高考数学选修4-5 不等式选讲专题练习(含答案)

不等式选讲 选修4-51．已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.2．设函数()241f x x =-+. (1)画出函数()y f x =的图象；(2)若不等式()f x a x ≤的解集非空，求a 的取值范围.3．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 4．已知函数()2123f x x x =++-，（Ⅰ）若关于x 的不等式()13f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于t 的一次二次方程()20t f m -=有实根，求实数m 的取值范围． 5．选修4—5:不等式选讲已知函数ƒ(x)=|2x -a|+ |x -1|.（Ⅰ）当a=3时,求不等式ƒ(x)≥2的解集；(Ⅱ)若ƒ(x)≥5-x 对V.r6 R 恒成立,求实数a 的取值范围. 6．已知函数()()12f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤;（2）若关于x 的不等式()[]230,1f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。

7．已知m ，n ∈R ＋，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |. (1)当m ＝n ＝1时，求f (x )的最小值； (2)若f (x )的最小值为2，求证122m n +≥.8．选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.9．已知函数()312f x x x =-+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）设实数,a b 满足222a b m +=，证明： 2a b +≤10．设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()24f x k k ≥--恒成立，求实数k 的取值范围. 11．(导学号：05856266)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；(Ⅱ)若∃x 0∈R，使得f ()0x ＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围． 12．设函数()3f x x =+， ()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若()()24f x g x a x +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围. 13．已知函数()2321f x x x =+-- (1)求不等式()2f x <的解集；(2)若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围. 14．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 15．设函数()2f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式；(Ⅱ)如果当x R ∈时， ()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案1．(1)；(2).【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式即关于的不等式恒成立，利用绝对值不等式，得，进而求解实数的取值范围.试题解析：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以， 解得或，解得或.所以的取值范围是.2．（1）见解析（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x a x ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围．试题解析： (1)由于()25,2{23,2x x f x x x -+<=-≥，则()y fx =的图象如图所示：(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，故不等式()f x a x ≤的解集非空时， a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.3．（1）{|12}x x -≤≤；（2）()(),35,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为{}|12x x -≤≤.(2)由绝对值三角不等式的性质可得()4f x ≥，结合集合关系可得关于实数a 的不等式14,a ->求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.试题解析：(1)原不等式等价于()()3{221236x x x >++-≤或()()13{2221236x x x -≤≤+--≤或()()1{ 221236x x x <--+--≤，解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.∴原不等式的解集为{}|12x x -≤≤. (2)()()()212321234fx x x x x =++-≥+--=，14,3a a ∴->∴<-或5a >，∴实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．（Ⅰ）51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）35{|}22m m -≤≤． 【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为4，据此可得134a -<，则实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)方程的判别式()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，零点分段可得实数m 的取值范围是35{|}22m m -≤≤．试题解析： （Ⅰ）因为()2123f x x x =++-≥()()21234x x +--=，所以134a-<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，所以不等式等价于()()3{221238m mm >++-≤或13{2221238m m m -≤≤+-+≤或()()1{221238m m m <--+--≤，所以3522m <≤，或1322m -≤≤，或3122m -≤<-，所以实数m 的取值范围是35{|}22mm -≤≤．5．(Ⅰ){x|x≤32或x≥2}.(Ⅱ)[6，+∞).【解析】试题分析：(Ⅰ) 3a =时，即求解2312x x -+-≥，分33,1,122x x x ≥<<≤三种情况，分别去掉绝对值得不等式的解集即可；(Ⅱ)根据题设条件得251x a x x -≥---恒成立，令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，再根据再根据数形结合可求得a 的范围.试题解析：(Ⅰ)当3a =时,即求不等式2312x x -+-≥的解集. 33,1,122x x x ≥<<≤①当32x ≥时， 2312x x -+-≥，解得2x ≥；②当312x <<时， 3212x x -+-≥，解得0x ≤，此时无解；③当1x ≤时, 3212x x -+-≥，解得23x ≤.综上，原不等式的解集为2{ 3x x ≤或}2x ≥.(Ⅱ)由题设得不等式251x a x x -≥---对x R ∀∈恒成立.令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，作出函数()g x 和2y x a =-的图象(如图所示),则只需满足32a ≥，即6a ≥.故所求实数a 的取值范围是[)6,+∞.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 6．（1）4{|0}3x x -≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时， 22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x --≤≤-∈在上有解，故只需（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论． 试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-；若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ．综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤．（2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得， 又由题意知（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-， 所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-． 7．(1)32. (2)见解析.【解析】试题分析：（1）代入m ＝n ＝1，却掉绝对值，得到分段函数，判定分段函数的单调性，确定函数的最小值；（2）由题意得，函数的最小值为2，得22n m += ，利用基本不等式求解最值，即可证明.试题解析：(1)∵f (x )＝∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x ＝时，f (x )取最小值.(2)∵f (x )＝，∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数， ∴当x ＝时，f (x )取最小值f ()＝m ＋.∵m ，n ∈R，∴＋＝ (＋)(m ＋) ＝ (2＋＋)≥2点晴:本题主要考查了绝含有绝对值的函数的最小值问题及分段函数的图象与性质、基本不等式的应用，属于中档试题，着重考查了分类讨论思想与转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据绝对值的概念合理去掉绝对值号，转化为分段函数，利用分段函数的图象与性质，确定函数的最小值，构造基本不等式的条件，利用基本不等式是解答问题的关键. 【答案】(1) 3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2) 4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 试题解析：（1）当5m =时， ()()()()521{311 521x x f x x x x +<-=-≤≤->，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++， 知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()21{211 21m x x f x m x m x x +<-=--≤≤->，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥. 9．（1）53；（2）见解析【解析】试题分析： ()1写出分段函数，求得()f x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即可求出m 的值； ()2计算()22a b +，利用基本不等式即可得出结论。

不等式选讲课后练习第一节 不等式与绝对值不等式 第一课时 不等式基本性质1．设R d c b a ∈,,,，且d c b a >>,,则下列结论正确的是 ( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．cb d a > 2．下列不等式成立的是 ( )A ．log 32<log 25<log 23B ．log 32<log 23<log 25C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 32 3．设R b a ∈,,若0>-b a ，则下列不等式正确的是( )A ．0>-a bB ．033<+b a C ．022<-b a D ．0>+b a 4．若11<<<-βα,则下列各式中恒成立的是 ( )A ．02<-<-βαB ．12-<-<-βαC ．01<-<-βαD ．11<-<-βα 5．设11.->>>b a ，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2b a > D ．b a 22>6．若0,0<<<<c d a b ，则下列不等式中必成立的是( ) A ．bd ac > B ．dbc a > C ．d b c a +>+ D ．a-c>b-d 7．已知3328,8460<<<<y x ，则y x -的取值范围是 . 8．已知c b a ,,为三角形的三边长,则2a 与ac ab +的大小关系是 . 9．若b a Rc b a >∈,,,，则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ①b a 11< ②22b a > ③1122+>+c b c a ④c b c a > 10．已知{}正实数∈b a ,且b a ≠,比较ba ab 22+与b a +的大小.11．已知31<+<-b a 且42<-<b a ，求b a 32+的取值范围.12．实数z y x ,,满足122-=+-z y x x 且012=++y x ,试比较z y x ,,的大小.第二课时 基本不等式1．设+∈R y x ,,且满足404=+y x ，则y x lg lg +的最大值为 ( )A ．40B ．10C ．4D ．22．设+∈R y x ,且5=+y x ，则yx33+的最小值为 ( ) A ．10 B ．6C ．4D ．183．等比数列{}n a 的各项均为正数,公比1≠q ，设7593,2a a Q a a P =+=，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．Q P > B ．Q P < C ．Q P = D ．无法确定 4．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a 则 ( ) A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 5．已知在ABC ∆中，2,1==BC B ，则C 的最大值是 ( )A ．6π B ．2π C ．4π D ．3π 6．“1=a ”是“对任意正数12,≥+xax x ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 7．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .8．已知0,0>>b a ，且12=+b a ，则2242b a ab S --=的最大值为 . 9．已知0,0>>y x 且满足6=+y x ，则使不等式m yx ≥+91恒成立的实数m 的取值范围为 . 10．已知y x b a ,,,都是正数,且1=+b a ，求证:xy ay bx by ax ≥++))(( 11．已知y x R y x b a ,,,,,+∈为变量，b a ,为常数,且y x ybx a b a +=+=+,1,10的最小值为18，求b a ,12．(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由长方形休闲区1111D C B A 和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). （1）若设休闲区的长和宽的比x C B B A =1111,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式. （2）要使公园所占面积最小,休闲区1111D C B A 的长和宽应如何设计?第三课时 三个数的算术几何不等式1．设+∈R z y x ,,且6=++z y x ，则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A ．(∞-,lg6] B ．(∞-,3lg2] C ．[lg6,+∞) D ．[3lg2,+∞)2．若实数y x ,满足0>xy ，且22=y x ，则2x xy +的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若c b a ,,为正数,且1=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 ( )A ．9B ．8C ．3D ．314．已知632=++z y x ，则zyx842++的最小值为 ( )A ．3B ．2C ．12D ．125．当510≤≤x 时，函数)51(2x x y -=的最大值为 ( )A ．251B ．31C ．6754 D ．无最大值6．设+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，若)11)(11)(11(---=cb a M ，则必有 ( )A ．810<≤MB ．181<≤M C ．81<≤M D ．8≥M7．若0,0>>y x 且42=xy ，则y x 2+的最小值为 . 8．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即2ba b a +=*,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 .9．设正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231,231,231+++c b a 的最小值为 . 10．求函数)250()25()(2<<-=x x x x f 的最大值.11．已知y x ,均为正数，且y x >求证：3221222+≥+-+y yxy x x12．如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.第四课时 绝对值三角不等式1．已知实数b a ,满足0<ab ，下列不等式成立的是 ( )A ．b a b a ->+B ．b a b a -<+C ．b a b a -<-D ．b a b a +<-2．设1,1<<b a ，则b a b a -++与2的大小关系是 ( )A ．2>-++b a b aB ．2<-++b a b aC ．2=-++b a b aD ．不能比较大小 3．若关于x 的不等式a x x <++-32的解集为∅,则实数a 的取值范围为( ) A ．(∞-,1] B ．(∞-,1) C ．(∞-,5] D ．(∞-,5)4．不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A ．[1-,4] B ．(∞-,1-]∪[4,+∞) C ．(∞-,2-]∪[5,+∞) D ．[2-,5] 5．若不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 均成立,则实数a 的最大值是 ( ) A ．7 B ．9 C ．5 D ．116．对于实数y x ,，若12,11≤-≤-y x ，则12+-y x 的最大值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．77．已知13)(+=x x f ，若当b x <-1时，有),0(,,4)(+∞∈<-b a a x f ，则b a ,满足的关系为 . 8．若N n x ∈<,5，则下列不等式:①1lg 51lg+<+n n n n x ②1lg 51lg +<+n nn n x ③1lg 51lg+<+n n n n x ④1lg 51lg +<+n nn n x ，其中能够成立的有 .(填序号) 9．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解,则实数a 的取值范围是 .10．已知函数41)(,23)(++-=--=x x g x x f ，若函数1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围.11．已知函数1,13)(2<-+-=a x x x x f .求证:)1)((2)()(+<-a f a f x f .12．两个加油站B A ,位于某城市东akm 和bkm 处(b a <),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返B A ,两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的?第五课时 绝对值不等式的解法1．若11+>+x xx x ，则实数x 的取值范围是 ( ) A ．(1-,0) B ．[1-,0] C ．(∞-, 1-)∪(0,∞+) D ．(,∞-1-]∪[0,∞+ 2．若1>a ，则不等式1>+a x 的解集是 ( )A ．{}a x a x -<<-11B ．{}a x a x x ->-<11或 C ．∅ D ．R 3．已知集合{}{}312,0652>-=≤+-=x x B x x x A ，则B A 等于 ( ) A ．[]3,2 B ．[)3,2 C ．(]3,2 D ．)3,1(- 4．若规定bc ad dc b a -=，则不等式0111log2<x的解集为 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0, 2)D ．(0,1)∪(1,2) 5．不等式a xax >-1的解集为M ，且M ∉2，则a 的取值范围为 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤⎝⎛21,0 6．已知)2(log ax y a -=在(0,1)上是增函数,则不等式3log 1log ->+x x a a 的解集为 ( )A ．{}1-<x xB ．{}1<x xC ．{}11-≠<x x x 且D ．{}1>x x7．设2,,>-∈b a R b a ，则关于实数x 的不等式2>-+-b x a x 的解集是 . 8．在实数范围内,不等式112≤--x |的解集为 .9．若关于x 的不等式0212<++-a x ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 10．已知R a ∈，设关于x 的不等式4232+≥++-x x a x 的解集为A（1）若1=a ，求A（2）若R A =，求a 的取值范围.11．已知实数b a ,满足:关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对一切R x ∈均成立. （1）请验证8,2-=-=b a 满足题意.（2）求出所有满足题意的实数b a ,，并说明理由.（3）若对一切2>x ，均有不等式15)2(2--+≥++m x m b ax x 成立,求实数m 的取值范围.12．已知关于x 的不等式1+>ax a 的解集为{}0≤x x 的子集,求a 的取值范围.第二节 证明不等式的基本方法第一课时 比较法1．设m b a ,,都是正数,且b a <,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．1<++<m b m a b a B ．m b m a b a ++≥ C ．1≤++≤m b m a b a D ．bam b m a <++<12．“1>a ”是“11<a”的 ( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设b a B b a A R b a +=+=∈+,,,，则B A ,的大小关系是 ( )A ．B A ≥ B ．B A ≤C ．B A >D ．B A <4．已知下列不等式：①x x 232>+;②322355b a b a b a +>+;③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．设0,0>>b a ，下列不等式中不正确的是 ( )A ．ab b a 222≥+ B ．2≥+b a a b C ．b a b a a b +≥+22 D ．ba b a +≤+111 6．在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中,313311,0,0a a b a b a ≠>=>=则5a 与5b 的大小关系为 ( ) A ．55b a > B ．55b a < C ．55b a = D ．不确定 7．已知xc x b x a x -=+==<<11,1,2,10，则其中最大的是 . 8．若x 是正数，且23=-x x ，则x 与45的大小关系为 .9．设)0,0(2,2121>>+=+=b a ba Bb a A 则B A ,的大小关系为 . 10．已知0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+11．若n m b a ,,,都为正实数,且1=+n m 求证：b n a m nb ma +≥+12．已知函数b ax x x f ++=2)(，当q p ,满足1=+q p 时,证明：)()()(qy px f y qf x pf +≥+对于任意实数y x ,都成立的充要条件是10≤≤p .第二课时 综合法与分析法1．设0,0>>b a 且ab-(a+b)≥1,则 ( )A ．)12(2+≥+b aB ．12+≤+b a C ．2)12(+≤+b a D ．)12(2+>+b a2．若101<<x ，下面不等式中正确的是 ( )A ．)lg(lg lg )(lg 22x x x << B ．)lg(lg )(lg lg 22x x x << C ．22lg )lg(lg )(lg x x x << D ．22lg )(lg )lg(lg x x x <<3．下列三个不等式中:①b a <<0；②0<<a b ；③a b <<0，其中能使ba 11<立的充分条件有 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 4．要证012222≤--+b a b a ，只要证 ( )A ．01222≤--b a ab 2 B ．0214422≤+--+b a b a C ．01)2(222≤--+b a b a D ．0)1)(1(22≥--b a 5．已知c b a ,,为三角形的三边且ac bc ab P c b a S ++=++=,222，则 ( )A ．P S 2≥B ．P S P 2<<C ．P S >D ．P S P 2<≤ 6．设1x 和2x 是方程042=++px x 的两个不相等的实数根,则 ( )A ．21>x 且22>xB ．421<+x xC ．421>+x xD ．41=x 且12=x 7．等式“x x x x sin cos 1cos 1sin -=+”的证明过程:“等式两边同时乘以xxcos 1sin -得,左边1s i n s i n c o s 1s i n c o s 1s i n c o s 1s i n 2222==-=-⋅+=xxx x x x x x ，右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用了 的证明方法.(填“综合法”或“分析法”)8．设z y x ,,为正实数,满足032=+-z y x ，则xzy 2的最小值是 .9．设c b a ,,都是正实数，1=++c b a ，则c b a ++的最大值为 . 10．用分析法证明:当0>x 时,x x <sin .11．已知z y x ,,均为正数,求证：zy x xy z zx y yz x 111++≥++12．在某两个正数y x ,之间,若插入一个数a ，使y a x ,,成等差数列，若插入两个数c b ,，使y c b x ,,,成等比数列,求证：)1)(1()1(2++≥+c b a第三课时 反证法和放缩法1．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式是 ( ) A ．任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面 B ．任意多面体没有一个是三角形的面 C ．任意多面体没有一个是四边形的面 D ．任意多面体没有一个是五边形的面2．设z y x ,,都是正实数，xz c z y b y x a 1,1,1+=+=+=，则c b a ,,三个数 ( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 3．设yy x x N y x y x M y x +++=+++=>>22,2,0,0，则N M ,的大小关系是 ( )A ．N M >B ．N M <C ．N M =D ．不确定 4．c b a ,,不全为零等价为 ( )A ．c b a ,,均不为0B ．c b a ,,中至多有一个为0C ．c b a ,,中至少有一个为0D ．c b a ,,中至少有一个不为05．设c b a ,,是正数，b a c R a c b Q c b a P -+=-+=-+=,,，则“0>⋅⋅R Q P ”是“R Q P ,,”同时大于零”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若R b a ∈,，且1022=+b a ，则b a -的取值范围是 ( )A ．[]10,0B ．[]102,102-C ．[]10,10-D ．[]52,52- 7．用反证法证明命题“若0)(2≠++-ab x b a ax ,则a x ≠且b x ≠”时应假设 .8．在ABC ∆中,若P AC AB ,=是ABC ∆内一点，APC APB ∠>∠,求证:CAP BAP ∠<∠,用反证法证明时应分:假设 和 两类. 9．log 23与log 34的大小关系是 .10．关于复数z 的方程)(0)2()(2R a i z i a z ∈=+-+-，证明对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚根.11．若n 是大于1的自然数,求证：213121112222<+⋅⋅⋅+++n12．设n a a a ,,2,1⋅⋅⋅是正数，求证：12212321322121)()()(a a a a a a a a a a a a n n <+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++++第三节 柯西不等式与排序不等式第一课时 二维形式的柯西不等式1．已知),0(,),,0(,21+∞∈+∞∈x x b a ，使不等式212121))((x x ax bx bx ax ≥++成立的一个条件是( ) A ．1=+b a B ．122=+b a C ．1==b a D ．2122=+b a 2．已知R ∈θ，则θθcos 2sin 242++的最大值是 ( ) A ．32 B ．63 C ．36D ．6 3．已知n m b a ,,,均为正数，且2,1==+mn b a ，则))((an bm bn am ++的最小值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．14．已知123=+y x ，当22y x +取最小值时，y x ,的值为 ( )A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==132133y xB ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==133132y x C ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4161y x D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6141y x5．已知θ为锐角，b a ,均为正实数.则下列不等式成立的是 ( )A ．θθ22222sin cos )(b a b a +≤+ B ．θθ22222sin cos )(b a b a +≥+C ．θθ222222sin cos b a b a +=+ D ．θθ22222sin cos )(b a b a +<+ 6．若长方形ABCD 是半径为R 的圆的内接长方形,则长方形ABCD 周长的最大值为 ( ) A ．R 2 B ．R 22 C ．R 4 D ．R 247．若存在实数x 使a x x >-++1463成立,常数a 的取值范围为 . 8．已知2121,,,b b a a 为正实数，则≥++))((22112211b a b a b a b a . 9．函数106208)(22+--+-=x x x x x f 的最大值是 .10．已知+∈R b a y x ,,,，且1=+ybx a ，求y x +的最小值. 11．已知c b a ,,为正数,且满足c b a <+θθ22sin cos ，求证：c b a <+θθ22sin cos12．用柯西不等式推导点),(00y x P 到直线)0(0:22≠+=++B A C By Ax l 的距离公式.第二课时 一般形式的柯西不等式1．已知c b a ,,均大于0,，3,3222cb a Bc b a A ++++=，则B A ,的大小关系是 ( ) A ．B A > B ．B A ≥ C ．B A < D ．B A ≤2．已知1222=++c b a ，若12+≤++x c b a 对任意实数c b a ,,恒成立,则实数x 的取值范围是 ( ) A ．1≥x 或3-≤x B ．13≤≤-x C ．1-≤x 或3≥x D ．31≤≤-x 3．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( ) A ．1 B ．n C ．2n D ．n1 4.设c b a ,,均为正数且9=++c b a ，则cb a 1694++的最小值为 ( )A ．81B ．9C ．7D ．495．已知102222=+++d c b a ，则da cd bc ab +++的最小值为 ( ) A ．10 B ．10- C ．100 D ．100-6．设非负实数n a a a ,,,21⋅⋅⋅满足121=+⋅⋅⋅++n a a a ，则n a a a y n--+⋅⋅⋅+-+-=22222221的最小值为( )A ．12-n nB ．12+n nC ．121-+n n D ．1222-n n二、填空题(每小题8分,共24分)7．设R z y x ∈,,且满足1432,1222=++=++z y x z y x ，则=++z y x .8．设z y x c b a .,,,,都是正数,且30,36,25222222=++=++=++cz by ax z y x c b a ，则zy x cb a ++++= .9．设201221,,,a a a ⋅⋅⋅都是正数且1201221=+⋅⋅⋅++a a a 则201222012222121222a a a a a a ++⋅⋅⋅++++的最小值为 .10．已知R z y x ∈,,，且432=--z y x 求222z y x ++的最小值.11．已知实数d c b a ,,,满足3=+++d c b a ，56322222=+++d c b a ，求a 的最值.12．若n 是不小于2的正整数，证明：2221121413121174<--+⋅⋅⋅+-+-<n n第三课时 排序不等式1．设n a a a ,,,21⋅⋅⋅都是正数，n b b b ,,,21⋅⋅⋅是n a a a ,,,21⋅⋅⋅的任意一个排列，则1122111---+⋅⋅⋅++n n b a b a b a a的最小值是 ( )A ．1B ．nC ．2n D ．无法确定2．已知c b a ,,为正数，abc Q cb a b ac a c b P =++++=,222222，则Q P ,的大小关系是( ) A ．Q P > B ．Q P ≥ C ．Q P < D ．Q P ≤ 3．设321,,a a a 为正数，321231132321,a a a F a a a a a a a a a E ++=++=，则F E ,的关系是 ( ) A ．F E < B ．F E ≥ C ．F E ≤ D ．F E >4．)6111()1311)(411)(11(+⋅⋅⋅-+++n 的取值范围是 ( ) A ．(21，+∞) B ．(61，+∞) C ．(4，+∞) D ．(23-n ，+∞)5．一组实数为321,,a a a ，设321,,c c c 是另一组数321,,b b b 的任意一个排列,则332211c a c a c a ++的 ( ) A ．最大值为332211b a b a b a ++，最小值为132231b a b a b a ++ B ．最大值为133221b a b a b a ++，最小值为231231b a b a b a ++ C ．最大值与最小值相等为332211b a b a b a ++ D ．以上答案都不对 6．若20πγβα<<<<，则)2sin 22(sin 21cos sin cos sin cos sin γβααγγββα++-++=sib F 的符号为 ( )A ．0>FB ．0<FC ．0≥FD ．0≤F7．已知c b a ,,为正实数,则)()()(222222ab c c ac b b bc a a -+-+- 0(填≥≤><,,,).8．设b a ,都是正数,若a b b a Q a b b a P +=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=,22，则二者的关系是 .9．设正数c b a ,,的乘积)(1)(1)(1,1222b a c c a b c b a abc +++++=的最小值为 .10．设n x x x ≥⋅⋅⋅≥≥21，n y y y ≥⋅⋅⋅≥≥21 ，求证:2121)()(i ni i i ni iz x y x-≤-∑∑==其中n z z z ,,,21⋅⋅⋅是n y y y ,,,21⋅⋅⋅的任意一个排列.11．已知+∈R c b a ,,,求证abc ac b bc a b c a a c b c b a c b a 333222222222++≤+++++≤++12．利用排序原理证明切比雪夫不等式:若n a a a ≤⋅⋅⋅≤≤21且n b b b ≤⋅⋅⋅≤≤21，则⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n i i n i i i n i i b n a n b a n 111111第四节 数学归纳法证明不等式第一课时 数学归纳法1．某个命题:(1)当1=n 时,命题成立.(2)假设),1(+∈≥=N k k k n 时成立,可以推出2+=k n 时也成立,则命题对 成立. ( )A ．正整数B ．正奇数C ．正偶数D ．奇数 2．设)(212111)(+∈+⋅⋅⋅++++=N n nn n n f ，在利用数学归纳法证明时,从k n =到1+=k n 需添的项为( )A ．121+k B ．221+k C ．221121+++k k D ．221121+-+k k 3．记凸k 边形的内角和为)(k f ，则凸1+k 边形的内角和A k f k f +=+)()1(，则=A ( ) A ．2π B ．π C ．π2 D ．π23 4．在数列{}n a 中，121-=a ，前n 项和11-+=n S n ，先算出数列的前4项的值,再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是 ( ) A ．11-+=n a n B ．11-+=n n a n C ．n n a n -=2 D ．n n a n -+=15．已知93)72()(+⋅+=nn n f ，存在自然数m ，使得对任意+∈N n ，都能使m 整除)(n f ，则最大的m 的值为 ( )A ．30B ．26C ．36D ．6 6．在数列{}n a 中，311=a ，且n n a n n S )12(-=，通过求432,,a a a 猜想n a 的表达式为 ( ) A ．)1)(1(1+-n n B ．)12(21+n n C ．)12)(12(1+-n n D ．)22)(12(1++n n7．用数学归纳法证明),(212cos 212sin sin 1)12cos(3cos cos 21N n n n n n ∈≠-⋅+⋅=-+⋅⋅⋅+++πααααααα，在验证1=n 等式成立时,左边计算所得的项是 .8．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nny x +能被y x +整除”,当第二步假设)1,(12≥∈-=+k N k k n 命题为真时,进而需证=n 时,命题亦真.9．设平面内有n 条直线(2≥n ),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数,则=)4(f ;当4>n 时，=)(n f (用n 表示).10．用数学归纳法证明:若+∈N n ，求证：nnn2sin2sin 2cos2cos2cos2cos32αααααα=⋅⋅⋅11．已知数列{}n a 满足1,021==a a ，当+∈N n 时，n n n a a a +=++12，求证:数列{}n a 的第14+m 项(+∈N m )能被3整除.12．平面上有n 个圆,每两圆交于两点,每三圆不过同一点,求证这n 个圆分平面为22+-n n 个部分.第二课时 用数学归纳法证明不等式1．用数学归纳法证明)1,(111212≠∈--=+⋅⋅⋅++++++a N n aa aa a n n ，在验证1=n 时,左边所得的项( )A ．1B ．21a a ++ C ．a +1 D ．21a a ++2．用数学归纳法证明),5(22+∈≥≥N n n n n成立时第二步归纳假设的正确写法是 ( ) A ．假设k n =时命题成立 B ．假设)(+∈=N k k n 时命题成立 C ．假设)5(≥=k k n 时命题成立 D ．假设)5(>=k k n 时命题成立3．用数学归纳法证明“)(131312111+∈++⋅⋅⋅++++++=N n n n n n S n ”时，1S 等于( ) A ．21 B ．41 C ．3121+ D ．413121++4．利用数学归纳法证明不等式),2)((12131211+∈≥<-+⋅⋅⋅+++N n n n f n 的过程,由k n =到1+=k n 时,左边增加了 ( )A ．1项B ．k 项C ．12-k 项 D ．k2项5．设)(x f 是定义在正整数集上的函数,有)(k f 满足:当“2)(k k f ≥成立时,总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”.那么下列命题总成立的是 ( )A ．若9)3(≥f 成立,则当1≥k 时,均有2)(k k f ≥成立 B ．若25)5(≥f 成立,则当5<k 时,均有2)(k k f ≥成立C ．若49)7(<f 成立,则当8≥k 时,均有2)(k k f ≥成立 D ．若25)4(=f 成立,则当4≥k 时,均有2)(k k f ≥成立 6．对于正整数n ，下列说法不正确的是 ( )A ．n n 213+≥B ．n n 1.019.0-≥C ．n n 1.019.0-<D ．n n9.011.0-≥ 7．设b a ,均为正实数，+∈N n ，已知b na a N b a M n nn1,)(-+=+=，则N M ,的大小关系为 (提示:利用贝努利不等式,令abx =). 8．已知)(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n n n f ，用数学归纳法证明2)2(n f n>时，)2()2(1k k f f -+=________.9．若数列{}n a 的通项公式2)1(1+=n a n ，记)1()1)(1(221n n a a a c -⋅⋅⋅--=，试通过计算321,,c c c 的值,推测=n c ___________.10．用数学归纳法证明:),1(!21+∈>>⎪⎭⎫⎝⎛+N n n n n n11．设函数x x x x f ln )(-=，数列{}n a 满足)(,1011n n a f a a =<<+. （1）证明:函数)(x f 在区间(0,1)上是增函数. （2）证明:11<<+n n a a12．已知等比数列{}n a 的首项21=a ，公比n S q ,3=是它的前n 项和，求证:nn S S n n 131+≤+不等式课后作业参考答案第一课时不等式基本性质参考答案ABDACC 7. (27,56) 8.:a2<ab+ac 9.③10.【解析】因为-(a+b)=-b+-a=+=(a2-b2)·==,因为a>0,b>0且a≠b,所以>0,故+>a+b.11.【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得所以2a+3b=(a+b)-(a-b).因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<.12.【解析】x2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z≥y;x+y2+1=0⇒y-x=y2+y+1=+>0⇒y>x,故z≥y>x.第二课时基本不等式参考答案DDACAA 7. [9,+∞)8.2129.10.【证明】因为a,b,x,y都是正数,所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)≥ab(2xy)+xy(a2+b2)=(a+b)2xy. 因为a+b=1,所以(a+b)2xy=xy,所以(ax+by)(bx+ay)≥xy.【变式备选】已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:++≥9.【证明】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以++=++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号.所以++≥9.11.【解析】因为x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)2, 当且仅当=时取等号.又(x+y)min=(+)2=18,即a+b+2=18,①又a+b=10,②由①②可得或12.【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,由a2x=4000,得a=.则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160=80+4160(x>1).(2)S≥80×2+4160=1600+4160=5760.当且仅当2=,即x=2.5时取等号,此时a=40,ax=100.所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.第三课时三个数的算术几何不等式参考答案BCACCD 7.3438. a+(b*c)=(a+b)*(a+c) 9.110. f(x)=x(5-2x)2=×4x(5-2x)(5-2x)≤=.当且仅当4x=5-2x,即x=时,等号成立.所以函数的最大值是.11. 因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.12. 设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h,由图(3)可有2h+x=,所以h=(1-x),V=S底·h=6×x2·h=x2··(1-x)=2××××(1-x)≤9×=.当且仅当=1-x,即x=时,等号成立.所以当底面边长为时,正六棱柱容器容积最大,为.第四课时 绝对值三角不等式参考答案1.【解析】选B.因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|, 又|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a|+|b|=|a-b|.2.【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.【变式备选】已知p,q,x ∈R,pq≥0,x≠0,则 2.(填不等关系符号)【解析】当p,q 至少有一个为0时,≥2.当pq>0时,p,q 同号,则px 与同号,=|px|+≥2.故≥2.答案:≥3.【解析】选C.因为|x-2|+|x+3|≥|x -2-x-3|=5, 又关于x 的不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为 , 所以a≤5.4.【解析】选A.由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为4,所以不等式|x+3|+|x-1|≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2-3a≤4,解得-1≤a≤4. 5.【解析】选C.令f(x)=x 2+|2x-6|, 当x≥3时,f(x)=x 2+2x-6=(x+1)2-7≥9; 当x<3时,f(x)=x 2-2x+6=(x-1)2+5≥5.综上可知,f(x)的最小值为5,故原不等式恒成立只需a≤5即可,从而a 的最大值为5. 6.【解析】选A.由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)| ≤|x -1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y -2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.7.【解析】因为|f(x)-4|=|3x-3|=3|x-1|<a,所以|x-1|<,又当|x-1|<b 时,有|f(x)-4|<a,即|x-1|<b ⇒|x-1|<,所以b≤.答案:a-3b≥0 8.【解析】因为0<<1,所以lg<0,由x<5不能确定|x|与5的关系,所以可以否定①②③,而|x|lg<0,所以④成立. 答案:④9.【解析】因为f (x)=|x+1|+|x-2|=所以f(x)≥3,要使|a|≥|x+1|+|x -2|有解, 故|a|≥3,即a≤-3或a≥3. 答案:(-∞,-3]∪[3,+∞)10.【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式. 【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,因为x ∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥ |(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2, 于是有m+1≤-2,得m≤-3, 即m 的取值范围是(-∞,-3].11.【证明】|f(x)-f(a)|=|x 2-x+13-(a 2-a+13)| =|x 2-a 2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1| ≤|x -a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1), 所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【拓展提升】含绝对值不等式的证明 证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条:(1)恰当地运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条件.(2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法.12.【解析】设卡车行驶在距城市xkm处,它到两加油站的路程之和为ykm.所以y=|x-a|+|x-b|.因为|x-a|+|x-b|=|x-a|+|b-x|≥|(x-a)+(b-x)|=|b-a|=b-a.当且仅当(x-a)(b-x)≥0即a≤x≤b时取等号.所以该卡车在两加油站之间时,它到两加油站的路程之和是一样的.第五课时绝对值不等式的解法参考答案1.【解析】选A.由题意知<0,解得-1<x<0.2.【解析】选D.由|x|+a>1,得|x|>1-a,因为a>1,所以1-a<0,故该不等式的解集为R.【变式备选】若关于x的不等式|x-a|<1的解集为(2,4),则实数a的值为()A.3B.2C.-3D.-2【解析】选A.不等式|x-a|<1的解集为a-1<x<a+1,又因为2<x<4,所以a=3.3.【解析】选C.A={x|2≤x≤3},B=,所以A∩B=.【变式备选】已知集合M=,P=,则M∩P等于()A.{x|0≤x≤3,x∈Z}B.{x|0<x≤3,x∈Z}C.{x|-1≤x≤0,x∈Z}D.{x|-1≤x<0,x∈Z}【解析】选A.M=={x|-1≤x≤3},P=={x|-1<x≤4,x∈Z},所以M∩P={x|0≤x≤3,x∈Z}.4.【解析】选D.lo<0⇒lo|x-1|<0⇒0<|x-1|<1,所以0<x<1或1<x<2. 5.【解析】选B.因为2∉M,所以2∈RðM,所以≤a,即-a≤≤a,解得a≥.6.【解题指南】先由对数函数的单调性判断a的范围,再解不等式.【解析】选C.因为y=log a(2-ax)在(0,1)上是增函数,又a>0,所以u=2-ax为减函数,所以0<a<1,所以|x+1|<|x-3|,且x+1≠0,x-3≠0,由|x+1|<|x-3|得(x+1)2<(x-3)2,解得x<1.综上,得x<1且x≠-1.7.【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+|x-b|表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解. 【解析】函数f(x)=|x-a|+|x-b|的值域为:[|a-b|,+∞).因此,当∀x∈R时,f(x)≥|a-b|>2.所以,不等式|x-a|+|x-b|>2的解集为R.答案:R8.【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.【解析】由绝对值的意义,||x-2|-1|≤1等价于0≤|x-2|≤2,即-2≤x-2≤2,即0≤x≤4.答案:[0,4]9.【解析】当x>-1时,原不等式可化为ax2-x+2a-1<0,由题意知该不等式的解集为空集,结合二次函数的图象可知a>0且Δ=1-4a(2a-1)≤0,解得a≥;当x≤-1时,原不等式可化为ax2+x+1+2a<0.由题意知该不等式的解集为空集,结合二次函数的图象可知a>0且Δ=1-4a(2a+1)≤0,解得a≥.综上可知,a≥.答案:10.【解析】(1)当x≤-3时,原不等式为-3x-2≥2x+4,得x≤-3,当-3<x≤时,原不等式化为4-x≥2x+4,得-3<x≤0.当x>时,3x+2≥2x+4,得x≥2,综上,A={x|x≤0,x≥2}.(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,得x≥a+1或x≤,所以a+1≤-2或a+1≤,得a≤-2.综上,a的取值范围为a≤-2.11.【解析】(1)当a=-2,b=-8时,有|x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8|=|2x2-4x-16|.(2)在|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中,分别取x=4,x=-2,得,所以,所以a=-2,b=-8,因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.(3)由x2+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2),所以x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1),所以对一切x>2,均有不等式≥m成立,而=(x-1)+-2≥2-2=2(当且仅当x=3时等号成立),所以实数m的取值范围是(-∞,2].【拓展提升】不等式恒成立问题的求解方法不等式恒成立,求参数的取值范围,一般有三种常用的方法:(1)直接将参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)(或k≤f(x)),从而转化成求f(x)最值的问题.(2)如果参数不能分离,而x可以分离,如g(x)≥f(k)或g(x)≤f(k),则f(k)恒小于g(x)的最小值或恒大于g(x)的最大值,然后对关于参数k的不等式求解.(3)若不等式对于x,参数都是二次的,则借助二次函数在某区间上恒大于0或恒小于0求解.12.【解析】设y1=|x|,y2=ax+1.则y1=在同一直角坐标系中作出两函数图象,如图所示.|x|>ax+1的x,只需考虑函数y1=|x|的图象位于y2=ax+1的图象上方的部分,可知a≥1.第二节第一课时比较法参考答案1.【解析】选A.真分数的分子、分母同加上一个正数,分数值增大,可知A正确.2.【解析】选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.3.【解析】选C.因为A2-B2=(+)2-()2=2>0,所以A>B.【变式备选】已知a>b>0,c>d>0,m=-,n=,则m与n的大小关系是() A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n【解析】选C.因为a>b>0,c>d>0,所以m2=ac+bd-2,n2=ac+bd-bc-ad,所以m2-n2=bc+ad-2=(-)2≥0.所以m2≥n2,又m>0,n>0,所以m≥n.4.【解析】选C.①x2+3-2x=(x-1)2+2>0,所以①正确;②当a=b时,a5+b5=a3b2+a2b3,所以②不正确;③a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+ b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以③正确. 5.【解析】选D.+-=-==>0.6.【解析】选A.由等比数列的性质知a5=, 由等差数列的性质知b5=2b3-b1,所以a5-b5=-2b3+b1==>0,所以a5>b5.7.【解析】因为0<x<1,所以a>0,b>0,c>0,又a2-b2=(2)2-(1+x)2=-(1-x)2<0,所以a2-b2<0,所以a<b.又c-b=-(1+x)=>0,所以c>b,所以c>b>a.答案:c8.【解析】由x3-x=2知x2-1=,所以(x2-1)(x2+1)=(x2+1)=2>4,即x4-1>4,从而x4>5,所以x>.答案:x>9.【解题指南】本题可考虑使用作商法,另外化简时可考虑使用基本不等式.【解析】因为==×=≥=1(当且仅当a=b时,等号成立).又因为B>0,所以A≥B.答案:A≥B10.【证明】===≥=1,所以+≥+.【一题多解】本题还可用以下方法证明:+-(+)==.因为+>0,>0,(-)2≥0,所以+≥+.11.【证明】因为()2-(m +n)2=ma+nb-m2a-n2b-2mn=m(1-m)a+n(1-n)b-2mn=mn(-)2≥0,又>0,m +n>0,所以≥m +n.12.【证明】pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2(因为p+q=1).充分性:若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1].所以pq≥0,所以pq(x-y)2≥0,所以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),则pq(x-y)2≥0,因为(x-y)2≥0,所以pq≥0.即p(1-p)≥0,所以0≤p≤1.综上,原命题成立.第二课时综合法与分析法参考答案1.【解析】选A.因为≤,所以ab≤(a+b)2,所以(a+b)2-(a+b)≥ab-(a+b)≥1,所以(a+b)2-4(a+b)-4≥0,所以a+b≤2-2或a+b≥2+2.又a>0,b>0,所以a+b≥2+2.2.【解析】选D.因为1<x<10,所以0<lgx<1,所以0<(lgx)2<1,0<lgx2<2,lg(lgx)<0.又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)<0,所以0<(lgx)2<lgx2,所以lg(lgx)<(lgx)2<lgx2.3.【解析】选A.①a<0<b ⇒<;②b<a<0⇒<;③b<0<a ⇒>,故选A.4.【解析】选D.a2+b2-1-a2b2=-(a2-1)(b2-1),要证原不等式成立,只需证-(a2-1)(b2-1)≤0,即证(a2-1)(b2-1)≥0.5.【解析】选D.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,即S≥P.又三角形中|a-b|<c,所以a2+b2-2ab<c2,同理b2-2bc+c2<a2,c2-2ac+a2<b2,所以a2+b2+c2<2(ab+bc+ca),即S<2P.6.【解析】选C.由方程有两个不等实根知Δ=p2-16>0,故>4.又x1+x2=-p,所以=>4.7.【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法. 答案:综合法8.【解析】由x-2y+3z=0得y=,代入得=≥=3,当且仅当x=3z时,取等号.答案:39.【解题指南】本题需把++的最大值问题转化为(++)2的最大值问题,注意“1”的使用.【解析】因为(++)2=a+b+c+2+2+2≤1+(a+b)+(b+c)+(c+a)=1+2(a+b+c)=3,所以++≤,当且仅当a=b=c=时等号成立.答案:【拓展提升】解含有根式的问题(1)含有根式的问题,往往是先确定符号,通过平方将其有理化解决.(2)平方过程中要注意变形的恒等性.10.【证明】当x>0时,要证sinx<x,即证f(x)=sinx-x<0=f(0),即证f'(x)=cosx-1≤0,显然当x>0时,f'(x)=cosx-1≤0,故原命题成立.【变式备选】用分析法证明:当x>1时,x>ln(1+x).【证明】当x>1时,要证x>ln(1+x),即证f(x)= x-ln(1+x)>0=f(0),即证f'(x)=1-=>0,显然x>1时,f'(x)>0,所以原命题成立.【拓展提升】分析法证明不等式的技巧(1)用分析法证明不等式,是从要证的不等式着手,逐步推求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知正确的不等式或为已知条件,这是一种执果索因的思考方法和证明方法.(2)当所证的不等式与基本不等式没有什么直接联系,或条件与结论之间的关系不明显时,可用分析法来寻找证明途径.11.【证明】因为x,y,z均为正数,所以+=≥,同理得+≥,+≥(当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立),将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得++≥++.12.【证明】方法一:由条件得消去x,y即得:2a=+,且有a>0,b>0,c>0,要证(a+1)2≥(b+1)(c+1),只需证a+1≥,因为≤=+1,所以只需证2a≥b+c,而2a=+,所以只需证+≥b+c,即b3+c3≥bc(b+c),(b+c)(b2+c2-bc)≥bc(b+c),而b+c>0,则只需证b2+c2-bc≥bc,即(b-c)2≥0,上式显然成立.所以原不等式成立.方法二:由等差、等比数列的定义知:用x,y表示a,b,c 得所以(b+1)(c+1)=(+1)(+1)≤=(2x+y+3)(x+2y+3)≤==(a+1)2,所以原不等式成立.第三课时反证法和放缩法参考答案答案解析1.【解析】选A.“至少有一个”的否定是“一个也没有”.2.【解析】选C.a+b+c=x+y+z+++≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时等号成立. 所以a,b,c三者中至少有一个不小于2.3.【解析】选B.N=+>+==M.4.【解析】选D.a,b,c不全为零的意思是a,b,c中至少有一个不为0.5.【解析】选C.必要性显然成立.充分性:若P·Q·R>0,则P,Q,R同时大于零或其中有两个负的,不妨设P<0,Q<0,R>0.因为P<0,Q<0.即a+b<c,b+c<a.所以a+b+b+c<c+a.所以b<0,与b>0矛盾,故充分性成立.6.【解析】选D.令a=cosθ,b=sinθ,则a-b=(cosθ-sinθ)=2cos,因为-1≤cos≤1,所以a-b ∈.7.【解析】用反证法证明时要对结论进行否定,即x=a或x=b.答案:x=a或x=b8.【解析】反证法对结论的否定是全面的否定,∠BAP<∠CAP的对立面就是∠BAP=∠CAP,∠BAP>∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP∠BAP>∠CAP9.【解析】log23-log34=-=>=>=0,所以log23-log34>0,所以log23>log34.答案:log23>log3410.【证明】假设原方程有纯虚根,令z=ni,n≠0,则有(ni)2-(a+i)ni-(i+2)=0,整理可得-n2+n-2+(-an-1)i=0,所以则对于①,判别式Δ<0,方程①无解,故方程组无解,故假设不成立,所以原方程不可能有纯虚根.11.【证明】因为<=-,k=2,3,…,n,所以+++…+<+++…+=+++…+=2-<2,所以+++…+<2.【拓展提升】放缩法证明不等式的策略(1)放缩法是一种比较常用的证明不等式的方法,它通常采用加项或减项的“添舍”放缩,拆项分组对比的“分项”放缩,函数的单调性放缩,以及应用基本不等式或重要不等式放缩等.(2)在分式中可通过放大或缩小分母来放缩分式,如<,>(k>1且k∈N+)等.12.【证明】左边<++…+=++…+=-<=右边,故++…+<.第三节柯西不等式与排序不等式第一课时二维形式的柯西不等式参考答案1.【解析】选A.(ax1+bx2)(bx1+ax2)=[()2+()2][()2+()2]≥(·+·)2=(a +b)2=(a+b)2x1x2,所以a+b=1时,可有(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2.2.【解析】选B.由4+cosθ≤·=3.当且仅当4cosθ=,即sinθ=±,cosθ=时,等号成立,故选B.3.【解题指南】分析已知条件的结构形式,有和有积,所以考虑利用柯西不等式求解.【解析】选A.(am+bn )(an+bm)≥(+)2=mn·(a+b)2=2·1=2,当且仅当=⇒m=n时取最小值2. 4.【解析】选A.x2+y2=(x2+y2)(32+22)≥(3x+2y)2=,当且仅当=时取等号,得5.【解析】选A.设m =,n=(cosθ,sinθ),则|a+b|=≤·=,所以(a+b)2≤+.6.【解析】选D.如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是ABCD的周长l =2(x+)=2(1×x+1×).由柯西不等式得l≤2[x2+()2(12+12=2×2R×=4R.当且仅当x·1=·1,即x=R时等号成立.此时,==R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为4R. 7.【解析】+=×+1×,由柯西不等式得(×+1×)2≤(3+1)·(x+2+14-x)=64,所以+≤8,当且仅当x=10时取“=”,于是,常数a的取值范围是(-∞,8).答案:(-∞,8)8.【解题指南】对比柯西不等式的原型,构造两组向量数可取为:α=(,),β=.【解析】(a1b1+a2b2)=[()2+()2]≥=(a1+a2)2.答案:(a1+a2)2【拓展提升】利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等.9.【解题指南】由三角形式稍作变化,即得-≤.【解析】f(x)=-=-≤=.答案:10.【解题指南】可以整体代换:x+y=(x+y),也可以用柯西不等式. 【解析】构造两组实数,,,.因为x,y,a,b∈R+,+=1,所以x+y=[()2+()2]·≥(+)2.当且仅当∶=∶,即=时取等号.所以(x+y)min =(+)2.【一题多解】x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+2= (+)2,当且仅当=,即ay2=bx2时,取等号.所以x+y的最小值为(+)2.11.【证明】由柯西不等式,得cos2θ+sin2θ≤[(cosθ)2+(sinθ)2(cos2θ+sin2θ=(acos2θ+bsin2θ<.12.【解析】设点P1(x1,y1)是直线l上的任意一点,则Ax1+By1+C=0.(1)|P1P|=.(2)点P1,P两点间的距离|P1P|有最小值,有≥|A(x0-x1)+B(y0-y1)|=|Ax0+By0+C-(Ax1+By1+C)|,由(1)(2)得:·|P1P|≥|Ax0+By0+C|即|P1P|≥.(3)当且仅当(y0-y1)∶(x0-x1)=B∶A,P1P⊥l时.(3)式取等号,即点到直线的距离公式为|P1P|=第二课时一般形式的柯西不等式参考答案1.【解析】选B.因为(12+12+12)·(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,所以≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.又a,b,c均大于0,所以a+b+c>0,所以≥,故选B.2.【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+c)2,所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤|x+1|,所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.。

数学选修4-5 不等式选讲[基础训练A 组]一、选择题1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+2．若,x y R ∈且满足32x y +=,则3271x y ++的最小值是（ )A ．B ．1+C ．6D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++， 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是( ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．若,,x y a R +∈,且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ )A ．2B ．1 D ．125．函数46y x x =-+-的最小值为（ )A ．2B ．4 D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ )A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-二、填空题1．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。

2．若0,0,0a b m n >>>>,则b a , a b , m a m b ++， nb n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________.4．设1010101111112212221A =++++++-,则A 与1的大小关系是_____________。

5．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________.三、解答题1．已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2．解不等式7340x x +--+>3．求证:221a b ab a b +≥++-4．证明：1)1...<+<数学选修4—5 不等式选讲[综合训练B 组]一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立,则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2． 若(,1)x ∈-∞,则函数22222x x y x -+=-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1-3．设P =，Q =R =，则,,P Q R 的大小顺序是（ )A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >>4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有( )A ．108M ≤<B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥6．若,a b R +∈，且,a b M≠=, N =，则M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x =--的最大值是__________。

新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题解答第一讲 不等式和绝对值不等式 习题1.1 （P9）1、（1）假命题. 假如32>，但是3(1)2(1)⋅-<⋅-. （2）假命题. 假如32>，但是223020⋅=⋅. （3）假命题. 假如12->-，但是22(1)(2)-<-.（4）真命题. 因为c d <，所以c d ->-，因此a c a d ->-. 又a b >，所以a d b d ->-. 因此a c b d ->-. 2、因为22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=> 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+3、（1）因为a b >，10ab >，所以11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>，即11a b <； （2）因为a b >，0c <，所以ac bc <. 因为c d <，0b >，所以bc bd <. 因此ac bd <.4、不能得出. 举反例如下：例如23->-，14->-，但是(2)(1)(3)(4)-⨯-<-⨯-.5、（1）因为,a b R +∈，a b ≠，所以22a b ≠，即b a a b ≠. 所以2b a a b +>.（2）因为0a b +>>，所以1a b <+所以122ab ab a b ⨯<=+2ab a b <+6、因为,,a b c 是不全相等的正数所以a b +≥b c +≥，c a +≥，以上不等式不可能全取等号.所以（1）()()()8a b b c c a abc +++>=（2）()()()a b b c c a +++++>所以a b c ++>7、因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c d cd +≥，222d a da +≥ 所以22222222()()()()2()a b b c c d d a ab bc cd da +++++++≥+++ 即2222a b c d ab bc cd da +++≥+++8、因为2211112a x a x +≥，2222222a x a x +≥，……，222n n n n a x a x +≥ 所以22222212121122()()2()n n n n a a a x x x a x a x a x +++++++≥+++即112222()n n a x a x a x ≥+++ ，所以11221n n a x a x a x +++≤9、因为2222222222(2)()()02244x y x y x y x y xy x y +++-++--==≥， 所以222()22x y x y ++≥. 10222=≥=22≥11、因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，所以2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++222222222222()()()()222()()1a b b c c a a b c a b b c c a a b ca b c =++++++++≥+++++=++=所以22213a b c ++≥12、（1）因为,,a b c R +∈，所以3a b c b c a ++≥=，3b c a a b c ++≥= 所以()()9a b c b c ab c a a b c++++≥（2）因为,,a b c R +∈，所以0a b c ++≥>，2220a b c ++≥所以222()()9a b c a b c abc ++++≥= 13、设矩形两边分别为,a b ，对角线为定值d ，则222a b d +=∴222222()22()2a b a b ab a b d +=++≤+=∴a b +≤，2()a b +≤ ∴当且仅当a b =时，以上不等式取等号.∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为因为22222a b d ab +≤=，当且仅当a b =时等号成立 所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为22d14、因为222()2h r R +=，所以22244r h R +=.根据三个正数的算术—几何平均不等式，得2222422R r r h =++≥所以，球内接圆柱的体积2V r h π=≤当且仅当222r h =，即r =，h =时，V 取最大值. 15、因为222a b ab +≥，所以2212ab a b ≤+，即2212b a a b ⨯≤+. 由于220min{,}b h a a a b <=≤+，22220min{,}b bh a a b a b <=≤++所以22212b h a a b ≤⨯≤+，从而h ≤习题1.2 （P19）1、（1）()()22a b a b a b a b a a ++-≥++-==（2）2()2a b b a b b a b -+≥-+=+，所以2a b a b b +--≤2、证法一：2212112x xx x x x x x+++==≥=. 证法二：容易看出，无论0x >，还是0x <，均有11x x x x+=+所以112x x x x +=+≥3、（1）()()x a x b a x x b a x x b a b -+-=-+-≥-+-=- （2）因为()()a b x b b a x b b a x b x a -+-=-+-≥-+-=- 所以x a x b a b ---≤-另证：()()x a x b x a x b a b ---≤---=-4、（1）()()()()22A B a b A a B b A a B b εεε+-+=-+-≤-+-<+=（2）()()()()22A B a b A a b B A a b B A a B b εεε---=-+-≤-+-=-+-<+=5、4646(4)(6)2y x x x x x x =-+-=-+-≥-+-= 当且仅当(4)(6)0x x --≥，即[4,6]x ∈时，函数y 取最小值2.6、7、8、（1）5235x -<-< 228x -<< 14x -<<∴原不等式的解集为(1,4)-（2）251x -≤-或251x -≥ 24x ≤或26x ≥ 2x ≤或3x ≥∴原不等式的解集为(,2][3,)-∞+∞ （3）13132x -<+< 1422x -<<84x -<<∴原不等式的解集为(8,4)-（4）2418x -≥ 414x -≥414x -≤-或414x -≥ 43x ≤-或45x ≥ 34x ≤-或54x ≥ ∴原不等式的解集为35(,][,)44-∞-+∞（1）6341x -≤+<-或1346x <+≤ 1035x -≤<-或332x -≤≤ 10533x -≤<-或213x -≤≤ ∴原不等式的解集为1052[,)(1,]333--- （2）9523x -<-≤-或3529x ≤-<1428x -<-≤-或224x -≤-< 47x ≤<或21x -<≤ ∴原不等式的解集为(2,1][4,7)-（1）令30x -=，50x -=得3x =，5x = ①当3x <时354x x -+-+≥2x ≤∴2x ≤②当35x ≤<时 354x x --+≥9、(1,)a ∈+∞第二讲 证明不等式的基本方法 习题2.1 （P23）1、因为a b >，所以0a b ->. 因此33()a b ab a b ---222222()()()()()()()0a b a ab b ab a b a b a ab b ab a b a b =-++--=-++-=-+>所以33()a b ab a b ->-2、因为ad bc ≠，所以22222()()()a b c d ac bd ++-+（2）令20x -=，30x +=得2x =，3x =- ①当3x <-时234x x -+--≥ 52x ≤-∴3x <-②当32x -≤<时234x x -+++≥ 54≥ ∴32x -≤< ③当2x ≥时234x x -++≥32x ≥∴2x ≥∴原不等式的解集为R（3）令10x -=，20x -=得1x =，2x = ①当1x <时122x x -+-+<12x >∴112x << ②当12x ≤<时 122x x --+< 12< ∴12x ≤< ③当2x ≥时122x x -+-<52x <∴522x ≤<∴原不等式的解集为15(,)22222222222222()(2)()0a c a dbc bd a c a b c d b da dbc =+++-++=->所以22222()()()a b c d ac bd ++>+3、因为a b ≠，所以42242264()a a b b ab a b ++-+4224222222222222424()4()2()(2)(2)(2)()0a ab b a b ab a ba b a b a b a b a b a b a b =++-++=+-+⋅+=+-=->所以42242264()a a b b ab a b ++>+ 4、因为,,a b c 是正数，不妨设0a b c ≥≥>，则()1a b a b -≥，()1b c b c -≥，()1c a ca -≥因为0b c c aaa bc+++>，且222222()()(a b c a bcbcab ccaaba bc a babca bcbc a---------+++==≥所以222a b c b c c a a b a b c a b c +++≥ 习题2.2 （P25）1、因为222252(2)(2)(1)0a b a b a b ++--=-+-≥，所以2252(2)a b a b ++≥-.2、（1）因为2(1)()(1)(1)()()ab a b ab ac bc c a b a c b c ++++++=++++16c a b c ≥⨯= 所以2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥（2）因为3322()()()()()a b a b ab a b a ab b a b ab +-+=+-+-+222()(2)()()0a b a a b b a b a b =+-+=+-≥ 所以33()a b a b ab +≥+，33()b c b c bc +≥+，33()c a c a ca +≥+ 所以3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 3、略.4、要证明1110a b b c c a ++>---，即证明111a b b c a c+>--- 因为a b c >>，所以0a c a b ->->，从而110a b a c>>-- 又因为10b c >-，所以111a b b c a c +>---，所以1110a b b c c a ++>---5、要证2m m n +≥()2m nn m m n m n ++≥.因为2()()2m n m n m nm n mn ++++≥= 只需证2()m n n m mn m n +≥，即证22()m n n m mn m n +≥，只需证()1m n mn -≥，不妨设m n ≥，则0m n -≥所以()1m n mn -≥. 所以，原不等式成立.6、要证明()()f a f b a b -<-，即a b <-，即a b <-因为a b ≠，所以只需证a b +<∵a b a b +≤+<∴a b +<，从而原不等式成立.7、22log (1)log (1)[(log (1)log (1)][(log (1)log (1)]a a a a a a x x x x x x --+=-++--+21l o g (1)l o g 1a a x x x -=-+ 又因为01x <<，所以2011x <-<，1011xx-<<+. 所以21log (1)log 01a axx x -->+ 所以22log (1)log (1)0a a x x --+>，即22log (1)log (1)a a x x ->+ 从而log (1)log (1)a a x x ->+8、因为0n >，所以2244322n n n n n +=++≥= 9、因为22221(1)(1)0ab a b a b ---=-->，所以1ab a b ->-习题2.3 （P29）1、因为0,,1a b c <<，根据基本不等式2(1)10(1)()24a a a a -+<-≤= 2(1)10(1)()24b b b b -+<-≤=，2(1)10(1)()24c c c c -+<-≤= 所以31(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14，则31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⨯-⨯->这与31(1)(1)(1)()4a ab bc c -⨯-⨯-≤矛盾. 所以(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于14.2、一方面，222211111111234233445(1)n n n ++++>++++⨯⨯⨯+1111111111()()()()233445121n n n =-+-+-++-=-++ 另一方面，222211111111234122334(1)n n n++++<++++⨯⨯⨯-111111111(1)()()()1223341n n n n n-=-+-+-++-=-=-所以，2222111111121234n n n n --<++++<+3、当1n =时，不等式1+++<1<.当2n ≥<<<<所以1<，<，<，……，<所以1(3+4、假设2211(1)(1)9x y--<. 由于,0x y>且1x y+=所以2222221111(1)(1)x yx y x y----=⨯2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)111291x x y yx yx y y xx yx yx yx xx x+-+-=⨯++=⨯++=⨯+-=⨯<-得2(21)0x-<，这与2(21)0x-≥矛盾，所以2211(1)(1)9x y--≥5、因为2r h Vπ=（定值）所以，圆柱的表面积222S r rhππ=+22r rh rhπππ=++≥==当且仅当22r rh rhπππ==时，等号成立.所以，当2h r=，即h r==.6、2(1π第三讲柯西不等式与排序不等式习题3.1 （P36）1、函数定义域为[5,6]，且0y≥5y=≤当且仅当=13425x=时，函数有最大值5.2、三维柯西不等式2222222123123112233()()()a a ab b b a b a b a b++++≥++三维三角不等式2221)(z x+≥-3、因为22236x y+≤，所以2x y+≤≤.因此2x y+4、因为221a b+=，所以cos sin1a bθθ+≤=5、因为1a b+=，所以2212121212()()(()ax bx bx ax a b x x x x++≥=+=6、222()(14)(2)1x y x y++≥+=，即2215x y+≥当且仅当12,55x y==时，22x y+有最小值157、2119()(2)22a bb a++≥=当且仅当21ab=（,a b R+∈）时，函数有最小值928、12()()pf x qf x+=12()f px qx=+9、3sin3siny x x=+=+≤=当且仅当tan x=习题3.2 （P41）1、22111111()()39a b ca b c a b c++=++++≥==推广：若12,,,nx x x R+∈，且121nx x x+++=，则212111nnx x x+++≥.证：121212111111()()n n nx x x x x x x x x +++=++++++22n ≥+= 2、因为2222222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++ 222(1111)()11a b c d a b c d ≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++==所以222214a b c d +++≥ 3、221212111()()n n x x x n x x x ++++++≥+= 4、2221112()a b b c c a a b b c c a ++=++++++++222111()()9a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c aa b c+++=+++++++++++++≥+===++上式中等号不成立，这是由于,,a b c 是互不相等的正数， 所以111:::a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a+++≠≠+++++++++.5、因为22222222()(234)(234)10100x y z x y z ++++≥++==，所以22210029x y z ++≥.当且仅当203040,,292929x y z ===时，222x y z ++有最小值10029. 6、因为2221212()(1)111nnx x x n x x x +++++++222121212212()[(1)(1)(1)]111()1n n n n x x x x x x x x x x x x =++++++++++++≥+++=所以222121211111n n x x x x x x n +++≥++++ 习题3.3 （P45）1、由加法交换律及12,,,n c c c 的任意性，不妨假设12n a a a ≤≤≤ ，这不影响题意.由排序不等式，等222112212n n na c a c a c a a a +++≤+++ . 2、由于要证的式子中,,abc 是轮换对称的，所以不妨假设a b c ≤≤. 于是222a b c ≤≤.由排序不等式，得222222a a b b c c a b b c c a ++≥++222222a a b b c c a c b a c b ++≥++两式相加，得3332222()()()()a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 3、由于要证的式子中123,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设123a a a ≥≥. 于是123111a a a ≤≤，233112a a a a a a ≤≤ 由排序不等式，得122331233112231312312111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥⋅+⋅+⋅=++ 即122331231312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 4、用柯西不等式证明如下：因为2222212123112231()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -++++++++≥+++所以222212112231n n n n a a a aa a a a a a a -++++≥+++ .用排序不等式证明如下：设120n i i i a a a ≥≥≥> ，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列 则12222ni i i a a a ≥≥≥ ，12111ni i i a a a ≤≤≤.由排序不等式知，反序和最小，从而12122222222121231111n nn n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a -++++≥⋅+⋅++⋅1212n i i i n a a a a a a =+++=+++所以222212112231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++习题4.1 （P50）1、（1）当1n =时，左边=1，右边=1， 所以，左边=右边，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2135(21)k k ++++-= . 当1n k =+时，22135(21)2(1)12(1)1(1)k k k k k ++++-++-=++-=+ .所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，2135(21)n n ++++-=2、（1）当1n =时，左边=1，右边11(11)(211)16=⨯⨯+⨯+=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21149(1)(21)6k k k k ++++=++ . 当1n k =+时，2221149(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=++++ 21(1)(276)61(1)(2)[2(1)1]6k k k k k k =+++=++++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21149(1)(21)6n n n n ++++=++3、（1）当1n =时，左边144=⨯=，右边2124=⨯=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1n k k =≥时，命题成立，即21427310(31)(1)k k k k ⨯+⨯+⨯+++=+ . 当1n k =+时，1427310(31)(1)[3(1)1]k k k k ⨯+⨯+⨯+++++++2(1)(1)[3(1)1]k k k k =+++++ 22(1)(44)(1)[(1)1]k k k k k =+++=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+4、（1）当1n =时，因为211211x y x y ⨯-⨯-+=+能被x y +整除，所以命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2121k k x y --+能被x y +整除. 当1n k =+时， 2(1)12(1)12121k k k k x y x y +-+-+++=+2122212122212212212212121222212121()()()()()k k k k k k k k k k k k x x y y x x x y x y y y x xyyy x x x y yy x y x------------=+=+-+=++-=+++-上式前后两部分都能被x y +整除，所以，当1n k =+时命题成立. 由（1）（2）知，2121n n x y --+能被x y +整除.5、凸n 边形有1(3)2n n -条对角线. 下面证明这个命题.（1）当3n =时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.（2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即凸k 边形有1(3)2k k -条对角线.当1n k =+时， 凸(1)k +边形的对角线条数为2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，凸n 边形有1(3)2n n -条对角线.6、这样的n 条直线把平面分成的区域数目为1(1)2n nf n =++. 下面证明这个命题.（1）当1n =时，平面被分为112+=个区域，111(11)22f =++=，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即有1(1)2k kf k =++.当1n k =+时， 第1k +条直线与前面k 条直线有k 个不同交点即，它被前面k 条直线截成1k +段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加1k +.于是11(1)1(1)(1)1(2)22k k k k f f k k k k ++=++=++++=++ 2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，对任意正整数n ，命题都成立. 习题4.2 （P53）1、（1）当3n =时，左边11(123)(1)1123=++++=，右边233111=+-=所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即211(12)(1)12k k k k++++++≥+- . 当1n k =+时，111(121)(1)21k k k k ++++++++++22222111111(12)(1)(12)(1)(1)2121111111111(1)(1)(1)2121211111111(1)(1)(1)21223413251221231(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++++++++++≥+-+++++++++++++++>+-+++++++++=+-+++>++=+++-所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立. 2、（1）当17n ≥时，有42n n >.①当17n =时，17421310728352117=>=，命题成立. ②假设当(17)n k k =≥时，命题成立，即42k k > 当1n k =+时，14422221k kk k k k k k k k +=⋅>>+>++++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.（2）当3n ≥时，有1(1)n n n+<.①当3n =时，3164(1)3327+=<，命题成立. ②假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即1(1)k k k+<当1n k =+时，1111(1)(1)(1)111k k k k k ++=+++++ 11(1)(1)11(1)11k k k k k k <+++<++<+ 所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立.3、（1）当2n =时，212122-<，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222111123k k k -+++<当1n k =+时，2222211111123(1)(1)k k k k k -++++<+++3232221(1)1(1)(1)1k k k k k k k k k k +-++-=<=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立. 4、不妨设a b c <<，a b d =-，c b d =+.（1）当2n =时，2222222()()222a c b d b d b d b +=-++=+>，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即2k k k a c b +> 当1n k =+时，1111k k k k k k a c a ac ac c +++++=+-+1()()()2222()22()22k k k k k k kkkkkk k a a c c c a a a c d ca b d c b d b d cb d b d b b+=++-=++>+=-+>-+= 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.5、（1）当1n =时，212(11)22⨯+<<，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2(1)(1)22k k k k a ++<<. 当1n k =+时，2(1)(1)22k k k k a +++<+<21(1)(1)23(1)222k k k k k k a ++++++<<+ 21(1)(2)(2)22k k k k a ++++<<所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.6、（1）当2n =时，12121212sin()sin cos cos sin sin sin αααααααα+=+<+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即1212sin()sin sin sin k k αααααα+++<+++当1n k =+时，121sin()k k αααα+++++121121121121sin()cos cos()sin sin()sin sin sin sin sin k k k k k k k k αααααααααααααααα++++=+++++++≤++++<++++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.7、（1）当2n =时，2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222222212121122()()()k k k k a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当1n k =+时，22222222121121()()k k k k a a a a b b b b ++++++++++2222222222222222121212111211()()()()k k k k k k k k a a a b b b a a a b a b b b a b ++++=+++++++++++++++222112211122211221112112211()2()2()k k k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++≥+++++≥+++++=+++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立即，222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ .8、（1）21212111()()n n a a a n a a a ++++++≥ （2）①当1n =时，21111a a ⋅=，命题成立. ②假设当(2n k k =≥时，命题成立，即21212111()()k ka a a k a a a ++++++≥ 当1n k =+时，1211211111()()k k k k a a a a a a a a ++++++++++12121121122221111111()()()()111(1)k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a k k k ++=+++++++++++++++≥++≥++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切正整数成立。

高考数学选修4-5 不等式选讲专题练习1.选修4­5：不等式选讲设函数f(x)=|x-2|-|x+3|.（1）求不等式f(x)<3的解集；（2）若不等式f(x)<3+a 对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.2.选修4­5：不等式选讲已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2+b 2+c 2=1，m 2+n 2+p 2=1．（1）证明|am+bn+cp|≤1；（2）若abc ≠0，证明．1242424≥++cp b n a m设函数f(x)=|x ﹣3|，g(x)=|x ﹣2|(1)解不等式f(x)+g(x)＜2；(2)对于实数x ，y ，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|x ﹣2y+1|≤3．4.选修4­5：不等式选讲已知函数，()213f x x =+（1）若不等式f(x)≥-|x|+a 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于实数x,y,有，，求证:．113x y ++≤1233y -≤()23f x ≤已知点P(a,b)在圆C ：x 2+y 2=x+y(x,y ∈(0,+∞)))上，（1）求的最小值；11a b（2）是否存在a ，b ，满足(a+1)(b+1)=4？如果存在，请说明理由．6.选修4­5：不等式选讲已知函数f(x)=|x －1|－|2x －3|.(1)若f(x)≥m 对0≤x ≤3恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若f(x)的最大值为M ，a ，b ∈R ＋，a ＋2b=Mab ，求a ＋2b 的最小值．已知实数a ，b 满足a 2＋4b 2＝4.(1)求证：；212≤+b a (2)若对任意a ，b ∈R ，|x+1|-|x-3|≤ab 恒成立，求实数x 的取值范围．8.选修4­5：不等式选讲(1)设a 和b 是实数，求证：|a －b|＋|a ＋b|≥2|a|；(2)若对于任意实数a(a ≠0)和b ，不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（2）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．10.选修4-5：不等式选讲设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M.（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．已知函数的定义域为R ．a x x x f -++-=112)((1)求实数a 的取值范围；(2)若a 的最大值为k ，且m+n=2k(m ＞0，n ＞0)，求证：．341≥+nm 12.选修4-5：不等式选讲设f （x ）=|x+1|+|x|（x ∈R ）的最小值为a ．21（1）求a ；（2）已知p ，q ，r 是正实数，且满足p+q+r=3a ，求p 2+q 2+r 2的最小值．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．14.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+3|+|x-1|.(1)求不等式f(x)≤6的解集:≤(2)若f(x)的最小值为c，正实教m、n满足2m+n=c.求证.参考答案1.解：2.证明：3.4.解:6.解：7.解：9.10.11.12.解：13.解：14.解：。

数学绝对值不等式试题1.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式: ；（Ⅱ）若，求证：≤.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题.因此只须解不等式. 2分当时，原不式等价于，即.当时，原不式等价于，即.当时，原不式等价于，即.综上,原不等式的解集为. 5分（Ⅱ）由题.当＞0时，10分【考点】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查逻辑思维能力和基本运算求解能力.2.若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵，又不等式的解集不是空集，∴，解得，则参数的取值范围是．3.（设函数f(x)＝｜x＋a｜－｜x－4｜，x R（1）当a=1时，解不等式f（x）＜2；（2）若关于x的不等式f(x)≤5－｜a＋l｜恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】①∵，∴由得.（4分）②因为，要使恒成立，须使，即，解得.（7分）4.已知函数，，.（1）若当时，恒有，求的最大值；（2）若当时，恒有，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）；．依题意有，，．故的最大值为1． 6分（2），当且仅当时等号成立．解不等式，得的取值范围是． 10分5.在区间上随机取一个数，使得成立的概率为____.【答案】【解析】设，则，当时，成立，【考点】本题把绝对值不等式和几何概型相结合来考查概率的运算，体现了几何概型“无处不在”的特点，考查了分类讨论思想和运算能力.6.在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为__________【答案】【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想.原不等式可化为.①或②或③由①得；由②得；由③得,综上，得原不等式的解集为.【点评】不等式的求解除了用分类讨论法外，还可以利用绝对值的几何意义——数轴来求解；后者有时用起来会事半功倍.体现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等式.来年需要注意绝对值不等式公式的转化应用.7.不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是______________．【答案】或[1，＋∞)【解析】原不等式等价于①或②或③，解①得无解，解②得，解③得解得，即故原不等式的解集为或[1，＋∞)．【考点】解不等式8.若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】【错解分析】解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的，错误原因有解法单一，比如只会运用去绝对值的方法，这样会导致计算量较多，易错。

高中数学选修4-5不等式选讲训练题组含答案新课程高中数学训练题组》是一套根据最新课程标准编写的资料，参考了内部资料并结合了教学实践和辅导经验。

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目录：数学选修4-5不等式选讲基础训练A组]数学选修4-5不等式选讲综合训练B组]数学选修4-5不等式选讲提高训练C组]以下是数学选修4-5不等式选讲的基础训练A组选择题：1.下列各式中，最小值等于2的是（）A。

1xyx2+5B。

x-x+2C。

tanθ+x2+4yD。

2+2tanθ2.若x,y∈R且满足x+3y=2，则3+27+1的最小值是（）A。

339B。

1+22C。

6D。

73.设x>0,y>0,A=xy/(x+y)+1/(1+x)+1/(1+y)，B=1+x+y/(1+x)(1+y)，则A,B的大小关系是（）A。

A=BB。

A<BC。

A≤BD。

A>B4.若x,y,a∈R+，且x+y≤ax+y恒成立，则a的最小值是（）A。

1/2B。

2C。

1D。

2/2以上选择题没有明显的格式错误和问题段落，因此不需要修改。

）一、选择题5.函数y=x-4+x^-6的最小值为（）。

A。

2B。

2C。

4D。

66.不等式3≤5-2x<9的解集为（）。

A。

[-2,1)∪[4,7)B。

(-2,1](4,7]C。

(-2,-1][4,7)D。

(-2,1][4,7)解析：此题考查对不等式解集的理解和求解能力。

二、填空题1.若a>b>0，则a+1/b(a-b)的最小值是__________。

第一节 不等式和绝对值不等式第一课时 不等式基本性质一、知识要点1．实数大小的比较（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 ．（2）如果a －b ＞0，则 ；如果a －b ＝0，则 ；如果a －b ＜0，则 . （3）比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质： （1）如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即 . （2）如果a ＞b ，b ＞c ，那么 .即a ＞b ，b ＞c ⇒ . （3）如果a ＞b ，那么a ＋c > .（4）如果a ＞b ，c >0，那么ac bc ；如果a >b ，c <0，那么ac bc . （5）如果a ＞b ，d c >，那么d b c a +>+ （6）如果0,0>>>>d c b a ，那么bd ac > （7）如果a >b >0，那么a n b n (n ∈N ，n ≥2)． （8）如果a >b >0n ∈N ，n ≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c (或代数式)结果有三种：①c ＞0时得 不等式；②c ＝0时得 ；③c <0时得 不等式．（2）a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ，即两个同向不等式可以相加，但不可以 ；而a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ，即已知的两个不等式同向且两边为 时，可以相乘，但不可以 ．（3）性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 ，并且n ∈N ，n ≥2，否则结论不成立．而当n 取正奇数时可放宽条件，a >b ⇒a n >b n (n ＝2k ＋1，k ∈N)，a >b ⇒n a >nb (n ＝2k ＋1，k ∈N ＋)．二、考点例题考点一 实数大小的比较[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 和n 的大小．方法规律小结 比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等跟踪训练 1．已知a ，b ∈R ，比较44b a +与33ab b a +的大小．2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？考点二 不等式的证明[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >eb －d.方法规律小结 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练 1．判断下列命题的真假，并简述理由． （1）若a >b ，c >d ，则ac >bd ； （2）若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；（3）若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；（4）若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．2．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b.考点三 利用不等式的性质求范围[例3] （1）已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．（2）已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围．方法规律小结 求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．跟踪训练 1．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋β2，α－β2的取值范围．2．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．三、课后作业1．设R d c b a ∈,,,，且d c b a >>,，则下列结论正确的是 ( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．cb d a > 2．下列不等式成立的是 ( )A ．log 32<log 25<log 23B ．log 32<log 23<log 25C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 32 3．设R b a ∈,,若0>-b a ，则下列不等式正确的是( )A ．0>-a bB ．033<+b a C ．022<-b a D ．0>+b a 4．若11<<<-βα，则下列各式中恒成立的是 ( )A ．02<-<-βαB ．12-<-<-βαC ．01<-<-βαD ．11<-<-βα 5．设11.->>>b a ，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2b a > D ．b a 22>6．若0,0<<<<c d a b ，则下列不等式中必成立的是( ) A ．bd ac > B ．dbc a > C ．d b c a +>+ D ．a-c>b-d 7．已知3328,8460<<<<y x ，则y x -的取值范围是 . 8．已知c b a ,,为三角形的三边长，则2a 与ac ab +的大小关系是 . 9．若b a Rc b a >∈,,,，则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ①b a 11< ②22b a > ③1122+>+c b c a ④c b c a > 10．已知{}正实数∈b a ,且b a ≠,比较ba ab 22+与b a +的大小. 11．已知31<+<-b a 且42<-<b a ，求b a 32+的取值范围.12．实数z y x ,,满足122-=+-z y x x 且012=++y x ,试比较z y x ,,的大小.第二课时 基本不等式一、知识要点1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的 ；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的 ，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式（1）a 2＋b 2≥2)(2b a +；（2）ab ≤a 2＋b 22；（3）ab ≤(a ＋b 2)2；（4）(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；（5）(a ＋b )2≥4ab .二、考点例题[例1] 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.方法规律小结 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练 1．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二 利用基本不等式求最值 [例2] （1）求当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域． （2）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；（3）已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值方法规律小结 在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：（1）首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正； （3）利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．跟踪训练 1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．245B ．285C ．5D ．62．已知x >0，y >0且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值． 3．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，（1）求ab 的取值范围；（2）求a ＋b 的取值范围．考点三 利用基本不等式解决实际问题[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 （1）将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？方法规律小结 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．跟踪训练 1．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？ 2．围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)． （1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．三、课后作业1．设+∈R y x ,，且满足404=+y x ，则y x lg lg +的最大值为 ( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．22．设+∈R y x ,且5=+y x ，则yx33+的最小值为 ( ) A ．10 B ．6C ．4D ．183．等比数列{}n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设7593,2a a Q a a P =+=，则P 与Q 的大小关系是 ( ) A ．Q P > B ．Q P < C ．Q P = D ．无法确定 4．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a 则 ( ) A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 5．已知在ABC ∆中，2,1==BC B ，则C 的最大值是 ( )A ．6π B ．2π C ．4π D ．3π 6．“1=a ”是“对任意正数12,≥+xax x ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 7．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .8．已知0,0>>b a ，且12=+b a ，则2242b a ab S --=的最大值为 . 9．已知0,0>>y x 且满足6=+y x ，则使不等式m yx ≥+91恒成立的实数m 的取值范围为 . 10．已知y x b a ,,,都是正数,且1=+b a ，求证:xy ay bx by ax ≥++))((11．已知y x R y x b a ,,,,,+∈为变量，b a ,为常数,且y x ybx a b a +=+=+,1,10的最小值为18，求b a , 12．(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由长方形休闲区1111D C B A 和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). （1）若设休闲区的长和宽的比x C B B A =1111,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式.（2）要使公园所占面积最小,休闲区1111D C B A 的长和宽应如何设计?第三课时 三个数的算术几何不等式一、知识要点1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的 不小于它们的 ．（1）不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是： ，而等号成立的条件是：当且仅当 .（2）定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .（3）三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”． 2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 ，当且仅当 时，等号成立．二、考点例题考点一 用平均不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3.方法规律小结 （1）不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．（2）运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．跟踪训练 1. 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知n a a a ,,,21⋅⋅⋅都是正数，且121=⋅⋅⋅n a a a ，求证：n a a a n 3)2()2)(2(21≥+⋅⋅⋅++考点二 用平均不等式求最值[例2] （1）求函数y ＝(x －1)2(3－2x )(1<x <32)的最大值．（2）求函数)1()1(42>-+=x x x y 的最小值．方法规律小结 （1）利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．（2）应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练 1．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为 ( )A ．4－22 B ．4－ 2 C ．不存在 D ．522．已知x ，y +∈R 且42=y x ，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x 、y 的值．考点三 用平均不等式解应用题 [例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？方法规律小结 本题获解的关键是在获得了k E =·sin θcos2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．跟踪训练 1．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．三、课后作业1．设+∈R z y x ,,且6=++z y x ，则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A ．(∞-,lg6] B ．(∞-,3lg2] C ．[lg6,+∞) D ．[3lg2,+∞)2．若实数y x ,满足0>xy ，且22=y x ，则2x xy +的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 ( ) A ．9 B ．8 C ．3 D ．314．已知632=++z y x ，则zyx842++的最小值为 ( ) A ．3B ．2C ．12D ．125．当510≤≤x 时，函数)51(2x x y -=的最大值为 ( ) A ．251 B ．31 C ．6754 D ．无最大值6．设+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，若)11)(11)(11(---=cb a M ，则必有 ( )A ．810<≤MB ．181<≤M C ．81<≤M D ．8≥M7．若0,0>>y x 且42=xy ，则y x 2+的最小值为 . 8．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即2ba b a +=*,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 .9．设正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231,231,231+++c b a 的最小值为 . 10．求函数)250()25()(2<<-=x x x x f 的最大值.11．已知y x ,均为正数，且y x >求证：3221222+≥+-+y y xy x x12．如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.第四课时 绝对值三角不等式一、知识要点绝对值三角不等式（1）定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当 时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为： ．②若a ，b 共线，当a 与b 时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.（2）定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当 时，等号成立． 几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ， 当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |； ②点B 不在A ，C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．二、考点例题考点一 含绝对值不等式的判断与证明[例1] 已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .方法规律小结 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明跟踪训练 1．设a 、b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b |2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.考点二 绝对值不等式三角形的应用[例2] （1）求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．（2）设a ∈R ，函数)11()(2≤≤--+=x a x ax x f ．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．方法规律小结 （1）利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．（2）求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．跟踪训练 1．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________2．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．3．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．三、课后作业1．已知实数b a ,满足0<ab ，下列不等式成立的是 ( )A ．b a b a ->+B ．b a b a -<+C ．b a b a -<-D ．b a b a +<- 2．设1,1<<b a ，则b a b a -++与2的大小关系是 ( )A ．2>-++b a b aB ．2<-++b a b aC ．2=-++b a b aD ．不能比较大小 3．若关于x 的不等式a x x <++-32的解集为∅,则实数a 的取值范围为( ) A ．(∞-,1] B ．(∞-,1) C ．(∞-,5] D ．(∞-,5)4．不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A ．[1-,4] B ．(∞-,1-]∪[4,+∞) C ．(∞-,2-]∪[5,+∞) D ．[2-,5] 5．若不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 均成立,则实数a 的最大值是 ( ) A ．7 B ．9 C ．5 D ．116．对于实数y x ,，若12,11≤-≤-y x ，则12+-y x 的最大值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．77．已知13)(+=x x f ，若当b x <-1时，有),0(,,4)(+∞∈<-b a a x f ，则b a ,满足的关系为 . 8．若N n x ∈<,5，则下列不等式:①1lg 51lg+<+n n n n x ②1lg 51lg +<+n nn n x ③1lg 51lg+<+n n n n x ④1lg 51lg +<+n nn n x 其中能够成立的有 .(填序号) 9．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解,则实数a 的取值范围是 .10．已知函数41)(,23)(++-=--=x x g x x f ，若函数1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围.11．已知函数1,13)(2<-+-=a x x x x f .求证:)1)((2)()(+<-a f a f x f .12．两个加油站B A ,位于某城市东akm 和bkm 处(b a <),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返B A ,两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的?第五课时 绝对值不等式的解法一、知识要点1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为 ，再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为 或 ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集 2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的 为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．二、考点例题考点一 c b ax ≤+和)0(>≥+c c b ax 型不等式的解法[例1] 解下列不等式： （1）|5x －2|≥8；（2）2≤|x －2|≤4.方法规律小结 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法：①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c . ②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅. 跟踪训练 1．解下列不等式：（1）|3－2x |<9；（2）|x －2x －2|>2x －3x －4；（3）|2x －3x －4|>x ＋1（4）213+<-x x （5）x x ->-213 （6） |2||1|x x -<+ （7）4|23|7x <-≤ （8）01222<---x x x2．已知{23}A x x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.考点二 c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法[例2] 解不等式|x －3|－|x ＋1|<1.方法规律小结 |x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况 跟踪训练1．解不等式|x －2|－|x ＋7|≤3 2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 3．解不等式512≥-+-x x 考点三 含绝对值不等式恒成立的问题 [例3] 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m .（1）若不等式有解； （2）若不等式解集为R ；（3）若不等式解集为∅，分别求出m 的范围．方法规律小结 问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔a x f <max )(，f (x )>a 恒成立⇔a x f >min )(跟踪训练 1．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的范围．2．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的范围．3．不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 4．已知关于x 的不等式|x +2|+|x -3|<a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是_________.课堂练习1．.1122>-x 2．01314<--x 3．423+≤-x x . 4．x x -≥+21. 5．1422<--x x 6．212+>-x x . 7．42≥-+x x8．.631≥++-x x 9．21<++x x 10．.24>--x x 11．已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值12．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）13．解关于x 的不等式：① 解关于x 的不等式31<-mx ；② a x <-+132)(R a ∈三、课后作业1．若11+>+x xx x ，则实数x 的取值范围是 ( ) A ．(1-,0) B ．[1-,0] C ．(∞-, 1-)∪(0,∞+) D ．(,∞-1-]∪[0,∞+ 2．若1>a ，则不等式1>+a x 的解集是 ( )A ．{}a x a x -<<-11B ．{}a x a x x ->-<11或 C ．∅ D ．R 3．已知集合{}{}312,0652>-=≤+-=x x B x x x A ，则B A 等于 ( ) A ．[]3,2 B ．[)3,2 C ．(]3,2 D ．)3,1(- 4．若规定bc ad dc b a -=，则不等式0111log2<x的解集为 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0, 2)D ．(0,1)∪(1,2)5．不等式a xax >-1的解集为M ，且M ∉2，则a 的取值范围为 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 6．已知)2(log ax y a -=在(0,1)上是增函数,则不等式3log 1log ->+x x a a 的解集为 ( ) A ．{}1-<x x B ．{}1<x x C ．{}11-≠<x x x 且 D ．{}1>x x7．设2,,>-∈b a R b a ，则关于实数x 的不等式2>-+-b x a x 的解集是 . 8．在实数范围内,不等式112≤--x |的解集为 .9．若关于x 的不等式0212<++-a x ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 10．已知R a ∈，设关于x 的不等式4232+≥++-x x a x 的解集为A （1）若1=a ，求A（2）若R A =，求a 的取值范围.11．已知实数b a ,满足：关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对一切R x ∈均成立. （1）请验证8,2-=-=b a 满足题意.（2）求出所有满足题意的实数b a ,，并说明理由.（3）若对一切2>x ，均有不等式15)2(2--+≥++m x m b ax x 成立,求实数m 的取值范围. 12．已知关于x 的不等式1+>ax a 的解集为{}0≤x x 的子集,求a 的取值范围.第二节 证明不等式的基本方法第一课时 比较法一、知识要点1．作差比较法（1）作差比较法的理论依据a －b >0⇔ ，a －b <0⇔ ，a －b ＝0⇔ . （2）作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论． 其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定 ，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等． 2．作商比较法（1）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若 ，则a >b ；若 则a <b ； ②b <0，若 则a <b ；若 则a >b .（2）作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 符号；②作商；③变形整理；④判定 ；⑤得出结论．二、考点例题考点一 作差比较法证明不等式[例1] 设△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，求证：2)()(4c b a ac bc ab ++>++方法规律小结 （1）作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．（2）变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．（3）因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论． 跟踪训练 1．求证：)1(222--≥+b a b a2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，求证：)(2))((11+++≤++n n nnb ab a b a考点二 作商比较法证明不等式 [例2] 设a >0，b >0，求证：2)(b a baab b a +≥方法规律小结 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．跟踪训练 1．设0>>b a ，求证：b a ba ba b a +->+-2222.2．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证422466b a b a b a +>+考点三 比较法的实际应用[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ 方法规律小结 应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．跟踪训练5．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？三、课后作业1．设m b a ,,都是正数,且b a <,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．1<++<m b m a b a B ．m b m a b a ++≥ C ．1≤++≤m b m a b a D ．bam b m a <++<12．“1>a ”是“11<a”的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设b a B b a A R b a +=+=∈+,,,，则B A ,的大小关系是 ( )A ．B A ≥ B ．B A ≤C ．B A >D ．B A <4．已知下列不等式：①x x 232>+;②322355b a b a b a +>+;③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．设0,0>>b a ，下列不等式中不正确的是 ( )A ．ab b a 222≥+ B ．2≥+b a a b C ．b a b a a b +≥+22D ．ba b a +≤+111 6．在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中，313311,0,0a a b a b a ≠>=>=则5a 与5b 的大小关系为 ( ) A ．55b a > B ．55b a < C ．55b a = D ．不确定 7．已知xc x b x a x -=+==<<11,1,2,10，则其中最大的是 . 8．若x 是正数，且23=-x x ，则x 与45的大小关系为 .9．设)0,0(2,2121>>+=+=b a ba Bb a A 则B A ,的大小关系为 .10．已知0,0>>b a ，求证：b a ab ba +≥+11．若n m b a ,,,都为正实数，且1=+n m 求证：b n a m nb ma +≥+12．已知函数b ax x x f ++=2)(，当q p ,满足1=+q p 时,证明：)()()(qy px f y qf x pf +≥+对于任意实数y x ,都成立的充要条件是10≤≤p .第二课时 综合法与分析法一、知识要点1．综合法（1）证明的特点：综合法又叫顺推证法或 法，是由 和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推出所要证明的结论成立． （2）证明的框图表示：用P 表示已知条件或已有的不等式，用Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→……→Q n ⇒Q2．分析法（1）证明的特点：分析法又叫逆推证法或 法，是从要证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的 条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止． （2）证明过程的框图表示：用Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 1⇐P 3→……→得到一个明显成立的条件二、考点例题[例1] 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.方法规律小结 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键跟踪训练 1．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明不明式：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．2．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .考点二 用分析法证明不等式[例2] 已知x >0，y >0，求证31332122)()(y x y x +>+方法规律小结（1）当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．（2）分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆． 跟踪训练 1．求证：3＋7<2 52．a ，b ∈R ＋，且2c >a ＋b .求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .考点三 综合法和分析法的综合应用[例3] 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：a ＋1＋b ＋1≤ 6.方法规律小结（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明． （2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．跟踪训练1．已知a ，b ，c 都是正数，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc . 三、课后作业。

不等式选讲(选修4－5)1、答案 (－4,2) 解析 由|x ＋1|<3得－3<x ＋1<3⇒－4<x <2，所以不等式|x ＋1|<3的解集为(－4,2)．2、答案 {x |x ≥1} 解析 当x >2时，(x ＋3)－(x －2)＝5≥3恒成立；当－3≤x ≤2时，x ＋3－(－x ＋2)＝2x ＋1≥3，解得x ≥1，即1≤x ≤2；当x ≤－3时，(－x －3)－(－x ＋2)＝－5≥3不成立，综上可得此不等式的解集为{x |x >2，或1≤x ≤2}＝{x |x ≥1}．3、答案 [3＋22，＋∞) 解析 依题意得1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋⎝⎛⎭⎫2y x ＋x y ≥3＋2 2y x ·x y＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号，因此1x ＋1y的取值范围是[3＋22，＋∞)．4、答案 a ≥3或a ≤－3 解析 由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以只需|a |≥3即可，所以a ≥3或a ≤－3.5、答案 3 解析 令f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，由题意只要求|a －2|＋1≤f (x )恒成立时a 的最大值，而f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪1x ≥2， ∴|a －2|＋1≤2，解得1≤a ≤3，故a 的最大值是3.6、答案 1 解析 ∵x 1－y 2＋y 1－x 2≤(x 2＋1－x 2)(1－y 2＋y 2)＝1，∴最大值为1.7、答案 －4 解析 在同一直角坐标系中分别画出函数y ＝|2x －m |及y ＝|3x ＋6|的图象(如图所示)，由于不等式|2x －m |≤|3x ＋6|恒成立，所以函数y ＝|2x －m |的图象在y ＝|3x ＋6|的图象的下方，因此，函数y ＝|2x －m |的图象也必须经过点(－2，0)，所以m ＝－4.8、答案 5 解析 由柯西不等式得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，即5(m 2＋n 2)≥25，m 2＋n 2≥5，故m 2＋n 2的最小值是 5.9、答案102 8＋510解析 由柯西不等式得(a ＋b ＋4c 2)⎝⎛⎭⎫1＋1＋12＝[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·⎣⎡⎦⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫222≥(a ＋b ＋2c )2， 因此a ＋b ＋2c ≤(a ＋b ＋4c 2)⎝⎛⎭⎫1＋1＋12＝102×a ＋b ＋4c 2＝102， 当且仅当a 1＝b 1＝2c 22＝22c ，即a ＝b ＝22c ，此时a ＝b ＝8c 2， 因此a ＋b ＋4c 2＝8c 2＋8c 2＋4c 2＝20c 2＝1，解得c ＝510，a ＝b ＝25，因此a ＋b ＋c ＝25＋25＋510＝8＋510.。

1.（福建理科）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设不等式1|12|<-x 的解集为M.（I ）求集合M ；（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小.解：（１）{}10|<<=x x M（２）)1)(1()()1(--=+-+b a b a ab ，M b a ∈, 1,1<<∴b a ，01,01<-<-∴b a0)1)(1(>--∴b a ，b a ab +>+∴1。

2.（广东文科）不等式13x x +--≥0的解集是 ．[1,)+∞． 13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥13.（湖南理科10）设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x ++的最小值为 。

答案：9 解析：由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+= 4.（江西理科）(不等式选做题）对于实数y x ,，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 .（2）此题，看似很难，但其实不难，首先解出x 的范围，20≤≤x ，再解出y 的范围，31≤≤y ，最后综合解出x-2y+1的范围[]1,5-，那么绝对值最大，就取55（江西文科）对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为_______ 答案：}0{≥x x 解析：两种方法，方法一：分三段，（1）当10-<x 时，不等式为8)2()10(≥----x x ，此时不等式无解；（2）当210≤≤-x 时，不等式为8)2()10(≥--+x x ，解得：20≤≤x（3）当2>x 时，不等式为8)2()10(≥--+x x ，解得：2>x综上：0≥x方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点10-和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到10-的距离为=1d 10，到2的距离为=2d 2，821=-d d ，并当x 往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x 的范围是0≥x .6.（浙江理科）设正数z y x ,,满足122=++z y x（1）求zx yz xy ++3的最大值；（5分）（2）证明：26125111113≥+++++zx yz xy 。

数学不等式选讲试题答案及解析1.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）3（2）见解析【解析】（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以． 10分2.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围。

【答案】（1）或（2）或【解析】（1）当时，不等式为，所以或或，解得或． 4分故不等式的解集为或． 5分．（2）因为（当时等号成立）， 8分所以．由题意得，解得或． 10分【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查基本运算求解能力.3.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a、b、c为何值时，等号成立．【答案】a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．【解析】因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，(2分)所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理＋＋≥＋＋，②(4分)故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立．(8分)当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．(10分)4.已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．【答案】【解析】由柯西不等式知：[x2＋(2y)2＋(3z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋×2y＋×3z)2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)．因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，所以a的值为.点评：用柯西不等式证明或求值时要注意两点，一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二要注意等号成立的条件．5.在实数范围内，不等式的解集为___________.【答案】【解析】因此解集为.【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.6.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【答案】－2≤a≤4【解析】本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x－a|＋|x－1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现－2≤a≤4.7.不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．【答案】【解析】考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x＋1|>2|x－1|，再两边平方，轻松求解．不等式转化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得(2x＋1)2>4(x－1)2，化简得4x>1，解得x> ，故解集为.8.设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。

数学选修 4-5不等式选讲[基础训练 A 组]一、选择题1．以下各式中，最小值等于2 的是（）A ．xy B ．x 2 5 C ． tan1 D ． 2x2 xyxx 2 4tan2．若 x, yR 且知足 x 3y 2 ，则 3x27 y 1 的最小值是（）A ．339B ．122C ． 6D ． 73．设 x0, y 0, A1 x y , B xy，则 A, B 的大小关系是（ ）x y 1 x 1 yA ． AB B ． A BC ． ABD ． AB4．若 x, y, a R ，且2 A ．B ．2xy ax y 恒建立，则 a 的最小值是（ ）2C ．1D ．125．函数 yx 4 x6 的最小值为（） A ． 2 B ． 2C ． 4D ． 6 6．不等式 35 2x9 的解集为（）A ． [ 2,1) [4,7)B ． ( 2,1] (4,7]C ． ( 2, 1] [4,7)D ． ( 2,1] [4,7)二、填空题1．若 ab 0 ，则 a1的最小值是 _____________。

b( ab)2．若 ab 0, m 0, n 0 ，则 a, b , b m , an按由小到大的次序摆列为ba a mb n．已知x, y 0，且 x 2y 2 1，则x y 的最大值等于_____________。

34．设 A1111，则 A 与 1的大小关系是 _____________。

210210 121022111125．函数f ( x)3x x2 ( x 0) 的最小值为_____________。

三、解答题1．已知a b c1，求证： a2b2c2132．解不等式x 7 3x 4 3 2 203．求证：a2b2ab a b111...14．证明：2( n 1 1) 132 n2n新课程高中数学训练题组参照答案数学选修 4-5不等式选讲[基础训练 A 组]一、选择题1． D2x 0,2 x 0, 2x 2 x2 2x 2 x22． D3x33y1 2 3x 33 y1 2 3x 3 y 1 73． BB xyxyx yA ，即A B1 x 1 y 1 x y 1 y x 1 x y4． Bx 2y 2 x y ,即x2 y 22 ( x y) ，222x y2( xy ) ，而xy a x y ，2即 xy1x12,即 a2( y ) 恒建立，得2aa5． Ay x 4 x 6 x 4 6 x 26． D2 x 5 99 2x 5 92 x 7，得 ( 2,1][4,7) 2 x 5 32x 5 3,或 2x 53x 4,或 x 1二、填空题1． 3(a b) b1 33 (ab) b13b(a b)b(ab)2．bb m a n a 由糖水浓度不等式知b b m 1 ，aa mb nbaam且bb n 1，得 a a n 1 ，即 1a n aa a nb b nb n b3． 2x y x2y 2 , x y 2 x 2 y 22224． A1A111111111210 1 2102211 1 210 210 210210210210个． 9 f ( x)3x1 23x3x 1233 x3 x3 1 29 5x 222 x 22 2 x 2三、解答题1．证明：a2b2c2(a b c)2(2 ab2bc2ac)( a b c)22( a2b2c2 )3 (a2b2c2 )( a b c)21a2 b 2 c 213另法一：a2b2c21a2b2c2( a b c) 2331( 2a22b22c22a b2b c 2 a c)312(b2(a20[ (a b ) c ) c ) ]3a2 b 2 c 213另法二：(121212 )(a2b2c2 )(a b c)21即 3 (a2 b 2 c 2 )，1 a2b 2 c 2 132．解：原不等式化为x73x4210当 x 4x7(3x4)210时，原不等式为3得 x52，即4x52 23；2当7 x 4时，原不等式为x7(3 x4)2 1 0 3得 x 12，即12x4 2424；3当 x7时，原不等式为x7(3 x4) 2 10得 x62，与 x7矛盾；2因此解为12x52 2423．证明：(a2b2 )( ab a b 1)a2b2ab a b11(2a22b22ab2a2b2)21[(a22ab b2 )(a22a1)(b22b1)]21[(a b)2(a1)2(b1)2 ]02a2b2ab a b14．证明：111k1k2k k 1k2 (k1k )12 (k k 1 )k2(n11) 111...12n23n。

选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．ab≤0且|a ab≥0且|a定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑n a 2i )(∑n b 2i )≥(∑n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≥12，1－3x ，x <12，则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A 3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A C [[4A [[答案] C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案]－2≤a≤4考点一含绝对值的不等式的解法解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)(4)A．(C．[[当当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax－2|<3，∴－1<ax<5.当a>0时，－1a<x<5a，与已知条件不符；当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；当a<0时，5a<x<－1a，又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪－53<x<13，故a＝－3.[答案](1)A(2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(1)(2)[解]当x当当x所以(2)f(当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)[[∴a 2(2)B ，则原则y 要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．[答案] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174 (2)(－∞，－3) 解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立?a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立?a <f (x )min .对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解](1)g(x)≤5?|2x－1|≤5?－5≤2x－1≤5?－2≤x≤3；f(x)≤6?|2x－a|≤6－a?a－6≤2x－a≤6－a?a－3≤x≤3.故a(2)f((1)(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b因为因此(1)(2)a2 b＋[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤1 3.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.———————方法规律总结————————[12条件．3．[121[解析]|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.[答案](－1,2)2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.[解析]∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－12时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－23，此时－23<x ≤－12.当－12<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，此时－12<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <23，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－23<x <0，即原[4[[5．________[故a [6．[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝⎩⎨⎧ －3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a <x ≤－1，3x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎨⎧ －3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >a ，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] －6或4 7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝∴f (x ∴|a [8．[(a －1)[(a对任意的x ∈[1[9[＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18， ∴2a ＋2b ＋2c ≥2，∴2a ＋2b ＋2c 的最小值为2.[答案] 210．(2014·陕西卷)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．[解析]由柯西不等式，得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，即5(m2＋n2)≥25，∴m2＋n2≥5，当且仅当an＝bm时，等号成立．∴m2＋n2的最小值为 5.[答案] 511[＝(|1≥|(1∴|x[12．[x＋1)－(x－4)|＝＋4a整理，得a2＋51≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案](－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，不等式即为2|x－3|＋|x－4|<2，若x≥4，则3x－10<2，x<4，∴舍去；若3<x<4，则x－2<2，∴3<x<4；若x(2)f(x)∴2a14．(1)(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得23<x<1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三 ⎛⎫2a －1，的面积为2(2所以15(1)(2)[解]f (x )⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－32或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －?a ＋1?，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ； 若a >1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －?a ＋1?，x ≥a ，f (x )∴a 16(1)(2)[解]又a 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝8，＝18，＝2时等号成立．故14a。

选修4－5不等式选讲一、填空题1.［2015•重庆卷，16］若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.2.［2014•陕西卷，15A］设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________3. ［2013•陕西卷，15（2）］在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．4. ［2013•重庆卷，16］若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．5. ［2013•陕西卷，15A］已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．二.解答题1.［2018•全国Ⅰ，23］已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．2.［2018•全国Ⅱ，23］设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．3.［2018•全国Ⅲ，23］设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．4.［2017•全国Ⅰ，23］已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围．5.［2017•全国Ⅱ，23］已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.6.［2017•全国Ⅲ，23］已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．7.［2017•江苏卷，21D］已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.8.［2016•全国Ⅰ，23］已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．9.［2016•全国Ⅲ，24］已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．10.［2016•江苏卷，21D］设a＞0，|x－1|＜a3，|y－2|＜a3，求证：|2x＋y－4|＜a.11.［2015•全国Ⅰ，24］已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．12. ［2015•陕西卷，24］已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值．13. ［2014•全国Ⅰ，24］若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．14. ［2014•全国Ⅱ，24］设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．15. ［2013•福建卷，21（3）］设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．16.［2013•全国Ⅰ，24］已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．17. ［2013•辽宁卷，24］已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．18.［2013•全国Ⅱ，24］设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.19.［2016•全国Ⅱ，24］已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.20.［2015•全国Ⅱ，24］设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．选修4－5 不等式选讲答案1.答案 －6或4解析 当a ≤－1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤a )，x －2a －1(a <x ≤－1)，3x －2a ＋1(x >－1)，∴f (x )min ＝－a －1，∴－a －1＝5，∴a ＝－6. 当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤－1)，－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a )，∴f (x )min ＝a ＋1，∴a ＋1＝5，∴a ＝4.综上，a ＝－6或a ＝4.2.解析 A ．运用柯西不等式求解．根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5， m 2＋n 2的最小值为 5.3.答案 [0，4]解析 原不等式可转化为－1≤|x －2|－1≤1，故0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4，故所求不等式的解集为[0，4]．4.答案 (－∞，8]解析 由绝对值的几何意义得|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8，若|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，应有a ≤8.故a 的取值范围是(－∞，8]．5.答案 2解析 (am ＋bn )(bm ＋an )＝ab (m 2＋n 2)＋mn (a 2＋b 2)≥2mnab ＋mn (a 2＋b 2)＝mn (a ＋b )2＝mn ＝2，当且仅当m ＝n ＝2时等号成立．一、解答题1.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．2.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2，所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在x ∈[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.4.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为x －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1，1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1，1]．5.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 6.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 7.证明 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.8.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 9.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)． 10.证明 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .11.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 12.解 (1)由|x ＋a |<b ，得 －b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4. 13.解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.14.解 (1)证明：由a >0，得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ， 由f (3)<5得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ， 由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.15.解 (1)因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 16.解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈[－a 2，12)时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是(－1，43]． 17.解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6， x ≤2，2， 2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ， x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ， x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．所以⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.18.解 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 19.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2， 解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.20.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。