2005年7月系统工程理论与实践第7期 文章编号:100026788(2005)0720113204
一种混合整数双层线性规划的全局优化方法
赵茂先1,2,高自友1
(11北京交通大学系统科学研究所,北京100044;21山东科技大学应用数学系,山东泰安271019)
摘要: 通过求得下层问题的对偶问题可行域上的极点,将上层所有变量为021型变量和下层所有变量
为连续型变量的双层线性规划转化为有限个混合整数线性规划问题,从而用求解混合整数线性规划的
方法获得问题的全局最优解.由于下层问题的对偶问题可行域只有有限个极点,所提出的方法具有全局
收敛性.
关键词: 混合整数双层线性规划;混合整数线性规划;对偶问题;极点
中图分类号: O221.1;O221.4 文献标识码: A
A G lobal C onvergent Alg orithm for S olving the M ixed
Integer Bilevel Linear Programming Problem
ZHAO Mao2xian,G AO Z i2y ou
(11Institute of System Sciences,Beijing Jiaotong University,Beijing100044,China;21Department of Applied Mathematics,Shandong University of Science and T echnology,T ai’an271019,China)
Abstract: The mixed integer bilevel linear programming problem(MI BLPP),where the upper2level decision maker
controls all zero2one variable and the lower2level decision maker controls all continuous variables,is discussed.By
s olving the extreme points of the follower’s dual problem,the MI BLPP is decomposed into a series of mixed integer
linear program https://www.doczj.com/doc/7017802617.html,ing mixed integer linear program methods,a global optimal s olution to the MI BLPP can be
obtained.
K ey w ords: mixed integer bilevel linear programming;mixed integer linear program;dual problem;extreme point
对于大系统和复杂系统,层次性是系统的主要特征之一.多层规划正是为了研究系统层次性而产生的,并正逐渐形成一个新的运筹学分支.在多层规划应用中,以双层规划最为常见,这是因为现实中的决策系统大都可看作双层决策系统,并且任何多层决策系统都是一系列双层决策系统的复合.
双层规划问题是由非合作且有序的两个优化问题组成,上层首先给下层一定信息,下层在这些信息下按自己的利益做出反应,上层再根据下层的反应作出符合全局利益的决策.在许多双层优化问题中,要求某些变量只能取整数,例如企业人力资源规划问题、生产设备分配问题以及城市交通网络设计问题等.变量的离散性使得问题变得复杂,即使对较简单的混合整数双层线性规划,也可能导致问题无解.M oore和Bard[1]对上、下层都有离散变量的混合整数双层线性规划问题进行了讨论,并给出了一种分支定界求解算法,该算法只有在上层无连续变量的情况下,才能保证收敛.Bard和M oore[2]对上、下层所有变量都为021型变量的混合整数双层线性规划问题加以了研究,通过对构造出的参数整数规划不断进行求解,提出了一种分支定界方法.本文将讨论上层所有变量为021型变量和下层所有变量为连续型变量的双层线性规划问题,通过求得下层问题的对偶问题可行域上的极点,将问题转化为有限个含021型变量的混合整数线性规划问题,从而用混合整数线性规划的方法求得问题的全局最优解.
1 模型与定义
设x为021型变量组成的n维列向量,y为连续变量组成的m维列向量,本文讨论的混合整数双层
收稿日期:2004206201
资助项目:国家杰出青年科学基金(70225005);教育部高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划(2001)
作者简介:赵茂先(1966-),男,江苏江都人,副教授,在职博士,主研方向为最优化理论与算法.
线性规划问题(MIBL PP )一般形式可以写为:
(P 1) min x
F (x ,y )=c 1x +d 1y s.t. A 1x +B 1y ≤b 1
x j =0或1(1≤j ≤n ),其中y 解
(P 2) min y
f (x ,y )=d 2y s.t. A 2x +B 2y ≤b 2
y ≥0
其中c T
1∈E n ,d T 1,d T 2∈E m ,b 1∈E p
,b 2∈E q ,A 1∈E p ×n ,B 1∈E p ×m ,A 2∈E q ×n ,B 2∈E q ×m .称(P 1)为(MIBL PP )的上层问题,(P 2)为(MIBL PP )的下层问题.记(MIBL PP )的约束域S ={(x ,y ):A 1x +B 1y ≤b 1,A 2x +B 2y ≤b 2,x j =0或1(1≤j ≤n ),y ≥0},S 在上层决策空间上的投影为T ={x :(x ,y )∈S }.对每个固定的x ∈T ,记S (x )={y :(x ,y )∈S }.
定义1 称P (x )={y :y ∈arg min[f (x , y ): y ∈S (x )]}为下层问题的合理反应集,IR ={(x ,y )∈S :y ∈P (x )}为(MIBL PP )的可行解集合(或称为诱导域).
定义2 对任意的(x ,y )∈IR ,若存在(x 3,y 3)∈IR 满足F (x 3,y 3)≤F (x ,y ),称(x 3,y 3)为
(MIBL PP )的全局最优解,简称最优解.
合理反应集P (x )定义了下层决策者的反应情况,而可行解集合IR 给出了上层决策者可以优化的空间(通常IR 非凸).对(MIBL PP ),称下述连续双层线性规划问题为它的松弛问题:
(RP ) min x
F (x ,y )=c 1x +d 1y s.t. A 1x +B 1y ≤b 1
x ≥0,其中y 解
min y
f (x ,y )=d 2y s.t. A 2x +B 2y ≤b 2
y ≥0
记(RP )的约束域为 S ={(x ,y ):A 1x +B 1y ≤b 1,A 2x +B 2y ≤b 2,x ≥0,y ≥0}, S 在上层决策空间上的投影为 T ={x :(x ,y )∈ S }.对每个固定的x ∈ T ,记 S (x )={y :(x ,y )∈ S }.对应于定义1,可定义 P (x )和IR 分别为(RP )的下层问题的合理反应集和(RP )的诱导域.设 S 是非空紧凸集,且对所有决策x ∈ T ,(RP )的下层问题都有唯一最优解,显然有以下结论成立:
结论1 S Α S ,IR ΑIR .
结论2 若S ≠<,则IR ≠<,且IR 中对应的所有可行点都落在凸多面体 S 的边界上.
结论3 若S ≠<,则(MIBL PP )一定有最优解,且最优解可在 S 的边界上找到.
2 理论与算法
当上层给定某个允许决策x ∈T 后,(MIBL PP )的下层最佳反应是解如下线性规划问题:
(P x ) min y
f (x ,y )=d 2y s.t. B 2y ≤b 2-A 2x
y ≥0
问题(P x )的对偶规划为:
(D x ) max u
z (x ,u )=u (A 2x -b 2)s.t. -uB 2≤d 2
u ≥0
其中u T ∈E q .记U ={u T ∈E q
:-uB 2≤d 2,u ≥0},U E 为U 中所有极点(基可行解)组成的集合.由线性规划对偶理论得如下结果:
411系统工程理论与实践2005年7月
定理1 (x3,y3)是(MIBL PP)最优解当且仅当存在u3∈U E,(x3,y3,u3)为下列问题的最优解:
min
x,y,u
F(x,y)=c1x+d1y
s.t. A1x+B1y≤b1
A2x+B2y≤b2
d2y-uA2x+ub2=0
x j=0或1(1≤j≤n)
y≥0,u∈U(2.1) 证明 必要性:设(x3,y3)为(MIBL PP)的最优解,则对给定的x3,y3为下层问题(P x3)的唯一最优解,由对偶理论,一定存在u3∈U E,使得u3为(D x3)的最优解,且d2y3=u3(A2x3-b2),即有d2y3-u3A2x3+u3b2=0.又因为(x3,y3)∈S,所以(x3,y3,u3)是问题(211)的可行解.假设(x3,y3,u3)
不是问题(211)的最优解,即存在问题(211)的另一可行解( x, y, u),有F( x, y) 充分性:设(x3,y3,u3)是问题(211)的最优解,则u3∈U,(x3,y3)∈S,且对给定的x3,y3和u3 分别是(P x 3)和(D x3)的可行解.因为d2y3=u3(A2x3-b2),所以由对偶理论得y3是(P x3)的最优解,从而(x3,y3)也是(MIBL PP)的可行解.假设(x3,y3)不是(MIBL PP)的最优解,则存在( x, y)∈IR,有F ( x, y) 根据定理1,可通过求解问题(211)来获得(MIBL PP)的全局最优解,但问题(211)约束中的等式约束d2y-uA2x+ub2=0是非线性的,无法直接对其求解.重新审视问题(D x)会发现,不论x∈T如何选取, 问题(D x )的约束条件不会发生变化,从而x的变化不构成对U和U E的影响.首先用线性规划方法求出U E中的有限个极点,记U E={u1,u2,…,u t},然后将这t个极点分别代入问题(211)的约束条件中,根据定理1,可将问题(211)等价地转化为下列形式的t个混合整数线性规划问题: (MIL P(u i)) min x,y F(x,y)=c1x+d1y s.t. A1x+B1y≤b1 A2x+B2y≤b2 d2y-u i A2x=-u i b2 x j=0或1(1≤j≤n),y≥0 其中,i∈{1,2,…,t}.因为(MIBL PP)的约束域S是非空的,所以对任意的i∈{1,2,…,t},问题MI L P(u i)要么无可行解,要么有最优解.记IΑ{1,2,…,t},使得当i∈I时,问题MI L P(u i)有最优解;当i|I时,问题MI L P(u i)无可行解.定理1和结论3保证至少存在一个i∈{1,2,…,t},对应的问题MI L P(u i)有最优解,因此I≠<.对i∈I,设(x i,y i)是问题MI L P(u i)的最优解,记F(x k,y k)=min{F(x j,y j):j∈I},有以下结论: 定理2 (x k,y k)是(MIBL PP)的全局最优解. 证明 由结论3和定理1,定理显然成立. 由以上结论,给出一个求解(MIBL PP)全局最优解的算法,具体描述如下: 步骤1 用线性规划方法求出U E={u1,u2,…,u t}.令 F=+∞,置k←1,转步骤2. 步骤2 用混合整数线性规划方法解MI L P(u k),若无可行解,转步骤4;否则,记最优解为(x k,y k),最 优目标函数值为F k =F(x k,y k),转步骤3. 步骤3 如果F k ≥ F,转步骤4;否则,令(x3,y3)=(x k,y k), F=F k ,转步骤4. 步骤4 如果k 第7期一种混合整数双层线性规划的全局优化方法 611系统工程理论与实践2005年7月 步骤5 停止.如果 F=+∞,则(MIBL PP)无可行解;否则,(x3,y3)为(MIBL PP)的一个全局最优解,对应的最优目标函数值为 F. 3 算例 考虑如下所给的一个混合整数双层线性规划问题: min F(x,y)=x1+2x2+4x3+y s.t.x1,x2,x3=0或1,其中y解 min f(x,y)=-y s.t.-2x1-4x2-8x3-y≤-4 -x1-2x2-4x3+4y≤8 2x1+4x2+8x3+y≤16 x1+2x2+4x3-2y≤4 y≥0 该例下层问题的对偶约束为: s.t. -u1+4u2+u3-2u4≥1 u1,u1,u3,u4≥0 用线性规划方法可求得U中的极点分别为u1=(0,1Π4,0,0)和u2=(0,0,1,0).由于只有两个极点,所以可将问题转化为两个混合整数线性规划问题MI L P(u1)和MI L P(u2).用标准的021混合整数线性规划方法解问题MI L P(u1)得最优解为x1=(1,0,0)T,y1=9Π4,F1=-13Π4;解问题MI L P(u2)得最优解为x2 =(1,1,1)T,y2=2,F2=9.由于F1 4 结论 本文给出了一个求解上层所有变量为021型变量和下层所有变量为连续型变量的混合整数双层线性规划问题全局最优解的方法.该方法首先用线性规划技术求出下层问题的对偶问题可行域上的有限个极点,然后将问题转化为一系列标准的021混合整数线性规划问题,其中最优目标函数值达到最小的混合整数线性规划问题的最优解就是原问题的最优解. 对本文所讨论的混合整数双层线性规划问题,不论上层所取的允许决策x∈T如何,下层问题的对偶问题可行域U不会发生变化,从而可行域U对应的有限个极点始终保持不变.相对于整个问题,当下层问题控制的变量个数和约束个数规模不大时,用线性规划技术求所有极点的工作容易实现,当然这部分工作也是算法的关键.通过对混合整数双层线性规划有关性质的进一步讨论,U中哪些极点对求解问题的最优解起作用,哪些极点不起作用,从而不必求出U中的所有极点,这应是进一步研究的工作. 参考文献: [1] M oore J T,Bard J F.The mixed integer linear bilevel programming problem[J].Operations Research,1990,38:911-921. [2] Bard J F,M oore J T.An alg orithm for the discrete bilevel programming problem[J].Naval Research Logistics,1992,39:419- 435. [3] Wen U P,Y ang Y H.Alg orithm for s olving the mixed integer tw o2level linear programming problem[J].C omputers and Operations Research,1990,17:133-142. [4] Edmunds T A,Bard J F.An alg orithm for the mixed integer nonlinear bilevel programming problem[J].Annals of Operations Research,1992,34:149-162. [5] Bard J F.S ome properties of the bilevel programming problem[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1991,68:371 -378. [6] Bialas W F,K arwan M H.T w o2level linear programming[J].Management Science,1984,30:1004-1020. [7] Dempe S.A simple alg orithm for the linear bilevel programming problem[J].Optimization,1987,18:373-385. [8] Tuy H,Migdalas A,Varbrand P.A global optimization approach for the linear tw o2level program[J].Journal of G lobal Optimization,1993,3:1-23. [9] Bard J F.Practical Bilevel Optimization:Alg orithms and Applications[M].K luwer Academic Publishers,Boston,1998. [10] Dempe S.F oundations of Bilevel Programming[M].K luwer Academic Publishers,Boston,2002. ①图与网 破圈法：任取一个圈，去掉一条权最大的边，直到最小树。 避圈法：选最小权的边，避圈前进，直到最小树。 最短路算法： Dijkstra法：从V s给定P标号T标号λ标号（T标号变为P标号λ标号记位置） 反向追踪：列表，d1(V1,V j)→d k(V1,V j)=min(ωij+d k(V1,V i))据最小权反向追踪 网络优化： 最小截集最大流：找到最小截集（弧的集合） 标号法：开始，为的标号， 最小费用最大流： 邮递员问题：通过消灭奇点，找欧拉回路 网络计划图： 最早开始最晚开始机动时间 最早结束最晚结束自由时差 工期优化：人力，费用，工期优化。 费用率=（最短时间费用-正常时间费用）/（正常时间-最短时间）②排队论（保证服务质量，又减少费用） 顾客源→（排队规则）队列→（服务规则）服务机构→离去 服务规则：FCFS，LCFS，随机服务，PR M(顾客到达)|A(服务时间)|1(服务台数)|∞（容量）|∞（顾客源） N(t)队长N q (t)排队长T(t)顾客逗留时间T q (t)顾客等待时间 L 平均队长L q 平均等待队长W 平均逗留时间W q 平均等待时间 R 为系统利用率 泊松流(M)：无后效性；平稳性；单个性； P 1(t,t+Δt)=λΔt+o(Δt)； o(Δt)=∑∞ 2P n (t,t+Δt);E ξ=D ξ=λt （t 时刻n 个顾客的概率） 负指数分布(M)：无记忆性(P(T>t+s/t>s)=P(T>t));[0,t)至少到达一 个顾客1-P 0(t ）=1-e -t λ,t>0 !)()(K t e t V K t k λλ-= ,2,1,0=K ?? ?<≥-=-0,00,1)(t t e t F t i λξ),2,1( =i 爱尔朗分布(E K )：（相当于泊松流到达后被k 个服务台均分顾客形成） (其中，t>0,E(T)=1/μ,Var(T)=1/μ2k ） )! 1()()(1 >-= --t e k t t f t k μμμ K=1为M ，k=∞定长分布D,k ≥30正态分布近似 G 表示一般相互独立的随机分布 Little 公式：（四者知一即可） μ1 + =q W W W L λ= q q W L λ= ρ+=q L L ∑∞ ==0 n n nP L ∑∑∞=∞ =+=-=s n n m s n q nP P s n L 0 )( 服务率：ρ=λ/μ(λ为到达μ为服务) 排队系统分析： 五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤 3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2最速下降法算法原理和步骤 4.模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进 最优化方法 一、引言 最优化理论与方法是一门应用性很强的年轻学科。它研究某些数学上定义的问题的最优解，即对于给出的实际问题，从众多的方案中选出最优方案。 虽然最优化可以追朔到十分古老的极值问题，然而，他成为一门独立的学科诗在上世纪40年代末，是在1947年Dantzing 提出求解一般线性规划问题的单纯型法之后。现在，解线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等各种最优化问题的理论的研究发展迅速，新方法不断出现，实际应用日益广泛。在电子计算机的推动下，最优化理论与方法在经济计划、工程设计、生产管理、交通运输等方面得到了广泛应用，成为一门十分活跃的学科。 现在大多数有代表性的最优化算法已有可以方便使用的软件包，如lindo\lingo 优化软件包。但有效利用这些成果是以有待解决的问题已被模型化成最优化问题的形式为前提的。要做到这点，要有深刻的洞察力和综合能力，这需要掌握最优化算法的结构和特点，并与专业知识的结合和兼蓄。 最优化有着丰富的内容和方法，本课我们主要介绍线性规和非线性规划的主要方法与理论他们是最优化理论的重要分支，也是最基本的部分。 第一部分：线性规划 第一章：单纯型法 第一节问题的引出: 例 1：某制造公司需要生产n 种产品，生产这n 种产品需要m 种不同的原材料，第i （i=1,2,.....m.。）种原材料的拥有量为b i 。实际情况很复杂，我们将其简化或理想化，只关注某个时间点的特定情况，第i 种原材料在某时间点的市场价格为ρi ，生产单位数量的第j 种产品需消耗第i 种原材料a ij 个单位。第j 种产品在同一时间点上的市场价格为σj 。 考虑问题一：如何安排1，2，…….n 种产品的生产，从而使收益最大 设第j 种的产量为j x 单位，第j 种产品的收益与市场销售价i σ有关，也与生产第j 种产 品所消耗的原材料费用1 m i j i i a ρ=∑有关，因此第j 种单位产品的纯收入为1 m j j ij i i c a σρ==-∑， 全部纯收入 j j c x ∑，此时0j x ≥。 而我们不可能超出原材料的拥有量生产产品。生产n 种产品时，所消耗的第i （i=1,2,.....m.。）种原材料的总量为 11221 n i i in n ij j j a x a x a x a x =++ +=∑ 陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日） 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系 最优化方法及其应用 作者：郭科 出版社：高等教育出版社 类别：不限 出版日期：20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4 组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载 最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人，每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，降低成本，以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解。 数学模型建好以后，选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法（算法）浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里，对最优化算法做一个简单的分类，并对一些比较常用的典型算法进行解析，旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多，根据不同的分类依据可以得到不同的结果，这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如，在资源有限的情况下，如何合理使用人力、物力和资金等资源，以获取最大效益；如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等，使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原始材料等）为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期，随着计算机技术的发展，出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。 整数线性规划理论 §1 概论 1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往 1.2 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.3 整数规划特点 （i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为 21min x x z += 0,0,5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：4 5min ,4 5,021===z x x 。LINGO1.lg4 LINGO11.lg4 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 例2 原线性规划为 21m i n x x z += 0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：2 3min ,23,021===z x x 。 若限制整数得：2min ,1,121===z x x 。LINGO2.lg4 LINGO21.lg4 （ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.4 求解方法分类： （i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行 1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为： 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析 注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。 一、用lingo 软件求解线性规划 例1： m a x 23..4310 3512,0 z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥ 在模型窗口输入： model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10; 3*x+5*y<12; ! the optimal value is :7.454545 ; End 如图所示： 运行结果如下（点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可）： Global optimal solution found. Objective value: 7.454545（最优解函数值） Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2（迭代次数） Variable （最优解） Value Reduced Cost X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.454545 1.000000 2 0.000000 0.9090909E-01 3 0.000000 0.5454545 例2： 12123124125m a x 54.. 390280450 z x x s t x x x x x x x x x x =+++=++=++=≥ 在模型窗口输入： model: max=5*x1+4*x2; x1+3*x2+x3=90; 2*x1+x2+x4=80; x1+x2+x5=45; end 运行（solve ）结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 215.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 35.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 25.00000 0.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 215.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 0.000000 3.000000 例3 第三章 整数线性规划 本章, 我们介绍三种解决整数线性规划问题的软件: 第一种: MATLAB 中的optimization toolbox 中的若干程序; 第二种: LINDO 软件; 第二种: LINGO 软件. 1. MATLAB 程序说明 程序名: intprogram, L01p_e, L01p_ie, transdetobi, biprogram intprogram 是利用分支定界法解决整数规划问题, 是全部的整数规划问题; L01p_e 是利用枚举法解决0-1规划问题, 变量要求全部为0或者1; L01p_ie 是利用隐枚举法解决0-1规划问题, 变量要求全部为0或者1; Transdetobi 是枚举法和隐枚举法中利用到的将十进制数转化为二进制数的函数; Biprogram 是MATLAB6.5以上版本中有的求解0-1规划的函数的程序. intprogram 执行实例1： 12 121212max 2010s.t.5424 2513 ,0, f x x x x x x x x =++≤+≤≥ 且为整数 在命令窗口的程序执行过程和结果如下: >> c=[-20,-10]; %将最大转化为最小; >> a=[5,4;2,5]; >> b=[24;13]; >> [x,f]=intprogram(c,a,b,[0;0],[inf;inf],[],0,0.0001) % c,a,b 之后[0;0] is the value of low bound;[inf;inf] is the value of up bound;[] is the initialization;0 is the number of the equation constraints; 0.0001 is the concise rate. x = 4.0000 1.0000 f = -90 intprogram 执行实例2: 书中例题3.3.1 在命令窗口的程序执行过程和结果如下: >> c=[-1,-1]; >> a=[-4,2;4,2;0,-2]; >> b=[-1;11;-1]; 第九章 最优化方法 本章主要介绍线性规划、0-1规划、非线性规划等问题的MATLAB 求解。 9.1 线性规划（Linear Programming ，简写为LP ）问题 线性规划问题就是求多变量线性函数在线性约束条件下的最优值。满足约束条件的解称为可行解，所有可行解构成的集合称为可行域，满足目标式的可行解称为最优解。 MATLAB 解决的线性规划问题的标准形式为： min z f x ￠ =? .. A x b s t Aeq x beq lb x ub ì祝??? ?í??＃??? 其中,,,,,f x b beq lb ub 为列向量，,A Aeq 为矩阵。 其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。 在MATLAB 中求解线性规划问题函数为linprog ，其使用格式为： [x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) 输入部分：其中各符号对应线性规划问题标准形式中的向量和矩阵，如果约束条件中有缺少，则其相应位置用空矩阵[]代替。 输出部分：其中x 为最优解，用列向量表示；fval 为最优值；exitflag 为退出标志，若exitflag=1表示函数有最优解，若exitflag=0表示超过设定的迭代最大次数，若exitflag=-2，表示约束区域不可行，若exitflag=-3，表示问题无解，若exitflag=-4，表示执行迭代算法时遇到NaN ，若exitflag=-5，表示原问题和对偶问题均不可行，若exitflag=-7，表示搜索方向太小，不能继续前进；output 表明算法和迭代情况；lambda 表示存储情况。 例1 用linprog 函数求下面的线性规划问题 整数线性规划 【数学模型】 m in T x f x st. A x b ?≤ A eq x b eq ?= lb x ub ≤≤ i x 取值为整数 其中f , x , b , beq , lb 和ub 为向量，A 和Aeq 为矩阵。 【函数】 intprog 【说明】 在Matlab 中无求解整数线性规划的现成函数，利用Matlab 的线性规划函数linprog 来编写整数线性规划函数，输入与输出与linprog 类似，采用分枝定界法来实现。 Matlab 主程序intprog 如下： function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e) %整数规划求解函数 intprog() % 其中 f 为目标函数向量 % A 和B 为不等式约束 Aeq 与Beq 为等式约束 % I 为整数约束 % lb 与ub 分别为变量下界与上界 % x 为最优解，fval 为最优值 % 控制输入参数 if nargin < 9, e = 0.00001; if nargin < 8, ub = []; if nargin < 7, lb = []; if nargin < 6, Beq = []; if nargin < 5, Aeq = []; if nargin < 4, I = [1:length(f)]; end , end , end , end , end , end %求解整数规划对应的线性规划,判断是否有解 options = optimset('display','off'); [x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options); if exitflag < 0 disp('没有合适整数解'); x = x0; fval = fval0; status = exitflag; return ; else %采用分支定界法求解 实验四 混合整数规划 一、问题重述 某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。 请帮该公司解决以下问题： (1) 就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？ (2) 在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A 1，A 3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A 4，A 5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A 2，A 6，A 7，A 8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？ 其中M 为你的学号后3位乘以10。 (3) 如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目 总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。 二、符号说明 i A :：投资额； i b ：i A 个项目所获得的年利润； i C ：第i A 个项目投资所获得的利润； 'i C ：第i A 个项目同时投资所获得的利润； i m ：投资i A 的上限； i y ：表示0—1变量； i p ：投资第i A 个项目的投资风险； 三、模型的建立 对于问题一 目标函数：8 1max i i i c x ==∑ s.t. 150000i i i i i i b x b x m ?≤? ??≤?∑ 对于问题二 设定0—1变量 131130...,1...,A A y A A ?? ?项目不同时投资项目同时投资 452450...,1...,A A y A A ???项目不同时投资 项目同时投资 2678326780...,,1...,,A A A A y A A A A ?? ?,项目不同时投资 ,项目同时投资 目标函数：'''' 11133111332445524455' '''322 66 77 88 322667788max ()(1)()()(1)()()(1)() y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c x c x c y x c x c x c x c =++-++++-++ ++++-+++ s.t. 1 13 131 24545 23267826783 1500001000i i i i i i b x k y x x x x y k y x x x x y k y x x x x x x x x y k b x m ?≤?? =??≤??≥?? ≤???≥? ?≤? ?≥?? ≤?∑ 对于问题三： 目标函数： max min max() i i i i i i c x b x p =∑ s.t. 150000i i i i i i b x b x m ?≤? ??≤?∑ 对于问题三模型的简化 固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险。 max i i i c x =∑ 第五章整数规划 一、填空题 1．用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的（）。 2．在分枝定界法中，若选Xr=4／3进行分支，则构造的约束条件应为（）。 3．已知整数规划问题P0，其相应的松驰问题记为P0’，若问题P0’无可行解，则问题P。（）。 4．在0 - 1整数规划中变量的取值可能是（）或（）。 5．对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其解中取值为1的变量数为（）个。 6．分枝定界法和割平面法的基础都是用（）求解整数规划。 7．若在对某整数规划问题的松驰问题进行求解时，得到最优单纯形表中，由X。所在行得X1+1／7x3+2／7x5=13／7，则以X1行为源行的割平面方程为（）。 8．在用割平面法求解整数规划问题时，要求全部变量必须都为（）。 9．用（）求解整数规划问题时，若某个约束条件中有不为整数的系数，则需在该约束两端扩大适当倍数，将全部系数化为整数。 10．求解纯整数规划的方法是割平面法。求解混合整数规划的方法是（）。 11．求解0—1整数规划的方法是隐枚举法。求解分配问题的专门方法是（）。 12．在应用匈牙利法求解分配问题时，最终求得的分配元应是（）。 13.分枝定界法一般每次分枝数量为（）个. 二、单选题 1．整数规划问题中，变量的取值可能是（）。 A．整数B．0或1C．大于零的非整数D．以上三种都可能 2．在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是A（）。 A．纯整数规划B．混合整数规划C．0—1规划D．线性规划 3．下列方法中用于求解分配问题的是（）。 A．单纯形表B．分枝定界法C．表上作业法D．匈牙利法 三、多项选择 精心整理 五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3 4 1.2 2. 2.1 1 2 3 2.2 3. 3.1 1 2 3 3.2 4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降 方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下： min(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t.g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。 6.1遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象（一般就是问题的解）的一种称呼。 种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体,它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度,而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。 6.2遗传算法基本流程 遗传算法的中心思想就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作,最终求得最优解或近似最优解。 遗传算法步骤 步1在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N，交叉率Pc和变异率Pm，代数T； 动态规划方法在计算机专业的应用 科目：最优化方法 姓名：*** 专业：计算机科学与技术 学号：201320405 指导老师：*** 日期：2014/1/9 动态规划方法在计算机专业的应用 摘要：最优化方法是一门很有用的学科，本文结合计算机专业，讨论了用动态规划方法解决计算最长公共子序列、最大字段和、背包问题的过程，并对比其它算法以说明动态规划方法的高效、实用。 关键词：动态规划，最优化，算法分析 Abstract: The optimization method is a useful discipline, this paper, a computer professional, discusses the process used to calculate the dynamic programming method to solve the longest common subsequence, the maximum field and, knapsack problem, and compared to other algorithms to illustrate the dynamic programming method efficient and practical. Keywords: dynamic programming, optimization, algorithm analysis 动态规划（dynamic programming）是通过结合子问题的解而解决整个问题的。（此处“programming”是指一种规划，而不是指写计算机代码。）动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下，若用分治法则会做很多不必要的工作，即重复地求解公共的子子问题。动态规划算法对每个公共的子子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算答案。 一、算法设计与优化 动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多可行解。 1 整数规划的MATLAB 求解方法 （一） 用MATLAB 求解一般混合整数规划问题 由于MATLAB 优化工具箱中并未提供求解纯整数规划和混合整数规划的函数，因而需要自行根据需要和设定相关的算法来实现。现在有许多用户发布的工具箱可以解决该类问题。这里我们给出开罗大学的Sherif 和Tawfik 在MATLAB Central 上发布的一个用于求解一般混合整数规划的程序，在此命名为intprog ，在原程序的基础上做了简单的修改，将其选择分枝变量的算法由自然序改造成分枝变量选择原则中的一种，即：选择与整数值相差最大的非整数变量首先进行分枝。intprog 函数的调用格式如下： [x,fval,exitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInteger) 该函数解决的整数规划问题为： ????? ??????∈=≥≤≤=≤=） 取整数（M j x n i x ub x lb b x A b Ax t s x c f j i eq eq T ) ,,2,1(0 ..min 在上述标准问题中，假设x 为n 维设计变量，且问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：c 、x 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为2m 维列向量，A 为n m ?1维矩阵，eq A 为n m ?2维矩阵。 在该函数中，输入参数有c,A,b,A eq ,b eq ,lb,ub,M 和TolXInteger 。其中c 为目标函数所对应设计变量的系数，A 为不等式约束条件方程组构成的系数矩阵，b 为不等式约束条件方程组右边的值构成的向量。Aeq 为等式约束方程组构成的系数矩阵，b eq 为等式约束条件方程组右边的值构成的向量。lb 和ub 为设计变量对应的上界和下界。M 为具有整数约束条件限制的设计变量的序号，例如问题中设计变量为621,,,x x x ，要求32,x x 和6x 为整数，则M=[2;3;6]；若要求全为整数，则M=1:6，或者M=[1;2;3;4;5;6]。TolXInteger 为判定整数的误差限，即若某数x 和最邻近整数相差小于该误差限，则认为x 即为该整数。 五种最优化方法 1. 最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2 原理和步骤 3. 最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2 最速下降法算法原理和步骤 4. 模式搜索法(步长加速法) 4.1 简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1 简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有 《最优化方法》复习题 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg m in m ax x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 一．单纯性法 1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12 21 21212max 25156224..5 ,0 z x x x x x s t x x x x =+≤??+≤??+≤??≥? 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12 121212 max 2322..2210 ,0z x x x x s t x x x x =+-≥-??+≤??≥? 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 1234 123412341234max 24564282..2341 ,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+≤??-+++≤??≥? 4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 123 123123123123max 2360210..20 ,,0 z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤??-+≤??+-≤??≥? 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 123 12312123max 224..26 ,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤??+≤??≥? 6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12 121212 max 105349..528 ,0z x x x x s t x x x x =++≤??+≤??≥? 7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分） 12 121212max 254212..3218 ,0 z x x x x s t x x x x =+≤??≤??+≤??≥?最优化方法简明教程—centre
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