学而思高中题库完整版二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.学生版

1．二项式定理：
011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式
④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r r n T C a b -+=表示
典型例题
例1 求的展开式
例2 的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数
例3 求291()2x x -
展开式中9x 的系数？
例4
求二项式210(x +
的展开式中的常数项？
6)12(x x -
7)21(x +
例5 求二项式9展开式中的有理项？
例6 若
n 展开式中偶数项系数和为256-，求n
例7 若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项
例9 342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.
例10 若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1
(2)2n x +的展开式中系数最大的项？。

第03讲 二项式定理目录第一部分：知识点必背 .............................................. 1 第二部分：高考真题回归 ............................................. 2 第三部分：高频考点一遍过 ........................................... 3 高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数） ...................... 3 高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题 ................ 3 高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题 .................... 4 高频考点四：二项式系数和与系数和 ................................ 5 高频考点五：二项展开式的逆应用 .................................. 6 高频考点六：二项式系数最大问题 .................................. 6 高频考点七：系数最大问题 ........................................ 7 第四部分：数学文化题 . (9)第一部分：知识点必背知识点一：二项式定理 （1）二项式定理一般地，对于每个k （0,1,2,k n =），()n a b +的展开式中n k k a b -共有k n C 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：nn n r r n r n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 022211100)(++++++=+--- （n N *∈）.0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：()02131*2n n n n n C C C C n N -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=∈第二部分：高考真题回归第三部分：高频考点一遍过高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数）高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知实数x不为零，则26+-的展开式中x x(1)(1)2x项的系数为.高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题高频考点四：二项式系数和与系数和1010a x ++，则22101359)()a a a a a -++++++的值为 2023春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设()220230122023a a x a x a x x +++⋅⋅⋅+∈R .32023a a ++的值.22023a a +++.云南昆明·高二校考阶段练习）高频考点五：二项展开式的逆应用典型例题例题1．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）()12312C 4C 8C 2C nnn n n n -+-++-=（ ）.A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n例题2．（2023春·安徽合肥·高二统考期末）已知012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-=，则n 的值为 ．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知12n n a -=，解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2024n n n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.练透核心考点1．（2023秋·高二课时练习）化简：设n +∈N ，则()()011C 2C 21C 21C knn n k n kn n n n n ---++-++-= ．2．（2023春·上海浦东新·高二校考期中）0122C 2C 2C 2C n n n n n n ++++= .3．（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）0122332022202220232023202320232023202320232023C 2C 2C 2C 2C 2C -+-++-的值是 .高频考点六：二项式系数最大问题高频考点七：系数最大问题典型例题例题1．（2023·全国·高二随堂练习）已知()1nx +的展开式中第5，6，7项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项．(2)求展开式中项的系数最大的项.第四部分：数学文化题1．（2023春·吉林延边·高二延边二中校考期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，()mod5a b ≡=，则b 的值可以是（ ）A ．2004B ．2005C ．2025D ．20262．（多选）（2023·全国·高二专题练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）A ．在第10行中第5个数最大B ．22222348C C C C 84++++=C ．第8行中第4个数与第5个数之比为4:5D ．在杨辉三角中，第n 行的所有数字之和为12n -3．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于 .（用一个组合数作答）4．（2023春·高二单元测试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则813年以后是年.。

高二数学二项式定理与性质试题1.二项式的展开式中含的项的系数是．【答案】【解析】由于，因此的系数为【考点】二项展开式的通项公式.2.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．-2835B．2835C．21D．-21【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中各项系数和为解得，，由得，因此系数为，答案选A。

【考点】二项式定理3.设（是正整数），利用赋值法解决下列问题：（1）求；（2）为偶数时，求；（3）是3的倍数时，求。

【答案】（1）；（2）；（3）。

【解析】（1）为二项式展开式中每一项的二项式系数，令可求得，即的值，（2）为的展开式中偶数项的二项式系数，令可得的值，再与相加即可得，(3)利用复数次方的性质，构造方程，从而求得的值。

试题解析：令，（1），所以（2），所以（3）记，则。

当时，，当时，，记，，，，，则从上到下各式分别乘以，求得。

即【考点】（1）赋值法的应用；（2）复数性质的应用。

4.在展开式中,常数项等于 .【答案】【解析】由通项公式：设第r+1项为常数，则=，所以6-r=r,即r=3;那么常数项为，故答案为.【考点】二项式定理系数的性质;二项式定理的应用．5. (1)求证：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除；(2)求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．【答案】(1)见解析 (2)见解析【解析】证明：(1)原式＝4(5＋1)n＋5n－4＝4(Cn 05n＋Cn15n－1＋Cn25n－2＋…＋Cnn)＋5n－4＝4(Cn 05n＋Cn15n－1＋…＋Cnn-2·52＋Cnn-1·51＋1)＋5n－4＝4(Cn 05n＋Cn15n－1＋…＋Cnn-2·52)＋25n，以上各项均为25的整数倍，故得证．(2)因为1＋3＋32＋…＋33n－1＝＝ (33n－1) ＝ (27n－1)＝ [(26＋1)n－1]．而(26＋1)n－1＝Cn 026n＋Cn126n－1＋…＋Cnn-126＋Cnn260－1＝Cn 026n＋Cn126n－1＋…＋Cnn-126因为n为大于1的偶数，所以原式能被26整除．6.已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：(1)含x3的项；(2)系数最大的项．【答案】(1) 210x3 (2)【解析】解：由题意知，Cn n-2＝45，即Cn2＝45，∴n＝10.(1)Tr＋1＝C10r(x－)10－r，令＝3，得r＝6.∴含x3的项为T6＋1＝C106x3＝C104x3＝210x3.(2)系数最大的项为中间项，∴T6＝C105.7.n的展开式中，常数项为15，则n＝________.【答案】6【解析】n的通项为Tr＋1＝C n r x2(n－r)·(－1)r·x－r＝(－1)r·C n r·x2n－3r. 令2n－3r＝0，则2n＝3r，即r＝n.当n＝3时，r＝2，Tr＋1≠15，当n＝6时，r＝4，Tr＋1＝15.8.已知展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和。

1思维的发掘 能力的飞跃1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nn n n n nnnnC a C a b C ab C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容赋值求某些项系数的和与差2 思维的发掘 能力的飞跃数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，3思维的发掘 能力的飞跃()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1kn n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1()n x x+典例分析4 思维的发掘 能力的飞跃【例3】 (82x 展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152【例4】 若展开式的各项系数之和为，则_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 ，则______．【例6】 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 的展开式中的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若，则的值为_____（用数字作答）．231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭32n =6260126(1)x a a x a x a x -=++++L 0a +126a a a +++=L 42nx x 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 423401234(23)x a a x a x a x a x =++++2202413()()a a a a a ++-+5思维的发掘 能力的飞跃【例9】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）A ．B ．150C ．D ．500【例10】 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是 ．【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑴求展开式的常数项；⑴求展开式的各项系数的和．(5nx xM N 240M N -=3x 150-500-n x )2(+641nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭332nx x6 思维的发掘 能力的飞跃【例13】 若，求的值．【例14】 若，则 ．【例15】 若，则的值为_____（用数字作答）．【例16】 若，则_____．【例17】 已知，求．()10023100012310023xa a x a x a x a x =+++++L ()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L 201(1)(1)(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x ++++++=+-+-L L 01n a a a ++=L 423401234(23)x a a x a x a x a x =++++2202413()()a a a a a ++-+52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++12345a a a a a ++++=7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017||||||a a a +++L7思维的发掘 能力的飞跃【例18】 若，求的值．【例19】 若，则的值为（ ）．A ．B ．C ．D ．【例20】 若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【例21】 已知，求：⑴ ；⑴ ； ⑴ ．【例22】 若，求的值．()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++0246a a a a +++423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++2202413()()a a a a a ++-+11-021002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L 13599a a a a ++++=L 1001(31)2-1001(31)2+1001(51)2-1001(51)2+()77012712x a a x a x a x -=++++L 1237a a a a ++++L 1357a a a a +++0246a a a a +++()10023100012310023xa a x a x a x a x =+++++L ()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L8 思维的发掘 能力的飞跃【例23】 若，则________．（用数字作答）【例24】 若，则 ．【例25】 若，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例26】 已知．⑴当时，求的值；⑴设． 试用数学归纳法证明：当时，．55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++12345a a a a a ++++=201(1)(1)(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x ++++++=+-+-L L 01n a a a ++=L ()2009200901200912x a a x a x -=+++L 20091222009222a a a +++L 021-2-23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N L ≥5n =012345a a a a a a +++++22343,2n n n n ab T b b b b -==++++L 2n ≥(1)(1)3n n n n T +-=9思维的发掘 能力的飞跃【例27】 请先阅读：在等式的两边求导得，由求导法则得，化简得．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：； ⑴对于整数，求证：．⑶对于整数，求证①；②．【例28】 证明：．【例29】 证明：．【例30】 求证：2cos 22cos 1()x x x =-∈R 2(cos2)(2cos 1)x x ''=-(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-sin22sin cos x x x =012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x x x --+=+++⋅⋅⋅++x ∈R 2n ≥112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑3n ≥1(1)C 0nk kn k k =-=∑3n ≥21(1)C 0nkknk k =-=∑10121C 11n nkn k k n +=-=++∑220C (1)2nk n n k k n n -==+∑n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅L10思维的发掘 能力的飞跃【例31】 求的二项展开式．【例32】 设，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【例33】 设，求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5432()5101051f x x x x x x =-+-++1()f x -51x +512x --512x +-51x -2a i =+11212121212121A C a C a C a =-+-+L高中数学讲义 11 思维的发掘 能力的飞跃【例34】 已知数列（）满足： 求证：对于任意正整数， 是一次多项式或零次多项式．【例35】 若，则等于（ ） A ． B ．C ．D ．0123a a a a L ，，，，00≠a 112(123)i i i a a a i -++==L ，，，n 01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+L 0()C n i i n i f m m ==∑22log (3)log (1)f f 21213。

二项式定理 概念篇【例1】求二项式(a — 2b)4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开•解：根据二项式定理得 (a — 2b)4=c 0 a 4+c 4 a 3( — 2b)+C 4 a 2( — 2b)2+C 3 a( — 2b)3+C 4 (— 2b)4=a 4 — 8a 3b+24a 2b 2— 32ab 3+i6b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把— 2b 中的符号“―”忽略【例2】展开(2x -2代2x分析一：直接用二项式定理展开式•解法一：(2x - 32)5=C °(2x)5+c l (2x)4(— q )+C ；(2x)3( — q )2+c 5(2x)2(—与)3+2x2x 2x 2xC 5 (2x)( — 2)4+C ；( — 2)52x 2 2x 2分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法二：35--和件[C 5 (4x 3)5+C 1 (4x 3)4(— 3)+C 5 (4x 3)3(— 3)2+C 3 (4x 3)2( — 3)3+C 4 (4x 3)( — 3)4 + C 5( — 3)5]荷(1024x 15— 3840x 12+5760x 9— 4320x 6+l620x 3— 243) 32x 10说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便【例3】在(x — ■ 3)10的展开式中，x 6的系数是 ________ . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是c 4°.解法二：(x —，3)10 的展开式的通项是 T r+1=C ；0X 10—r ( — 3 )r .令10— r=6，即r=4,由通项公式可知含 x 6项为第5项，即T 4+1=C ：0x 6( — . 3 )4=9C 40x 6. ••• x 6的系数为9C ：0.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含 x 6这一项系数，而不是求含 x 6的二项式系数，所以应是解法二正确 如果问题改为求含 x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C ：0.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项=32x 5— 12Ox 2+180 x135 405+87243 10 .32x=327°=32x 5— 120x 2+180 x 135 405x 4 +8x 7243 32x 10 .式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关【例4】已知二项式(3 . x — —)10,3x(1) 求其展开式第四项的二项式系数； (2) 求其展开式第四项的系数； (3) 求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式•解：(3..X — -2)10 的展开式的通项是 T r+i =C ；o (3.、x )10—r ( — 2)r (r=o , 1,…，10).3x3x•••第9项为常数项，其值为256说明：二项式的展开式的某一项为常数项， 就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项； (2)求(1 — 2x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式， 可得系数的表达式， 列出相邻两项系数之间关系的不等 式，进而求出其最大值.7!2r7! 2r 1即 r!(7r)!(r 1)!(7 r 1)!7! 2r7! 2r 1r !(7 r)!(r 1)!(7 r 1)!(1)展开式的第 4项的二项式系数为 C ?0=120.(2)展开式的第 (3)展开式的第 2 4 项的系数为 C ；037(— — )3= — 77760.34 项为—77760( x )7十，即一77760 • x .z\.(3 .. x — —)10写成］3 x +(— A)： 10,从而凑成二项式定理的形式3x 3x【例5】求二项式(x 2+ 1 )10的展开式中的常数项.2丘说明：注意把 分析：展开式中第r+1项为C ；0(x 2)10—r ( 1)r ，要使得它是常数项，必须使2Jxx ”的指数为零，依据是X 0=1 , x M 0.解：设第r+1项为常数项，则 Eg 2)102053r 1 r人 52(一)r (r=0, 1，…，10)，令 20 —r=0,2 2••• T9=C 80(1)8=45 256解：(1)设第r+1项系数最大，则有C 72r (C r 1?r 1 C 72r ( C r 1?r 1系数最大项为 T 6=C 7 25X 5=672X 5.(2)解：展开式中共有 8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得•又因(1 - 2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值， 故系数最大值 必在中间或偏右，故只需比较C 4( 2)4C 3T 5和T 7两项系数的大小即可-C6( 2)6 =4C >1, 所以系数最大项为第五项，即 T 5=560X 4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法， (2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁 .【例7】(1+2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大 的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n ,再根据n 的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T 6=C ；j (2x)5, T 7=C 6 (2X )6，依题意有。

高二数学二项式定理复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高二数学二项式定理复习试题，希望对大家有所帮助!高二数学二项式定理复习试题及答案解析一、选择题1.(2013•江西高考)x2-2x35展开式中的常数项为( )A.80B.-80C.40D.-40C [展开式的通项为Tr+1=Cr5x2(5-r)(-2)rx-3r=Cr5(-2)rx10-5r.令10-5r=0，得r=2，所以T2+1=C25(-2)2=40.故选C.]2.(2014•东城模拟)(x-2y)8的展开式中，x6y2项的系数是( )A.56B.-56C.28D.-28A [由二项式定理通项公式得，所求系数为C28(-2)2=56.]3.(x+2)2(1-x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( )A.5B.3C.2D.0A [常数项为C22×22×C05=4，x7系数为C02×C55(-1)5=-1，因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.]4.(2012•蚌埠模拟)在x+13x24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项C [Tr+1=Cr24(x)24-r13xr=Cr24x12-5r6，故当r=0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项.]5.(2014•深圳二调)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中，含x2项的系数是( )A.10B.15C.20D.25C[选 C.含x2项的系数是C22+C23+C24+C25=1+3+6+10=20.]6.在二项式x2-1xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A.32B.-32C.0D.1C [依题意得所有二项式系数的和为2n=32，解得n=5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于12-115=0.]二、填空题7.(2014•山西诊断)若x-a2x8的展开式中常数项为1120，则展开式中各项系数之和为________.解析x-a2x8的展开式的通项为Tr+1=Cr8x8-r(-a2)rx-r=Cr8(-a2)rx8-2r，令8-2r=0，解得r=4，所以C48(-a2)4=1 120，所以a2=2，故x-a2x8=(x-2x)8.令x=1，得展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.答案 18.若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________.解析由C2n=C6n可知n=8，所以x+1x8的展开式的通项公式为Tr+1=Cr8x8-r•1xr=Cr8x8-2r,当8-2r=-2时，r=5，所以1x2的系数为C58=56.答案569.(2014•深圳模拟)已知等比数列{an}的第5项是二项式x-13x6展开式的常数项，则a3a7=________.解析x-13x6的展开式的通项是Tr+1=Cr6•(x)6-r•-13xr=Cr6•-13r•x3-3r2.令3-3r2=0得r=2，因此x-13x6的展开式中的常数式是C26•-132=53，即有a5=53，a3a7=(a5)2=532=259.答案259三、解答题10.若3x+1xn的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x的整数次幂的项.解析令x=1，则22n=1 024，解得n=5.Tr+1=Cr5(3x)5-r1xr=Cr5•35-r •x10-3r2，含x的整数次幂即使10-3r2为整数，r=0、r=2、r=4，有3项，即T1=243x5，T3=270x2，T5=15x-1.11.二项式(2x-3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.解析设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(1)二项式系数之和为C09+C19+C29+…+C99=29.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1，令x=1，y=-1，得a0-a1+a2-…-a9=59，将两式相加，得a0+a2+a4+a6+a8=59-12，即为所有奇数项系数之和.12.已知x+124xn的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求n;(2)求第三项的二项式系数及项的系数;(3)求含x项的系数.解析(1)∵前三项系数1，12C1n，14C2n成等差数列.∴2•12C1n=1+14C2n，即n2-9n+8=0.∴n=8或n=1(舍).(2)由n=8知其通项公式Tr+1=Cr8•(x)8-r•12 41xr=12r•Cr8•x4-34r，r=0，1， (8)∴第三项的二项式系数为C28=28.第三项系数为122•C28=7.(3)令4-34r=1，得r=4，∴含x项的系数为124•C48=358.。

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的指定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．【例1】 632x ⎛- ⎝的展开式中的第四项是 ．【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2010年四川高考典例分析【解析】1r n r rr nT a b -+=C ，∴3r =， 62⎛- ⎝的展开式中的第四项是：313331362(1)160xx ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-C【答案】1160x --【例2】 6⎛⎫的展开式中，3x 的系数等于_ ___． 【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2010，安徽高考 【解析】略； 【答案】15；【例3】 ((3511+的展开式中x 的系数是A ．4-B ．2-C ．2D ．4【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，全国高考【解析】((3511+中x 的系数为032203535(1)210122CC C C ⋅-⋅+⋅⋅=-+=．【答案】C ；【例4】 若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．【考点】求展开式中的指定项【难度】2星 【题型】填空【关键字】2010，全国高考 【解析】略 【答案】1；【例5】 5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()x ∈R 展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于A ．1-B ．12C ．1D ．2【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2010，陕西高考 【解析】略 【答案】D ；【例6】 若2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++，则2a 的值是（ ）A ．84B ．84-C ．280D ．280-【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2010年丰台一模 【解析】()222C 2n a =-()212a n n ⇔=-，四个选项中只有8442762==⨯满足． 【答案】A ；【例7】 8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，东城一模【解析】所求系数为228C (56=． 【答案】A ；【例8】 若()554541031x a x a x a x a +=++⋅⋅⋅++，则2a 的值为（ ）A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2010年，宣武2模【解析】此题考察二项式定理．容易知道2225C 390a =⋅=． 【答案】C【例9】 64(1(1-+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，全国高考【解析】原多项式可化为42(1)(1x -，所以要求的x 的系数分两部分：4(1)x -的常数项与2(1-的x 项系数的积；4(1)x -的x 项系数与2(1-的常数项的积．因此所求的x 的系数是141C (1)3+-=-．【答案】-3；【例10】 在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将多项市看作25[(2)4]x x ++，通项公式为2515C (2)(4)rr r r T x x -+=+， 要求x 的系数，只能1r =，不难算出x 的系数为1454C 2320⋅=．本题也可以直接用排列组合的观点来解．5个242x x ++相乘，要得到x 项，只能是有一个242x x ++取4x （有15C 种）与剩下的4个242x x ++的常数项相乘才行，因此为14454(C 4)(C 2)320⋅⋅=．【答案】320；【例11】 在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将多项市看作25[(42)]x x ++，通项公式为5215C (42)()rr r r T x x -+=+， r 只能取0或1，不难算出2x 的系数为032314555C C 42C 21360⋅⋅+⋅=．本题也可以直接用排列组合的观点来解． 5个242x x ++相乘，要得到2x 项，只有两种情况：①1个242x x ++取2x ，其余4个取常数项，此时2x 的系数为14454(C 1)(C 2)80⋅⋅=；②两个242x x ++取4x ，其余3个取常数项，此时2x 的系数为223353(C 4)(C 2)1280⋅⋅=因此2x 的系数为1360．【答案】1360；【例12】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】用排列组合的观点求． 5个242x x ++相乘，要得到3x 项，只能是从1个242x x ++取2x ，1个242x x ++取4x ，其余3个取常数项相乘得到，因此系数为1133543(C 1)(C 4)(C 2)640⋅⋅⋅=．【答案】640【例13】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】用排列组合的观点求．13个式子相乘，2x 项为：1288422774188139922229849749843942(C )C (1)C C (3)C (1)C C (3)C (1)C (2)C C (1)C (2)C 123x x x x x x-+⋅-+-+-=-．故所求系数为123-．【答案】-123【例14】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答） 【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星【题型】填空【关键字】2005年，湖南高考【解析】可以直接将6个式子中的2x 项的系数相加，然后用组合数的性质来计算．如果注意到原多项式可化简为67(1)1(1)1(1)(1)1x x x x x x +-+--+⋅=+-，则只需要求7(1)x +中3x 项的系数即可，不难算出为37C 35=．【答案】35；【例15】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】可以直接将6个式子中的2x 项的系数相加减，然后用组合数的性质来计算．如果注意到原多项式可化简为561(1)1(1)(1)1(1)x x x x x x+--+--⋅=+-，只需要求6(1)x -中3x 项的系数即可，不难算出为36C 20-=-．【答案】-20；【例16】 291()2x x-展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2003年全国【解析】通项公式为292919911C ()()()C ()22rr r r r r rr T x x x x ---+=-=-，当1829r r --=时，3r =．所以9x 的系数是339121()C 22-=-． 【答案】212-；【例17】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）A ．−14B ．14C ．−28D ．28【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2005年全国高考 【解析】略 【答案】B ；【例18】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．15-B ．85C ．120-D ．274【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，浙江高考【解析】用排列组合的观点来求，4个因式取x ，余下1个取常数项，故所求系数为1234515-----=-，选A ．【答案】A ；【例19】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是（用数字作答）【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无【解析】多项式可化为551051(1)(1)(1)(1)1(1)x x x x x x------=--，含3x 项的系数为44510C -C 205=-． 【答案】-205【例20】 求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】看成6个21x x +-相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ． 3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到313263C C ()x x ⋅⋅-． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到122265C C ()x x ⋅⋅-． 合并同类项为531125566365(C C C C C )6x x -+=，5x 项的系数为6．【答案】6；【例21】 64(1(1-+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年全国高考【解析】原多项式可化为42(1)(1x -，所以要求的x 的系数分两部分：4(1)x -的常数项与2(1-的x 项系数的积；4(1)x -的x 项系数与2(1-的常数项的积．因此所求的x 的系数是141C (1)3+-=-．【答案】-3；【例22】 在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的指定项 【难度】星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将多项市看作25[(2)4]x x ++，通项公式为2515C (2)(4)rr r r T x x -+=+， 要求x 的系数，只能1r =，不难算出x 的系数为1454C 2320⋅=．本题也可以直接用排列组合的观点来解．5个242x x ++相乘，要得到x 项，只能是有一个242x x ++取4x （有15C 种）与剩下的4个242x x ++的常数项相乘才行，因此为14454(C 4)(C 2)320⋅⋅=．【答案】320；【例23】 在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将多项市看作25[(42)]x x ++，通项公式为5215C (42)()rr r r T x x -+=+， r 只能取0或1，不难算出2x 的系数为032314555C C 42C 21360⋅⋅+⋅=．本题也可以直接用排列组合的观点来解． 5个242x x ++相乘，要得到2x 项，只有两种情况：①1个242x x ++取2x ，其余4个取常数项，此时2x 的系数为14454(C 1)(C 2)80⋅⋅=；②两个242x x ++取4x ，其余3个取常数项，此时2x 的系数为223353(C 4)(C 2)1280⋅⋅=因此2x 的系数为1360．【答案】1360；【例24】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】用排列组合的观点求． 5个242x x ++相乘，要得到3x 项，只能是从1个242x x ++取2x ，1个242x x ++取4x ，其余3个取常数项相乘得到，因此系数为1133543(C 1)(C 4)(C 2)640⋅⋅⋅=．【答案】640【例25】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】用排列组合的观点求．13个式子相乘，2x 项为：1288422774188139922229849749843942(C )C (1)C C (3)C (1)C C (3)C (1)C (2)C C (1)C (2)C 123x x x x x x-+⋅-+-+-=-．故所求系数为123-．【答案】-123【例26】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答） 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2005年，湖南高考【解析】可以直接将6个式子中的2x 项的系数相加，然后用组合数的性质来计算．如果注意到原多项式可化简为67(1)1(1)1(1)(1)1x x x x x x +-+--+⋅=+-，则只需要求7(1)x +中3x 项的系数即可，不难算出为37C 35=．【答案】35；【例27】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】可以直接将6个式子中的2x 项的系数相加减，然后用组合数的性质来计算．如果注意到原多项式可化简为561(1)1(1)(1)1(1)x x x x x x+--+--⋅=+-，只需要求6(1)x -中3x 项的系数即可，不难算出为36C 20-=-．【答案】-20；【例28】 291()2x x-展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2003年，全国高考【解析】通项公式为292919911C ()()()C ()22rr r r r r rr T x x x x ---+=-=-，当1829r r --=时，3r =． 所以9x 的系数是339121()C 22-=-． 【答案】212-；【例29】在8x x-+的展开式中5x的系数是（）(1)(1)A．−14 B．14 C．−28 D．28【考点】求展开式中的指定项【难度】2星【题型】选择【关键字】2005年，全国高考【解析】略【答案】B；【例30】在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x-----的展开式中，含4x的项的系数是（）（A）15-（D）274-（B）85 （C）120【考点】求展开式中的指定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2008年，浙江高考【解析】用排列组合的观点来求，4个因式取x，余下1个取常数项，故所求系数为-----=-，选A．1234515【答案】A；【例31】在56789-+-+-+-+-的展开式中，含3x项的系数是(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x（用数字作答）【考点】求展开式中的指定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】多项式可化为551051(1)(1)(1)(1)1(1)x x x x x x------=--，含3x 项的系数为44510C -C 205=-． 【答案】205-；【例32】 求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】看成6个21x x +-相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ． 3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到313263C C ()x x ⋅⋅-． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到122265C C ()x x ⋅⋅-． 合并同类项为531125566365(C C C C C )6x x -+=，5x 项的系数为6．【答案】6；【例33】 在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10- B ．10 C ．5- D ．5【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年浙江高考 【解析】略 【答案】B ；【例34】34(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是______，2x 的系数为______． 【考点】求展开式中的指定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年四川高考【解析】341134(12)(1)(1C (2))(1C )x x x x +-=++⋅-+，x 的系数为1143C (C 2)2-+⋅=．6-；341221223344(12)(1)(1C 2C 4)(1C C )x x x x x x +-=+⋅+⋅+-++，2x 项的系数是21124343C 2C C 4C 624126-+=-+=-．【答案】2，-6；【例35】 411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开中含2x 的项的系数为（ ）A ．4B ．6C ．10D ．12【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，四川高考【解析】C ；含2x 的项的系数23441C 1C 10=⨯+⨯=．【答案】C ；【例36】 ((6411+的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ． 4【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】((()64411(1)1x x +=--，x 的系数是0144C C 3-=-．B ．【答案】B ；【例37】 求()()31011x x -+展开式中5x 的系数；【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】()()31011x x -+展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用()31x -展开式中的常数项乘以()101x +展开式中的5x 项，可以得到5510x C ；用()31x -展开式中的一次项乘以()101x +展开式中的4x 项可得到()()4445101033x x x -=-C C；用()31x -中的2x 乘以()101x +展开式中的3x 可得到23335101033x x x ⋅=C C ；用()31x -中的3x 项乘以()101x +展开式中的2x 项可得到3222510103x x x -⋅=-C C ，合并同类项得5x 项为：()543255101010103363x x -+-=-C C C C ．【答案】-63；【例38】 在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，浙江高考 【解析】B ；通项公式251031551C ()(1)C rr rr r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1034r -=，可得2r =，故4x 项的系数是225C (1)10-=． 【答案】B ；【例39】6(2)x +的展开式中3x 的系数是（ ）A ．20B ．40C ．80D ．160【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，重庆高考 【解析】D ；616C 2r r r r T x -+=，令63r -=，得3r =，故展开式中3x 的系数为336C 2160=．【答案】D ；【例40】 在4(1的展开式中，x 的系数为 （用数字作答）【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2009年，湖南高考【解析】6；2144C C r rrr r T x +==，令2r =，得x 的系数为24C 6=【答案】6；【例41】 在((333(1)11x +++的展开式中，x 的系数为 _____ （用数字作答）【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，湖南高考【解析】7；由条件易知333(1)(1(1x +，，的展开式中 x 项的系数分别是123333C C C ，，，即所求系数是3317++=．【答案】7；【例42】 91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的系数为（ ） A ．36-B ．84-C ．36D ．84【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；【例43】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a = ．（用数字作答） 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，天津高考【解析】()621123166()rr rr r r r T C x ax C x a ----+⎡⎤==⎣⎦，当3r =时得到3x 项的系数336522C a a -=⇒= 【答案】2；【例44】 设常数0a >，24(ax展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____． 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，安徽高考【解析】1482214r r rrr T C a xx---+=，由18232r rxxx --=得2r =，由443=2r rC a -知12a =．【答案】12；【例45】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，广东高考【解析】8x 的系数为446C 120k <，得48k <，所以1k =． 【答案】1；【例46】 已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等cos θ= ．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2005年，广东高考【解析】45()4x +的通项为445()4rr r C x -⋅⋅，当43r -=时，1r =．∴45()4x +的展开式中3x 的系数是14554C ⋅=， 5(cos 1)x θ+的通项为55(cos )tt C x θ-⋅，当52t -=时，3t =．∴5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数是325C (cos )θ，∴21cos 2θ=，cos θ=．【答案】cos θ=【例47】 10的二项展开式的第6项的系数为（ ）A ．210-B ．252-C ．210D ．252【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；【例48】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答） 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，天津高考【解析】()621123166()rr rr r r r T C x ax C x a ----+⎡⎤==⎣⎦，当3r =时得到3x 项的系数336522C a a -=⇒= 【答案】2；【例49】 若21()n x m ++与2(1)(*0)n mx n m +∈≠N ，的展开式中含n x 的系数相等，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12(]23，B ．2[1)3， C ．(0)-∞， D ．(0)+∞， 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】A ；21()n x m ++的展开式的通项公式为21121C r n r rr n T xm +-++=，令21n r n +-=， 得1r n =+，即n x 的项的系数为1121C n n n m+++． 又2(1)n mx +展开式的通项公式为222122C ()C k n k n k k n kk n n T mx m x ---+==，由2n k n k n -=⇒=，所以次展开式中含n x 的项的系数为2C n nn m ．于是由题设，11212C C n n n nn nm m +++=，即(21)!(2)!(1)!!!!n n m n n n n +=+． 从而11112122(21)2n m n n +==+>++，及11222(211)3m +=⨯+≤，故选A ．【答案】A ；【例50】 已知()πsin cos a x x dx =+⎰，则二项式6⎛⎝展开式中含2x 项的系数是 ．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略 【答案】192-【例51】 在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么_______a =．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】4352347772C C C a a a =+，即251030a a -+=，解得符合题意的1a =+【答案】1a =+【例52】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k =______．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】26(1)kx +按二项式定理展开的通项为22166C ()C r r r r rr T kx k x +==， 我们知道8x 的系数为4446C 15k k =，即415120k <，也即48k <，而k 是正整数，故k 只能取1．【答案】1；【例53】4(的展开式中33x y 的系数为 ． 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，全国高考【解析】4224(x y =，只需求4展开式中的xy 项的系数，易知为24C 6=．【答案】6；【例54】 若(1)n x +的展开式中，3x 的系数是x 的系数的7倍，求n ；【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】无【解析】由题设，31C 7C n n =，即(1)(2)786n n n n n --=⇒=．【答案】8；【例55】10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________． 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，全国高考 【解析】略 【答案】-240；【例56】 已知a 为实数，10()x a +展开式中7x 的系数是15-，则a =_______．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】3733110C T x a +=，故3310C 15a =-，解得12a =-． 【答案】12-【例57】 二项式41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星【题型】填空 【关键字】无【解析】由题意知21C C 44n n -=，即(1)44112n n n n --=⇒=（负值舍去）， 于是第4项的系数为31111109C 16532⨯⨯==⨯．【答案】165；【例58】 求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的二项式系数与系数．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】设第1m +项含3x ，则有9921991C (1)C mmmm m mm T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 根据题意，得923m -=，解得3m =．因此，3x 的系数是()3391C 84-=-，二项式系数为39C 84=．【例59】 若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为_______．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】02111C C 2C 42n n n +⋅=⋅⋅⇒8n =或1（舍弃），通项88218811C ()C 22r r rr r r r T x x x --+==，由8242r r -=⇒=，4x 的系数是2821C 72=． 【答案】7；【例60】 令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前2009项和为______．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】11(1)C 2n n n n n a -++==，1112()1n a n n =-+，于是可得和为120092(1)20101005-=． 【答案】20091005；【例61】 在7(1)ax +(1)a >的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，求a 的值．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】777177C ()C r r r r r r T ax a x ---+==，于是有4352347772C C C a a a =+，化简得：3241035a a a =+，又1a >，故有251030a a -+=，解得a =或a =．故a =．【答案】a =；【例62】 已知()52551110ax x bx a x +=++++，则b = ．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，湖南高考【解析】通项15C ()r r r T ax +=，由题设有15C 102a a =⇒=，于是225C 40b a ==．【答案】40；【例63】 在()1nx +展开式中，3x 与2x 的系数分别为a b ，，如果3ab =，那么b 的值为（ ） A ．70 B ．60 C ．55D ．40【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，东城2模【解析】由题设，32C 3C 11n n n =⇒=，故211C 55b ==．【答案】C ；【例64】 若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80-， 则实数a 的值是_______． 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】2-；通项公式555155C ()(1)(1)C r r r r r r rr T ax a x ---+=-=-，令532r r -=⇒=， 3x 的系数是25225(1)C 80a --=-，解得2a =-． 【答案】-2；【例65】 设常数0a >，42ax ⎛+ ⎝展开式中3x 的系数为32，则a = ．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，崇文区2模【解析】12；通项公式582442144C ()C rr r r r r r T ax a x ---+==，令58322r r -=⇒=， 3x 的系数为42243C 2a -=，解得12a =． 【答案】12；【例66】 若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为5-，则n 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】211C (2)(1)C 2rr n rr r n r n rr nn T x xx ---+⎛⎫=-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令22n r -=-，解得22n r +=；令24n r -=-，解得42n r +=； 于是有222444222222(1)C2:(1)C25n n n n n n n n nn++++++---⋅-⋅=-，于是有12222C5Cn n nn++=，由组合数公式得：2!5!1!1!2!2!2222n n n n n n ⋅⋅=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得6n =，故选B ．【答案】B ；【例67】 设n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为_____【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】1211C C n n n n a -++==，12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 因此1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111111122211223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【答案】21nn +；【例68】 已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则n =________．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，崇文区1模 【解析】9；通项2111C C 22rrn rr n r r nn r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题设212111C 2C 922n n n ⎛⎫=⨯⇒= ⎪⎝⎭． 【答案】9；【例69】 在220(1)x -的展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则第4r 项为______【考点】求展开式中的指定项【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】由题设，4112020C C r r -+=，故411204r r r -++=⇒=，152151530162020C ()C T x x=-=-； 【答案】153020C x -；【例70】 若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____． 【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】不难知道只有0102810101010C C C C ，，，四个奇数，因此所求概率为411． 【答案】411；【例71】 已知lg lg 2(21)x n x ++展开式中最后三项的系数的和是方程2lg(7272)0y y --=的正数解，它的中间项是410+x 的值．【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由2lg(7272)0y y --=得272730y y --=，∴1y =-（舍去）或73y =，由题意知，21C 4C 2C 73n n nn n n --⋅+⋅+=，解得6n =．于是展开式的中间项为第4项，从而333(lg lg23(lglg2)42lg26C 216010200x x xx +++⋅⋅=⋅==，从而()3(lg lg2)lg 160lg(20000)x x +⋅=，化简得2lg lg 2lg lg 210x x +⋅+-=， ∴lg 1x =-或lg 1lg 2lg5x =-=， ∴110x =或5x =． 经检验知，它们都符合题意．【例72】 设数列{}n a 是等比数列，311232C mm m a +-=Α，公比q 是421()4x x +的展开式的第二项． ⑴用n x ，表示通项n a 与前n 项和n S ；⑵若1212C C C nn n n n n A S S S =+++用n x ，表示n A【考点】求展开式中的指定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴由题意，可求出1a q ，，再求通项n a 与前n 项和n S ．∵311232C mm m a +-=Α，∴23321m m m +-，≥≥．不难得出131m a ==，． 由421()4x x +的通项公式及已知条件有1324214C q T x x x==⋅=． ∴1n n a x -=．前n 项和211n n S x x x -=++++．⑵将n S 进行化简：(1)1(1)1n nnS nx x S x x ==⎧⎪⎨-=≠⎪-⎩． 当1x =时，1201212012C C C C C C C n nn n n n n n n n n A S S S n =+++=⋅+⋅+++．……①nA 还可以表示为11(1)10(C C C C Cn n nn nn nnnA nn n n--=+-++⋅+⋅=+-++⋅+⋅…②①+②得01222C C C C nn n n n n n A n n n n n =++++=⋅∴12n n A n -=⋅．当1x ≠时，11n n x S x-=-，此时2312311111111C C C C n nn n n n n x x x x A x x x x ----=++++----121221[()()]1C C C C C C n n n n n n n n n x x x x =++-+++-1[(21)(1)1]1n n x x=--++-2(1)1n nx x-+=-． 综上， 12(1)2(1)(1)1n nnn n x A x x x -⎧⋅=⎪=⎨-+≠⎪-⎩。

二项式定理中展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一 、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ）（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210例2．8)1(x x -展开式中5x 的系数为 。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10评注：求型如),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。

三 、),()()(*∈++N m n d c b a m n 型例5．72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。

例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）（A ）14- （B ）14 （C ）28- （D ） 28评注：求型如),()()(*∈++N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。

四 、)()(*∈++N n c b a n 型例7．5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 .评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。

解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

五 、1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型例8．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是 。

要求层次重难点二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题B二项式定理① 能用计数原理证明二项式定理．② 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．（一）知识容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab ab b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr nT a b r n -+=，≤≤． 3．辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．（二）典例分析【例1】 1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例2】 64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例3】 61034(1)(1)x x++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【例5】 在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．例题精讲高考要求二项式定理板块一：二项式展开的通项与系数【例6】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例7】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例8】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例9】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例10】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例11】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）【例12】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例13】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例14】 若3(2n x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例15】 在2)n x的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例16】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例17】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例18】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例19】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例21】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例22】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例23】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是 （用数字作答）【例24】 已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等cos θ= ．【例25】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例26】 设常数0a >，24(ax展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例27】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【例28】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例29】 求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．【例30】100的展开式中共有_______项是有理项．【例31】 64(1(1+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例32】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例33】 在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）． 【变式】 在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【变式】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例34】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例35】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例36】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例37】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例38】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）【例39】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例40】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab的取值围．【例41】 若3(2n x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例42】 在2)n x的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例43】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例44】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例45】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例46】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例47】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例48】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例49】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例50】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是 （用数字作答）【例51】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例52】 设常数0a >，24(ax展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例53】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【例54】 已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例55】 （20094）在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10- B ．10 C ．5- D ．5【例56】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例57】34(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是______，2x 的系数为______． 【例58】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例59】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开中含2x 的项的系数为（ ） A ．4B ．6C ．10D ．12【例61】 求二项式153x x 的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例62】 123x x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【例63】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_________，其展开式中的常数项为___________．（用数字作答）【例64】 已知()πsin cos a x x dx =+⎰，则二项式6⎛- ⎝展开式中含2x 项的系数是 ．【例65】 设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例66】 ((6411+的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ． 4【例67】 若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）．【例68】6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例69】 若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____．【例70】 在261(2)x x-的展开式中常数项是______，中间项是________．【例71】 在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么_______a =．【例72】 令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前2009项和为______．【例73】 已知lg lg 2(21)x n x ++展开式中最后三项的系数的和是方程2lg(7272)0y y --=的正数解，它的中间项是410+，求x 的值．【例74】 二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【例75】 在()11332x x⋅-⋅的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【例76】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例77】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k =______．【例78】 若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为_______．【例79】 在二项式42nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例80】 求()()31011x x -+展开式中5x 的系数；【例81】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【例82】 在32nx x ⎛ ⎪⎝⎭+的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例83】 在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例84】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【例85】6(2)x +的展开式中3x 的系数是（ ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160【例86】4()y x 的展开式中33x y 的系数为 ．【例87】 已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则n =________．【例88】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例89】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例90】 在2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【例91】 已知a 为实数，10()x a +展开式中7x 的系数是15-，则a =_______．【例92】 求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的二项式系数与系数．【例93】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【例94】 二项式41nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．【例95】10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________．（一）知识容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab ab b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr nT a b r n -+=，≤≤． 3．辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．板块二：二项式系数与最值（二）典例分析展开式【例1】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例2】 若(51a =+（a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45B ．55C ．70D ．80二项式系数的和【例3】 若()1002310001231002a a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例4】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例5】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例6】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例7】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例8】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例9】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例10】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ．1+B ．1C ．1D ．1【例11】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例12】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例15】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例16】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-最值问题【例17】 如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例18】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例19】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab的取值围．【例20】 如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例21】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例22】 二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)的值为___________．【例23】 已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例24】 已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例25】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【例26】 (12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【例27】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【例28】 求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例29】 已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【例30】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．（一）知识容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab ab b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr nT a b r n -+=，≤≤． 3．辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．（二）典例分析【例1】 计算()50.997的近似值（精确到0.001）．()()550.99710.003=-2150.003100.003=-⨯+⨯-【例2】 利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．【例3】 若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例4】 证明：22(13)(13)(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．【例5】 证明：2121(13)(13)(*)n n n +++∈N 能被12n +整除．板块三：二项式定理的应用【例6】 求证：021222()()()C C C C n nn n n n +++=【例7】 证明：mm k 0C C 2C n m k mn k n n --==∑【例8】 求证：121C 2C C 2nn n n n n n -+++=⋅【例9】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例10】 证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例11】 n ∈N 且3n ≥，求证：()323238.n n n n ->++【例12】 求证：()()()21sin 1sin *nnn n θθ++-∈N ≥【例13】 求证：()()()()21221*nnnn n n n ++-∈N ≥【例14】 已知：1x y x y +=∈R ，，，求证：112n n n x y -+≥，(*)n ∈N【例15】 0*a b a b n ∈+∈R N 、，，≥，求证：()22n n na b a b ++≥【例16】 0*a b a b n ∈+∈R N ，，，≥，求证：11()12n n n n na ab ab b a b n --++⋯++++≥．【例17】 设数列{}n a 是等比数列，311232C m m m a +-=Α，公比q 是421()4x x +的展开式的第二项． ⑴用n x ，表示通项n a 与前n 项和n S ；⑵若1212C C C nn n n n n A S S S =+++用n x ，表示n A【例18】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，， 求证：对于任意正整数n ，【例19】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是 ．【例20】 求证：()2223n n n n +∈N ，≥≥【例21】 对于*n ∈N ，111(1)(1)1n n n n ++<++．【例22】 求证：12(1)3*n n n+<∈N ，≤【例23】若(51a =+（a ，b 为有理数），则a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80【例24】 若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12C ．1D ．3【例25】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 已知函数()f x 满足()()ax f x b f x ⋅=+（0ab ≠），(1)2f =，并且使()2f x x =成立的实数x 有且只有一个．⑴求()f x 的解析式；⑵若数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 满足132a =，当2n ≥时，2()n n S n f a -=，求数列{}n a 的通项公式．⑶在⑵的条件下，令112log (1)n n d a +=-（d ∈N ），求证：当3n ≥时，有1210121C C C C 3C 41n n nn n n n n n d d d d n --+++++>-+．【例28】 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <<≤，⑴证明A A i i i i n m m n >；⑵证明(1)(1)n m m n +>+．【例29】 在二项式()1nx +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ∈N 的最小值为 ．【例30】 100111-的末尾连续零的个数是 （ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【例31】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例32】 设)()21*4n n +∈N 的整数部分和小数部分分别为nM与n m ，则()n n n m M m +的值为 ．。