高一数学教案：《三角函数的图像和性质》人教A版必修

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的数学审美观念。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本性质2. 正弦函数的图像与性质3. 余弦函数的图像与性质4. 正切函数的图像与性质5. 三角函数图像与性质的综合应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 难点：三角函数图像与性质的综合应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索三角函数的图像与性质。

2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。

3. 结合实际例子，让学生学会运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作与交流能力。

五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入本节课的学习。

2. 三角函数的定义与基本性质：讲解三角函数的定义，引导学生掌握三角函数的基本性质。

3. 正弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正弦函数的图像，讲解正弦函数的性质。

4. 余弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示余弦函数的图像，讲解余弦函数的性质。

5. 正切函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正切函数的图像，讲解正切函数的性质。

6. 三角函数图像与性质的综合应用：结合实际例子，讲解如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

7. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训。

10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对三角函数图像与性质的掌握程度。

六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题引导式教学，鼓励学生主动发现问题、解决问题。

利用数学软件或在线工具，让学生亲自动手绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解。

三角函数的图象与性质——正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3．掌握正弦函数(n )si y A x ωϕ＝＋的周期及求法。

【教学重点】正、余弦函数的性质。

【教学难点】正、余弦函数性质的理解与应用。

【教学过程】一、讲解新课：（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(,)-∞+∞］，分别记作：sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R（2）值域1sin 1x ≤≤-，-1cos 1x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[]-1,1。

其中正弦函数sin y x =，x ∈R（1）当且仅当x 2k 2ππ=+，k ∈Z 时，取得最大值1。

（2）当且仅当x 2k 2ππ=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。

而余弦函数cos y x ＝，x ∈R当且仅当2x k π=，k ∈Z 时，取得最大值1(21)x k π=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。

（3）周期性由sin(2)sin x k x π+=，cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，…，2π-，4π-，…2k πk ∈Z 且0k ≠都是这两个函数的周期。

对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期。

注意：1．周期函数x ∈定义域M ，则必有x T M +∈，且若0T ＞则定义域无上界；0T ＜则定义域无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则()f x 就不为周期函数（如()()00¹f x t f x +） 3．T 往往是多值的（如sin y x =，2π，4π，…，2π-，4π-，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()f x 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k πk ∈Z 且0k ≠都是它的周期，最小正周期是2π（4）奇偶性由sin()sin x x -=-()cos x cosx -＝可知：sin y x =为奇函数cos y x =为偶函数∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于轴对称（5）单调性从sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象上可看出： 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，曲线逐渐上升，sin x 的值由1-增大到1。

教学目标:
知识与技能：进一步理解、掌握正弦函数、余弦函数的图像及性质，能应用正弦、余弦函数
的图像与性质解决有关数学问题；
过程与方法：利用函数的性质研究三角函数的图像和性质
情感态度与价值观：培养学生用普遍联系的观点来学习数学，认识数学
教学重点:应用正弦、余弦函数的图像与性质解决数学问题；
教学难点：函数的单调性和奇偶性的应用
教学过程:
一、激趣导学：
三角函数的图像与性质
二、重点讲析：
例1.求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合 (1)3
cos x y = (2)x y 2sin 2-=
例2.求下列函数的值域 (1)1cos 2cos +=
x x y (2)x x y cos 2sin 212+-=
例3.(1)求函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的单调增区间； (2)求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=4cos 2πx y 的单调减区间.
例4.求下列函数的定义域 (1)1sin 2+=x y (2)x
x y cos 13cos 2+--=
例5.比较下列各组数的大小
(1)o o 154sin 16sin 与
(2)o o 260cos 110cos 与
(3)o o 170cos 230sin 与
三、巩固迁移:33P / 4、5、6、7
四、小结
注意灵活运用三角函数线与三角函数图像及性质解决数学问题。

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学目的：1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3、正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系。

教学重点、难点重点：会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象教学过程：一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，OM r x ==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆；（2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图 描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五 点起决定作用，它们是 描出这五点后，其图象的形状 基本上就确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。

注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。

（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。

（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。

（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。

5.4 三角函数的图象与性质最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象 画法 五点法五点法关键 五点(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1,(2π,0)(0,1),⎝⎛⎭⎪⎫π2，0,(π,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0,(2π,1) 状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 的图象与x∈[0,2π]上的图形一致,因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸,可以由y ＝sin x,x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确,但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时,函数自变量要用弧度制,自变量与函数值均为实数,因此在x 轴、y 轴上可以统一单位,这样作出的图象正规便于应用．[教材解难] 1．教材P 196思考如图,在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆,⊙O 与x 轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上,将点A 绕着点O 旋转x 0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B 的纵坐标y 0＝sin x 0.由此,以x 0为横坐标,y 0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x 0,sin x 0)．2．教材P 197思考由诱导公式一可知,函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 且k≠0的图象与y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象．3．教材P 198思考在函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象上,以下五个点：(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1,(2π,0)4．教材P 198思考对于函数y ＝cos x,由诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2得,y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R.而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R 的图象可以通过正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以,将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度,就得到余弦函数的图象．5．教材P 200思考能．以函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象为基础,将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度,所得图象即函数y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象．能．以函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象为基础,作它关于x 轴对称的图象,所得图象即函数y ＝－cos x,x∈[0,2π]的图象． [基础自测]1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x∈[2kπ,2(k ＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象,根据图象可知A,B,D 三项都正确．答案：C2．不等式sin x>0,x∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0,π] B ．(0,π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B3．下列图象中,是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称,故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x,x∈R 的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是________． 解析：令2x ＝0,π2,π,3π2和2π,得x ＝0,π4,π2,34π,π.答案：0,π4,π2,34π,π题型一 用“五点法”作三角函数图象[教材P 199例1] 例1 画出下列函数的简图： (1)y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]； (2)y ＝－cos x,x∈[0,2π]． 解析：(1)按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(2)按五个关键点列表：x 0 π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－cos x －1 0 1 0 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来：用五点法作图关键先找出5个关键点,再用平滑的曲线连接．教材反思作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．解析：(1)列表,如下表所示x 0 π2π3π22πy＝cos x 1 0 －1 0 1y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 (2)描点,连线,如图所示：利用五点作图法画简图．题型二正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题]例2 根据正弦曲线求满足sin x≥－32在[0,2π]上的x的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y＝sin x与y＝－32的图象,如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形,满足sin x≥－32的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π,所以满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤43π或5π3≤x≤2π}.(或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π)在同一坐标系内作y＝sin x与y＝－32的图象,利用图象求x的范围.方法归纳利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤(1)作出直线y＝a,y＝sin x(或y＝cos x)的图象．(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．[注意] 解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同名三角函数值相等,写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x 的集合为π3＋2kπ,5π3＋2kπ,k∈Z.在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象,利用图象求x 的范围.课时作业 33 一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称,故C 错误． 答案：C2．下列各点中,不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π,1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π,0),而不是(π,1)． 答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上,则m 等于( )A ．0B ．1三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x≤12,x∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x,x∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x|,x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的简图,再作出y ＝cos x,x∈[0,2π]关于x 轴对称的简图,即y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图,将y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y ＝1－cos x,x∈[0,2π]的简图,如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y ＝sin x,x∈ [0,4π]的简图,再将该简图在x 轴下方的部分翻折到x轴的上方,即得到y＝|sin x|,x∈[0,4π]的简图,如图2所示．。

【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学设计（人教A版）本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.课程目标1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题.数学学科素养1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本201-205页，思考并完成以下问题1. 周期函数、周期、最小正周期等的含义？2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？3. 通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).2.值域(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.(2)最值正弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值3.周期性定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性。

１.４三角函数的图象与性质１.４．１正弦函数、余弦函数的图象学习目标核心素养１．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法（难点）.２．掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线（重点）.３．理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系（易混点）.通过画正弦函数的图象，“五点法”作图及图象应用，提升学生的直观想象素养.１．正弦曲线正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．２．正弦函数图象的画法（１）几何法：１利用单位圆中正弦线画出y＝sin x，x∈[0,２π]的图象；２将图象向左、右平行移动（每次２π个单位长度）．（２）五点法：１画出正弦曲线在[0,２π]上的图象的五个关键点（0,0），错误!，（π，0），错误!，（２π，0），用光滑的曲线连接；２将所得图象向左、右平行移动（每次２π个单位长度）．思考：把用“五点法”作出的图象向左、右平行移动２π的整数倍单位就得到整条曲线，依据是什么？提示：依据是诱导公式（一）：sin（２kπ＋α）＝sin α（k∈Z），或者说终边相同的角的正弦线相同．３．余弦曲线余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．４．余弦函数图象的画法（１）要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移错误!个单位长度即可．（２）用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,２π]上的图象时，所取的五个关键点分别为（0,１），错误!，（π，—１），错误!，（２π，１），再用光滑的曲线连接．思考：y＝cos x（x∈R）的图象可由y＝sin x（x∈R）的图象平移得到的原因是什么？[提示] 因为cos x＝sin错误!，所以y＝sin x（x∈R）的图象向左平移错误!个单位可得y＝cos x （x∈R）的图象．１．用“五点法”作函数y＝２sin x—１的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（）Ａ．0，错误!，π，错误!，２πＢ．0，错误!，错误!，错误!，πＣ．0，π，２π，３π，４π Ｄ．0，错误!，错误!，错误!，错误!A[根据“五点法”作图，x的取值为0，错误!，π，错误!，２π.]２．函数y＝—sin x，x∈错误!的简图是（）D[函数y＝—sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选Ｄ．]３．请补充完整下面用“五点法”作出y＝—sin x（0≤x≤２π）的图象时的列表．x0错误!１错误!２π—sin x２—１0３0１；２；３ .π0 １[用“五点法”作y＝—sin x（0≤x≤２π）的图象的五个关键点为（0,0），错误!，（π，0），错误!，（２π，0）故１为π，２为0，３为１．]４．函数y＝cos x，x∈[0,２π]的图象与直线y＝—错误!的交点有个．２[由图象可知：函数y＝cos x，x∈[0,２π]的图象与直线y＝—错误!有两个交点．]正弦函数、余弦函数图象的初步认识１y＝sin x，x∈[0,２π]的图象关于点P（π，0）成中心对称；２y＝cos x，x∈[0,２π]的图象关于直线x＝π成轴对称；３正、余弦函数的图象不超过直线y＝１和y＝—１所夹的范围．Ａ．0 Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个（２）下列函数图象相同的是（）Ａ．f（x）＝sin x与g（x）＝sin（π＋x）Ｂ．f（x）＝sin错误!与g（x）＝sin错误!Ｃ．f（x）＝sin x与g（x）＝sin（—x）Ｄ．f（x）＝sin（２π＋x）与g（x）＝sin x（１）D（２）D[（１）分别画出函数y＝sin x，x∈[0,２π]和y＝cos x，x∈[0,２π]的图象，由图象（略）观察可知１２３均正确．（２）A中g（x）＝—sin x；B中，f（x）＝—cos x，g（x）＝cos x；C中g（x）＝—sin x；D 中f（x）＝sin x，故选Ｄ．]解决正、余弦函数图象的注意点,对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.错误!１．关于三角函数的图象，有下列说法：１y＝sin x＋１．１的图象与x轴有无限多个公共点；２y＝cos（—x）与y＝cos |x|的图象相同；３y＝|sin x|与y＝sin（—x）的图象关于x轴对称；４y＝cos x与y＝cos（—x）的图象关于y轴对称．其中正确的序号是．２４[对２，y＝cos（—x）＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对４，y＝cos（—x）＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图（略）可知１３均不正确．]用“五点法”作三角函数的图象【例２】（１）y＝１—sin x（0≤x≤２π）；（２）y＝—１＋cos x（0≤x≤２π）．思路点拨：错误!→错误!→错误![解] （１）１取值列表如下：x0错误!π错误!２πsin x0１0—１0１—sin x１0１２１（２）１取值列表如下：x0错误!π错误!２πcos x１0—１0１—１＋cos x0—１—２—１0２描点连线，如图所示．用“五点法”画函数y＝A sin x＋b（A≠0）或y＝A cos x＋b（A≠0）在[0,２π]上简图的步骤：（１）列表：x0错误!π错误!２πsin x（或cos x）0（或１）１（或0）0（或—１）—１（或0）0（或１）y b（或A＋b）A＋b（或b）b（或—A＋b）—A＋b（或b）b（或A＋b）（２）描点：在平面直角坐标系中描出五个点（0，y１），错误!，（π，y３），错误!，（２π，y５），这里的y i（i＝１,２,３,４,５）值是通过函数解析式计算得到的．（３）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正（余）弦函数y＝A sin x＋b（y＝A cos x＋b）（A≠0）的图象．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上单位长度要统一．错误!２．用“五点法”画出函数y＝错误!＋sin x，x∈[0,２π]上的图象．[解] 取值列表如下：x0错误!π错误!２πsin x0１0—１0错误!＋sin x错误!错误!错误!—错误!错误!正弦、余弦函数图象的应用[探究问题]１．解三角不等式sin x＞a（或cos x＞x＞a）一般有几种方法？提示：一般有两种方法：一是利用三角函数线，结合单位圆求解；一是利用正、余弦函数图象解决．２．如何处理方程f（x）＝g（x）的根的个数问题？[提示] 在同一坐标中，分别画出y＝f（x）和y＝g（x）的图象，观察交点个数，如求sin x＝x的实根个数时，可以在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x图象（略）可知在x∈[0,１]内，sin x＜x没有交点，当x＞１时不会相交，所以方程只有一个实根为0．【例３】（１）函数y＝错误!的定义域为．（２）在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．思路点拨：（１）错误!→错误!→错误!（２）错误!→错误!→（１）错误![由２sin x—１≥0得sin x≥错误!，画出y＝sin x的图象和直线y＝错误!.可知sin x≥错误!的解集为错误!.]（２）[解] 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象．描出点（１,0），（１0,１），并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．由图象可知方程sin x＝lg x的解有３个．１．本例（１）中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？[解] 由２cos x—１≥0得cos x≥错误!，画出y＝cos x的图象和直线y＝错误!.观察图象可知cos x≥错误!的解集是错误!.２．把本例（２）中两函数改为“y＝错误!，y＝cos x”，方程“sin x＝lg x”改为“错误!＝cos x”，应如何解答？[解] y＝错误!中x的取值范围是[0，＋∞）．分别作出y＝错误!，y＝cos x的图象，如图．由图象可观察到两个函数图象只有一个交点，所以方程错误!＝cos x只有唯一一个根．１．用三角函数的图象解sin x＞a（或cos x＞a）的方法（１）作出y＝a，y＝sin x（或y＝cos x）的图象．（２）确定sin x＝a（或cos x＝a）的x值．（３）确定sin x＞a（或cos x＞a）的解集．２．利用三角函数线解sin x＞a（或cos x＞a）的方法（１）找出使sin x＝a（或cos x＝a）的两个x值的终边所在的位置．（２）根据变化趋势，确定不等式的解集．１．“五点法”画正弦函数图象的理解（１）与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．（２）正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．２．作函数y＝A sin x＋b的图象的步骤１．对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述：１向左向右无限延伸；２与x轴有无数多个交点；３与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同．其中正确的有（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个D[根据正余弦函数图象可知，１２３正确．]２．函数y＝cos x与函数y＝—cos x的图象（）Ａ．关于直线x＝１对称Ｂ．关于原点对称Ｃ．关于x轴对称Ｄ．关于y轴对称C[由解析式可知y＝cos x的图象过点（a，b），则y＝—cos x的图象必过点（a，—b），由此推断两个函数的图象关于x轴对称．]３．若方程sin x＝４m＋１在x∈[0,２π]上有解，则实数m的取值范围是．错误![因为x∈[0,２π]时，—１≤sin x≤１，∴方程有解可转化为—１≤４m＋１≤１，解得—错误!≤m≤0．]４．用“五点法”画出函数y＝２sin x，x∈[0,２π]上的图象．[解] （１）列表：x0错误!π错误!２π２sin x0２0—２0（２）描点作图，如下：。

三角函数的图像与性质教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义和基本概念。

2. 学会绘制和分析三角函数的图像。

3. 掌握三角函数的性质，并能应用于实际问题。

二、教学重点：1. 三角函数的定义和图像。

2. 三角函数的性质。

三、教学难点：1. 三角函数图像的绘制和分析。

2. 理解和应用三角函数的性质。

四、教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 三角函数图像的示例。

3. 练习题和解答。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如温度、声音等，引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解：讲解三角函数的定义和基本概念，引导学生理解三角函数的周期性和奇偶性。

3. 演示：使用课件或黑板，展示三角函数的图像，让学生观察和分析图像的形状和特点。

4. 练习：让学生绘制一些简单的三角函数图像，并分析其性质。

5. 讲解：讲解三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，引导学生理解和应用。

6. 练习：让学生解决一些实际问题，运用三角函数的性质进行计算和分析。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像和性质的重要性。

8. 作业：布置一些练习题，让学生巩固所学内容。

六、教学反思：本节课通过实例引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。

通过讲解和演示，让学生理解和掌握三角函数的图像和性质。

通过练习和实际问题解决，让学生应用所学知识。

整个教学过程中，注意引导学生主动参与，培养学生的动手能力和思维能力。

作业的布置有助于巩固所学内容。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

六、教学目标：1. 能够运用三角函数的性质解决简单的三角方程和不等式问题。

2. 理解正弦、余弦和正切函数的图像是如何由基础函数通过平移、伸缩等变换得到的。

3. 能够分析实际问题，选择合适的三角函数模型进行求解。

七、教学重点：1. 三角函数图像的变换规律。

2. 三角方程和不等式的求解方法。

八、教学难点：1. 理解三角函数图像的变换规律及其对函数性质的影响。

2. 解决实际问题中三角函数的应用。

教学计划：《三角函数的图像与性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够掌握正弦、余弦、正切函数的基本图像及其关键特征（如周期、振幅、相位等）；理解并应用三角函数的奇偶性、单调性、最值等性质。

2.过程与方法：通过绘制函数图像、观察分析、归纳总结等过程，培养学生直观感知、逻辑推理和数学抽象能力；学会运用数形结合的方法解决三角函数问题。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养探索精神和严谨的科学态度；通过团队合作和交流分享，增强学生的集体意识和协作能力。

二、教学重点和难点●教学重点：正弦、余弦、正切函数的基本图像及性质；数形结合思想在三角函数中的应用。

●教学难点：理解并掌握三角函数图像的变换规律（如平移、伸缩、对称等）；运用三角函数的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例：通过展示海浪波动、音乐波形等自然现象或人工制品中的周期性变化，引导学生思考这些现象与三角函数的关系，引出三角函数图像的重要性。

●复习旧知：简要回顾三角函数（正弦、余弦、正切）的定义和基础性质，为后续学习做好铺垫。

●提出问题：提出探究性问题，如“正弦函数的图像是什么样的？它有哪些基本性质？”激发学生的好奇心和探索欲。

2. 讲授新知（约15分钟）●图像绘制：利用多媒体演示或指导学生动手绘制正弦、余弦、正切函数的图像，强调图像的连续性、周期性等特点。

●性质讲解：结合图像，详细讲解三角函数的振幅、周期、相位等关键特征，以及奇偶性、单调性、最值等性质。

●对比分析：引导学生对比正弦、余弦、正切函数图像的差异，理解它们各自的特点和相互之间的关系。

3. 图像变换（约10分钟）●理论讲解：介绍三角函数图像的平移、伸缩、对称等变换规律，结合具体例子说明变换后的图像特征。

●实践操作：组织学生分组进行实践操作，尝试通过改变参数来绘制变换后的三角函数图像，并观察分析变化规律。

●总结归纳：引导学生总结归纳三角函数图像变换的一般规律和方法，形成系统的知识体系。