人教高中数学等差数列PPT

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人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1(第1课时)等差数列的概念及通项公式【课件】

类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究

人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数，且p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列，设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知代入公式得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件

本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*）一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方法。等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)

人教版高中数学必修52.2等差数列(一)课件

(注：判断一个数列是等差数列的第2种方法，可称之为通项公式法)
an a1 (n 1)d
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。
【课堂小结】
§
探要点·究所然情境导学
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问题.
思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360. 以上四个数列有什么共同的特征？
1. 通过本节学习，第一要理解与掌握等差数列的定义；
2.要会推导等差数列的通项公式,并掌握其基本应用；（方程思想）. 3.理解等差数列的初步证明(归纳、叠加法）；
4.等差数列与一次函数的关系（数列与函数的关系）。
谢谢观看
探究点二等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，y表示A.
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通
当堂测·查疑缺
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d 为( )

等差数列求和(共24张PPT)

例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。

03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的项进行倒序相加，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个常数被称为公差。

人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)

证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．

高中数学等差数列ppt课件

人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列：按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质：数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想在今后的数列求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要。

高中数学选择性必修一(人教版)《4.2.2 等差数列前n项和的性质及应用》课件

＝n2－n2. 当 n 为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝1＋7＋15＋…＋(4n－5) ＝1＋n－2 1×7＋42n－5 ＝n2－n－2 1.
n2－n2，n为偶数，故 Sn＝n2－n－2 1，n为奇数.
谢谢观看
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＞0，S11＝S18，则当 n 为
何值时 Sn 最大？解：法一：由 S11＝S18，得 11a1＋11×2 10d＝18a1＋18×2 17d，即 a1＝－14d＞0，所以 d＜0. 构建不等式组aann＝＋1＝a1＋ a1＋nn－d≤1d0≥，0，
解：设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列 {an}，则 an－an－1＝－13， ∴数列{an}构成首项为 24，公差为－13的等差数列．设还需组织(n－1)辆车，则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋nn2－1·－13≥20×25， ∴n2－145n＋3 000≤0，即(n－25)(n－120)≤0， ∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24. 故至少还需组织 24 辆车陆续工作，才能保证在 24 h 内完成第二道防线．
所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列，所以前 10 项和为 3×10＋10× 2 9×1＝75. 答案：75
题型二等差数列前 n 项和的最值问题 [学透用活]
[典例 2] 在等差数列{an}中，公差为 d，若 a1＝25，且 S9＝S17，求 Sn 的最大值．
[解] 法一：由 S9＝S17 得 9a1＋9×2 8d＝17a1＋17×2 16d，又 a1＝25， ∴d＝－2.
第二课时等差数列前 n 项和的性质及应用

高中数学选择性必修二(人教版)《4.2.1 等差数列的概念及通项公式》课件

解：法一：∵a5＝10，a12＝31， ∴aa11＋＋411dd＝＝1301，， ∴ad1＝＝3－，2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－5，∴a20＝3×20－5＝55. 法二：∵a12＝a5＋7d，即 31＝10＋7d，∴d＝3， ∴an＝a12＋(n－12)d＝3n－5， ∴a20＝a12＋8d＝31＋8×3＝55.
an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d__
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关．
()
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． ( )
答案：(1)，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an 等于
∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)
－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等
差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差
数列．答案：ACD
3. 已知 2m 与 n 的等差中项为 5，m 与 2n 的等差中项为 4，则 m 与 n
解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以 d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2) ＝10d＋122＋34(d≠0)，当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈125，＋∞. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…，a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为 dn 的等差数列．
2．[等差数列的函数特性]已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d，由已知aa11＋＋1651－－11dd＝＝3231， 7，解得ad1＝＝4－. 23，所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N *，所以 153 是所给数

2023新教材高中数学第4章数列等差数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册

得aa11＋＋1549dd＝＝82， 0，
解得a1＝6145， d＝145．
故a75＝a1＋74d＝1654＋74×145＝24．
法二
∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝
20－8 60－15
＝
4 15
，∴a75＝a60＋
(75－60)d＝20＋15×145＝24．法三已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8，
ACD [由条件可知an＋1－an＝－3，∴该数列为等差数列，公差为－3，这时an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30 ＝－3得n＝11，故ACD正确．]
3．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8
B．12
C．16
D．24
C [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得 aa11＋＋d4＝ d＝2， 8，解得a1＝0，d＝2，所以a9 ＝a1＋8d＝16．故选C．]
[跟进训练] 2．若等差数列的前三项分别为a,2a－1,3－a，求其第2 022项．
[解] 由等差中项公式可得2(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝54，所
以首项为
5 4
，公差为
2×54－1
数列的通项公式为an＝
5 4
＋(n－1)×14＝14n＋1，故其第2 022项为a2 022＝14×2 022＋1＝1 0213．
(2)求数列{an}的通项公式． [解] 由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝n2． ∵bn＝an－1 2， ∴an＝b1n＋2＝2n＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2．
2．(变条件)将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝

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人教高中数学等差数列PPT
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例3 (1) 求等差数列8，5，2，…的第20项. (2) –401是不是等差数列 -5，-9,-13，…的项？如果是，是第几项？
人教高中数学等差数列PPT
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4、等差数列的判定
例4、若数列{an}的通项公式为an=42n，求证数列{an}为等差数列。
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(2)-1,1，-1,1，-1,1… 解：不是，如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差尽管是常数，但这个数列也不一定是等差数列。这是因为这些常数可能不相同，必须是同一个常数，才是等差数列。
人教高中数学等差数列PPT
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(3)数列{an}的通项公式:an=2n+1 解：是等差数列，公差为2
人教高中数学等差数列PPT
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2、等差数列的通项公式
一般地，若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为
an列PPT
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3、求等差数列的通项公式例2、若{an}为等差数列，a5=-1， a8=2，求an 练习：若{an}为等差数列，a15=8， a60=20，求an
1、等差数列的概念
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号语言：an1 an d （其中d为常数，n N）
说出下面的4个数列的公差
(1) 0，5，10，15，20，25， … . (2) 48,53,58,63 . (3) 18，15.5，13，10.5，8，5.5 . (4) 10 072，10144，10216，10288，10360 .
人教高中数学等差数列PPT
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知识：
1. 概念：等差数列的概念 2. 公式：等差数列的通项公式
数学思想、方法：
特殊到一般的思想、递推思想、方程思想等；
人教高中数学等差数列PPT
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚持正确舆论导向、弘扬爱国主义精神尤为重要。 2.爱国主义精神具有深厚的历史性，极强的传承力、感染力，以及坚韧性，顽强性和理性。
等差数列
学习目标：
1、通过实例理解等差数列的概念；
2、探究等差数列的通项公式的推导过程，并能在具体情境中求出数列的通项公式
观察：下面的4个数列说出它们的共同特征
(1) 0，5，10，15，20，25， … . (2) 48,53,58,63 . (3) 18，15.5，13，10.5，8，5.5 . (4) 10 072，10144，10216，10288，10360 .
3.爱国主义精神，是在中国共产党近百年之奋斗史中不断形成，积聚与升华而成的。 4.面对史上规模最大的贸易战，中国政府和人民最重要的是“集中力量做好自己的事” 5.美方发起贸易战，进行恫吓威胁，不会给中国发展带来困难和影响，只会更加激发中国人民的勇气、士气与硬气。 6.不能把质朴、理性的爱国主义视为民粹主义、狭隘民族主义，同时应防止各种形式的民粹主义和极端民族主义行为。 7. 众多短视频平台成为人们的消遣神器，但如果缺乏内容创新和内涵续航，短视频的发展将不容乐观。 8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有艺术美感、内容穿透力和人文内涵的走心作品越能获得观众的认可。 9. 弊端重重的人类中心主义亟须克服自身认识的偏见，而中华民族的中道智慧是一个可取的办法。
例1、判断以下数列是等差数列吗？
(1) -1，-2，-4，-6，-8… (2)-1,1，-1,1，-1,1… (3)数列{an}的通项公式:an=2n+1
(1) -1，-2，-4，-6，-8…
解：不是，如果一个数列不是从第2项起，而是从第 3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列