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§7 箱中粒子 解：找到粒子的概率为
3a / 4
* 1
(
x)
1
(
x)
d
x
a/4
3a / 4 2 sin 2 x d x
3a
4 a
4
a/4 a
1 cos(
a
2
a
x)a
dx
1 2
1 π
＝0.818
第二章 薛定谔方程
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
例3、已知描述单粒子一维束缚状态的两个本征函数分别
En
n2
h2 8ma2
,
(n 1,2,3, )
势阱中相邻能级之差
E En1 En
(2n
1)
h2 8ma2
E 1 m ,1 a2
能级相对间隔
En En
2n
h2 8ma
2
n2
h2 8ma 2
2 n
当 n 时，(En En ) 0 ，能量视为连续变化.
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
物理意义
§7 箱中粒子 隧道效应和扫描隧道显微镜STM
第二章 薛定谔方程
1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限 于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。
d
21(
dx2
x)
k
21
(
x)
0,
x0
d
2 3 (
dx2
x)
k
23
(
x)
0,
xa
V0
I
II
III
oa x
d
22 (dx2源自x)k122
(
x)
0,
0 xa
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波反射波；
粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只有透
射波。粒子在 x 0 处的概率要大于在 x a处出现
a
由归一化条件 a A2 sin2 ( n x )dx 1 A 2
0
a
a
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
n (x) 0,
x 0, x a
n(x)
2 sin(n x),
aa
n 1, 2,3,L 0 x a
称 n为量子数；n(x) 为本征态；En 为本征能量。
样和硅原子晶格整齐排列的背景。
§7 箱中粒子 用扫描隧道显微镜观察到
第二章 薛定谔方程
硅表面7×7重构图
硅表面硅原子排列
当 n, m, a 很大时，E 0 ，量子效应不
明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 .
例1：电子在a 1.0 102 m 的势阱中 .
E
n2
h2 8ma2
n2
3.77 1015eV
E
2n
h2 8ma2
n 7.54 1015eV
（近似于连续）
当 a 0.10nm 时, E n 75.4eV（能量分立）
(
x)
h 2m
[2
(
x)
d2 dx2
1(
x)
1
(
x)
d2 dx2
2
(
x)]
(3)
(
E2
E1
)
1
1(0)2
(0)
h 2m
[2
(0)
d2 dx2
1(0)
1
(0)
d2 dx2
2
(0)]
(4)
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
例4、一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，
如图所示．描写粒子状态的波函数为 cx(l x) ，其中
探针
因为隧道电流对针尖与样品 间的距离十分敏感。控制针尖高 度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
空气隙
利用STM可以分辨表面上原子 的台阶、平台和原子阵列。可 以直接绘出表面的三维图象
样品 STM工作示意图
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物
质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
(x) 2 sin n π x
aa
(x) 2 2 sin2 nπ x
aa
n
n 2
n4
16 E1
n3
n2 n 1
x0 a 2
a x0 a 2
9 E1
4 E1
a E1
Ep 0
§7 箱中粒子 7.3 箱中粒子的一些性质
的概率。
其解为：1(x) Aeikx Re ikx,
x0
2 (x) Te k1x ,
0 xa
3(x) Ceikx, x a
根据边界条件：
1(0) 2 (0)
d1(x)
dx
|x0
d2 (x)
dx
|x0
2(a) 3(a)
d2 (x)
dx
|xa
d3 ( x)
dx
|xa
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面
作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们 的表面电子云就可能重叠。
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过 电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制
隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏。
第二章 薛定谔方程
1
ka n n 1, 2,3,L
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
(x) 2 sin( n x ),
aa
n 1, 2,3,L
n不能取零，否则无意义。简并、宇称。
n (x) n (x) ei n (x)
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
2.正交归一关系
a 0
1、零点能的存在
2 2
E1 2ma 2
称为基态能量。
讨论
2、 能量是量子化的。是由标准化条件而来。
能级间隔：
En
En1
En
2 2 (2n 1)
2ma 2
当 n , En / E 2 / n 0 能级分布可视为连续的。
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经
典规律 . 能量
下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
这是用扫描隧道显微镜搬动48个Fe原 子到Cu表面上构成的量子围栏。
1991年IBM公司的“拼字”科研小组创造出了“分子绘画”艺术。 这是他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约 0.5纳米的“分子人”。这个“分子人”从头到脚只有5纳米，堪称 世界上最小的人形图案。
已知粒子所处的势场为：V (x) 0, 0 x a V (x) , x 0, x a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。
在阱外势能为无穷大，在阱壁上受
V (x)
极大的斥力。称为一维无限深势阱。
7.2 求解一维定态薛定谔方程
其定态薛定谔方程：
o
h2 2m
d
2 ( x)
dx2
V
(
x)(x)
E(
x)
所以，B 0; ka n n 1,2,3,
n不能取零，否则无意义。
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
因为 k 2 2mE ka n n 1,2,3,
h2
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
结论
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能
取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
(x) Asin(nx), n 1,2,3,
P
l/3
2
d
x
l/3
30x 2 [(l
x)2
/ l 5 ]d
x
17
0
0
81
§7 箱中粒子 2、 势垒贯穿（隧道效应）
V (x) 0, x 0, x a
V (x) V0 , 0 x a 在经典力学中,若E V0,粒子的动能
为正, 它只能在 I 区中运动。
2 2m
d
21 ( x)
dx2
c为待定常量．求在 0 ~1 l 区间发现该粒子的概率．
3
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
l
解：由波函数的性质得 2 d x 1
l
0
即 c2 x2 (l x)2 d x 1，
0
由此解得 c2 30 / l 5 ， c 30 / l / l 2
设在0 - l/3区间内发现该粒子的概率为P，则
ax
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
在阱外粒子势能为无穷大，满足：
h2 2m
d
2 ( x)
dx2
( x)
E ( x)
x 0, x a
方程的解必处处为零： (x) 0 x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上 (0) 0,(a) 0
所以，粒子被束缚在阱内运动。 在阱内粒子势能为零，满足：
