t 1－t 2D ．Δx t 1＋t 2t 1t 2 t 1－t 2逆向思维法在匀变速直线运动中的应用把人们通常思考问题的思维反过来思考的思维方式就是逆向思维，运用逆向思维分析和解决问题的方法叫做逆向思维法．所谓逆向思维，简单来说就是“倒过来想一想．”例如：末速度为0的匀减速直线运动可看成初速度为0、加速度大小相等的反向匀加速直线运动．做匀减速直线运动的物体经4 s 停止，若在4 s 内的位移是32 m ，则最后1 s 内的位移是( )A ．3.5 mB ．2 mC ．1 mD ．0——[先看名师指津]——————————————1．逆向思维法的优点：逆向后，速度公式v ＝v 0＋at 变为v ＝at ，位移公式x ＝v 0t ＋12at2变为x ＝12at 2，不仅简化了运算，也使问题变得更加简洁．2．处理该类问题时应注意：逆向思维法可简化问题的处理过程，但要注意原过程与逆过程的速度、位移的大小相等，但方向相反．——[再演练应用]———————————————(2015·深圳高一检测)做匀加速直线运动的物体，加速度大小为a ，在时间t 内位移为x ，末速度为v ，则下列关系中正确的是( )A ．x ＝vt ＋12at 2B ．x ＝－vt ＋12at 2C ．x ＝－vt －12at 2D ．x ＝vt －12at 2课时作业(八)[全员参与·基础练]1．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )A．位移与时间的平方成正比B．位移总是随着时间的增加而增加C．加速度、速度、位移三者方向一致D．加速度、速度、位移的方向并不一定都相同2．对于一做单向匀减速运动的物体，在静止前下列说法中正确的是( )A．速度越来越小，位移也越来越小B．速度越来越小，位移越来越大C．加速度越来越小，位移越来越大D．加速度越来越小，位移越来越小3．(2014·绵阳期末)一质点沿一条直线运动的位移—时间图象如图2－3－9所示，则( )图2－3－9A．t＝0时刻，质点在坐标原点B．从t＝0时刻到t1时刻，质点位移是x0C．从t1时刻到t2时刻，质点位移大小等于路程D．质点在t1时刻的速度比t2时刻的速度大4．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地．已知飞机加速前进的路程为1 600 m，所用的时间为40 s．假设这段时间内的运动为匀加速运动，用a表示加速度，v表示离地时的速度，则( )A．a＝2 m/s2，v＝80 m/sB．a＝2 m/s2，v＝40 m/sC．a＝80 m/s2，v＝40 m/sD．a＝40 m/s2，v＝80 m/s5．(2014·长春一中期末)在交警处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到汽车在水平路面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为：x＝30t－3t2(x的单位是m，t的单位是s)．则该汽车在路面上留下的刹车痕迹长度为( )A．25 m B．50 mC．75 m D．150 m6．(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10 s末的速度为2 m/s，下列叙述中正确的是( )A．前10 s内通过的位移为10 mB．每秒速度变化0.2 m/sC．10 s内平均速度为1 m/sD．第10 s内通过2 m图2－3－107．(多选)(2015·合肥高一检测)如图2－3－10是做直线运动的甲、乙两物体的位移—时间图象，由图象可知( )A．甲启动的时间比乙早t1秒B．当t＝t2时，两物体相遇C．当t＝t2时，两物体相距最远D．当t＝t3时，两物体相距x0米8．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，设斜面足够长，最初3秒的位移为x1，第2个3秒内的位移为x2，且x2－x1＝1.8 m．试求：(1)x1、x2分别为多大；(2)物体下滑的加速度；(3)6 s末的速度．[超越自我·提升练]图2－3－119．(2015·兰州一中高一检测)如图2－3－11所示，折线表示物体甲从A地向B地运动的x－t图象，直线表示物体乙从B地向A地运动的x－t图象，则下列说法正确的是 ( ) A．在2～6 s内，甲做匀速直线运动B．乙做匀速直线运动，其速度大小为5 m/sC．从计时开始至甲、乙相遇的过程中，乙的位移大小为60 mD．在t＝8 s时，甲、乙两物体的速度大小相等图2－3－1210．(2014·承德高一期中)一质点的x－t图象如图2－3－12所示，那么此质点的v－t图象可能是下图中的( )图2－3－1311．(2014·阜阳二中期末)如图2－3－13所示是一个物体沿直线运动的x－t图象．求：(1)第5秒末的速度大小；(2)0～60秒内的总路程；(3)在v－t坐标中作出0～60 s内物体的速度—时间图象．图2－3－12．(2015·潍坊高一检测)一辆巡逻车最快能在10 s内由静止加速到最高速度50 m/s，并能保持这个速度匀速行驶，问该巡逻车在平直的高速公路上由静止开始追上前方2 000 m 处正以35 m/s的速度匀速行驶的汽车，至少需要多长时间？(巡逻车加速过程的加速度恒定)。
