2019届高考数学选修4-4试题汇总五

选修坐标系与参数方程题组极坐标.[北京分]在极坐标系中,直线ρθρθ与圆ρθ交于两点,则..[ 北京分]在极坐标系中,点(,)到直线ρ( θθ)的距离为..[全国卷Ⅰ分][文]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数>).在以坐标原点为极点轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:ρθ.(Ⅰ)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线的极坐标方程为θα,其中α满足α,若曲线与的公共点都在上,求..[全国卷Ⅱ分][文]在直角坐标系中,圆的方程为().(Ⅰ)以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数)与交于两点,求的斜率..[ 新课标全国Ⅰ分][文]在直角坐标系中,直线,圆:()(),以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求的极坐标方程;(Ⅱ)若直线的极坐标方程为θ(ρ∈),设与的交点为,求△的面积.题组参数方程.[ 广东分][文]在平面直角坐标系中,以原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为ρ( θθ),曲线的参数方程为(为参数),则与交点的直角坐标为..[全国卷Ⅲ分][文]在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).设与的交点为,当变化时的轨迹为曲线.()写出的普通方程;()以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系,设:ρ( θθ)为与的交点,求的极径..[全国卷Ⅲ分][文]在直角坐标系中, 曲线的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为ρ(θ).(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程;(Ⅱ)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标..[新课标全国Ⅰ分][文]已知曲线,直线:(为参数).(Ⅰ)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;(Ⅱ)过曲线上任意一点作与夹角为°的直线,交于点,求的最大值与最小值.组基础题. [广东七校联考]已知曲线的参数方程为(α为参数),以直角坐标系的原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系.()求曲线的极坐标方程;()设:θ:θ,若与曲线相交于异于原点的两点,求△的面积..[湖北省八校第一次联考]已知曲线的极坐标方程为ρ的参数方程为(为参数).()将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程;()若与相交于两点,求..[湖南省益阳市、湘潭市高三调考]在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(α为参数).以直角坐标系的原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρ(θ),直线与曲线交于两点.()求直线的直角坐标方程;()设点(),求·的值..[南昌市三模]在平面直角坐标系中,以原点为极点轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的参数方程为(θ为参数).()求曲线的极坐标方程;()若曲线向左平移一个单位长度,再经过伸缩变换得到曲线',设()为曲线'上任意一点,求的最小值,并求相应点的直角坐标.组提升题.[湘东五校联考]平面直角坐标系中,倾斜角为α的直线过点(),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为ρθθ.()写出直线的参数方程(α为常数)和曲线的直角坐标方程;。

2019届高三数学选修4-4试题汇总5单选题（共5道）1、已知点A的极坐标是（3，），则点A的直角坐标是（）A（3，）B（3，-）C（，）D（，-）2、曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1，t2，且t1+t2=0，则|AB|等于（）A|2p（t1-t2）|B2p（t1-t2）C2p（t12+t22）D2p（t1-t2）23、参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A直线B圆C椭圆D双曲线4、直线l：（t为参数）的倾斜角为（）A20°B70°C160°D120°5、已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|→MN|·|→MP|+→MN·→NP=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（）Ay2="8x"By2=-8xCy2="4x"Dy2=-4x填空题（共5道）6、如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；7、无实数解，则a的取值范围是。

②（极坐标参数方程选做题）曲线，（α为参数）与曲线的交点个数为个。

8、（《坐标系与参数方程》选做题）已知点（3，-2）到抛物线（t为参数，常数p＞0）的焦点的距离为5，则p的值为______．9、曲线（为参数）上一点到点与的距离之和为．10、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ-sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为______．-------------------------------------1-答案：tc解：x=ρcosθ=3×cos =，y=ρsinθ=2×sin =∴将极坐标是（3，），化为直角坐标是（，）．故选C．2-答案：tc解：∵两点A，B对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，∴AB⊥x轴，∴|AB|=|2p（t2-t1）|．故选A．3-答案：tc解：把参数方程（t为参数）消去参数，化为普通方程为 2x-y-7=0，表示一条直线，故选A．4-答案：tc解：直线l：即，表示过点（-2，5），倾斜角等于70°的直线，故选B．5-答案：B------------------------------------- 1-答案：略2-答案：略3-答案：由题意，抛物线（t为参数，常数p＞0）的普通方程为x2=2py∴抛物线的焦点坐标为：(0，)∵点（3，-2）到抛物线（t为参数，常数p＞0）的焦点的距离为5∴=5∵p＞0∴p=4故答案为：44-答案：8试题分析：曲线表示的椭圆标准方程为，可知点，为椭圆的焦点，故．答案：．点评：主要是考查了参数方程于直角坐标方程的互化，属于基础题。

C D EA B P 2019年高考数学试题分类汇编 N 单元 选修4系列（含解析）目录N 单元 选修4系列 1N1 选修4-1 几何证明选讲 1N2 选修4-2 矩阵 1N3 选修4-4 参数与参数方程 1N4 选修4-5 不等式选讲 1N5 选修4-7 优选法与试验设计 1N1 选修4-1 几何证明选讲【文·宁夏银川一中高二期末·xx 】22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲． 如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P. 求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。

【知识点】【答案解析】解析：证明：（I ）在中，由知： ≌， 即.所以四点共圆； （II ）如图，连结.在中，,,由正弦定理知 由四点共圆知，,所以【思路点拨】证明四点共圆一般利用定理：若四边形对角互补，则四点共圆进行证明，再利用同弧所对的圆周角相等证明第二问.【文·广东惠州一中高三一调·xx 】15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径， 是圆的切线，切点为，平行于弦， 若，，则 . 【知识点】与圆有关的比例线段． 【答案解析】4 解析 ：解：由于，，而，因此，，，，，，，，故， 由于切圆于点，易知， 由勾股定理可得，因此.【思路点拨】利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC ，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB ．即可得出．ODCBA【理·重庆一中高二期末·xx 】14 .如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE,BE ，∠APE 的平分线分别与 AE 、BE 相交于C 、D ，若∠AEB=,则∠PCE等于 .【知识点】弦切角的性质和应用. 【答案解析】解析 ：解：PE 是圆的切线， ∴∠PEB=∠PAC ，∵PC 是∠APE 的平分线， ∴∠EPC=∠APC ，根据三角形的外角与内角关系有： ∠EDC=∠PEB+∠EPC ；∠ECD=∠PAC+∠APC ，∴∠EDC=∠ECD ，∴△EDC 为等腰三角形，又∠AEB=40°，∴∠EDC=∠ECD=75°，即∠PCE=70°， 故答案为：70°．【思路点拨】利用弦切角，以及三角形的外角与内角的关系，结合图形即可解决．【理·吉林长春十一中高二期末·xx 】22.(本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲 如图所示，是⊙直径，弦的延长线交于，垂直于的延长 线于.求证：(1)； （2）.【知识点】与圆有关的比例线段;四点共圆的证明方法;三角形相似. 【答案解析】(1) 见解析（2）见解析 解析 ：解：（1）连AD ，∵AB 是圆O 的直径，∴则A 、D 、E 、F 四点共圆，∴ 5分 （2）由（1）知,又≌∴ 即∴()2AB AF BF AB AF AB BF BA AC AE BD BE =-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅即 5分 【思路点拨】（1）连接AD ，利用AB 为圆的直径结合EF 与AB 的垂直关系，通过证明A ，D ，E ，F 四点共圆即可证得结论； （2）由（1）知，，再利用三角形≌得到比例式，最后利用线段间的关系即求得．N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程【浙江效实中学高一期末·xx 】19．已知曲线，． （1）化的方程为普通方程；P E B A DC（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求中点到直线距离的最小值．【知识点】参数方程、点到直线的距离【答案解析】（1），；（2）.解析：解：(1)由曲线得，平方相加得，由得，平方相加得；(2)由已知得P点坐标为(－4，4)，设Q点坐标为(8cosθ，3sinθ)，则M点坐标为，又直线的普通方程为x－2y－7=0，所以M到直线的距离为==≥=【思路点拨】参数方程化普通方程常见的方法有代入消参和利用正弦和余弦平方和等于1消元，当直接利用参数方程不方便时可考虑化成普通方程解答.【文·宁夏银川一中高二期末·xx】23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线为参数), 曲线（为参数）.(I)设与相交于两点,求；(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.【知识点】直线与圆、椭圆的参数方程、点到直线距离公式【答案解析】C解析：解：（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则.（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是]2)4sin(2[432|3sin23cos23|+-=--=πθθθd,由此当时,取得最小值,且最小值为.【思路点拨】一般由参数方程研究直线与曲线位置关系不方便时，可化成普通方程进行解答，当遇到圆锥曲线上的点到直线的距离问题时可选择用圆锥曲线的参数方程设点求距离.【文·黑龙江哈六中高二期末考试·xx】21. （本小题满分12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标。

三、坐标系与参数方程（一）试题细目表1.（南通泰州期末·21C ）在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线211x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】曲线211x t y t =-⎧⎨=-⎩的普通方程为22y x x =+. 联立2,2,y x y x x =⎧⎨=+⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩ 所以(0,0)A ，(1,1)B --， 所以AB ==2.（无锡期末·21C ）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是122x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围.【答案】解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以224x y x +=， 即圆C 的方程为22(2)4x y +-=，又由122x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t0y m -+=，由直线l 与圆C 相交， 所以|2|22m -<，即26m -<<.3.（扬州期末·21C ）在直角坐标系Oy 中，直线l 的参数方程是：（是参数，是常数）。

以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。

(1) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2) 若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值。

【答案】解：（1）因为直线l的参数方程是22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)，所以直线l 的普通方程为0x y m --=． -------------------2分因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，故26cos ρρθ=，所以226x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程是22(3)9x y -+= -------------------5分(2)设圆心到直线l 的距离为d，则d ==又d ==， ------------------8分所以34m -=，即1m =-或7m = -------------------10分4.（常州期末·21C ）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 1,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（为参数），直线l 的极坐标方程为πsin()4ρθ+直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长．【答案】解：曲线22:(1)4C x y -+=，直线:20l x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l 的距离为d =MN =5.（南京盐城期末·21C ）.在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求的值.【答案】解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=．………………5分 曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.……………10分6.（苏州期末·21C ）在平面直角坐标系Oy 中，直线l 的参数方程为1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos =sin θρθ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．【答案】解由曲线C 的极坐标方程是22cos =sin θρθ，得ρ2sin 2θ=2ρcos θ． 所以曲线C 的直角坐标方程是y 2=2． ···················································· 2分 由直线l 的参数方程1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，得40x y --=，所以直线l 的普通方程为40x y --=． ················································· 4分 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2，得2870t t -+=， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以12|AB t t - ············· 7分 因为原点到直线40x y --=的距离d =所以△AOB的面积是111222S AB d =⋅⋅=⨯⨯=．····················· 10分7.（苏北四市期末·21C ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系． 【答案】把直线方程12:12x tl y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d =所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分8.（镇江市期末·21C ）在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0，ϕ为参数），且曲线C上的点M （2ϕ＝3π，以O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

2019年新课标Ⅱ数学选修4-4试题汇总二单选题（共5道）1、曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1，t2，且t1+t2=0，则|AB|等于（）A|2p（t1-t2）|B2p（t1-t2）C2p（t12+t22）D2p（t1-t2）22、曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1，t2，且t1+t2=0，则|AB|等于（）A|2p（t1-t2）|B2p（t1-t2）C2p（t12+t22）D2p（t1-t2）23、直线l：（t为参数）的倾斜角为（）A20°B70°C160°D120°4、直线（t为参数）的倾斜角是（）ABCD5、已知点A的极坐标是（3，），则点A的直角坐标是（）A（3，）B（3，-）C（，）D（，-）填空题（共5道）6、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l的距离为______.7、由方程所确定的的函数关系记为.给出如下结论：①是上的单调递增函数；②对于任意，恒成立；③存在，使得过点，的直线与曲线恰有两个公共点．其中正确的结论为(写出所有正确结论的序号)．8、关于x，y的方程x2+y2=（xcosθ+ysinθ+2）2（0≤θ＜2π）表示的曲线是（）（只需说明曲线类型）；当θ变化时，该曲线的顶点的轨迹方程是（）。

9、选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A．（选修4-4坐标系与参数方程）将参数方程（e为参数）化为普通方程是______．B．（选修4-5不等式选讲）不等式|x-1|+|2x+3|＞5的解集是______．C．（选修4-1几何证明选讲）如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，|DC|=|BE|，DG⊥CE于G，且|EC|=8，则|EG|=______．10、如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；-------------------------------------1-答案：tc解：∵两点A，B对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，∴AB⊥x轴，∴|AB|=|2p（t2-t1）|．故选A．2-答案：tc解：∵两点A，B对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，∴AB⊥x轴，∴|AB|=|2p（t2-t1）|．故选A．3-答案：tc解：直线l：即，表示过点（-2，5），倾斜角等于70°的直线，故选B．4-答案：tc解：由得，x+y-4=0，即y=，则直线的斜率是，即倾斜角是，故选：C．5-答案：tc解：x=ρcosθ=3×cos =，y=ρsinθ=2×sin =∴将极坐标是（3，），化为直角坐标是（，）．故选C．-------------------------------------1-答案：（0，2），2将参数方程一般化我们得到直线的方程x+y-6=0，圆的方程x2+(y-2)2=4,从而有圆心坐标为（0，2），圆心到直线的距离d==2。

高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（）．3⎩+=θsin 24y ⎩=θsin 3y A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含7．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（）．A ．2214y x +=B ．221(01)4y x x +=≤≤C ．221(02)4y x y +=≤≤D ．221(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤ 8．曲线5cos ()5sin 3x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩的长度是（）． A ．5πB ．10πC ．35πD ．310π 9．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（）．11．|等于12在题中横线上．13．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________． 14．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的点的坐标是_______．15．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________． 16．设()y tx t =为参数，则圆2240x y y +-=的参数方程为____________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．,M N ，206π=， （2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．21．（本小题满分12分）分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数．A 、B 两1．1(0,5； ． 2．D)5．D 射线．6．B 5=，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．7．D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得．8．D 曲线是圆2225x y +=的一段圆弧，它所对圆心角为233πππ-=． 所以曲线的长度为310π． 9．D 椭圆为22164x y +=，设,2sin )P θθ，24sin )x y θθθϕ+=+=+≤11．0，14．(3,4)-,或(1,2)-22221()),,22t t +===±． 15．6π，或56π直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π，或56π．16．2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =，或241t x t =+； 而y tx =，即2241t y t =+，得2224141t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．2πα=．∴||AB ==且AB 的方程为122x y +=-， 即20x y -+=，则圆心(0,1)-到直线AB =．∴点C 到直线AB的最大距离为1∴ABC S ∆的最大值是1(132⨯+=． 20．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，⎧0； 0；当,2k k Z πθ≠∈时，得cos 2sin t t t t e e ye e θθ--+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 即222cos sin 222cos sin t t x y e x ye θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222222()(cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ-⋅=+-，即22221cos sin x y θθ-=． 22．解：（1）由圆C 的参数方程225cos 255sin x x y y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩， 设直线l 的参数方程为①3cos ()3sin 2x t t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，0．100(,)P x y 28sin y θ⎨=-+⎩0x 0yA ．0033,22x y -≤≤-≤≤B ．0038,28x y ≤≤-≤≤C ．00511,106x y -≤≤-≤≤D ．以上都不对1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C ．2．直线12()2x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（）．A ．125B2．B 112x x t ⎧=⎪=+⎧⎪⇒，把直线12x t =+⎧代入 3即22222221112111y y x x x y y y x x x+=⨯+=+++，22(1)1y y x x x +=+， 得21y y x x x+=+， 即220x y x y +--=．5．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，。

数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。

4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z)解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.答案：C2．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．一条射线解析：由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线． 答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝π4对称的曲线的方程是( )A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2解析：因为M (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点是N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ，从而所求曲线方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0.答案：A4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，所以t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，所以x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)． 答案：D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1. 答案：C6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125 B.125 5 C.955 D.9510 解析：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 化为标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′将其代入x 2＋y 2＝9，整理得t ′2＋85t ′－4＝0，由根与系数的关系得t ′1＋t ′2＝－85，t ′1t ′2＝－4.故|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）－4t ′1t ′2＝⎝⎛⎭⎪⎫－852＋16＝125·5，所以弦长为1255. 答案：B7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意易知圆的圆心M (1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|3×1－4×2－5|32＋42＝2. 答案：B8．点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝⎛⎭⎪⎫1，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－7π6 解析：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，再化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3.答案：A9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、射线和圆B ．圆、射线和双曲线C ．两直线和椭圆D ．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)化为普通方程为y 24－x 2＝1，表示双曲线．答案：B 10．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝a 2t －1(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧at ＝1＋cos θ，a 2t －1＝2sin θ，则4(at －1)2＋(a 2t －1)2＝4， 即a 2(a 2＋4)t 2－2a (a ＋4)t ＋1＝0， Δ＝4a 2(a ＋4)2－4a 2(a 2＋4)＝16a 2(2a ＋3)． 直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0， 即a ≥－32.答案：C11．已知直线l 过点P (－2，0)，且倾斜角为150，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝15.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，则|PA |·|PB |的值为( )A ．5B ．7C ．15D ．20解析：易知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t (t 为参数)，把曲线C 的极坐标方程ρ2－2ρcos θ＝15化为直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＝15.将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2＋33t －7＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－7， 故|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝7. 答案：B12．过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则1m ＋1n的值为( )A.23B.43C.83D ．不能确定解析：曲线C 为椭圆x 24＋y 23＝1，右焦点为F (1，0)，设l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)，代入椭圆方程得(3＋sin 2θ)t 2＋6t cos θ－9＝0，设M 、N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－93＋sin θ，t 1＋t 2＝－6cos θ3＋sin θ， 所以1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2|t 1t 2|＝43.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)过定点P ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|PA |·|PB |的值为________．解析：将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)代入曲线C ：ρ＝2sin θ的直角坐标方程x 2＋y 2－2y ＝0，整理，得t 2－(3＋1)t ＋1＝0，设直线l 与曲线C 的交点A ，B 的对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝1，即|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝1.答案：114．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝π4时，代入渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos π4＋3·π4·sin π4，y ＝3sin π4－3·π4·cos π4，x ＝322＋32π8，y ＝322－32π8，所以当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8.答案：⎝⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π815．若直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1.答案：32＋116．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a >b >0)．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝________.解析：椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线l 的直角坐标方程为x －3y －3＝0，令x ＝0，则y ＝－1，令y ＝0，则x ＝3，所以c ＝3，b ＝1，所以a 2＝3＋1＝4，所以a ＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 18．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)圆上所有点(x ，y )中，xy 的最大值和最小值． 解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，即为所求圆的普通方程．设⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2（x －2）2，sin θ＝2（y －2）2，所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)(2＋2sin θ)＝ 4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ＝ 3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2. 设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，t ∈[－2，2]． 所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时，xy 有最小值1；当t ＝2时，xy 有最大值9.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t得x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0，所以直线l 的普通方程为x －3y －m ＝0. (2)设圆心到直线l 的距离为d ， 由(1)可知直线l ：x －3y －2＝0，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l 的距离为d ＝|1－3×0－2|1＋（3）2＝12. 所以|AB |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3.因此|AB |的值为 3.20．(本小题满分12分)已知圆C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)圆C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦长；若不相交，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，得圆C 1的普通方程为x 2＋y 2＝4.由ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，得ρ2＝4ρ⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3，即x 2＋y 2＝2y ＋23x ，整理得圆C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)由于圆C 1表示圆心为原点，半径为2的圆，圆C 2表示圆心为(3，1)，半径为2的圆，又圆C 2的圆心(3，1)在圆C 1上可知，圆C 1，C 2相交，由几何性质易知，两圆的公共弦长为2 3.21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t为参数)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(1)求圆心的极坐标； (2)求△PAB 面积的最大值．解：(1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4. (2)直线l 的普通方程为22x －y －1＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|3＝223，所以|AB |＝22－89＝2103，点P 到直线AB 距离的最大值为2＋223＝523，故最大面积S max ＝12×2103×523＝1059. 22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.。

2019年新课标Ⅰ数学选修4-4高考试题文档版三单选题（共5道）1、曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1，t2，且t1+t2=0，则|AB|等于（）A|2p（t1-t2）|B2p（t1-t2）C2p（t12+t22）D2p（t1-t2）22、曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1，t2，且t1+t2=0，则|AB|等于（）A|2p（t1-t2）|B2p（t1-t2）C2p（t12+t22）D2p（t1-t2）23、直线l：（t为参数）的倾斜角为（）A20°B70°C160°D120°4、直线（t为参数）的倾斜角是（）ABCD5、已知点A的极坐标是（3，），则点A的直角坐标是（）A（3，）B（3，-）C（，）D（，-）填空题（共5道）6、（坐标系与参数方程选做题）曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是_______.7、已知抛物线的参数方程为（为参数），焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么。

8、已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x-4)2+y2=r2(r＞0)相切，则r=（）。

9、（从以下三题中选做两题，如有多选，按得分最低的两题记分．）（A）AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC 长为______（B）若不等式|x-2|+|x+3|＜a的解集为∅，则a的取值范围为______．（C）参数方程（α是参数）表示的曲线的普通方程是______．10、如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；-------------------------------------1-答案：tc解：∵两点A，B对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，∴AB⊥x轴，∴|AB|=|2p（t2-t1）|．故选A．2-答案：tc解：∵两点A，B对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，∴AB⊥x轴，∴|AB|=|2p（t2-t1）|．故选A．3-答案：tc解：直线l：即，表示过点（-2，5），倾斜角等于70°的直线，故选B．4-答案：tc解：由得，x+y-4=0，即y=，则直线的斜率是，即倾斜角是，故选：C．5-答案：tc解：x=ρcosθ=3×cos =，y=ρsinθ=2×sin =∴将极坐标是（3，），化为直角坐标是（，）．故选C．-------------------------------------1-答案：曲线为抛物线段，借助图形直观易得。