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新教材2020-2021学年2.2基本不等式 2.2.2基本不等式的应用 课件

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2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册课件：2.2 基本不等式

2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册课件：2.2 基本不等式

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【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为xy＝12x＋80 x000－200≥2
12x·80 x000－200＝200，
当且仅当12x＝80 x000，即 x＝400 时等号成立，故该单位月处理量为 400 吨时，才能使
每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元．
(2)不获利．设该单位每月获利为
考点一 利用基本不等式求最值(基础型)
复习
指导
探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问
题．
核心素养：逻辑推理
角度一 通过配凑法求最值 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为________．
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为________． 【解析】 (1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋（24－3x）2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x， 即 x＝23时，取等号．
成立，所以 x＋1x≤－2.
2．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________． 解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立． 答案：5
3．设 0<x<1，则函数 y＝2x(1－x)的最大值为________．
解析：y＝2x(1－x)≤2x＋12－x2＝12. 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时，等号成立． 答案：12
1＝4－1＝3(当且仅当 x＝3y 时等号成立)．
() x＋4x3y·x＋x3y－
3．已知 x>0，y>0，且 x＋16y＝xy，则 x＋y 的最小值为________．

2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人A教版)课件：2.2 基本不等式

2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人A教版)课件：2.2 基本不等式

状元随笔 利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二 定、三相等．
①一正：各项必须为正． ②二定：各项之和或各项之积为定值． ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．
第五页，共11页。
[基础自测] 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当 a，b 同号时，ba＋ab≥2.( √ ) (2)函数 y＝x＋1x的最小值为 2.( × ) (3)6 和 8 的几何平均数为 2 3.( × ) (4)不等式 a2＋b2≥2ab 与 ab≤a＋2 b有相同的适用范围．( × )
第八页，共11页。
4．已知 x，y 都是正数． (1)如果 xy＝15，则 x＋y 的最小值是___2__1_5__． (2)如果 x＋y＝15，则 xy 的最大值是__2_2_5____．
4 解析：(1)x＋y≥2 xy＝2 15，即 x＋y 的最小值是 2 15；当且仅当 x ＝y＝ 15时取最小值． (2)xy≤x＋2 y2＝1252＝2245， 即 xy 的最大值是2245. 当且仅当 x＝y＝125时 xy 取最大值．
D，因为 ab>0，所以ab>0，ba>0，所以ba＋ba≥2 ba·ba(当且仅当 a＝b 时取 等号)，即ab＋ab≥2 成立．
答案：D
第七页，共11页。
3．若 a>1，则 a＋a－1 1的最小值是( )
A．2
B．a
2a C.a－1
D．3
解析：a>1，所以 a－1>0， 所以 a＋a－1 1＝a－1＋a－1 1＋1≥2 a－1·a－1 1＋1＝3. 当且仅当 a－1＝a－1 1即 a＝2 时取等号． 答案：D
2.2 基本(jīběn)不等式
第一页，共11页。

课件6：2.2　第2课时　基本不等式的应用

课件6：2.2　第2课时　基本不等式的应用
＝x21y2，即 x2y2＝12时等号成立．∴(x2＋y12)(x12＋4y2)的最小值为 9.
【答案】9
方法点评 (1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一 正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等— —等号能取得”，这三个方面缺一不可． (2)对于求分式型函数的最值问题，常采用拆项使分式的分 子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分 式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．
当且仅当 ba＝4ba a＋b＝2
，即 a＝23，b＝43时等号成立．∴52＋12(ba＋4ba)
≥92，即1a＋4b≥92，∴ymin＝92，故选 C. 【答案】C
（2）设x、y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是____．
【解析】∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，
例 1.(1)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，
则 a＝( )
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
【解析】∵x>2，∴x－2>0， 又∵f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2，
∴(x－2)＋x－1 2≥2 x－2·x－1 2，即(x－2)＋x－1 2≥2， ∴(x－2)＋x－1 2＋2≥4，即 f(x)≥4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时等号成立， ∴a＝3，故选 C. 【答案】C
方法技巧 1．“和定积最大，积定和最小 Nhomakorabea即和为定值，可求其积的最大值； 反过来，若积为定值，可求其和的最小值，注意取得最值时需 满足的条件． 2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑结合函数 的图像求解． 3．利用基本不等式解应用题时，关键在于弄清问题的各种数量 关系，抽象出数学模型，然后利用基本不等式来解决．

2.2.2 基本不等式的应用 课件(42张)

2.2.2 基本不等式的应用 课件(42张)

出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.也要注意应用条件.
【类题通法】利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种 思路: (1)常用构造定值条件的技巧变换: ①加项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后利用基本不等式. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.
第2课时 基本不等式的应用
关键能力探究
探究点一 利用基本不等式求最值、范围
【典例1】(1)若x< 5 ,则f(x)=4x-2+ 1 的最大值为________.
4
4x－5
(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为______.
【思维导引】在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑
x＋y
x＋y
λ的最小值为2.
答案:2
探究点三 基本不等式的综合问题
【典例3】若不等式9x+ a2 ≥a+1(常数a>0)对一切正实数x成立,求a的取值范
x
围.
【思维导引】将问题等价转化成对一切x>0,9x+ a2 的最小值不小于a+1.
x
【类题通法】 (1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值.
【定向训练】
已知正数x,y满足x+2 2xy ≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.
【解析】依题意得x+2
2xy≤x+(x+2y)=2(x+y),即
x＋2 2xy x＋y
≤2(当且仅当x=2y
时取等号),即 x＋2 2xy 的最大值为2.又λ≥ x＋2 2xy 恒成立,因此有λ≥2,即

2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 2.2 基本不等式 课件 (1)

2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 2.2 基本不等式 课件 (1)

则2 5 xy
2y 5x 2 10
10xy 10
2. zmin 2.
当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.
(2)∵x>0, f (x) 12 3x 2 12 • 3x 12,
x
x
等号成立的条件是 12 3x, 即x=2,
x
∴f(x)的最小值是12.
(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0, f (x) 4 x 4 (x 3) 3
[跟踪训练一]
（1）已知x>0,y>0，且 1 9 1, 求x+y 的最小值；
（2）已知x<
5 , 求函数
x y
y 4x 2
1
的最大值;
4
4x 5
（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
解（1）∵x>0,y>0, 1 9 1, xy
x y (x y)( 1 9 ) xy
小试身手
题型分析 举一反三
题型一利用基本不等式求最值
例1 求下列各题的最值.
（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 z 2 5 的最小值； xy
（2）x>0,求 f (x) 12 3x的最小值；
x
（3）x<3，求 f (x) 4 x的最大值； x3
解 （1） 由x>0,y>0,xy=10.
(1)基本不等式成立的条件:___a_>_0_,_b_>_0___. (2)等号成立的条件:当且仅当__a_=_b__时取等号.
注：一正、二定、三等。
3.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥ __2_a_b___(a,b∈R).

2.2.2 利用基本不等式解决最值问题【课时教学设计】-高中数学人教A版必修第一册

2.2.2 利用基本不等式解决最值问题【课时教学设计】-高中数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式第2课时 利用基本不等式解决最值问题（一）教学内容：基本不等式的应用（简单的数学情境和实际情境）（二）教学目标1.通过数学情境中的应用，能够利用基本不等式求简单的最值问题，发展数学运算、数据分析等核心素养.2.通过实际情境中的应用，能求解一些简单最优化问题，解决实际问题中的最值，发展学生的数学建模、逻辑推理等核心素养。

（三）教学重点及难点1. 重点：运用基本不等式解决简单的最值问题.2. 难点：对实际问题的分析建模和使用基本不等式的结构观察。

.（四）教学过程设计1.复习回顾，铺垫引入师：根据上一节课的知识，回顾一下基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？生：已知x ，y 都是正数，则①如果积xy 等于定值P(积为定值)，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P. ②如果和x ＋y 等于定值S(和为定值)，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 利用基本不等式可以求最值，验证等号成立是求最值的必要条件，即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.【设计意图】回顾上节课所学知识，对基本不等式的形式加强记忆以及熟悉其使用条件.例1：;24,21的最小值求）设（++->x x x（2）已知10<<x ，求()x x 31-的最大值及相应的x 值。

（1）师：大家观察结构，我们应该如何求这个和的最小值？生：可以式子先变形，2242-+++x x ，变成两个正数的和，再通过两个正数的积是定值来求解。

学生板演. （2）师：我们再来看这题，应该如何求它的最大值？生：式子乘以3再来变形，31)31(3⨯-x x ，变成两个正数的和是定值从而得到解决。

师追问：还有别的解法吗？生：这个式子其实是二次函数，可以利用配方法求解。

【设计意图】培养学生转化化归的数学思想，把不熟悉的问题向熟悉的问题转化.2.合作学习，建模探究例2：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？师：第（1）题已知什么条件，我们求什么？生：已知矩形的面积，求周长的最小值（教师在黑板上画图）师：如果设矩形菜园相邻两条边的长分别为x m, y m （在图上标出），则周长为2(x+y) m,那如何求周长的最小值？生：用基本不等式求最值。

2.2 基本不等式(课件)


[典例 2] (1)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值； (2)已知 0＜x＜12，求 x(1－2x)的最大值； (3)已知 x＞0，y＞0，且8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
[解] (1)∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6. 当且仅当 x－2＝x－4 2即 x＝4 时，等号成立． ∴x＋x－4 2的最小值为 6.
[方法技巧] 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合 理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的 条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式” 转化为“和式”的功能．
[ 变式训练]
1．已知 m＝a＋a－1 2(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则 m，n 之间的大小关系
()
(2)已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为 18. ( )
答案：(1)√ (2)√
2．下列不等式正确的是
A．a＋1a≥2
B.(－a)＋－1a≤－2
C．a2＋a12≥2
D.(－a)2＋－1a2≤－2
解析：∵a2＞0，∴a2＋a12≥2 成立．故选 C.
答案：C
()
3．设 x，y 满足 x＋y＝10，且 x＞0，y＞0，则 xy 的最大值是________． 解析：∵ xy≤x＋2 y(x＞0，y＞0)， ∴xy≤x＋2 y2＝1202＝25. 当且仅当 x＝y＝5 时等号成立，故 xy 的最大值为 25. 答案：25
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)不等式 a2＋b2≥2ab 与 ab≤a＋2 b有相同的适用范围． (2)若 a＞0，b＞0，则 ab≤a＋2 b恒成立． (3)当 a，b 同号时，ba＋ab≥2. 答案：(1)× (2)× (3)√

新版高中数学必修一课件：2.2.2基本不等式的应用

第2课时 基本不等式的应用
课程标准 (1)熟练掌握基本不等式及变形的应用．(2)会用基本不等式解决简单 的最大(小)值问题．(3)能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
教材要点 要点 常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2 ab(a＞0，b＞0)．❶ (2)ab≤(a+2b)2(a，b∈R)．❷ (3)(a+2b)2≤a2+2b2(a，b∈R)．❸ (4)ba + ba≥2(且ab>0，a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
巩固训练2 若正实数x，y满足y(x－9)＝x，则x＋y的最小值为 ____1_6___．
解析：由y(x－9)＝x，可得x＋9y＝xy，则1y + 9x＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(1y + 9x)＝10＋yx + 9xy≥10＋2 9＝16，当且仅当yx＝9xy，即x＝12，y＝4时等号成立．
题型 3利用基本不等式解决实际问题 例3 如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个 相同的矩形区域，即如图小矩形ABCD，且其面积为24m2.(注：靠墙 的部分不用彩带) (1)要使围成四个矩形的彩带总长不超过52 m，求BC的取值范围； (2)当围成四个矩形的彩带总长最小时，求AB和BC的值，并求彩带
(3)
当
x>1
时
，
函
数
y
＝
x
＋
1 x−1
≥2
x x−1
，
所
以
函
数
y
的
最
小
值
是
2 x−x1.( × ) (4)若x∈R，则x2＋2＋x21+2≥2.( × )
2．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则xy的最大值为( )

2.2基本不等式第2课时基本不等式的运用-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式 第2课时基本不等式的运用【课程标准】1.利用基本不等式的变形求最值2.掌握常见的变形手段【知识要点归纳】1.最值定理设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值),则当 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2.基本不等式求最值的条件（七字真言） (1)一正：x ，y 必须是 ；(2)二定：求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为 ；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为 . 3.变形手段（1）拼凑法：通过观察式子的特点，凑出定值 （2）乘1法：条件中含有常数【经典例题】注意：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 例5 求下列代数式的最大（小）值；并指出得到最值时的条件。

（1）1(0)y x x x =+> （2）1(0)y x x x =+< （3）14(1)1y x x x =+>- （4）(1)(3)((1,3))y x x x =+-∈- （5）34(32)(0)2y x x x =-<<（6）(0,0,420)y ab a b a b =>>+= （7）241y x=+（8）11+(1,0,0)z x y x y x y =+=>> （9）14(4,0,0)z x y x y x y =++=>>（10）241(0)x x y x x -+=> （11）23(1)1x xy x x -=>-+[)219()40++19f x ax x c c a =-+∞++例2 设二次函数的值域为，，则的最大值是_______.【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式492m x y+恒成立，则m 的取值范围是( )A ．1[,)2+∞B ．[1，)+∞C ．(0，1]D ．1(0,]22．若a ，b 为正实数，且1123a b +=，则3a b +的最小值为( ) A ．2 B ．32C ．3D ．43．已知正实数a 、b 满足2a b +=，则141a b ++最小值为( )A ．B ．4C ．D ．34．已知2x >，则函数1()24f x x x =+-的最小值为( )A ．2B ．2+C ．2D ．二．填空题（共2小题） 5．设302x <<，则函数4(32)y x x =-的最大值为 ． 6．函数42(1)1y x x x =+->-+的最小值为三．解答题（共1小题） 7．（1）已知2x >，求222y x x =+-的最小值； （2）已知0x >，0y >，且2x y +=，求82x y+的最小值．当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式492m x y+恒成立，则m 的取值范围是( )A ．1[,)2+∞B ．[1，)+∞C ．(0，1]D ．1(0,]2【分析】根据“乘1法”，可得414()()2m mx y x y x y+=++，展开后，结合基本不等式可推出419(424)22m m m x y+++，解此不等式即可． 【解答】解：0xy >，且2x y +=，0x ∴>，0y >，∴4141411()()(4)(4)(42222m m y mx y mx x y m m m x y x y x y +=++=+++++=++，当且仅当4y mxx y =2y =时，等号成立， 不等式492m x y+恒成立，∴19(422m ++，化简得，50m +，1，即1m ， m ∴的取值范围是[1，)+∞．故选：B ．【点评】本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 2．若a ，b 为正实数，且1123a b+=，则3a b +的最小值为( )A ．2B ．32C ．3D ．4【分析】111133(3)()(2)2323a ba b a b a b b a +=++=++，利用基本不等式即可求得最小值．【解答】解：1111313(3)()(11)(22)223232a b a b a b a b b a +=++=++++=，当且仅当33a b b a =时，即13a =，1b =时，取得最小值2， 故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 3．已知正实数a 、b 满足2a b +=，则141a b ++最小值为( )A ．B ．4C ．D ．3【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：因为正实数a 、b 满足2a b +=， 所以13a b ++=， 则141141141()(1)(5)(52)31313131b a a b a b a b a b b ++=+++=+++=++++， 当且仅当141b aa b +=+且2a b +=即1a =，2b =时取等号， 故选：D ．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 4．已知2x >，则函数1()24f x x x =+-的最小值为( )A ．2B ．2+C ．2D ．【分析】111()(24)224224f x x x x x =+=-++--，利用基本不等式的性质即可求得最小值．【解答】解：2x >，240x ∴->， 1111()(24)222(22242242f x x x x x =+=-+++=--当且仅当11(24)224x x -=-时取得最小值2故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式性质的应用，属于基础题． 二．填空题（共2小题） 5．设302x <<，则函数4(32)y x x =-的最大值为 92． 【分析】由题设利用基本不等式求得结果． 【解答】解：302x <<，320x ∴->， 223294(32)22(32)2()22x x y x x x x +-∴=-=⨯-⨯=，当且仅当34x =时取“= “，故答案为：92． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 6．函数42(1)1y x x x =+->-+的最小值为 1 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解． 【解答】解：由1x >-可得10x +>， 所以442132(1)31111y x x x x x x =+-=++-+-=+++， 当且仅当411x x +=+即1x =时取等号， 故答案为：1【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．三．解答题（共1小题） 7．（1）已知2x >，求222y x x =+-的最小值； （2）已知0x >，0y >，且2x y +=，求82x y+的最小值． 【分析】（1）由2222(2)422y x x x x =+=-++--，然后结合基本不等式即可求解． （2）由821824()()52y xx y x y x y x y+=++=++，然后结合基本不等式即可求解． 【解答】解：（1）2x >，20x ∴->，∴2222(2)422(2)48222y x x x x x x =+=-++-+=---， 当且仅当22(2),32x x x -==-时等号成立， 综上，y 的最小值是8； （2）2x y +=，∴821824()()52y x x y x y x y x y+=++=++， 0x >，44024y x y xy x y x y>+=， 当且仅当442,2,,33y x x y x y x y ====时等号成立， ∴82549x y++=， ∴82x y+的最小值是9． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：2.2 第1课时 基本不等式


关键能力·攻重难
题型探究 题型一 利用基本不等式判断命题真假
例 1 下列不等式一定成立的是( C )
A． x2＋14> x(x>0)
B．x＋1x≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．x2＋1 1>1(x∈R)
[解析] 选项 A 中，x2＋41≥x(当且仅当 x＝12时，x2＋14＝x)，故选项 A 不正确；选项 B 中，x＋1x≥2(x>0)，x＋1x≤－2(x<0)，故选项 B 不正确； 选项 C 中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项 C 正确；选项 D 中， x2＋1≥1，则 0<x2＋1 1≤1，故选项 D 不正确．
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
【素养目标】 1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算) 4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推 理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
理的拆、凑、配等变换．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 两 个 不 等 式
a2 ＋ b2≥2ab
与
a＋b 2
≥
ab 成 立 的 条 件 是 相 同
的．( × )
(2)当 a>0，b>0 时，a＋b≥2 ab.( √ )
(3)当 a>0，b>0 时，ab≤(a＋2 b)2.( √ )
(4)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × )
[解析] (1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式a＋2 b ≥ ab成立的条件是 a>0，b>0.
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[解析] 设矩形广告牌的高为 x cm，宽为 y cm，则每栏的高和宽分 别为(x－20)cm，(y－225)cm(x>20，y>25)，两栏面积之和为 2(x－20)·y－225 ＝18 000，
由此得 y＝1x8－02000＋25， ∴广告牌的面积 S＝xy＝x(1x8－02000＋25)＝1x8－00200x＋25x， 整理得 S＝3x6－0 02000＋25(x－20)＋18 500.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
∵aa－－bc＋ab－ －cc＝a－ba－＋bb－c＋a－bb－＋cb－c ＝2＋ab－－bc＋ab－－bc≥2＋2 ab－－bc·ab－－bc＝4，当且仅当ab－－bc＝ab－－bc， 即 2b＝a＋c 时，等号成立， ∴m≤4，即 m 的取值范围为{m|m≤4}．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
[分析] (1)已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值． (2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值． [解析] (1)设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36， 即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 方法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以 2 6xy≤18，得 xy≤227，
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2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第二章 一元二次函数、方程和不等式
关键能力·攻重难
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
题型探究 题型一 利用基本不等式求参数范围
例 1 设 a>b>c，且a－1 b＋b－1 c≥a－m c恒成立，求 m 的取值范围． [解析] 由 a>b>c，得 a－b>0，b－c>0，a－c>0. ∴原不等式等价于aa－－bc＋ab－－cc≥m. 要使原不等式恒成立，只需aa－－bc＋ab－ －cc的最小值不小于 m 即可．
[归纳提升] 在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题 (1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域． (3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值． (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
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【对点练习】❶ 若对任意 x>0，x2＋3xx＋1≤a 恒成立，则 a 的取值 范围是___a_a_≥__51____.
[解析] 因为 x>0，所以 x＋1x≥2，当且仅当 x＝1 时取等号，所以有 x2＋3xx＋1＝x＋1x1＋3≤2＋1 3＝51，即x2＋3xx＋1的最大值为51，故 a≥15.
【对点练习】❷ 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小 相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样 确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
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∵x－20>0，∴S≥2 3x6－0 02000×25x－20＋18 500＝24 500. 当且仅当3x6－0 02000＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14 400， 解得 x＝140，代入 y＝1x8－02000＋25，得 y＝175. 即当 x＝140，y＝175 时，S 取得最小值为 24 500. 故当广告牌的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使矩形广告牌的面积 最小．
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题型二 基本不等式的实际应用 例 2 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可
利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时， 可使每间虎笼面积最大？
(2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
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(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 方法一：因为 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， 所以 l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48. 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由x2yx＝＝234y， 解得xy＝ ＝64，. 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
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方法二：由 xy＝24，得 x＝2y4. 所以 l＝4x＋6y＝9y6＋6y＝6(1y6＋y)≥6×2 1y6·y＝48. 当且仅当1y6＝y 即 y＝4 时，等号成立，此时 x＝6. 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
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[归纳提升] 1.恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成 立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题， 可能会用到基本不等式．
2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解 决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问 题．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大．
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方法二：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－32y. 因为 x>0，所以 9－32y>0，所以 0<y<6，S＝xy＝(9－32y)y＝32(6－y)·y. 因为 0<y<6，所以 6－y>0，所以 S≤32·[6－2y＋y]2＝227. 当且仅当 6－y＝y 即 y＝3 时等号成立，此时 x＝4.5. 故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大．