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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习课件第3章 第21讲 数列的应用 (人教A版)

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高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用

高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用

又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间 的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进 而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.

人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)

人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)
因为S1=a1=2,所以{Sn}是首项为2,公比为3的等比数列.
故Sn=2×3n-1.
2×3n-1
.
能力形成点3
由数列的递推关系式求通项公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考
数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区分与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的
定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式
得到正确的选项.
对点训练 1
2 4 6
(1)数列 0, , , ,…的一个通项公式为( C )
3 5 7
-1
-1
2(-1)
A.an=
B.an=
C.an=
+2
2+1
2-1
2
D.an=
2+1
(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,
故a1的分母为1,an的分母为2n-1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
1
1
1
1
(2),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
2 4 6 8 10
(3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…;
1 9 25
1 4 9 16 25
2
察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得该数列的一个通项公式 an= 2 .

2013届高三数学一轮复习课件数列的概念

2013届高三数学一轮复习课件数列的概念
2 3
5
3
2 3
2
5
数列,周期为3,于是a2011=a670×3+1=a1= .
3 5
(2)由题意可知an+1+an-1=an,an+an+2=an+1,两式相加即可得到an+2=-an-1.
∴an+3=-an可得到an+6=an;即是以6为周期的数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,
(2)已知数列{an}的通项公式为an= ,则{an}为 (
n! 10
n
)
(A)递增数列.
(B)递减数列.
(D)从某项后为递增数列.
n
2
(C)从某项后为递减数列.
【解析】(1)由已知得,an= 或13时an最大.
n 156
= 1 5 6 ;由函数的知识即可知n=12
1 n n
(2)an+1=an× ,从第11项开始递增.
【解析】(1)an=1+ + +…+ n.由此a1=1,a2= 2,a3= 3. -ln -ln -ln
1
1
1
3 2
11 6
2
3
n
又an+1-an=ln n-ln(n+1)+
=ln(1- n )+ 1 1 . 1 n 1 n
1
1
构造函数h(x)=ln(1-x)+x,x∈(0,1).
数列; 4.数列的通项an与前n项和Sn之间的关系: 数列{an}中,Sn=a1+a2+a3+…+an;
S 1 ( n 1), an= S S ( n 2 ). n 1 n

数列(共84张PPT)

数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；

（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −

高一数学数列高三总复习PPT课件

高一数学数列高三总复习PPT课件

.
15
第21页/共52页
(2010浙江) 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5 S6 +15=0. (Ⅰ)若S5 =5，求S6及a1； (Ⅱ)求d的取值范围。
第22页/共52页
第23页/共52页
(2009宁夏海南)等差数列{an}的前n项和为Sn，am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38则m= (A)38 (B)20 (C)10 (D)9 .
2 a (2)判定数列{an}的单调性． n
)＝2n(n∈ N+ )．
第7页/共52页
等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差,常用d表示 an+1- an=d
an=a1+(n-1)d
Sn
n( a1 2
210
第15页/共52页
4.(2001 全国)设 {an}是递增的等差数
列，前三项的和为12，前三项的积为16页/共52页
5.(2000全国)在等差数列{an}中， Sn 为
{an}的前n项和，已知S7 =7， S15 =75，
Tn为数列
{
Sn n
S 1 q n q 1时， m
S 1 q m
第35页/共52页
1.
(
n
1
)
n 2
n
第36页/共52页
2.在等比数列{an}中，a5+a6=ab，2 a15+a16=b ，则a25+a26=______a____.
a5+a6， a15+a16 ，a25+a26也成等比数列 故(a15+a16 )2= ( a5+a6 ) (a25+a26 )

2013高考数学总复习精品课件 ： 数列的综合应用

2013高考数学总复习精品课件 ： 数列的综合应用
2 9 10 x(1 1.075 1.075 1.075 ) 28 8001.075 .
1.075- 1 x 28 8001.075 10 1.075 1 28 800 2.065 0.070
10
4200( ). ∴每年需付款4200元. 元
学后反思 分期付款中的有关计算关键在于： （1）准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值.(注：最后
n
5
2 证明.将不等式 an ≥ 3 a 转变为 log 5Байду номын сангаас3 的计算,充分利用
4
信息lg 2,lg 3，向着解题的目标要求转变.
（2）常见的递推关系 n ①迭加型：an1 an f (n) , an a1 ai ai 1
i 1
(其中 ai a1 a2 ... an Sn )，如果可以求出f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)
④分式线性型：an1
Can (A,C≠0).首先将 Aan B Can Aa B A B 1 an1 n Aan B an 1 Can C Can
然后再用待定系数法求解.
举一反三 2. 某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给他开了一些消炎药，并 叮嘱他每天早晚八时各服用一片药片.现知该药片每片220毫克，他的 肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%；并且如果这种药在体内的残 留量超过386毫克，就将产生副作用.请问： (1)该同学上午八时第一次服药，问第二天早间服完药时，药在他体内 还残留多少？ （2）该同学若长期服用该药会不会产生副作用？
解析： (1)设该同学第n次服药后，药在他体内的残留量为an毫克， 则a1=220,a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4. a3=220+a2×(1-60%)=220+220×1.4×0.4=343.2. 第二天早间是他第三次服药，故服药后，药在他体内的残留量为343.2 毫克.

2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习课件第3章 第21讲 数列的应用 (人教A版)


数列的实际应用
【例3】 某企业2009年的纯利润为500万元，因设备老化 等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进 行技术改造，预计从2010年起每年比上一年纯 利润减少20万元.2010年初该企业一次性投入资 金600万元进行技术改造，预计在未扣除技术改 造资金的情况下，第n年(2010年为第一年)的利润 1 为500(1＋ n )万元(n为整数)． 2
1 2 1 1 2 1 【解析】1 a1＝S1＝ a1 ＋ a1 a1 - a1 0. 4 2 4 2 因为a1 0，所以a1＝2； 1 2 1 1 2 1 当n 2时，an＝S n－S n－1＝ an＋ an－ an 1 - an 1 , 4 2 4 2 1 2 2 1 (an－an 1 ) (an an 1 ) 0, 4 2 即(an＋an－1 )(an－an－1－2)＝0. 因为an 0，所以an－an－1＝2， 所以an 为等差数列， 所以an＝2n(n N* )．
5.某工厂去年的产值为a，计划在今后5年
内每年比上一年产值增长10%，则从今年
起到第5年，这个厂的总产值为________ 6.72a (1.15=1.611，精确到0.01)．
解析：总产值为a 1 10% a 1 10% a 1 10% 6.72a.
5
2
a1 q aq1 q 则x ，y . 2 2 因为x 0，所以q 1， a c 2 2q 所以 2. x y 1 q 1 q a c 方法2：令a b c，则x y a，从而 2. x y
4.从盛满a升酒精的容器里倒出b b a 升，然后
500 2 Bn－An＝(500n－ n －100)－(490n－10n2 ) 2 500 ＝10[n(n＋1)－ n －10]． 2 500 因为函数y＝x( x＋1)－ x －10在(0，＋)上是增函数， 2 故当1 n 3时， 500 500 n(n＋1)－ n －10 3 (3＋1)－ 3 －10 0； 2 2 500 500 当n 4时，n(n＋1)－ n －10 4 (4＋1)－ 4 －10 0; 2 2 即当n 4时，Bn An . 所以，从2010年起该企业至少经过4年，进行技术改造 后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．

3.1 数列的概念-2013届高考文科数学第一轮考点总复习PPT课件


运用an与sn的关系解题
▪
2. (原创)设数列{an}的前n项和
为Sn，分别在下列条件下求数列{an}
的通项公式.
▪
(1)an+Sn=2；
a1
2. 9
▪
(2)an=Sn·Sn-1(n≥2，Sn≠0)，
▪
解：(1)当n=1时，a1+1ana112=an2-1, ，解得
a1=1.
2
当n≥2时，由a 2020年10月2日
由①-②得3 a = ▪ a 31 2020年n10月2日n
n-1 n
(n≥2). 21
▪
点评：数列是特殊的函数，
数列的递推关系式反映的就是函
数的一个对应关系.如果已知的是
n=k时的命题，则n=k-1(k≥2)时的
命题，或n=1时的命题的相应形式
我们应该能准确的写出来，然后
由这些式子经过加减等运算得到
我们所需要的递推关系式或通项
公式. 2020年10月2日
22
▪ 拓展练习 a1+a2+
数列{an}满12 ，足a1=
▪ …+an=n2·an，则数列{an}的通项公 式an=____.
▪
解：设数列{an}的前n项和为
Sn，a n 则 nS-n1=. n2·an.
▪ 所1)2以aaann-n1 当-1，nan1 ≥1 aa212 时aa 23，ana=annS-1 n-Sn-1=n2an-(n-
▪
3. 设数列{an}满足
a求1+数3n3 a列2+{3a2na}3的+…通+项3n公-1a式n=.
▪
解：依题意得n - 1
，n∈N*，

高三数学一轮复习课件--数列.ppt


3．(2012·江西七校联考)数列{an}的通项 an＝n2＋n 90，则数列
{an}中的最大值是
()
A．3 10
B．19
1
10
C.19
D. 60
解析：
an＝n＋19n0，由基本不等式得，n＋19n0≤2
1， 90
由于 n∈N*，易知当 n＝9 或 10 时，an＝119最大．
答案：C
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们 都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数 列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式 求通项公式的几种方法．
1．累加法
[典例1] (2011·四川高考)数列{an}的首项为3，{bn}
为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝
12，则a8＝
()
A．0
B．3
C．8
D．11
[解析] 由已知得bn＝2n－8，an＋1－an＝2n－8， 所以a2－a1＝－6，a3－a2＝－4，…，a8－a7＝6，由累 加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所 以a8＝a1＝3.
n＋n 1，则a15＝
()
5
6
A.6
B.5
1 C.30
解析：当
n≥2
D．30
时，an＝Sn－Sn－1＝n＋n 1－n－n 1＝nn1＋1，
则 a5＝5×1 6＝310.
答案：D
数列的性质
[例3] 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋ 20.
(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)n为何值时，该数列的前n项和最小？
由an与Sn的关系求通项an

2013高考数学一轮复习等比数列及其前n项和课件_文


一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋„＋a1qn－1， 同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋„＋a1qn，
n a 1 － q 1 n 两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1q ，∴Sn＝ (q≠1)． 1－q
两个防范 (1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验 证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1 分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
(3)(四川成都树德协进中学2011届高三期中考试)正项等比数列{an} 中
1 2 + 2 a2 a4 a4 1 + a4 a6 1 =81,则 a3 1 + a5
等于 (
)
1 (A) . 9
(B)3.
(C)6.
+ =81,∴
1 a4 a6
(D)9.
1 2 + a3 2 a3 a5
3
)．
答案 D
3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2· a6等于( A．4 B．8 C．16 D．32 解析 由等比数列的性质得：a2a6＝a2 4＝16. 答案 C
)．
S5 4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S ＝ 2 ( A．－11 B．－8 C．5 D．11 解析 设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所 )．
1 － 所以an＝16×2n 1＝25－n.
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用 性质 ，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am· an＝ap· aq”，可以 减少运算量，提高解题速度．
【训练 2】 (1)已知等比数列{an}中，有 a3a11＝4a7，数列{bn} 是等差数列，且 b7＝a7，求 b5＋b9 的值； (2) 在 等 比 数 列 {an} 中，若 a1a2a3a4 ＝ 1 ， a13a14a15a16 ＝ 8 ， 求 a41a42a43a44. 解 (1)∵a3a11＝a2 7＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，
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1 1 因为Tn＝ (1－ )在n N*上是单调递增的， 2 2n 1 1 所以Tn的最小值为T1＝ . 3 k 因为不等式Tn＞ 对一切n N*都成立， 57 k 1 所以 ＜ ，所以k＜19. 57 3 所以最大正整数k的值为18.
(1) 利用通项与前 n 项和的关系求数列 {an} 的 通项公式；由等差中项可知 {bn}是等差数列，由 题意可以求出首项和公差，进而求出通项公式； (2)使不等式Tn>k/57对一切n∈N*都成立，此
a(1 ) 次，则容器中还有纯酒精 a 升．
3
用水加满，再倒出b升，再用水加满．这样倒了 3 b
b 解析：由题意知，这是一个公比q 1 的等比 a 数列．若设倒第一次后容器中还有纯酒精a1升， b 则a1 a(1 )．这样倒了3次，则容器中还有纯 a b 3 酒精a3 a(1 ) 升． a
3 2 由1 得，cn＝ 2an 11 2bn 1 1 1 1 1 ＝ ＝ ( ) 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 所以Tn＝c1＋c2＋c3＋＋cn 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ (1－ )＋ ( － )＋ ( － )＋＋ 2 3 2 3 5 2 5 7 1 1 1 1 1 ( － )＝ (1－ ) 2 2n 1 2n 1 2 2n 1
1.某商品降价10%后欲恢复原价，则 1 11 % 应提价 9
解析：设应提价x%. 由题意，得 1 10% 1 x% 1， 1 100 1 所以x ( 1) 100 11 9 9 9 10
2.如图所示的表格里，每格填上一个数字
7 后，使每一横行的数成等差数列，每一列
1.11 1.15 a 1 1.1
数列与函数、不等 式知识的综合应用
【例1】 Sn 已知数列an 的前n项和为Sn，点(n， )在直 n 1 11 线y＝ x＋ 上．数列bn 满足：bn＋2－2bn＋1 2 2 ＋bn＝0(n N* )，且b3＝11，前9项和为153.
应用递推公式时要注意下标是 正整数，即要注意 n 的取值范围；对
等差数列和等比数列的通项公式和
前 n 项求和公式的特征要熟练掌握并 且能够应用．本题 (3) 也可以从特殊 到一般，先由 c1 ， c2 ， c3 成等比数列， 求出(λ，q)，再代入检验．
【变式练习2】 (2011 无锡期末卷)已知数列an 的首项 3an 3 a1 ，an 1 ，n 1, 2， . 5 2an 1 1 1 求证：数列{ 1}为等比数列； an 1 1 1 2 记Sn ，若Sn＜100， a1 a2 an 求最大的正整数n；
题中的不等式给出的形式就是右边含参数 k，左
边是关于 n 的函数关系，即本身已经分离了参数， 所以只要 (Tn)min> k/57 ，只要直接求有关数列的 最值．判定数列的单调性，可以由其对应函数的 图象判定，也可以比较数列中第 n＋ 1项与第 n项
的大小判定．
【变式练习】 1 (2010 苏州市高考信息卷) 设f x ＝x3，等差数列an 中，a3＝7，a1＋ a2＋a3＝ 12，记Sn＝f ( 3 an 1 )．令bn＝an S n，数 1 列{ 的前n项和为Tn . bn 1 2 求证：Tn . 3
a1 q aq1 q 则x ，y . 2 2 因为x 0，所以q 1， a c 2 2q 所以 2. x y 1 q 1 q a c 方法2：令a b c，则x y a，从而 2. x y
4.从盛满a升酒精的容器里倒出b b a 升，然后
1 2 1 1 2 1 【解析】 1 a1＝S1＝ a1 ＋ a1 a1 - a1 0. 4 2 4 2 因为a1 0，所以a1＝2； 1 2 1 1 2 1 当n 2时，an＝S n－S n－1＝ an＋ an－ an 1 - an 1 , 4 2 4 2 1 2 2 1 (an－an 1 ) (an an 1 ) 0, 4 2 即(an＋an－1 )(an－an－1－2)＝0. 因为an 0，所以an－an－1＝2， 所以an 为等差数列， 所以an＝2n(n N* )．
1 2 1 解析： 1 证明：因为 ， an 1 3 3an 1 1 所以 1 ( 1)， an 1 an 1 且因为 1 0，所以 1 0(n N* )， a1 1 1 an 1 1 1 所以 ，所以数列{ 1}为等比数列． 1 an 1 3 an
5.某工厂去年的产值为a，计划在今后5年
内每年比上一年产值增长10%，则从今年
起到第5年，这个厂的总产值为________ 6.72a (1.15=1.611，精确到0.01)．
解析：总产值为a 1 10% a 1 10% a 1 10% 6.72a.
5Байду номын сангаас
2
1 2 1 n 1 2 由1 可求得 1 ( ) ， an 3 3 1 n 所以 2 ( ) 1. 3 1 1 1 1 1 1 Sn n 2( 2 n ) a1 a2 an 3 3 3 1 1 n 1 1 3 3 n 2 n 1 n ， 1 3 1 3 1 若Sn＜100，则n 1 n ＜100，所以n的最大值为99. 3
的数成等比数列，则a+b=
2 6
4
——————
1
2
a
b
解析：由题意知，第一行空格内的数是4，故 22 a 1；第三列的第二个空格内的数是3， 4 3 3 32 3 2 第三个空格内的数是 ，所以b 6 2 6 3 3 7 ，所以a b 1 4 4 4
3.已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y， a c c( xy 0)都成等差数列，则 2 . x y 解析：方法1：设b aq，c aq 2 (q 0)，
2 c1＝b6＝b3＝a3＝6，
c2＝b8＝b4＝b2＝b1＝a1＝2. 当n 3时，cn＝b2n＋4＝b2n－1＋2＝b2n－2＋1 ＝a2n－2＋1＝2 ＋2， 此时，Tn＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋＋(2 n－1＋2) ＝2 ＋2n； 6(n 1) 所以Tn＝ n . 2 ＋2n(n 2且n N*)
(1) 从 2010 年起的前 n 年，若该企业不进行 技术改造的累计纯利润为 An万元，进行技 术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技 术改造资金)，求An和Bn的表达式；
(2)依据上述预计，从2010年起该企业至少
经过多少年，进行技术改造后的累计纯利 润超过不进行技术改造的累计纯利润？
【解析】 1由题意知： An＝(500－20)＋(500－2 20)＋＋(500－n 20) n n 1 ＝500n－20 ＝490n－10n 2， 2 1 1 1 Bn＝500[(1＋ )＋(1＋ 2 )＋＋(1＋ n )]－600 2 2 2 1 1 1 n 2 －600 ＝500n＋500 2 1 1 2 500 ＝500n－ n －100. 2
500 2 Bn－An＝(500n－ n －100)－(490n－10n2 ) 2 500 ＝10[n(n＋1)－ n －10]． 2 500 因为函数y＝x( x＋1)－ x －10在(0，＋)上是增函数， 2 故当1 n 3时， 500 500 n(n＋1)－ n －10 3 (3＋1)－ 3 －10 0； 2 2 500 500 当n 4时，n(n＋1)－ n －10 4 (4＋1)－ 4 －10 0; 2 2 即当n 4时，Bn An . 所以，从2010年起该企业至少经过4年，进行技术改造 后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．
1 求an 的通项公式与Sn；
【解析】 1 设数列an 的公差为d . 由a3＝a1＋2d＝7，a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12， 解得a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2. 因为f x ＝x 3，所以S n＝f ( 3 an 1 )＝an＋1＝3n＋1.
2 证明：因为bn＝an Sn＝(3n－2)(3n＋1)，
n n－1
3 cn＝3＋n＋
＝3＋
q 2 (1 q 2 n )
1 q 1 q
2 2
＋ n
q2
1 q
2
－
q 2n2
＋(＋1)n.
2 q 1 0 3＋ 2 令 1 q 3. ＋1 0 q 2
3 3 n＋1 所以存在(，q)＝(－1， )，cn＝4 ( ) . 2 4
1 1 1 1 1 所以 ＝ ＝ ( ), bn (3n 2)(3n 1) 3 3n 2 3n 1 1 1 1 所以Tn＝ (1－ ) . 3 3n 1 3
数列中的探索性 问题
【例2】 各项均为正数的数列an 的前n项和为S n， 1 2 1 S n＝ an＋ an (n N* )． 4 2 1 求an；
数列的实际应用
【例3】 某企业2009年的纯利润为500万元，因设备老化 等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进 行技术改造，预计从2010年起每年比上一年纯 利润减少20万元.2010年初该企业一次性投入资 金600万元进行技术改造，预计在未扣除技术改 造资金的情况下，第n年(2010年为第一年)的利润 1 为500(1＋ n )万元(n为整数)． 2
假设存在，则m n 2s， am 1 an 1 as 1 .
2
3n 3n 3m 因为an n ，所以( n 1) ( m 1) 3 2 3 2 3 2 3s ( s 1) 2 . 3 2 化简得： 3m 3n 2 3s， 因为3m 3n 2 3m n 2 3s，当且仅当m n时等号 成立． 又m、n、s互不相等，所以不存在．