定积分的意义及其在几何中的应用

定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)题目：定积分的意义及其在几何中的应用学院兰州大学数学与统计学院专业数学应用班级 09数学教育二班学号 **********姓名蔡兴盛指导教师王宾国兰州大学教务处制二Ｏ一二年三月定积分的意义及其在几何中应用定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们的生活中也起着很重要的作用！内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。

幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。

关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何一、定积分的概念 1.1定积分的定义一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af nξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰1.2定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积．说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值． 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()b af x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）1.3定积分的性质性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4 ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ （其中a<c<b ）1.4用定积分求解简单的问题 1.4.1 求立体图形的体积用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为)(x σ,假设每一个基本的小块横截面积为A （x ）,则此小块的体积是A(x))(x σ,将所有的小块加起来，另0)(→x σ，我们可以得到其体积v=lim ∑==bx a x x x A )()(σ其中 a 和 b 分别为计算体积的起始值和终了值. 下面来看几个例题例1 求椭圆面1222222=++cz b y a x 所围立体的体积解：以平面0x x =a x ≤0()截椭球面,得椭圆在YOZ 平面上的正投影1)1()1(22222222=-+-ax c z ax b y所以截面面积函数为)1()(22a x bc x A -=π []a a x ,-∈于是求得椭球体积abc dx ax bc v aa ππ34)1(22=-=⎰-显然当c b a ===r 时,就等于球的体积334r π1.4.2定积分在初等数学里的应用近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用一、证明不等式运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设)(x f 与)(x g 都在[]b a 上可积且)()(x g x f ≤；则⎰⎰≤babax g dx x f )()(特别的当0)(≡x f 时，有0)(≥⎰badx x g例2 证明贝努利不等式 已知1->x 且N n x ∈≠0且2≥n求证：nx x n +≥+1)1(证明：若01<<-x 或110<+<x 且2≥n 时，1)1(1<+-n x 。

因此 ⎰⎰<+-01)1(xxn dx dx x 即为nx x n +>+1)1(。

若0>x 或11>+x 且2≥n 时1)1(1>+-n x 因此 ⎰⎰>+-x x n dx dx x 01)1( 由此可得nx x n +>+1)1(。

综合以上可得：当1->x 时，且0≠x N n ∈且 2≥n 时有nx x n +>+1)1(由上面的证明我们可以推广，去掉条件N n ∈时，结论仍然成立．所以，我们可以得到一个一般的结论设1->x 则若10<<α时，有x x αα+≤+1)1( 若0<α或1>α时，有x x αα+≥+1)1( 当且仅当0=x 时，两式中的等号成立例3．已知b a ,是实数，并且b a e <<，其中e 是自然对数的底，证明a b b a .> 证明：当b a e <<时，要证明a b b a >，只要证明b a a b ln ln > 既要证明bba a ln ln >b x a e ≤≤<时，因为0ln 12<-x x从而 0ln 1ln ln ln ln 2<-===-⎰⎰dx xx x xd x x a a b b b a b a b a 所以当b ae <<时，aab b ln ln <于是得到a b b a > 求和：根据微分与积分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积分和,再求导即可.二、定积分在几何中的应用 2.1定积分的微元法定积分的应用很广，仅介绍它在几何方面和物理方面的一些应用．首先说明一种运用定积分解决实际问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分析方法——微元法（或元素法）.在将具体问题中所求的量S （如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）表达成定积分：⎰=ba dx x f S )(时，总是把所求量S 看作是与变量x 的变化区间],[b a 相联系的整体量．当把区间],[b a 划分为若干小区间时，整体量S 就相应地分为若干部分量S ∆，而整体量等于各部分量之和，这一性质称为所求量对于区间],[b a 具有可加性.划分区间后，在各部分区间上，求出部分量的近似表达式x x f ∆)(，由可加性，总量的近似值可以表达成和式∑=-∆ni i i x x f 11)(（由于点i ζ任意选取时，和式极限有确定的值，常取iζ为区间的左端点1-i x ），从而这个和式的极限就是所求量的精确值，于是由定积分的定义，总量S 可用定积分来表达⎰=badx x f S )(一般地，如果某一实际问题中所求量S 满足以下条件：S 是与变量x 的变化区间],[b a 有关的量，且S 对于该区间具有可加性，所求量S 就可用定积分来计算.具体步骤如下：（1）确定积分变量，并求出相应的积分区间],[b a（2）在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，并在该小区间上找出所求量S 的微元dx x f dS )(=（3）写出所求量S 的积分表达式⎰=badx x f S )(，然后计算它的值.这里)(x dS dS =通常称为所求量S 的微分（或元素），这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定积分表达式的方法，通常称为微元法（或元素法）.2.2定积分求解平面图形面积 2.2.1直角坐标情形根据定积分的几何意义，由区间连续曲线)(x f y =、)(x g y =、],[),()((b a x x g x f ∈≥及直线b x a x ==,所围成的平面图形的面积A ，由定积分的性质，此式可写为dx x g x f A ba⎰-=)]()([ (利用微元法求解可得同样的结果)其中d dx x g x f A ba⎰-=)]()([就是面积元素2.2.2极坐标情形图 5-17某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便．用微元法计算：由极坐标方程()θρρ=所表示的曲线与射线βθαθ==,所围成的曲边扇形面积（图5-17）． 以极角为积分变量，积分区间为[]βα,，在[]βα,上任取一小区间[]θθθd +,，与它相应的小曲边扇形面积近似于以θd 为圆心角．()θρρ=为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素()[]θθρd dA 221=于是所求面积为()[]θθρβαd A 221⎰=例4 计算心形线()()0cos 1>+=αθαρ所围成的平面图形的面积（图5-18）． 解：由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积1A ，再2倍即得所求面积A ．对于极轴以上部分图形，θ的变化区间为[]π,0．相应于[]π,0上任一小区间[]θθθd +,的窄曲边扇形的面积近似于半径为)cos 1(θα+、圆心角为θd 的圆扇形的面积．从而得到面积元素()θθαd dA 22cos 121+=，得()θθαd A x2201cos 121+=⎰ =()θθθαd x⎰++022cos cos 2121=θθθαd ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2cos 21cos 223212 =x22sin 41sin 22321⎥⎦⎤⎢⎣⎡++θθθα =243πα 所以，所求面积为21232πα==A A2.3用定积分求解图形体积 2.3.1旋转体的体积设一旋转体是由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,、及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成（图5-19）．现用微元法求它的体积．在区间[]b a ,上任取[]dx x x +,，对应于该小区间的小薄片体积近似于以()x f 为半径，以dx 为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为图 5-19图5-18[]dx x f dV 2)(π=从a 到b 积分，得旋转体体积为()dx x fV ba⎰=2π类似地，若旋转体是由连续曲线()y x ϕ=与直线d y c y ==,及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转而成，则其体积为()dy y V dc ⎰=2ϕπ例5 求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（图5-20）．图 5-20解 将椭圆方程化为()22222x a ab y -=体积元素为()()dx x a ab dx x f dV 22222-==ππ所求体积为()()d x x a a b dx x a a b V a a ⎰⎰-=-=-1222222222ππ =2322234312ab x x a a b aππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 当a=b=R 时，得球体积V=R334π2.3.2平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分计算．图5-22 如图5-22所示，取上述定轴为x 轴，并设该立体在过点x=a 、x=b 且垂直于x 轴的两个平面之间，以A(x)表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积．A(x)为x 的已知的连续函数．取x 为积分变量，它的变化区间为[]b a ,．立体中相应于[]b a ,上任一小区间[]dx x x +,的薄片的体积，近似于底面积为A(x)、高为dx 的扁柱体的体积，即体积元素()dx x A dV =于是所求立体的体积为()dx x A V ba⎰=例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角α（图5-23）．计算这个平面截圆柱所得立体的体积．解： 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，以过底圆中心且垂直x 轴的直线为y 轴．此时，底圆的方程为222R y x =+222R y x =+．立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是直 角三角形．它的两条直角 边的长度分别为αtan y y 及，即αtan 2222x R x R --及．于是截面面积为()()αtan 2122x R x A -=因此所求立体体积为()adx x R V RRtan 2122-=⎰-=ααtan 323tan 21332R x x R RR =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- 3.4定积分在实际问题中的应用 3.4.1定积分在国民收入中的应用现在，我们讨论国民收入分配不平等的问题.观察如下图中的劳伦茨(MOLorenz)曲线. 横轴OH 表示人口(按收入由低到高分组)的累计百分比，纵轴OM 表示收入的累计百分比.当收入完全平等时，人口累计百分比等于收入累计百分比，劳伦茨曲线为通过原点、倾角为45°的直线；当收入完全不平等时，极少部分(例如1%)的人口却占有几乎全部(100%)的收入，劳伦茨曲线为折线OHL.实际上，一般国家的收入分配，既不会是完全平等，也不会是完全不平等，而是在两者之间，即劳伦茨曲线是图中的凹曲线ODL.图5-23易见劳伦茨曲线与完全平等线的偏离程度的大小(即图示阴影面积)，决定了该国国民收入分配不平等的程度.为方便计算，取横轴OH 为x 轴，纵轴OM 为y 轴，再假定该国某一时期国民收入分配的劳伦茨曲线可近似表示为y ＝f(x)，则[]1112000111()()()022A x f x dx x f x dx f x dx =-=-=-⎰⎰⎰即 不平等面积A ＝最大不平等面积(A+B)-B ＝12-1⎰f(x)dx系数AA B+表示一个国家国民收入在国民之间分配的不平等程度，经济学上， 称为基尼(Gini)系数，记作G. 1011(())/()22A G f x AB ==-+⎰＝112())f x -⎰显然，G ＝0时，是完全平等情形；G ＝1时，是完全不平等情形.例10 某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由y ＝x2，x∈［0，1］表示，试求该国的基尼系数.解: 如图7-15所示，有1120011()22A f x dx x dx =-=-⎰⎰ ＝3111111023236x -=-= 故所求基尼系数 1/610.331/23A AB ===+ 3.4.2定积分在投资问题中的应用对于一个正常运营的企业而言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的，比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等.但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大型企业，其收入和支出更是频繁的进行着.在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已知在t 时刻收入流的变化率为f(t)(单位：元/年、元/月等)，那么如何计算收入流的终值和现值呢?企业在［0，T ］这一段时间内的收入流的变化率为f(t)，连续复利的年利率为r.为了能够利用计算单笔款项现值的方法计算收入流的现值，将收入流分成许多小收入段，相应地将区间［0，T ］平均分割成长度为Δt 的小区间.当Δt 很小时，f(t)在每一子区间内的变化很小，可看做常数，在t 与t+Δt 之间收入的近似值为f(t)Δt，相应收入的现值为f(t)e-rtΔt，再将各小时间段内收入的现值相加并取极限，可求总收入的现值为现值＝0Trt dt -⎰f(t)e ， (1) 类似地可求得总收入的终值为终值＝()0TT t t dt --⎰f(t)e . (2)例11某企业将投资800万元生产一种产品，假设在投资的前20年该企业以200万元/年的速度均匀地收回资金，且按年利率5%的连续复利计算，试计算该项 投资收入的现值及投资回收期.解: 依题知f(t)＝200，由公式(1)知投资总收入的现值为 现值＝200.050.0502020020000.05t t e dt e --=-⎰ ＝4000(1-1e -)＝2528.4.假设回收期为T 年，则由公式(1)知0.050800Tt e dt -=⎰， 由此可解出T ＝-20ln0.8＝4.46(年)，所以回收期约为4.46年.若有一笔收益流的收入率为f ( t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值0y ()Trt P t e dt -=⎰ 结束：定积分与实际应用联系较近，牛顿曾利用积分从万有引力导出行星三定律．定积分在物理，化学，经济，工程中也有重要的应用，我相信，随着人类认识的不断发展，定积分将越来越在人们的科研中及各个学科中起着很重要的作用．参考文献 ：[1] 华东师大数学系编 数学分析上册 高等教育出版社[2] 数学分析上册 陈传璋 复旦大学数学系[3] 微积分及其应用 李公国（译） 徐氏基金会出版社[5] 竞赛数学教程 陈传理 张同君 高等教育出版社[6]定积分（经管类） 吴赣昌 中国人民大学出版社Theory, extension and application ofdefinite integral thoughtKong ShanshanContent summary：Definite integral problem is that the University has always been focused on learning mathematics, is one of the graduate entrance examination focused on investigation of content, so this article on the origins, development, and its definite integral in mathematics, geometry, physics, economics and other disciplines do focus on the application of. Bing with some examples in addition to the detailed analysis to these issues.Keywords: Definite integral Cauchy differential equations of physical geometry economic variables。