基本不等式 基础练习题

《不等式的基本性质》习题
它是不等式吗？
【1】基础练习 1、例1 用“>”或“<”填空
（1）已知b a <，5-a 5-b （2）已知3>a ，4-a -１
2、做一做 截至11月21日晚9：00，第十六届亚运会上，中国获得金牌145块，日本获得金牌30块。

（1）你能用“＞”或“＜”连接中国和日本的金牌数量吗？你为中国骄傲吗？
（2）几天后，中国和日本分别又获得金牌a 块，你能用“＞”或“＜”连接中国和日本的金牌数量吗？
3、例2 运用不等式基本性质1，将不等式化为a x >或a x <的形式。

（1）56>+x (2)223-<x x
4、做一做 用移项的方法将不等式化为a x >或a x <的形式。

(1)62+<x x (2)35.05.0+-≥x x
【2】提高练习
1、用不等式表示
（1）x 为正数 （2）x 为负数 （3）x 为非负数 （4）x 为非正数
2、若0<-b a ，则下列各式一定成立的是（ ）
A
b a > B
c b c a ->- C 33+>+b a D 1.01.0+<+b a
【3】能力发展
1、请说明13+<-a a 的理由。

221x y +-≠，
28x y +>，30-<，4x -，3(2)45x x +-≤，3x =，15x
<，0a ≥，22a b +=+，450x +>，
2、试判断322+-a a 与32+-a 的大小。

试卷第1页，总1页基本不等式1、若，则的最大值为（ ）ABC ．2D 2、已知）A ．5B ．4 C ．8D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值5 D ．最小值4、已知 ()D.55、，则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。

怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。

023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页，总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。

证明不等式的基本方法一、选择题1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( )A ．s ≥tB ．s >tC ．s ≤tD ．s <t2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c D ．无法判断3．设a 、b ∈(0，＋∞)，且ab －a －b ＝1，则有( )A ．a ＋b ≥2(2＋1)B ．a ＋b ≤2＋1C ．a ＋b ＜2＋1D ．a ＋b ＞2(2＋1)4．已知a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为( )A ．5B ．7C ．9D ．115．(2012·湖北高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z 等于( ) A.14 B.13C.12D.34 二、填空题6．设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 与n 的大小关系是________．7．以下三个命题：①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23，其中正确命题的序号是________．8．若x ＋y ＋z ＝1，且x ，y ，z ∈R ，则x 2＋y 2＋z 2与13的大小关系为________．三、解答题9．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.10．(2013·深圳调研)已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝（1－x ）2x ＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值．11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .【答案】 A2．【解析】 ∵0<x <1，∴1＋x >2x ＝4x >2x ， ∴只需比较1＋x 与11－x的大小， ∵1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x<0， ∴1＋x <11－x. 因此c ＝11－x 最大． 【答案】 C3．【解析】 ∵ab －a －b ＝1，∴1＋a ＋b ＝ab ≤(a ＋b 2)2.令a ＋b ＝t (t ＞0)，则1＋t ≤t 24(t ＞0)．解得t ≥2(2＋1)，则a ＋b ≥2(2＋1)．【答案】 A4．【解析】 把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.【答案】 C5．【解析】 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ， 又a 2＋b 2＋c 2＝10相加可得(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10，所以不妨令⎩⎨⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c (或⎩⎨⎧x －a ＝b ，y －b ＝c ，z －c ＝a)， 则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 【答案】 C二、填空题6．【解析】 ∵a ＞b ＞0，∴m ＝a －b ＞0，n ＝a －b ＞0.∵m 2－n 2＝(a ＋b －2ab )－(a －b )＝2b －2ab ＝2b (b －a )＜0，∴m 2＜n 2，从而m ＜n .【答案】 m ＜n7．【解析】 ①|a |－|b |≤|a －b |＜1，所以|a |＜|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |， 所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③|x |＜2，|y |＞3，所以1|y |＜13，因此|x ||y |＜23.∴①②③均正确．【答案】 ①②③8．【解析】 ∵(x ＋y ＋z )2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝1，又2(xy ＋yz ＋zx )≤2(x 2＋y 2＋z 2)，∴3(x 2＋y 2＋z 2)≥1，则x 2＋y 2＋z 2≥13.【答案】 x 2＋y 2＋z 2≥13三、解答题9．【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴2ab ≤a ＋b ＝1.因此ab≤12，1ab≥4.则1a＋1b＋1ab＝(a＋b)(1a＋1b)＋1ab≥2ab·2 1ab＋4＝8.故1a＋1b＋1ab≥8成立．10．【解】(1)证明∵a2b＋b2a－(a＋b)＝a3＋b3－a2b－ab2ab＝a2（a－b）－b2（a－b）ab＝（a－b）2（a＋b）ab.又∵a＞0，b＞0，∴（a－b）2（a＋b）ab≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴a2b＋b2a≥a＋b.(2)∵0＜x＜1，∴1－x＞0，由(1)的结论，函数y＝（1－x）2x＋x21－x≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x即x＝12时等号成立．∴函数y＝（1－x）2x＋x21－x(0＜x＜1)的最小值为1.11．【证明】(1)由于x≥1，y≥1，则x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，将上式中右式减左式得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，由x≥1，y≥1易知(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，即原不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数换底公式得log c a＝1xy，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy，则所证不等式可化为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，由1≤a≤b≤c知x＝log a b≥1，y＝log b c≥1，由(1)知所证不等式成立．。

3.4基本不等式重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，，不可能同时大于．当堂练习：1. 若，下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．2. 若且，则下列四个数中最大的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a3. 设x>0,则的最大值为（）Ａ．3Ｂ．Ｃ．Ｄ．－14. 设的最小值是( )A. 10B.C.D.5. 若x, y是正数，且，则xy有（）Ａ．最大值16Ｂ．最小值Ｃ．最小值16Ｄ．最大值6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11. 函数的最大值为.12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14. 证明：若x, y为非零实数，代数式的值恒为正.15. 已知：, 求mx+ny的最大值.16. 已知．若、,试比较与的大小，并加以证明.17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.18. 设.证明不等式对所有的正整数n都成立.参考答案：经典例题：【解析】证法一假设，，同时大于，∵ 1－a>0，b>0，∴≥，同理，.三个不等式相加得，不可能，∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于.证法二假设，，同时成立，∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，即. （*）又∵≤，同理≤，≤，∴≤与（*）式矛盾，故不可能同时大于.当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;13. ; 14. 对;15．16. 【解析】．∵、，∴．当且仅当＝时，取“＝”号．当时，有．∴．．即．当时，有．即17. (1)(2)18．【解析】证明由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到又因以及因此不等式对所有的正整数n都成立.。

基本不等式基础练习题1．若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是．2．已知x＞0，y＞0，且，则2x+3y的最小值为．3．设a＞0，b＞0．若是2a与2b的等比中项，则的最小值为．4．若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值为．5．已知x＞2，则+x的最小值为．6．已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为．7．已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为．8．已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为．9．若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．10．若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为．11．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是．12．已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．13．已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为．14．已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．15．设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为．16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．17．已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是．18．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．19．已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为．20．已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为．21．已知x，y∈R，且x+2y=1，则2x+4y的最小值是．22．己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是．23．若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．24．已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的最大值为．25．已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是．26．在等比数列{an }中，若S7=14，正数a，b满足a+b=a4，则ab的最大值为．27．已知函数f（x）=2x﹣1+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则的最小值是．28．实数x、y满足x2+y2=4，则x+y﹣xy的最大值为．a b参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2015•资阳模拟）若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．解答：解：∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故答案为：8．点评：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．（2013•东莞二模）已知x＞0，y＞0，且，则2x+3y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把代入可得，2x+3y=（2x+3y）（）=+29，由基本不等式可得答案．解答：解：由题意可得2x+3y=（2x+3y）（）=+29≥2+29=29+6当且仅当，即x=，y=时取等号，故2x+3y的最小值为：故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，把代入原式构造可利用基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．3．（2015•中山市二模）设a＞0，b＞0．若是2a与2b的等比中项，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：由题意知，∴的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．4．（2015•德阳模拟）若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：两正数a，c满足a+2c+2ac=8，利用基本不等式的性质可得，化为，解出即可．解答：解：∵两正数a，c满足a+2c+2ac=8，∴，化为，∴≤0，解得，∴ac≤2，当且仅当a=2c=2取等号．∴ac的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，属于基础题．5．（2015•恩施州一模）已知x＞2，则+x的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞2，∴+x=+（x﹣2）+2≥=4，当且仅当x=3时取等号．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6．（2015•金家庄区模拟）已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为3．考点：基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：利用，当且仅当时取等号，x，y，m，n都为正数．解答：解：∵x∈（0，3），∴函数y=+≥=3，当且仅当，即x=1时取等号．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．7．（2015•杭州一模）已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2﹣3my+m2﹣1=0，利用△≥0，解出即可．解答：解：设x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2﹣3my+m2﹣1=0，∴△=9m2﹣12（m2﹣1）≥0，解得﹣2≤m≤2，∴x+2y的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，属于基础题．8．（2015•衡阳模拟）已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵xy2=8，∴x=，∵x，y∈R+，∴4x+y=+≥3=6，当且仅当x=，y=4时取等号．∴4x+y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．9．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．10．（2014•德州一模）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为3．分析：由题意可知2x+y=3，所以想到把要求最小值的式子分子分母同时乘以3，把分子的3同时换成2x+y，展开后利用基本不等式可求最小值．解答：解：由2x+y﹣3=0，得2x+y=3，又∵x，y为正数，所以=．当且仅当x=y时取等号，因为2x+y﹣3=0，所以此时x=y=1．所以的最小值为3．故答案为3．点评：本题考查了基本不等式的应用，训练了学生灵活变形和处理问题的能力，解答此题的关键是对已知条件的灵活运用，属中档题．11．（2014•阳泉二模）已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是7．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意得m＞2，n＞1，（m﹣2）（n﹣1）=4，再由基本不等式得=2≤=，变形可得m+n的最小值．解答：解：∵f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，m＞2，n＞1，∴log2（m﹣2）+log2（2n﹣2）=3，log2（m﹣2）2（n﹣1）=3，（m﹣2）2（n﹣1）=8，（m﹣2）（n﹣1）=4，∴=2≤=（当且仅当m﹣2=n﹣1=2时，取等号），∴m+n﹣3≥4，m+n≥7．故答案为：7．点评：本题考查对数的运算性质，基本不等式的应用．考查计算能力．12．（2014•日照一模）已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把点（0，1）代入函数关系式即可得出a，b的关系，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），∴1=2a+b，∵a＞0，b＞0．∴==3+=，当且仅当，b=时取等号．故答案为．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．13．（2014•镇江一模）已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为9．分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解答：解：∵正数x，y满足x+2y=2，∴===9，当且仅当x=4y=时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（2014•温州三模）已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a﹣b＞0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a﹣b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．解答：解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0∴=当且仅当a﹣b=时取等号故答案为点评：本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）15．（2014•江西一模）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将等式左边通分，化简等式后，使用基本不等式，化为关于的一元二次不等式，解出的范围．解答：解：∵x、y均为正实数，且，进一步化简得xy﹣x﹣y﹣8=0．x+y=xy﹣8≥2，令t=，t2﹣2t﹣8≥0，∴t≤﹣2（舍去），或t≥4，即≥4，化简可得xy≥16，∴xy的最小值为16．点评：本题考查基本不等式的应用，体现转化的数学思想，属于基础题．16．（2014•浙江模拟）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4．考点：基本不等式；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是 4故答案为：4．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．17．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x，y∈R*且+=1，可得（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x，y∈R*且+=1，∴（y＞2）∴xy=y==+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．∴xy的最小值是8．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．（2014•苏州一模）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．19．（2014•宝山区二模）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为2．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y的最小值．解答：解：∵log2x+log2y=1，∴log2（xy）=1，∴xy=2，其中x＞0，y＞0；点评：本题考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用问题，解题时应注意基本不等式的应用条件是什么，是基础题．20．（2014•淮安模拟）已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y==8，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．21．（2014•重庆三模）已知x，y∈R，且x+2y=1，则2x+4y的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先判断2x＞0，4y＞0，然后知2x+4y≥2 =，即得答案．解答：解：由2x＞0，4y＞0，∴2x+4y≥2 =．所以2x+4y的最小值为故答案为：．点评：本题考查均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用．22．（2014•淄博三模）己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式转化为一元二次不等式，解出即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+y++=5，∴=（x+y）+，令x+y=t＞0，上述不等式可化为t2﹣5t+4≤0，解得1≤t≤4，当且仅当x=y=2时取等号．因此t即x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、转化法，属于中档题．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：将x+3y=5xy转化为=1，再由x+y=（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴x+y=（x+y）≥．当且仅当，即时取等号，此时结合x+3y=5xy，得∴x+y≥，可知x+y的最小值为．故答案为．点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．24．（2014•咸阳二模）已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：解：==2，当且仅当a=c=b=d=1时取等号，∴ac+bd的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．25．（2014•荆州模拟）已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式求出xy≥8，然后利用对数的基本运算和对数的换底公式进行计算即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=xy，∴x+2y=xy，平方得（xy）2≥8xy，解得xy≥8，∴log4（x+2y）=log4（xy），故答案为：点评：本题主要考查基本不等式的应用以及对数的基本计算，考查学生的计算能力．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等比数列的通项公式和基本不等式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．∵S7=14=+=a4≥a4×（2+2+2+1），∴a4≤2．∵正数a，b满足a+b=a4，∴2≥a4=a+b，解得ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号．此时ab的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查了等比数列的通项公式和基本不等式，属于中档题．27．（2014•淮南二模）已知函数f（x）=2x﹣1+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用20=1可得函数f（x）=2x﹣1+1过定点A（1，2），由于点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，可得m+2n=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵f（1）=20+1=2，∴函数f（x）=2x﹣1+1过定点A（1，2），由点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，∴m+2n=1．∴=（m+2n）=2+=4，当且仅当m=2n=取等号，∴的最小值是4．故答案为：4．点评：本题考查了指数的运性质和基本不等式的性质，属于中档题．28．（2014•宁波模拟）实数x、y满足x2+y2=4，则x+y﹣xy的最大值为．考点：基本不等式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由实数x、y满足x2+y2=4，利用三角函数代换x=2cosθ，y=2sinθ．令t=sinθ+cosθ=（θ∈[0，2π）），，可得2sinθcosθ=t2﹣1．x+y﹣xy=2cosθ+2sinθ﹣4sinθcosθ=，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：∵实数x、y满足x2+y2=4，∴可设x=2cosθ，y=2sinθ．则t2=1+2sinθcosθ，可得2sinθcosθ=t2﹣1．∴x+y﹣xy=2cosθ+2sinθ﹣4sinθcosθ=2t﹣2（t2﹣1）=，当且仅当时，x+y﹣xy取得最大值为．故答案为：．点评：本题考查了圆的参数方程、三角函数代换、三角函数基本关系式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法和计算能力，属于中档题．29．（2014•济南二模）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的取值范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于直线ax+by=1经过点（1，2），可得a+2b=1．再利用基本不等式和指数的运算性质即可得出．解答：解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），∴a+2b=1．∴2a+4b≥==2．当且仅当2a=4b，a+2b=1，即a=，b=时取等号．∴2a+4b的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式和指数的运算性质，属于中档题．30．（2013•石景山区二模）已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为即可得出．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴，化为，∴，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4，+∞）．∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c==．∵ab≥4，∴，∴．∴c的取值范围是．故答案为．点评：恰当变形利用基本不等式的性质和不等式的基本性质是解题的关键．。

1、若实数x ，y 满足224x y +=，求xy 的最大值
2、若x>0,求9()4f x x x =+
的最小值;
3、若0x <，求1y x x =+
的最大值
4、若x<0,求9()4f x x x =+
的最大值
5、求9()45
f x x x =+
-(x>5)的最小值.
6、若x ，y R +∈，x+y=5，求xy 的最值
7、若x ，y R +∈，2x+y=5，求xy 的最值
8、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值
1、求1 (3)3y x x x =
+>-的最小值.
2、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.
3、求1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值。

4、求123 (0)y x x x =
+<的最大值.
5、若2x >，求1252y x x =-+
-的最小值
6、若0x <，求21x x y x ++=
的最大值。

7、求2
y =
的最小值.
8（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?。

基本不等式（均值定理）练习题 一、选择题 1.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的个数为( ) ①ab ≤1;②a b 2;+≤③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤11 2.a b+≥ (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.已知22b 1m a a 2,n 2b 0,a 2-=+>=≠-（）（）则m 、n 之间的大小关系是( ) (A)m>n (B)m<n (C)m=n (D)不确定3.设a a a 11x 2x m log x,n log ,p log ,221x+===+其中0＜a ＜1,x ＞0且x ≠1,则下列结论正确的是( ) （A ）m ＜n ＜p (B)m ＜p ＜n (C)n ＜m ＜p (D)n ＜p ＜m4.已知不等式1a x y)()9x y++≥（对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)25.设a>0,b>0,若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为( ) (A)8 (B)4 (C)1 (D)146.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=423-，则2a+b+c 的最小值为( )()()()()A 3 1 B 3 1 C 23 2 D 232-++-7.设x>y>z,n ∈N *,且11n x y y z x z +≥---恒成立，则n 的最大值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5二、填空题1.在4×+9×=60的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________.2.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是__________.3.若对任意x>0,2x a x 3x 1≥++恒成立，则a 的取值范围是__________. 4.函数y=log a (x+3)-1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0，则12m n+的最小值为_______. 5.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .三、解答题 1.若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x,y 的值 2.若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值 3.已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.4.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

高中数学（必修一）第二章 基本不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_____________一、解答题 1．已知a b ，比较2a ab +与23ab b -的大小，并证明.2．设a ，b 为正实数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥．3．求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值.4．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？5．已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点(M . (1)求圆C 的方程；(2)已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；(3)若直线l 与圆C 相切，且l 与,x y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求ABC 的面积最小时直线l 的方程.6．已知a ，b R +∈，求证：()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭．7．函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭图像过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻对称轴间的距离为π2．(1)求,ωϕ的值；(2)已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2a =，求ABC 面积的最大值．8．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出）9．高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm ，其中长边 AD 为 x cm ，将BCD △沿BD 向ABD △折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．(1)用 x 表示图1中BAE 的面积；(2)已知镀金工艺是2元/2cm ，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，A 为锐角，cos cos 3cos b A a B c A +=． (1)求cos A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值．11．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2≥；(3)若0ab <，则2b aa b+≤-．13．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥(2)若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知x ＞2，求函数4()2f x x x =+-的最小值．15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.16．如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为220m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？17．已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值．参考答案：1．见解析【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解：223a ab ab b +>-，证明如下：()2222232()a ab ab b a ab b a b +--=-+=-.a b ≠2()0a b ∴-> 223a ab ab b ∴+>-【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系，属于基础题. 2．证明见解析【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为正实数，所以a b +≥222a b ab +≥，332a b +≥=当a b =时取等号，所以()()()223333228a b a b a b ab a b +++≥⨯=，即()()()2233338a b a b a b a b +++≥，当且仅当a b =时取等号；3．5【分析】式子化为1333x x +-+-，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为3x >， 所以30x ->，所以133353y x x =+-+≥=-， 当且仅当133x x -=-即4x =时取等号，此时取得最小值5.4．（1）当7x y ==时，x y +取得最小值14；（2）当6x y ==时，xy 取得最大值36【解析】（1）设0x >，0y >，49xy =，然后利用基本不等式求得x y +的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.（2）设0x >，0y >，12x y +=，然后利用基本不等式求得x y ⋅的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.【详解】（1）设0x >，0y >，49xy =，由均值不等式，得214x y xy +=， 当且仅当x y =时，取等号．由,49,x y xy =⎧⎨=⎩得7x y ==，即当7x y ==时，x y +取得最小值14．（2）设0x >，0y >，12x y +=，由均值不等式，得22123622x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当x y =时，取等号．由,12,x y x y =⎧⎨+=⎩得6x y ==．即当6x y ==时，xy 取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 5．(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径r ，由此可得圆C 方程； （2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ，可知最小值为d r -；（3）设():10,0x yl a b a b+=>>，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当a b ==ABC面积取得最小值，由此可得直线l 方程. （1）由题意知：圆心()0,0C ，半径2r CM ===，∴圆C 的方程为：224x y +=.（2）圆心到直线40x y +-=的距离d r ==，∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.（3）设直线():10,0x yl a b a b+=>>，即0bx ay ab ， 则圆心到直线l 距离2d ==，ab ∴=≥a b ==，解得：8ab ≥， ∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =，则直线1l =，即0x y +-=. 6．见解析【分析】()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开并运用基本不等式即可得证.【详解】()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 7．(1)2ω=，π3ϕ=；(2)2+【分析】（1）由题干条件得到最小正周期，进而求出2ω=，待定系数法求出π3ϕ=；（2）先由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出π6A =，利用余弦定理，基本不等式求出8bc ≤+. (1)由题意得：()f x 的最小正周期πT =，由于0>ω，故2ππω=，解得：2ω=，又2π32sin()11ϕ++=，所以2ππ,3k k Z ϕ+=∈，即2ππ,3k k Z ϕ=-∈，又π||2ϕ<，所以2πππ,32k k Z <∈-，解得：1766k <<，k Z ∈，故1k =，此时π3ϕ=，综上：2ω=，π3ϕ=； (2)2sin()33π12A f A ⎛⎫= ⎪⎝++=⎭，所以sin()1π3A +=，因为()0,πA ∈，所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ32A +=，解得：π6A =，又2a =，所以由余弦定理得：224cos 2b c A bc +-==，则224b c +=，由基本不等式得：222b c bc +≥，即42bc ≥，解得：8bc ≤+b c =时等号成立，故ABC 面积最大值为1sin 22bc A ≤8．（1）第三年；（2）第5年.【解析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣＜x ＜，∈2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出； （2）∈利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∈二手车出售后， 小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立， ∈小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.9．(1)()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)当 AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元.【分析】（1）设ED a =cm ，根据条件可得222x x a x-+=，然后利用面积公式即得；（2）利用基本不等式即得.（1）因为AD x =cm ，所以()2AB x =-cm ， 设 ED a = cm ，则()AE x a =-cm ，因为AEB C ED '∠=∠，EAB DC E '∠=∠，AB DC '=， 所以Rt Rt BAE DC E '≌△△，所以BE ED a ==cm ， 在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=， 即()()2222x x a a -+-=， 解得222x x a x-+=，所以22x AE x a x-=-=， 所以BAE 的面积()()22112232223cm 1222x x x S AB AE x x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以BAE 的面积()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）设一个会徽的镀金费用为y 元，则(26212312336BAE y Sx x ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2xx=，12x <<，即x所以当AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元． 10．(1)1cos 3A =；【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式求cos A 的值；（2）由同角三角函数间的基本关系求sin A 的值，根据余弦定理和基本不等式求bc 的最大值，最后根据三角形的面积公式求ABC 面积的最大值即可． (1)因为cos cos 3cos b A a B c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=， 所以()sin 3sin cos A B C A +=，所以sin 3sin cos C C A =． 在ABC 中，sin 0C ≠， 所以1cos 3A =；(2)由（1）知1cos 3A =，由22sin cos 1A A +=，A 为锐角，得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-=，因为2a =， 所以2233122b c bc +-=， 所以22212336bc b c bc +=+≥，所以3bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =△所以ABC 11．当32x =时，y 取得最大值494【解析】根据基本不等式，求得y 的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时x 的值.【详解】∈(2,5)x ∈-，∈20,50x x +>->，∈22549(2)(5)24x x y x x ++-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭． 当且仅当25x x +=-，即32x =时，取等号．即当32x =时，y 取得最大值494．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. （1）取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥不成立； （2）0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. （3）0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由112111⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b ab 利用基本不等式求最值即可.（1）因为a ，b ，c 都是正数，所以 ()()()(1122++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a c=，当且仅当a b c ==时，等号成立，所以a b c ++≥ （2）211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立. ∈11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 14．6【解析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】解：∈2x >，∈20x ->，故44()222622f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当4x =时等号成立，故()f x 的最小值为6.15．(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++，从而求出p ，即可得解； （2）设:1l x ty =+，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到M y ，从而得到M x ，则()1||12DEM M S DE x =⋅+最后利用基本不等式求出最小值，即可得解； （1）解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知12||43AB x x p p p =++=+=时，2p =，故抛物线方程为24y x =；（2）解：设:1l x ty =+，联立抛物线方程得2440y ty --=，∈1222M y y y t +==，2121M M x ty t =+=+，而21,D t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21,E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t ⎛⎫=⋅+=⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当||1t =时等号成立，故直线l 的方程为1x y =±+．16．(1)长为9m 2，宽为18m 5(2)长为5m ，宽为4m【分析】（1）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，可得出4536x y +=，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，利用基本不等式可求得钢筋网总长45x y +的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论.（1）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，由已知可得4536x y +=，由基本不等式可得()2211458145m 202025x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当454536x y x y =⎧⎨+=⎩，即当92185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为9m 2，宽为18m 5时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，钢筋网总长为()4540m x y +≥=，当且仅当4520x y xy =⎧⎨=⎩，即当54x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17．2 【分析】将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x ->，则()154254x x -+≥-， 当且仅当15454x x -=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2.。

基本不等式练习题一、选择题1．若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4-<aB ．4->aC ．12->aD ．12-<a 2．若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3-≤mB ．3-≥mC ．03≤≤-mD ．03≥-≤m m 或3．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]4．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.145．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(x y 的最小值是 ( )． A ．3 B ．27 C ．4 D ．29 6．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是 ( )．A ．a ＋b ＋ab 1≥22 B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C 22≥a ＋b D ．ba ab +2≥ab 8.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．169．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 ( )A ．3B ．4 C.92 D.112 二、填空题：10、当0>x 时，()122+=x x x f 的值域是 。

11．已知0<x <34，则函数y ＝5x (3－4x )的最大值为________． 12．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ．．13．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa ＋yb ＝1，则x ＋y 的最小值为 ． 14．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ． 15．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为______． 16．求函数12++=x x x y （x >0）的值域为 ． 17.当x 为何值时，28(1)1x y x x +=>-有最小值为 ． 三、解答题18．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．19．若,x y 是正数，且1222=+y x ,求21y x +的最大值20．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y)≥9对任意的正实数x 、y 恒成立，求正数a 的最小值．21、正数a ，b ，c 满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 。