河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册 第二章 一元二次方程 4 用因式分解法求解一元二次方程教案
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九年级数学上册 第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程教学课件
x2 - 3x = 0 x 3因此9
2 x1 = 0, x2 = 3.
所以(suǒyǐ)这个数是0或3.
12/11/2021
方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x= 3 . 所以这个数是3.
第四页，共十七页。
小亮(xiǎo liànɡ)的思路：
由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0 即 x (x - 3) = 0 于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0. 因此(yīncǐ) x1 = 0 , x2 = 3 所以这个数是0或3
第二章 一元二次方程
用因式分解 法求解 2.4
(yīn shì fēn jiě)
一元二次方程
导入新课
12/11/2021
讲授( jiǎngshòu)新 课
当堂(dānɡ tánɡ)练 习
第一页，共十七页。
课堂小结
学习(xuéxí)目标
1.了解因式分解法的解题步骤,会用因式分解法解一元二次方程.
（重点(zhòngdiǎn)）
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
12/11/2021
第十一页，共十七页。
要点
(yàodiǎn)
解法归纳(jiě fǎ)选择基本 思路
于是得 r2 r + 5 0 或 r2 r 5 0 .
r1 251,r2152(舍 去 ).
5
答：小圆形场地的半径是
m. 2 1
12/11/2021
2 x1 = 0, x2 = 3.
所以(suǒyǐ)这个数是0或3.
12/11/2021
方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x= 3 . 所以这个数是3.
第四页，共十七页。
小亮(xiǎo liànɡ)的思路：
由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0 即 x (x - 3) = 0 于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0. 因此(yīncǐ) x1 = 0 , x2 = 3 所以这个数是0或3
第二章 一元二次方程
用因式分解 法求解 2.4
(yīn shì fēn jiě)
一元二次方程
导入新课
12/11/2021
讲授( jiǎngshòu)新 课
当堂(dānɡ tánɡ)练 习
第一页，共十七页。
课堂小结
学习(xuéxí)目标
1.了解因式分解法的解题步骤,会用因式分解法解一元二次方程.
（重点(zhòngdiǎn)）
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
12/11/2021
第十一页，共十七页。
要点
(yàodiǎn)
解法归纳(jiě fǎ)选择基本 思路
于是得 r2 r + 5 0 或 r2 r 5 0 .
r1 251,r2152(舍 去 ).
5
答：小圆形场地的半径是
m. 2 1
12/11/2021
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册 第二章 一元二次方程 3 用公式法求解一元二次方程(第1课时)教
学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：
（1）运算的符号出现错误和通分出现错误
（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方
（3）两边开平方，忽略取“±”。
大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。
（2）活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式。
（1）对于一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)，
∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±”得：
问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？
答：方程无解
如果b2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。
由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。
活动的实际效果：
用公式法求解一元二次方程
课题
用公式法求解一元二次方程
课时安排
共（2）课时
课程标准
课标P28能用公式法解数字系数的一元二次方程。
学习目标
1.学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力；
2.能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，培养学生观察和总结的能力.
教学反思：
1.要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。
2.要为学生的终身学习奠基
这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.
（1）运算的符号出现错误和通分出现错误
（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方
（3）两边开平方，忽略取“±”。
大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。
（2）活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式。
（1）对于一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)，
∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±”得：
问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？
答：方程无解
如果b2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。
由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。
活动的实际效果：
用公式法求解一元二次方程
课题
用公式法求解一元二次方程
课时安排
共（2）课时
课程标准
课标P28能用公式法解数字系数的一元二次方程。
学习目标
1.学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力；
2.能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，培养学生观察和总结的能力.
教学反思：
1.要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。
2.要为学生的终身学习奠基
这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.
河南中牟县雁鸣湖镇中学北师版数学九年级上册教案：2.4用因式分解法求解一元二次方程
五、教学反思
今天这节课，我们探讨了用因式分解法求解一元二次方程。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
首先，关于导入新课部分，我尝试通过提问方式引发学生对一元二次方程的兴趣，但从学生的反应来看，可能问题设置得还不够贴近他们的生活实际。下次我可以考虑设计更具趣味性和现实意义的问题，让学生更有代入感。
2.理解并运用因式分解法求解一元二次方程，包括：
-提取公因式法
-完全平方公式法
-十字相乘法
3.分析一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac的意义及其与方程根的关系。
4.通过典型例题，巩固因式分解法求解一元二次方程的方法，并掌握解题技巧。
教学内容与教材紧密关联，旨在帮助学生掌握因式分解法求解一元二次方程的基本技能，为后续学习打下坚实基础。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的表达式，其中a、b、c是常数，且a≠0。它在数学中具有重要地位，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用因式分解法求解一元二次方程，并解释其在实际中的应用。
在学生小组讨论环节，我发现有些学生在分享成果时表达不够清晰，这可能是因为他们在讨论过程中没有充分思考。为了提高学生的思考能力，我计划在以后的课堂中，多设置一些开放性问题，引导学生深入探讨，鼓励他们发表自己的见解。
最后，总结回顾环节，我觉得可以进一步加强学生对一元二次方程在实际生活中应用的认知。可以通过展示一些具体的案例，让学生明白所学知识并非空中楼阁，而是有着广泛的应用价值。
-通过图像（如抛物线与x轴的交点）和实际例题相结合，帮助学生形象理解判别式的意义。
今天这节课，我们探讨了用因式分解法求解一元二次方程。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
首先，关于导入新课部分，我尝试通过提问方式引发学生对一元二次方程的兴趣，但从学生的反应来看，可能问题设置得还不够贴近他们的生活实际。下次我可以考虑设计更具趣味性和现实意义的问题，让学生更有代入感。
2.理解并运用因式分解法求解一元二次方程，包括：
-提取公因式法
-完全平方公式法
-十字相乘法
3.分析一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac的意义及其与方程根的关系。
4.通过典型例题，巩固因式分解法求解一元二次方程的方法，并掌握解题技巧。
教学内容与教材紧密关联，旨在帮助学生掌握因式分解法求解一元二次方程的基本技能，为后续学习打下坚实基础。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的表达式，其中a、b、c是常数，且a≠0。它在数学中具有重要地位，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用因式分解法求解一元二次方程，并解释其在实际中的应用。
在学生小组讨论环节，我发现有些学生在分享成果时表达不够清晰，这可能是因为他们在讨论过程中没有充分思考。为了提高学生的思考能力，我计划在以后的课堂中，多设置一些开放性问题，引导学生深入探讨，鼓励他们发表自己的见解。
最后，总结回顾环节，我觉得可以进一步加强学生对一元二次方程在实际生活中应用的认知。可以通过展示一些具体的案例，让学生明白所学知识并非空中楼阁，而是有着广泛的应用价值。
-通过图像（如抛物线与x轴的交点）和实际例题相结合，帮助学生形象理解判别式的意义。
九年级数学上册第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程
第九页，共二十八页。
(因式分解法)原方程可化为[(2x＋1)－3][(2x＋1)＋3]＝0，即(2x－2)(2x＋4) ＝0，
∴2x－2＝0 或 2x＋4＝0， ∴x1＝1，x2＝－2. (公式法)原方程变形为 4x2＋4x＋1－9＝0， 即 4x2＋4x－8＝0， 两边同时除以 4，得 x2＋x－2＝0， 则 x＝－12± 9＝－12±3， ∴x1＝1，x2＝－2.
第二十三页，共二十八页。
请模仿上面的方法解方程：(x－1)2－5|x－1|－6＝0. 解：原方程化为|x－1|2－5|x－1|－6＝0， 令 y＝|x－1|，原方程化成 y2－5y－6＝0， 解得 y1＝6，y2＝－1. 当|x－1|＝6 时，x－1＝±6， 解得 x1＝7，x2＝－5； 当|x－1|＝－1 时(不符合题意，舍去)． 则原方程的解是 x1＝7，x2＝－5.
第二十六页，共二十八页。
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c， ∴原方程变形为 2ax2＋2ax＝0. ∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
No 第二章 一元二次方程。x1＝0，x2＝2。4 Image
12/11/2021
第二十八页，共二十八页。
第七页，共二十八页。
【点悟】 (1)用因式分解法解方程的关键是方程左边的因式分解． (2)根据所给方程的形式适当变形，得到符合一定公式的式子是因式分解法 解方程的常用方法．
第八页，共二十八页。
类型之二 用不同的方法解一元二次方程 用三种不同的方法解方程(2x＋1)2－9＝0.
解：(直接开平方法)移项，得(2x＋1)2＝9， 开平方，得 2x＋1＝±3， 即 2x＋1＝3 或 2x＋1＝－3， ∴x1＝1，x2＝－2.
(因式分解法)原方程可化为[(2x＋1)－3][(2x＋1)＋3]＝0，即(2x－2)(2x＋4) ＝0，
∴2x－2＝0 或 2x＋4＝0， ∴x1＝1，x2＝－2. (公式法)原方程变形为 4x2＋4x＋1－9＝0， 即 4x2＋4x－8＝0， 两边同时除以 4，得 x2＋x－2＝0， 则 x＝－12± 9＝－12±3， ∴x1＝1，x2＝－2.
第二十三页，共二十八页。
请模仿上面的方法解方程：(x－1)2－5|x－1|－6＝0. 解：原方程化为|x－1|2－5|x－1|－6＝0， 令 y＝|x－1|，原方程化成 y2－5y－6＝0， 解得 y1＝6，y2＝－1. 当|x－1|＝6 时，x－1＝±6， 解得 x1＝7，x2＝－5； 当|x－1|＝－1 时(不符合题意，舍去)． 则原方程的解是 x1＝7，x2＝－5.
第二十六页，共二十八页。
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c， ∴原方程变形为 2ax2＋2ax＝0. ∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
No 第二章 一元二次方程。x1＝0，x2＝2。4 Image
12/11/2021
第二十八页，共二十八页。
第七页，共二十八页。
【点悟】 (1)用因式分解法解方程的关键是方程左边的因式分解． (2)根据所给方程的形式适当变形，得到符合一定公式的式子是因式分解法 解方程的常用方法．
第八页，共二十八页。
类型之二 用不同的方法解一元二次方程 用三种不同的方法解方程(2x＋1)2－9＝0.
解：(直接开平方法)移项，得(2x＋1)2＝9， 开平方，得 2x＋1＝±3， 即 2x＋1＝3 或 2x＋1＝－3， ∴x1＝1，x2＝－2.
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程(第2课时)教案(新版)
活动目的：通过两道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。
课后作业设计：
1.课本45页习题2.10 1题、2、3、4题
2.《全品学练考》作业手册习题2.10
（修改人：）
板书设计：
2.6应用一元二次方程（第二课时）
1.打x折，售价*0.1x
2.单件利润*销售量=总利润
教学反思：
当然，解题思路不应拘泥于这一种，再利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法。如求定价为多少？直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？
分组讨论：
①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？
②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。
设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译”题目申的有关信息，然后将这些含有的量表示成等量关系，就是应用题的解题策略。
无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度。所以，教学时我采用列表的形式分析其中的数量关系：
本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为元。
每天的销售量/台
每台的销售利润/元
总销售利润/元
降价前
降价后
填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了。
课后作业设计：
1.课本45页习题2.10 1题、2、3、4题
2.《全品学练考》作业手册习题2.10
（修改人：）
板书设计：
2.6应用一元二次方程（第二课时）
1.打x折，售价*0.1x
2.单件利润*销售量=总利润
教学反思：
当然，解题思路不应拘泥于这一种，再利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法。如求定价为多少？直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？
分组讨论：
①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？
②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。
设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译”题目申的有关信息，然后将这些含有的量表示成等量关系，就是应用题的解题策略。
无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度。所以，教学时我采用列表的形式分析其中的数量关系：
本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为元。
每天的销售量/台
每台的销售利润/元
总销售利润/元
降价前
降价后
填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了。
解一元二次方程(因式分解法)(课件)九年级数学上册(人教版)
面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ①
探究新知
10x-4.9x2=0 ①
x(10-4.9x)=0
∴x=0或10-4.9x=0 ②
∴方程①的根是x1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次
，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的
形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种
解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
复习提问
一.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法
公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
− ± −
=
− ≥ .
复习提问
二.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
10x4.9x2=0
因式分解
x(10-4.9x)=0
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ①
探究新知
10x-4.9x2=0 ①
x(10-4.9x)=0
∴x=0或10-4.9x=0 ②
∴方程①的根是x1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次
，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的
形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种
解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
复习提问
一.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法
公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
− ± −
=
− ≥ .
复习提问
二.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
10x4.9x2=0
因式分解
x(10-4.9x)=0
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
配套K12河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方
解：根据题意得
15t-5t2=10
方程两边都除以-5础上，通过例3进一步提高学生分析问题,解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。
巩固提高：
课本习题2.4问题解决2.
印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。
练习：x2-6x-40=0
教学过程
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
复习回顾：
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.
1.x2+2x+________=(x+______)2
2.x2-4x+________=(x-______)2
3.x2+________+36=(x+______)2
3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.
教学重点
目标1，2
教学难点
目标2, 3
教学方法
支架式教学法，教师引导
教学准备
希沃白板，课件
课前作业
1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。
2.回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。
用配方法求解一元二次方程
课题
用配方法求解一元二次方程
课时安排
共（2）课时
15t-5t2=10
方程两边都除以-5础上，通过例3进一步提高学生分析问题,解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。
巩固提高：
课本习题2.4问题解决2.
印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。
练习：x2-6x-40=0
教学过程
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
复习回顾：
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.
1.x2+2x+________=(x+______)2
2.x2-4x+________=(x-______)2
3.x2+________+36=(x+______)2
3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.
教学重点
目标1，2
教学难点
目标2, 3
教学方法
支架式教学法，教师引导
教学准备
希沃白板，课件
课前作业
1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。
2.回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。
用配方法求解一元二次方程
课题
用配方法求解一元二次方程
课时安排
共（2）课时
【推荐必做】河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程(第2课时
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（3）底端滑动的距离可能是 2 m 吗?可能是 3 m 吗?为什么? （4）x 的整数部分是几?十分位是几? 活动目的：在本环节中，使学生充分体验探求方程解的过程，这 既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中， 引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法， 进而体会无限逼近的思想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌 握配方法解一元二次方程做好充分的准备。 同时， 对于近似解的讨论， 一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力， 另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。需要指出的是，在这一环节 的计算中，应提倡学生使用计算器。 通过这一练习，可要求学生整理用“夹逼”思想解一元二次方程 的做题思路，并可展示课本中小亮的求解过程。
教学重点 教学难点 教学方法 教学准备
目标 1，2 目标 2,3 支架式教学法，教师引导 希沃白板，课件
课前作业
1. 复习回顾一元二次方程的定义.
教学过程 教学 环节 复习回顾 在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程： 环 节 一 （8-2x）(5-2x)=18，即 2x -13x+11=0 (x+6) +7 =10 ，即 x +12x-15=0 发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。 上一节课 的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的 x 吗？ 活动目的：上述两个问题是承上一节课的现实问题，通过对这两
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课中作业 观察所列出的三个整式方程，将他们化简后，这三个方程有什么共同 特征呢? 做一做 活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯 环 节 二 子底端滑动的距离 x(m)满足方程(x+6) +7 =10 ，把这个方程化为一般 形式为 x +12x-15=0 （1）你能猜出滑动距离 x(m)的大致范围吗? （2）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗?为什么?
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（3）底端滑动的距离可能是 2 m 吗?可能是 3 m 吗?为什么? （4）x 的整数部分是几?十分位是几? 活动目的：在本环节中，使学生充分体验探求方程解的过程，这 既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中， 引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法， 进而体会无限逼近的思想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌 握配方法解一元二次方程做好充分的准备。 同时， 对于近似解的讨论， 一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力， 另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。需要指出的是，在这一环节 的计算中，应提倡学生使用计算器。 通过这一练习，可要求学生整理用“夹逼”思想解一元二次方程 的做题思路，并可展示课本中小亮的求解过程。
教学重点 教学难点 教学方法 教学准备
目标 1，2 目标 2,3 支架式教学法，教师引导 希沃白板，课件
课前作业
1. 复习回顾一元二次方程的定义.
教学过程 教学 环节 复习回顾 在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程： 环 节 一 （8-2x）(5-2x)=18，即 2x -13x+11=0 (x+6) +7 =10 ，即 x +12x-15=0 发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。 上一节课 的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的 x 吗？ 活动目的：上述两个问题是承上一节课的现实问题，通过对这两
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课中作业 观察所列出的三个整式方程，将他们化简后，这三个方程有什么共同 特征呢? 做一做 活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯 环 节 二 子底端滑动的距离 x(m)满足方程(x+6) +7 =10 ，把这个方程化为一般 形式为 x +12x-15=0 （1）你能猜出滑动距离 x(m)的大致范围吗? （2）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗?为什么?
九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第1课时用因式分解法解
2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程练习（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程练习（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程练习（新版）湘教版的全部内容。
2．2。
3 因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程知｜识|目|标1．通过回顾因式分解,理解因式分解法解一元二次方程的概念，并识别适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式．2．通过例题的讲解和练习,能用因式分解法解一元二次方程．目标一能识别适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式例 1 教材补充例题下列方程：（1)3x2－12＝0；(2)x2＋4x＝0；(3）x(x－5)＝6x；（4）x2＋x－1＝0；（5）（x＋2)2－9＝0.其中适合用因式分解法求解的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【归纳总结】（1）因式分解法解一元二次方程的实质是降次,通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解；（2）缺少一次项或常数项(即一次项系数或常数项等于0)的一元二次方程都适合用因式分解法求解．目标二用因式分解法解一元二次方程例2 教材例7、例8针对训练用因式分解法解一元二次方程：(1)6y2－3y＝0;（2）2x(5x－1)＝3（1－5x)；（3)9（2a－5）2－16（3a－1）2＝0。
2024-2025学年度北师版九上数学2.4用因式分解法求解一元二次方程【课件】
x1＝3，或 x2＝－
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数学 九年级上册 BS版
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课前导入
数学 九年级上册 BS版
情境引入
我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可
转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解．你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0
示例
（3 x2＝8 x ＋3）
3 x2－8 x －3＝0
（ x －3）（3 x ＋1）＝0
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数学 九年级上册 BS版
一般步骤
三转化
令每一个因式为0，转化为两
个一元一次方程
示例
（3 x2＝8 x ＋3）
x －3＝0，或3 x ＋1＝0
解每一个一元一次方程，它
四求解
们的解就是原一元二次方程
的解.
如果 a ·b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
100
2.04
x1 0， x2
49
这种解法是不是更简单？
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数学 九年级上册 BS版
要点归纳
因式分解法的概念
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，
x x + = 0+- ，
2－4ac = (-10)2 - 4×4.9×0
49
49
49
∴
b
2
2
50 50
=100.
x - = - ，
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这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中的应用.拓展了学生的思路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力.
本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标.
3.通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
教学重点
目标1，2
教学难点
目标2, 3
教学方法
支架式教学法，教师引导
教学准备
希沃白板，课件
课前作业
a2-b2=___________
a2+2ab+b2=___________
a2-2ab+b2=___________
教学过程
我们再来看c同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用因式分解法来解一元二次方程。
附：学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程
x2=3x
∴x2-3x=0
∵a=1,b= -3,c=0
∴b2-4ac=9
∴x1=0, x2=3
∴这个数是0或3。
学生B：:设这个数为x，根据题意，可列方程
x2=3x
∴x2-3x=0
x2-3x+(3/2)2=(3/2)2
(x-3/2)2=9/4
∴x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2
1、因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键。
2、在应用因式分解法时应注意的问题。
3、因式分解法体现了怎样的数学思想?
拓展提高
1.一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2小球何时能落回地面？
2.一元二次方程（m-1）x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m的值。
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
复习回顾
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。
3、选择合适的方法解下列方程：
x2-6x=7 3x2+8x-3=0
探究新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.问题3和4进一步点明了因式分解的理论根据及实质,教师总结了本节课的重点.
例题解析
内容：解下列方程(1) 5X2=4X (仿照引例学生自行解决)
说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况
环
节
二
明晰概念：
如果a×b=0,那么a=0或b=0这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。
所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，中
间应写上“或”字。
∴x1=3, x2=0
∴这个数是0或3。
学生C：:设这个数为x，根据题意，可列方程
x2=3xLeabharlann ∴x2-3x=0即x(x-3)=0
∴x=0或x-3=0
∴x1=0, x2=3
∴这个数是0或3。
学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程
x2=3x
两边同时约去x,得
∴x=3
∴这个数是3。
课中作业：
同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么?
用因式分解法求解一元二次方程
课题
用因式分解法求解一元二次方程
课时安排
共（1）课时
课程标准
课标P28能用因式分解法解数字系数的一元二次方程。
学习目标
1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；
2.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；
（修改人：）
板书设计：
用因式分解法求解一元二次方程
解形如x2-a2=0或x2-ax=0的一元二次方程
教学反思：
评价的目的是为了全面了解学生的学习状况,激励学生的学习热情,促进学生的全面发展.所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考,能否清楚的表达自己的观点,及时发现学生的闪光点,给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度
(2) X-2=X(X-2) (师生共同解决)
课中作业
(3) (X+1)2-25=0 (师生共同解决)有几种解法？
环
节
三
巩固练习
1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0 (2 ) X2-4=0
(3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1)
2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？
课堂小结:
通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？
本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标.
3.通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
教学重点
目标1，2
教学难点
目标2, 3
教学方法
支架式教学法，教师引导
教学准备
希沃白板，课件
课前作业
a2-b2=___________
a2+2ab+b2=___________
a2-2ab+b2=___________
教学过程
我们再来看c同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用因式分解法来解一元二次方程。
附：学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程
x2=3x
∴x2-3x=0
∵a=1,b= -3,c=0
∴b2-4ac=9
∴x1=0, x2=3
∴这个数是0或3。
学生B：:设这个数为x，根据题意，可列方程
x2=3x
∴x2-3x=0
x2-3x+(3/2)2=(3/2)2
(x-3/2)2=9/4
∴x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2
1、因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键。
2、在应用因式分解法时应注意的问题。
3、因式分解法体现了怎样的数学思想?
拓展提高
1.一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2小球何时能落回地面？
2.一元二次方程（m-1）x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m的值。
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
复习回顾
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。
3、选择合适的方法解下列方程：
x2-6x=7 3x2+8x-3=0
探究新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.问题3和4进一步点明了因式分解的理论根据及实质,教师总结了本节课的重点.
例题解析
内容：解下列方程(1) 5X2=4X (仿照引例学生自行解决)
说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况
环
节
二
明晰概念：
如果a×b=0,那么a=0或b=0这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。
所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，中
间应写上“或”字。
∴x1=3, x2=0
∴这个数是0或3。
学生C：:设这个数为x，根据题意，可列方程
x2=3xLeabharlann ∴x2-3x=0即x(x-3)=0
∴x=0或x-3=0
∴x1=0, x2=3
∴这个数是0或3。
学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程
x2=3x
两边同时约去x,得
∴x=3
∴这个数是3。
课中作业：
同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么?
用因式分解法求解一元二次方程
课题
用因式分解法求解一元二次方程
课时安排
共（1）课时
课程标准
课标P28能用因式分解法解数字系数的一元二次方程。
学习目标
1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；
2.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；
（修改人：）
板书设计：
用因式分解法求解一元二次方程
解形如x2-a2=0或x2-ax=0的一元二次方程
教学反思：
评价的目的是为了全面了解学生的学习状况,激励学生的学习热情,促进学生的全面发展.所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考,能否清楚的表达自己的观点,及时发现学生的闪光点,给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度
(2) X-2=X(X-2) (师生共同解决)
课中作业
(3) (X+1)2-25=0 (师生共同解决)有几种解法？
环
节
三
巩固练习
1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0 (2 ) X2-4=0
(3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1)
2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？
课堂小结:
通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？