2020北师大版高三数学选修2-2电子课本课件【全册】

3.反证法
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4.数学归纳法
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第一章 推理与证明 2.综合法与分析法 4.数学归纳法 复习题一 1.变化的快慢与变化率 3.计算导数 5.简单复合函数的求导法则 复习题二 1.函数的单调性与极值 本章小结建议 第四章 定积分 2.微积分基本定理 阅读材料 数学史上的丰碑——微积分 复习题四 1.数系的扩充与复数的引入 阅读材料 数的扩充 复习题五
第一章 推理与证明
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1.归纳与类比
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2.综合法与分析法
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3．证明 z 为纯虚数的方法 (1)设 z＝a＋bi，证明 a＝0 且 b≠0； (2)z2<0⇔z 为纯虚数； (3)若 z≠0，则 z＋ z ＝0⇔z 为纯虚数． 4．证明 z∈R 的方法 (1)设 z＝a＋bi(a、b∈R)，证明 b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0； (4)z∈R⇔|z|2＝z2．
2 2
1＋i 1－i a＋bi ＝i， ＝－i， ＝i， 1－i 1＋i b－ai in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
2．重要等式 z· z ＝|z|2＝| z |2 的应用 z· z ＝|z|2＝| z |2，即两个互为共轭复数的乘积等于这个复数 (或其共轭复数)模的平方． 此等式虽然结构很简单，但它将 z、 z 、|z|、| z |紧密地联系 在一起，并且等式左→右具有实数化功能，右→左具有分解因 式功能．
－1 合并 __________ ，并且把实部与虚部分别__________ ．
设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a
(ac－bd)＋(ad＋bc)i (a 、 ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ac ＋ bci ＋ adi ＋ bdi2 ＝ __________________
5．乘法、乘方的一些运算在实数集、复数集内的差异 (1)实数集 R 中正整指数幂的运算律，在复数集 C 中仍然 1 成立．若规定 z ＝1，z ＝zm(z∈C，z≠0，m∈N＋)，则对于复
0
－m
数的指数幂运算，可以把 m、n 推广到整数集(注意只推广到整 1 1 数集)，复数集中未定义分数指数幂，如[(1＋i) ]4≠(1＋i)4×4．
1．虚数单位i的乘方的几个注意点： 对任意n∈N＋，都有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n ＝1．

分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去 中间一段，得图②，如此继续下去，得图③……，则 第n个图形的边数an=________.(用含n的式子表示)
【解析】观察图形可知，a1=3，a2=12，a3=48，…， 故{an}是首项为3，公比为4的等比数列，故an=3×4n-1. 答案：3×4n-1
3 4
；
当n=3时，1
S3
=-2-S2=-54
，所以S3=-
4 5
；
当n=4时，1
S4
=-2-S3=-65
，所以S4=-
5 6
.
由此猜想Sn=
n n
.1
2
【内化·悟】 每一个数列是否都有通项公式？ 提示：并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如： π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3， 3.1，3.14，…它没有通项公式.
方法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六 边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块 无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块 相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正 六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数 为6+5×(6-1)=31.
2.选B.第一个图形共有12=3×4个顶点，第二个图形 共有20=4×5个顶点，第三个图形共有30=5×6个顶 点，第四个图形共有42=6×7个顶点，故第n个图形共 有(n+2)(n+3)个顶点.
【解析】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角
线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸
五边形多4条；…于是猜想凸n边形的对角线条数比凸
n-1边形多n-2条对角线，由此凸n边形对角线条数为 2+3+4+5+…+(n-2)= 1 n(n-3)(n≥4，n∈N*).

(1)要证S≤a2+b2+c2，即证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0， 即证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(a2+c2-2ca)≥0， 即证(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0. 因为(a-b)2≥0，(b-c)2≥0，(a-c)2≥0， 所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，所以S≤a2+b2+c2成 立.
世纪金榜导学号
【思维·引】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于 使条件与结论联系起来.
2a＝x y，
【证明】由已知条件得 b2＝cx，
c2＝by.
消去x，y得2a= b2 ＋c，2 且a>0，b>0，c>0.
cb
要证(a+1)2≥(b+1)(c+1)，
只需证a+1≥ b 1c，1
只需证a+1≥ b 1 c，即1 证2a≥b+c.
2.2 分 析 法
1.分析法的定义 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论 成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者 归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析 法.
【思考】 分析法证明数学问题的适用范围是什么？ 提示：当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接， 或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往 采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等 式，常考虑用分析法.
综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养 思维的严谨性极为有用.把分析法与综合法并列起来进 行思考，寻求问题的解答途径，就是人们通常所说的 分析综合法.
【习练·破】 △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，各角对应的边 分别为a，b，c，求证： 1 ＋ 1 ＝ 3 .

对于复数 你认为满足什么条件时，它们才相等？ 当两个复数的实部和虚部分别相等时，这两个 复数相等 。
， , b , c , d R d i （a ） a b i和 c
即：a 且b 时， a d b i c d i c 复数相等的内涵： 复数 a b i
( a, b) 可用有序实数对表示。
复平面的定义：
复数 z = a + bi (a、b∈ R)可用点 Z (a，b)表示， 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平 面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。 在复平面上如何表示实数、纯虚数？ 由于点 Z (a，b) 与平面向量 对应的。
•
是一一对应的， OZ
所以 z = a + bi 与复平面向量 O Z =(a，b) 也是一一
•
复习回顾
＊虚数单位 ： （ 1）
（ 2）
＊复数的定义： 形如 的数是复数。
＊复数的分类： 实数、虚数（纯虚数、非纯虚数）。
•
探索
复数是由实数扩充得到的，那么实数集的性质
和特点能不能推广到复数集呢？ 实数的部分性质和特点：
(1) 实数可以判定相等或不相等； (2) 实数可以用数轴上的点表示；
(3) 不相等的实数可以比较大小； (4) 实数可以进行四则运算； …… 复数是否也有类似的性质呢？
分析
动手做一做
1. 若实数 x, y 满足： (1 i ) x (1 i ) y 2 ， 求 x, y 。 2. 若 ( x y ) ( y 1)i ( 2 x 3 y ) ( 2 y 1)i， 求实数 x, y 。 3. 求下列复数的模长：
(1) z 2 3i
•

因
x y zx 同理有： xy , zx zx yz
yz x y zx 1 所以： x y z x y zx yz
2 2 2
果
总结
综合法解题的基本思路是“由因导果”，由已知
走向求证，即从数学题的已知条件出发，广泛地联
想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，逐渐地
x1x2
条件给出方程 是 ，
，那么这两根是什么？
示？由初中的求根公式我们可以表
证明：由求根公式得：
b 2a
2
因
所以
b b 2 4ac b b 2 4ac b x1 x2 2a 2a a
引导到待证结论或需求的问题。
特点：
从“已知”看“可知”，逐步推问“未知”，由因 果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。
动手做一做
a b 1. 若 x y 1( a , b , x , y 0 且 a b) ，
2 x y ( a b ) 求证：
2. 在ΔABC中，三个内角A、B、C对应的边分别是
a、b、c ，且A、B、C 成等差数列，a、b、c 成
等比数列。求证：ΔABC是等边三角形。
3. 已知
a, b, c, d R ，用综合法证明：
2 2 2 2
ac bd ( a b )( c d )
小结
＊ 综合法：又叫顺推法，或由因导果法。
定义、定理、公理 公式及运算法则 逻辑推理
果
b 2 (b 2 4ac) 4ac c x1 x2 2 2 a 4a 4a
本题的证明形式又是怎样的？
以上两题的证明形式有什么共同特点？ 证明形式： 本题条件 已知公式 计算、化简 ‥‥

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1.变化的快慢与变化率
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2.综合法与分析法
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本章小结建议
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复习题一
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第二章 变化率与导数