经典高中数学必修三课件：用样本的数字特征估计总体的数字特征(第2课时).ppt

【解】 (1) x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s2甲＝16 [(99－ 100)2＋ (100 －100)2＋(98 －100)2＋ (100－ 100)2
＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s2乙＝16 [(99－ 100)2＋ (100 －100)2＋(102－ 100)2＋ (99－ 100)2 ＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又 s2甲>s2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定．
【名师点评】 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左 右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率 分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 之和．
跟踪训练 2．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位 工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
(1) 这 20 名 工 人 中 一 天 生 产 该 产 品 数 量 在 [55,75) 的 人 数 是 ________； (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________； (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
(3)方差的简化计算公式 s2＝n1[(x21＋x22＋…＋x2n)－n x 2] ＝n1(x21＋x22＋…＋x2n)－ x 2
＝n1i＝n1x2i － x 2.
(4)平均数、方差计算公式的推论 若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2，则： ①x1＋b，x2＋b，…，xn＋b 的平均数是 x ＋b，方差是_s_2_； ②ax1，ax2，…，axn 的平均数是 a x ，方差是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa_2_s_2__； ③ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的平均数是 a x ＋b，方差是 __a_2s_2__.

高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
-2-
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典例透析
IANLITOUXI
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征. 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用来解决有 关问题.
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典例透析
IANLITOUXI
方差的应用 【例2】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中 各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克): 甲:203 204 202 196 199 201 205 197
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典例透析
IANLITOUXI
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最 高矩形上端中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等, 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征, 因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致. (3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和.
5 21 000
工人
3 000 10 30 000
学徒
1 000 1 1 000
合计
35 700 23 107 000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗? 为什么?

知识探究
知识迁移
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性. 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
s甲=2，s乙=1.095.
人教版高中数学必修3
第2章 统计
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知识探究
知识探究（二）：标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算， 不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息， 但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时， 使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样 本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.
平均数是2.02. 平均数与中位数相等，是必然还是巧合？
知识探究
思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973， 这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？ 频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关. 注:在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并 由此估计总体特征.
分情况如下：
甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，
36，36，37，39，44，49.
乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，
28，38，39，51，31，29.
问题提出
甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，

布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？取
哪个值比较好？
频率/组距
0.6 0.5 0.4
取最高矩形底边 中点的横坐标 2.25作为众数.
0.3
0.2
0.1
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识探究（一）：从频率分布直方图中估计众数
问题4. 请大家翻回到课本看看原来抽样的数 据中有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定 义,2.25怎么会是众数呢？为什么？
人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。人生最精彩的不是实现梦想的一瞬间，而是坚持梦想的过程。人与人之间的差距， 么大，还是因为不能狠下心来逼自己日出东海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不钻牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。如果你坚信自己最优秀，那么你就 果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。头脑是日用品，而不是装饰品。我要的未来，要靠我自己去拼。想成功就要和成功者的思想、脚步 想干的人永远在找方法，不想干的人永远在找理由。要感谢痛苦与挫折，它是我们的功课，我们要从中训练，然后突破，这样才能真正解脱。要纠正别人 省自己有没有犯错。 也许终点只有绝望和失败，但这绝不是停止前行的理由。一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少。一个人只有 己伤疤的时候才知道什么是痛，什么是对与错。一个一味沉溺于往事的人，是不能张开双臂去拥抱今天的。一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。这 出来的结果反而会更好有人说，世界上最美的是梦，最长的是路；最易做的是梦，最难走的是路。愿你像那石灰，别人越是浇你冷水，你越是沸腾。真正 人，总是容易获得比别人更多的机会。如果缺少破土面出并与风雪拼搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。生活会辜负努力的人，但不会一直辜负 失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真正放下了，才知道它 现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。13.在我们的生活中，如果没有了 像小鸟在天空中飞翔时断了翅膀一样，永远不能前进。战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要像和风一样温柔。站起来的次数能够比跌倒的次数多 是强者。真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。真正的强者不是没有眼泪的人，而是含着眼泪奔跑的人。只会幻想而不行动的人， 不到收获果实时的喜悦。志坚智达言信行果，失败的尽头是成功努力的终点是辉煌。志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中竹根——即使被 人得见，也决然不会停止探索而力争冒出新笋。总要有一个人要赢，为什么不能是我。最坚固的捆绑是习惯。最可怕的不是有人比你优秀，而是比你优秀 更努力。最有希望的成功者，并不是才干出众的人而是那些最善利用每一时机去发掘开拓的人。昨天如影——记住你昨天的挫折和失败的教训；今天如画 生活、快乐和幸福的人生要靠你自己去描绘；明天如梦——珍惜今天,选择好自己的目标，努力地为自己的明天去寻求和拼搏。不曾扬帆，何以至远方。不 时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。不要 要顺其自然。该是你的终会得到。成功也就不会太远了。趁着年轻，不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的 一切的优越感，迟早会毁了你。成功的法则极为简单，但简单并不代表容易。成功的秘诀就是每天都比别人多努力一点。生命如自助餐厅，要吃什么菜自 命像流水，这些不快的事总要过去，如果注定一辈子要这么过，再不开心也没有用。如果你看到前面的阴影，别怕，那是因为你背后有阳光。如果为了安 海在一起，船就失去了存在的意义。山高路遥不足惧，最怕贪图安逸心。少壮不努力，老大徒伤悲。犹如一条船,每人都要有掌舵的准备。生活对于智者永 扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。金钱难买健康，健康大于金钱，金钱难买幸福，幸福必有健康，生命的幸福不在名利在健康，身体的强壮不在金钱在运 生有那么多的徒劳无功，梦想，我还是要一次次全力以赴。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。就算全世界都说我漂亮，但你却说我不漂亮 是不漂亮。可怕的是，比你优秀的人比你还要努力。空谈不如实干。踱步何不向前行。

2、平均数可以反映出更多的关于样本数据 全体的信息
3、平均数受数据中的极端值的影响较大，
使202平0/1/1均2 数在估计时可靠性降低。
11
例 某工厂人员及工资构成如下：
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数
分析：众数为200，中位数为220，
平202均0/1/12数为300。
12
（2）这个问题中，工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗？为什么？
1 众数：
在频率分布直方图中，就是最高矩形的
中点的横坐标
频率 组距
取最高矩形下端 中点的横坐标
2.25作为众数.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O2020/01/.152 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t) 6
2 中位数 中位数左边和右边的直方图面积相等
思考：在城市居民月均用水量样本数 据的频率分布直方图中，从左至右各 频率 个小矩形的面积分别是0.04，0.08， 组距 0.15，0.22，0.25，0.14，0.06， 0.04，0.02.由此估计总体的中位数是 什么t=？2.02
用样本的数字特征估计 总体的数字特征
2020/1/12
1
学习目标
（1）会用样本的基本数字特征估计总体的
基本数字特征。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样
本，从样本数据中提取基本的数字特征（如
平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）正确理解样本数据标准差的意义和作
用，学会计算数据的标准差。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的
标准差 sn 1[x (1x )2(x2x )2 (xnx )2]
标准差（方差）越大，数据的离散程度大 标准差（方差）越小，数据的离散程度越小

的时候，给自己一个微笑，那是一份洒脱；吃亏的时候，给自己一个微笑，那是一份淡然；失败的时候，给自己一个微笑，那是一份自信；被误解的时候，给自己一个微 的时候，给自己一个微笑，那是一份达观；痛苦的时候，给自己一个微笑，那是一份解脱……真正的勇者，不是没有眼泪的人，而是含着眼泪微笑奔跑
=2.02 平均数是2.02.
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.25
0.1
0.22 0.15
0.14
0.04 0.08
0.06 0.04 0.02
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识应用
例1.已知 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频 率分布直方图如右图所示，试利用频率分布直方 图求： (1)这200辆汽车时速的众数与中位数； (2)这200辆汽车的平均时速．
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
问题2.我们能否根据频率分布直方图估计这三个 数字特征(众数、中位数、平均数）呢？
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3 0.2
0.1
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识探究（一）：从频率分布直方图中估计众数
问题3.在城市居民月均用水量样本数据的频率分
知识应用
例 2. 某工厂人员及工资构成如下：
人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
日工资 2200 250
220 200 100
人数 1
6
5
10 1 23
合计 2200 1500

（3）平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离
群”的数据，对平均数的影响也越大，与众数和中位
数相比，平均数代表了数据更多的信息，当样本数据
质量比较差时，使用平均数描述数据的中心位置可能
与实际情况产生较大的误差。
（4）如果样本平均数大于样本中位数， 说明数据中存在许多较大的极端值；反 之，说明数据中存在许多较小的极端值。 在实际应用中，如果同时知道样本中位 数和样本平均数，可以使我们了解样本 数据中极端数据的信息，帮助我们作出 决策。
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2.2.2用样本的数字特征估计 总体的数字特征
一、众数、中位数、平均数
（1）众数：在样本数据中，频率分布最大值 所对应的样本数据或出现次数最多的那个数据。
（2）中位数：样本数据中，累计频率为0.5时 所对应的样本数据或将数据按大小排列，位于 最中间的数据（如果数据的个数为偶数，就取 当中两个数据的平均数作为中位数）。
数是3，则这个样本的标准差是 ___2___.
6.若样本x1, x 2 ,，x n的方差为0，则表示
（B）
A.x 0
B.x1 x 2 x n
C.x1 x 2 x n 0 D.总体方差一定是0
s2

1 n [(x1

x )2
(x2

x )2

(xn x )2 ]
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫
做这组数据的方差，一组数据方差越大，
则这组数据波动越大。
（2）标准差：我们把数据的方差的算术
平方根叫做这组数据的标准差，它也是一
个用来衡量一组数据的波动大小的重要的
量。
s
1 n
[( x1

问题
有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶十次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9578768 6 77
x甲 7
x乙 7
问题1解答 解：可计算知S甲=2，S乙≈1.095，由S甲>S乙可以知 道甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由
此可以估计乙比甲的射击成绩稳定。
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.是直方图的平衡点.频率直方图中每 个小长方形的面积乘以小矩形底边中点的 横坐标之和。
三、 三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中 点，但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.
2、中位数是样本数据所占频率 的等分线，它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优点，但它 对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s
1 n
[(
x1

x)2

( x2

x)2

( xn

x)2
]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
3.关于标准差的说明：
1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出S≥0。

要点：(1)查往年录取的新生的平均分数。 若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较 低，可以报考； (2)查往年录取的新生高考总分的标准差。 若标准差较大，说明新生的录取分数较分散， 最低录取线可能较低，可以考虑报考。
例4 在去年的足球甲A联赛中，甲队每场 比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的 标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1， 全年比赛失球个数的标准差为0.4。你认为下列 说法是否正确，为什么？ (1)平均来说甲队比乙队防守技术好； (2)乙队比甲队技术水平更稳定； (3)甲队有时表现很差，有时表现又非常 好； (4)乙队很少不失球。
思考: 对于一个容量为2的样本: x1, x2(x1<x2),
x1 x2 x2 x1 则 x ,s 2 2
在数轴上，这两个统计数据有什么几何 意义？由此说明标准差的大小对数据的离散 程度有何影响？ 标准差越大离散程度越大，数据较分 散；标准差越小离散程度越小，数据较集 中在平均数周围.
2. 标准差的一个应用
对于城市居民月均用水量样本数据，其平均 数 x = 1.973，标准差 s = 0.868. 在这100个数据中， 落在区间（x - s，x + s）=[1.105，2.841]外 的有28个； 落在区间（x - 2s，x + 2s）=[0.237，3.709] 外的只有4个； 落在区间（x - 3s，x + 3s）=[-0.631，4.577] 外的有0个.
【例2】一个小商店从一家食品有限公司购 进21袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g， 为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋白 糖的重量(单位: g)如下： 489 495 496 498 499 493 493 488 484 497 504 489 495 503 499 503 509 498 487 500 508 求（1）21袋白糖的平均重量x是多少？标准 差s是多少？ （2）重量位于 x – s 与 x + s 之间有多少袋 白糖？所占的百分比是多少？

课堂小结
1.利用频率分布直方图估计众数、中位数、 平均数，进而估计总体的数字特征
2.众数、中位数、平均数的特点
课下作业 课本P74 练习
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。

C.－x ，s2
D.－x ＋100，s2
【解析】
(1)因为
－x
＝
1 11
(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11
＋x)＝111(61＋x)＝6，所以x＝5.
方差为s2＝42＋22＋22＋12＋12＋1012＋12＋22＋32＋52＋12＝6116＝
6.
(2)样本数据x1，x2，…，x10的均值－x ＝110(x1＋x2＋…＋x10)，
解析：因为甲班学生成绩的平均分是85，所以
78＋79＋85＋80＋x＋80＋96＋92 7
＝85，解得x＝5，又因为乙班学
生成绩的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝8.
答案：8
类型二 方差、标准差的计算与应用
例2 (1)有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小
排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这
知识点一 众数、中位数、平均数
1．众数 一组数据中重复出现次数最__多__的数叫做这组数的众数，即在样 本数据中，频率_最__大__值___所对应的样本数据为众数．
2．中位数 把一组数据按__从__小__到__大___(或__从__大__到__小__)___的顺序排列，把处于 中__间__位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，
3．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数的众数为5，那么 该组数据的中位数是( )
A．7 B．5 C．6 D．11
解析：由这组数据的众数为5，可知x＝5，把这组数据由小到 大排列为－3,5,5,7,11，则可知中位数为5.
答案：B
4．已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为( ) A．5 B. 5 C．2 D. 2

想一想：某次数学期中考试，毛毛同学得了78分。
全班共30人，其他同学的成绩为1个100分， 4个90 分， 22个80分, 以及一个2分和一个10分。毛毛计 算出全班的平均分为77分，所以毛毛回家告诉妈妈 说，他这次成绩处于班级“中上水平”。这种说法 对吗？
探究：课本 P73
你认为“我们单位的收入水平比别的 单位高”这句话应当怎么解释？
如何从频率分布直方图中估计平均数 ？
频率 /组距
0.50 0.40
0.25 0.22
0.30 0.20
0.15
0.14
0.08
0.10
0.06
. . 0.04
.
..
. . . . 0.04 0.02
o
0.25
0.5
0.75
1 1.5 2
1.25 1.75
2.5
2.25 2.75
3
3.25
3.5
3.75
况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成 为缺点，你能举例说明吗？
对极端值不敏感有利的例子:
考察100位居民的月均用水量表中的数据，如果把 最后一个数据错写成22，并不会对样本中位数产生影 响也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防 错误数据的影响，而在实际应用中人为操作的失误经 常造成错误数据。
0.04
0.04
0.02
o
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
分总析结：：在在样本频数率据分中布，直有5方0%图的中个2体，.0小2把于频或率等分于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
于个或面等积于相中位等数的，分因界此线，在与频x轴率分交布点直的方横图坐中，标中称位为数中左位边和数右。边的直方图

（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相 等，但s乙<s甲，这表明乙的成绩比甲的成 绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以 选乙参赛。
.精品课件.
14
（3）方差的运算性质：
如果数据 x1, x2,, xn 的平均数为 x ，
方差为 s 2，则
（1）新数据 x1 b, x2 b,, xn b 的平均数为
成初始状态
1458 DT 1395 DT 1562 DT 1614 DT 1351 DT 1490 DT 1478 DT 1382 DT 1536 DT 1496 DT
继续按下表按键
按键
显示结果
SHIFT S-VAR 1 = 1476.2
SHIFT S-VAR 2 = 78.7309342
.精品课件.
解：S1 x= —5+—7+—7+—8+—10—+1—1 =8
6
数据 xi
S1 x
S2 xi－x
5
8
－3
S3 (xi－x)2 9
7
8
－1
1
7
8
－1
1
8
8
0
0
10
8
2
11
8
3
.精品课件.
4
9
8
S4 s2= —9+—1+—1+—0+—4+—9— =4； 6
S5 s 4 2.
所以这组数据的标准差是2.
(2)若x1, x2 , , xn的方差为2，那么 这组数据均乘以4后的方差为 _3_2__
（3）若k1,k2,…, k8的方差为3，则2(k1－3), 2(k2－3), …, 2(k8－3)的方差为__1_2_____

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方差 s2 n 1 [x ( 1 x )2 (x 2 x )2 (x n x )2]
标准差 sn 1[x (1x )2(x2x )2 (xnx )2]
标准差（方差）越大，数据的离散程度大 标准差（方差）越小，数据的离散程度越小
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例1：画出下列四组样本数据的直方图，说明它们 的异同点.
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。 2021/11/23
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（2）这个问题中，工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗？为什么？
因平均数为300，由表格中所列出的数据 可见，只有经理在平均数以上，其余的人 都在平均数以下，故用平均数不能客观真 实地反映该工厂的工资水平。
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0.3 0.2 0.1
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O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
3 平均数 平均数的估计值等于每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25频×率 0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22 +2.2组5距×0.25+2.75×0.14+3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.
（3）正确理解样本数据标准差的意义和作
用，学会计算数据的标准差。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的
意识。
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2
复习： 众数、中位数、平均数的概念
众数：在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．

用样本的数字特征估计 总体的数字特征(第2课时)
标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均 有时也会使我们作出对总体的片面判断．因为这个平均 数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能 忽的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状 态．
如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10次，每次命中的环数如下：
甲：７ 乙：９ ８ ５ ７ ７ ９ ８ ５ ７ ４ ６ ９ ８ １０ ６ ７ ７ ４ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价 ? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于x甲 7，x乙 7 两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的 水平就没有什么差异吗?
练习2.练习3.4.练习5