几种正多面体的相互呼应

为什么正多面体只有5种，有没有更加直观易懂的解释？生活中我们会遇到许许多多的多面体，其中有一类多面体具有最强的对称性，它们就是正多面体。

正多面体每个面都是正多边形，并且每个顶点的情况完全相同。

古希腊的哲学家柏拉图证明了只存在5种正多面体，而且他认为世界中的元素：风、火、水、土和宇宙，都是由这些多面体构成的。

现在，我们就把这五种正多面体称为柏拉图立体。

为什么正多面体只有五种呢？现实生活中哪些物质的结构是正多面体呢？读一读这篇文章，你就知道了。

正三角形组成的正多面体我们知道，任何一个多面体，每一个顶点都至少要连接三个面。

比如下图中的多面体，有的顶点连接三个面，有的顶点连接四个面、五个面甚至更多。

边数最少的正多边形是正三角形，我们首先来考虑由正三角形构成的正多面体。

按照它每个顶点连接的面的个数不同，我们分情况讨论：首先，如果这个多面体的每个顶点都只连接三个正三角形，我们可以把正三角形“摊平”在一个平面上，这称为多面体的展开图。

并且，假设摊平之后，顶点A连接了红黄蓝三个三角形，如下图所示。

此时，顶点A连接了三个三角形，每个三角形的顶角都是60度，所以三个三角形在A处的角一共180度。

AB和AC两边没有封闭，二者之间还相差180度。

然后，我们可以把这三个面折叠起来变成立体图，并且让AB和AC两条边重叠在一起，再用一个三角形补充底面，这样就会构成一种最简单的正多面体：正四面体，它由四个正三角形组成。

柏拉图认为：正四面体代表火。

在化学里，白磷的分子结构就是正四面体：四个磷原子在正四面体的顶点位置，构成了一个白磷分子。

此外，甲烷结构也是正四面体：碳原子位于正四面体的正中心，四个氢原子位于正四面体的四个顶点上。

那么，如果每个顶点都连接四个正三角形，能否构成正四面体呢？同样，我们画一个展开图。

我们会发现，此时四个正三角形依然没有填满整个平面，AB和AC两条边之间还相差120度角。

我们通过折叠的方法把AB和AC重叠起来，就构成了一个四棱锥，将两个这样的四棱锥贴在一起，就构成了第二种正多面体：正八面体，它由八个正三角形组成。

多面体与正多面体●知识梳理1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.●点击双基1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是 答案：B2.正多面体只有_____________种，分别为________________.答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、BB 1的中点，则直线AM 与CN 所成的角的余弦值是_____________.解析：过N 作NP ∥AM 交AB 于点P ，连结C 1P ，解三角形即可. 答案：52●典例剖析【例1】 已知甲烷CH 4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cos θ等于A.－31B.31C.－21D.21 解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cos θ=332)22()3()3(222⨯⨯-+=－31（设正方体的棱长为2）.答案：A【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.解：如图，设正八面体的棱长为4a ，以中心O 为原点，对角线DB 、AC 、QP 为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－22a ，0）、B （22a ，0，0）、C （0，22a ，0）、P （0，0，22a ），设E 为BC 的中点，连结PE 、QE 、OE ，则∠PEQ =2∠PEO 即为所求二面角的平面角，∵OE =2a ，OP =22a ，∴tan ∠PEO =2，∠PEQ =2arctan 2.设n =（x ，y ，z ）是AB 与PC 的公垂线的一个方向向量，则有n ·AB =x +y =0，n ·PC =y －z =0，解得n =（－1，1，1），所以向量BC =（－22a ，22a ，0）在n 上的射影长d =3||BC n =364a即为所求.特别提示由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.【例3】 三个12×12 cm 的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A 、B 两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.解法一： 补成一个正方体，如图甲，V =21V 正方体-=21×123=864 cm 3.甲 乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V =V 大三棱锥－3V 小三棱锥=864 cm 3.思考讨论补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.●闯关训练 夯实基础1.每个顶点处棱都是3条的正多面体共有 种种种种解析：正多面体只有5种. 答案：B2.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则异面直线C 1O 与EF 的距离为_____________.答案：42 培养能力3.四面体的一条棱长是x ，其他各条棱长为1. （1）把四面体的体积V 表示为x 的函数f （x ）； （2）求f （x ）的值域； （3）求f （x ）的单调区间.解：（1）设BC =x ，则S 到平面ABC 的垂足O 是△ABC 的外心，连结AO 并延长交BC 于D ，则D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ，求得AD =242x -，S ABC ∆=4x 24x -.设△ABC 的外接圆的半径为R ，求得R =241x-，SO =2243x x --， ∴V =31S ABC ∆·SO =12x 23x -（0＜x ＜3）.（2）f （x ）=12x23x -=121 )3(22x x -⋅=12149)23(22+--x ，∵0＜x 2＜3，∴f （x ）∈（0，81）.（3）∵当x =26时，f （x ）取得最大值， 又∵0＜x ＜3，∴f （x ）的单调递增区间是（0，26］，递减区间是［26，3）. 4.（文）已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为AC 与BD 的交点，M 为DD 1的中点.（1）求证：直线B 1O ⊥平面MAC ； （2）求二面角B 1—MA —C 的大小.（1）证明：∵BB 1⊥平面ABCD ，OB ⊥AC ， ∴B 1O ⊥AC .连结MO 、MB 1，则MO =3，B 1O =6，MB 1=3. ∵MO 2+B 1O 2=MB 12，∴∠MOB 1=90°. ∴B 1O ⊥MO .∵MO ∩AC =O ，∴B 1O ⊥平面MAC . （2）解：作ON ⊥AM 于点N ，连结B 1N . ∵B 1O ⊥平面MAC ，∴AM ⊥平面B 1ON . ∴B 1N ⊥AM .∴∠B 1NO 就是二面角B 1—MA —C 的平面角. ∵AM =5，CM =5，∴AM =CM .又O 为AC 的中点，∴OM ⊥AC .则ON =OA sin ∠MAO =532 =56.在Rt △B 1ON 中，tan ∠B 1NO =ONOB 1=5， ∴∠B 1NO =arctan 5，即所求二面角的大小为arctan 5.说明：本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的.第（2）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法.（理）在边长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点. （1）求证：四边形A 1ECF 是菱形； （2）求证：EF ⊥平面A 1B 1C ；（3）求A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的正切值. （1）证明：取A 1B 1的中点G ，连结C 1G 、GE .∵A 1G ∥FC 1且A 1G =FC 1，∴A 1GC 1F 是平行四边形.∴A 1F ∥C 1G .同理C 1G ∥CE .∴A 1F ∥CE .由勾股定理算得A 1E =A 1F =CE =CF =25a ，∴四边形A 1ECF 是菱形. （2）证明：连结C 1B ，∵E 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点，∴C 1F =BE .又C 1F ∥BE ， ∴C 1FEB 为平行四边形.∴C 1B ∥EF .而C 1B ⊥B 1C ，∴EF ⊥B 1C.又四边形A 1ECF 是菱形，∴EF ⊥A 1C .∴EF ⊥面A 1B 1C .（3）解：由（2）知，EF ⊥平面A 1B 1C ，又EF 平面A 1ECF ，∴平面A 1B 1C ⊥平面A 1ECF .∴B 1在平面A 1ECF 上的射影在线段A 1C 上.∴∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角.∵A 1B 1⊥B 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，tan ∠B 1A 1C =111B A CB =2.∴A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的正切值为2.探究创新5.（2003年烟台诊断性测试）（B ）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，且AC 与BD 交于点O ，E 为棱DD 1的中点，以A 为原点，建立空间直角坐标系A —xyz ，如图所示.（1）求证：B 1O ⊥平面EAC ；（2）若点F 在EA 上且B 1F ⊥AE ，试求点F 的坐标； （3）求二面角B 1—EA —C 的正弦值.（1）证明：由题设知下列各点的坐标：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），E （0，2，1），B 1（2，0，2）.由于O 是正方形ABCD 的中心， ∴O （1，1，0）.∴O B 1 =（－1，1，－2），=（2，2，0），=（0，2，1）. ∴O B 1·AC =（－1，1，－2）·（2，2，0）=－1·2+1·2－2·0=0，O B 1·AE =（－1，1，－2）·（0，2，1）=－1·0+1·2－2·1=0.∴O B 1⊥AC ，O B 1⊥AE . ∴B 1O ⊥平面ACE .（2）解：设点F 的坐标为F （0，y ，z ），则F B 1 =（－2，y ，z －2）， ∵F B 1⊥AE ，∴F B 1·AE =（－2，y ，z －2）·（0，2，1）=2y +z －2=0.①又∵点F 在AE 上，∴AF =λAE （λ∈R ）. 又AF =（0，y ，z ），∴（0，y ，z ）=λ（0，2，1）=（0，2λ，λ）. 于是⎩⎨⎧.==λλz y ,2②由①②可得λ=52，y =54，z =52，∴F （0，54，52）.（3）解：∵B 1O ⊥平面EAC ，B 1F ⊥AE ，连结OF ，由三垂线定理的逆定理得OF ⊥AE ，∴∠OFB 1即为二面角B 1—EA —C 的平面角. ∵|O B 1|=222)2(1)1(-++-=6， 又F B 1=（－2，54，－58）， ∴|F B 1|=222)58()54()2(-++-=556. 在Rt △B 1OF 中，sin ∠B 1FO 11=630. 故二面角B 1—EA —C 的正弦值为630. ●思悟小结1.割补法是求多面体体积的常用方法.2.理解多面体、正多面体、凸多面体的概念，熟悉五种正多面体. ●教师下载中心 教学点睛学习本节要使学生理解多面体、正多面体的概念. 拓展题例【例1】 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线CD 1和BC 1所成的角是 °°°°解析：连结D 1A 1、AC ，知△ACD 1是等边三角形，且D 1A ∥BC 1，所以BC 1与CD 1所成的角是60°.答案：A【例2】 边长为a 的正三角形，要拼接成一个正三棱柱且不剩料，应如何设计?（在图中用虚线画出）解：设O 为△ABC 的中心，连结OA 、OB 、OC ，并设OA 、OB 、OC 的中点分别为A 1、B 1、C 1，过A 1、B 1、C 1分别向三边作垂线，则所得三个矩形即为三个侧面，三个角上的小四边形拼在一起即为上底面.【变式】 △ABC 若为一般三角形，又如何拼接？【例3】 如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1B 1和B 1C 1的中点.（1）求二面角B 1—BF —E 的大小. （2）求点D 到平面BEF 的距离.（3）能否在棱B 1B 上找到一点M ，使DM ⊥面BEF ？若能，请确定点M 的位置；若不能，请说明理由.解：（1）过B 1作B 1G ⊥BF 于G ，连结EG ，则由EB 1⊥面B 1BCC 1，可知EG ⊥BF . ∴∠B 1GE 是二面角B 1—BF —E 的平面角. 在Rt △BB 1F 中，B 1B =a ，B 1F =2a ， ∴BF =2121F B B B +=25a ， B 1G =BF F B B B 11⋅=a aa 252⨯=55 a . 在Rt △B 1GE 中，B 1E =2a ，B 1G =55a ， ∴tan ∠B 1GE =G B E B 11=a a552=25.∴∠B 1GE =arctan25. 故二面角B 1—BF —E 的大小为arctan 25. （2）连结B 1D 1与EF 交于N ， 则EF ⊥B 1D 1.又BB 1⊥EF ， ∴EF ⊥面BB 1D 1D .又EF ⊂面BEF ，∴面BEF ⊥面BB 1D 1D ，且面BEF ∩面BB 1D 1D =BN .过D 作DH ⊥BN 于H ，则DH ⊥面BEF . ∴DH 的长即为点D 到面BEF 的距离. 在矩形BB 1D 1D 中， 易证△BDH ∽△NBB 1， ∴1BB DH =BN DB ，DH =BN DB BB ⋅1=a a a 4232⨯=34a .故点D 到面BEF 的距离为34a . （3）在平面BB 1D 1D 中，延长DH 交BB 1于M ，由（2），DH ⊥面BEF ， ∴DM ⊥面BEF . 由△BDM ∽△B 1BN ，有N B BM 1=1BB BD， ∴BM =11BB NB BD ⋅=a aa 422⨯=2a . 则M 为BB 1的中点.故在棱BB 1上可找到点M ，使DM ⊥面BEF ，此时M 为BB 1的中点.。

Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(5), 540-548Published Online May 2020 in Hans. /journal/pmhttps:///10.12677/pm.2020.105066Seven Different Types of Coloring Formulas for Regular PolyhedronsRenbing XiaoSchool of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming YunnanReceived: Apr. 25th, 2020; accepted: May 18th, 2020; published: May 25th, 2020AbstractIn this paper we obtain the coloring formulas of vertex, edge, surface, point edge, point surface, edge surface, and point edge surface of regular polyhedrons by using Pólya theorem. Our method is to use the knowledge of permutation groups. First we determine the rotation groups of all regu-lar polyhedrons, and then we determine the permutation types and the numbers of elements in the induced permutation groups. Then the formulas are obtained by considering the actions of the groups on the set.KeywordsRegular Polyhedron, Rotation Group, Coloring Formula, Pólya Theorem正多面体的七种不同类型的着色公式肖仁兵云南师范大学数学学院，云南昆明收稿日期：2020年4月25日；录用日期：2020年5月18日；发布日期：2020年5月25日摘要本文我们研究正多面体的顶点、边、面、点边、点面、边面和点边面的着色公式。

辽宁省2024届高三下学期3 2 1模式新高考适应性统一考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“1,ln 0x x ∀>>”的否定是（ ） A ．1,ln 0x x ∀>< B ．1,ln 0x x ∀>≤ C ．1,ln 0x x ∃>≤D ．1,ln 0∃≤≤x x2．将函数sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则π()3g =（ ）A ．1B C ．12D ．12-3．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为111，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为14；若前一题答对，则此题答对的概率为13.记甲同学回答第n 题时答错的概率为n P ，当2n ≥时，n P M ≤恒成立，则M 的最小值为（ ） A ．97132B ．49132C ．4766D ．49664．01-数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用．若数列{}n a 是01-数列，当且仅当()*61n k k =±∈N 时，1n a =，设{}n a 的前n 项和为n S ，则满足200n S =的n 的最大值为（ ） A ．600B ．601C ．604D ．6055．若函数()f x 的定义域为R 且图象关于y 轴对称，在[)0，+?上是增函数，且()30f -=，则不等式()0f x <的解是（ ） A ．()3∞--，B ．()3∞+，C ．()33-，D ．()()33∞∞--⋃+，， 6．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E ABCDF --的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）A ．共有18个顶点B ．共有36条棱 C．表面积为6+D．体积为7．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别与抛物线E 相交于点,A B 和点,C D ，111||||2AB CD +=，P 是抛物线E 上一点，且52PF =，从点P 引抛物线E 的准线的垂线，垂足为M ，则MPF △的内切圆的周长为（ ） A．(5π2B．(5πC．(30π-D．(15π2-8．函数()f x 满足：当0x >时，()3212,23x x f x x -<≤=⎨+>⎪⎩，()12y f x =+是奇函数．记关于x 的方程()()10R 2f x kx k -+=∈的根为12,,,m x x x ⋅⋅⋅，若()172mi i f x ==-∑，则k 的值可以为（ ） A ．1118B ．1712C ．54D ．1二、多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 是线段AB 上靠近B 点的三等分点，F 是11A D 中点，则（ ）A ．该正方体外接球的表面积为27πB ．直线EF 与CDC ．平面1B EF 截正方体所得截面为等腰梯形D ．点F 到平面11A BC10．据国家统计局网站2023年9月15日消息，8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长4.6%（同比一般情况下是指本年第N 月与去年的第N 月比）.其中，除汽车以外的消费品零售额为33820亿元，增长5.1%.1∼8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，同比增长7.0%.其中，除汽车以外的消费品零售额为271888亿元，增长7.2%．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速如下：则下列说法正确的是（ ）A ．2023年1~8月份，社会消费品零售总额的月平均值约为25422.6亿元B ．2022年8月份，社会消费品零售总额约为36264.8亿元C ．除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小值所得数据的标准差比原数据的标准差小D ．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍还多11．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()80f x g x -'+=，()()2680f x g x ----='，若()g x 为偶函数，则下列一定成立的有（ ）A ．()40g '=B ．()()1316f f +=C ．()20238f =D ．()201160n f n ==∑三、填空题12．已知偶函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω=． 13．已知函数()3sin f x x x =-，若()()220f a f a +->，则实数a 的取值范围为.14．已知四棱锥P ABCD -的高为2，底面ABCD 为菱形，AB AC =,E F 分别为,PA PC 的中点，则四面体EFBD 的体积为；三棱锥-P ABC 的外接球的表面积的最小值为．四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14+=-n n n S a a ，11a =-. (1)证明：数列1{2}n n a a +-为等比数列； (2)设4(1)+=+n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 项和；(3)是否存在正整数p ，q （6<<p q ），使得p S ，6S ，q S 成等差数列？若存在，求p ，q ；若不存在，说明理由.16．如图，S 为圆锥顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AB ，CD 是长度为2的底面圆的两条直径，AB CD O =I ，且3SO =，P 为母线SB 上一点．(1)求证：当P 为SB 中点时，SA ∥平面PCD ；(2)若60AOC ∠=︒，二面角P CD B --的余弦值为21，试确定P 点的位置． 17．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对任意正数ε，均有()22P x σμεε-≥≤成立.（i ）若1~100,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：1(025)50P X ≤≤≤；（ii ）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A 为小概率事件）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:1xM y m-=经过点()2,1A ，点B 与点A 关于原点对称，C 为M 上一动点，且C 异于,A B 两点. (1)求M 的离心率；(2)若△BCT 的重心为A ，点()8,4D ，求DT 的最小值； (3)若△BCT 的垂心为A ，求动点T 的轨迹方程.19．在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在． (1)对于n 元一次方程12n x x x k +++=L ，试求其正整数解的个数；(2)对于n 元一次方程组121211m m m n x x x p x x x q +++++=+⎧⎨+++=+⎩L L ，试求其非负整数解的个数；(3)证明：10CC C nnk n kp q n p k q n k k -+++++-==∑（可不使用组合分析法证明）． 注：12x a x b =⎧⎨=⎩与12x bx a =⎧⎨=⎩可视为二元一次方程的两组不同解．。

高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学第八节空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。

此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。

何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。

对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。

那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。

【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。

因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。

因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的），当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。

①正三角形，三棱共顶点：设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体；②正三角形，四棱共顶点：同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体；③正三角形，五棱共顶点：同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体；④正方形，三棱共顶点：同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体；⑤正五边形，三棱共顶点：同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。

【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

贵州省铜仁地区（新版）2024高考数学统编版能力评测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=A．31B．32C．63D．64第(2)题在钝角中，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是:（其中为的初始质量）.则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（）（参考数据:A．300年B．100年C．255年D．125年第(4)题已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（）A．63B．72C．135D．144第(5)题设（为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是（）A．若是纯虚数，则或B．复数模长的平方值等于复数的平方值C．若的模长为，则的最大值为D．若，则第(6)题已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是A．B．C．D．第(7)题已知随机变量ξ表示100次出手后篮球的命中次数，且ξ的分布列如下：N/A E（ξ）D（ξ）球员“神射手”4024球员“黄油手”00则下列有关说法中正确的是（）A．球员“神射手”的投篮水平较好，因为命中率较高B．球员“黄油手”的投篮水平较好，因为命中率较低C．球员“神射手”的投篮十分稳定，故心理素质较好D．球员“黄油手”的投篮十分稳定，故心理素质较好第(8)题已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（）A．2B．C．3D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A．共有18个顶点B．共有36条棱C．表面积为D．体积为第(2)题设偶函数在上单调递增，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数的部分图象如图，则（）A．B．C．D．的图象关于点对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.第(2)题已知关于x的方程有解，则实数a的取值范围为___________.第(3)题为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为点在椭圆上，过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，点不在轴上，点关于轴的对称点为求的面积的最大值.第(2)题已知，且在区间上是增函数．（1）求实数的值组成的集合；（2）设函数的两个极值点为、，试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．第(3)题函数.(1)求的单调区间；(2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.第(4)题设抛物线，直线与C交于A，B两点，且.(1)求p；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值.第(5)题椭圆的上顶点到右顶点的距离为，椭圆上的点到焦点的最短距离是1，点为椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．(1)求的方程；(2)直线分别交直线于两点，且，求直线的斜率.。

安徽省池州市（新版）2024高考数学统编版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（）A．B．2C．D．第(2)题中国女排精神代代相传．某网站对出战2024年巴黎奥运会的中国女排12人大名单进行了预测：主攻队员4人，副攻队员3人，二传和接应各2人，自由人1人．在中国女排每场比赛7人的首发阵容中，主攻和副攻各2人，二传和接应各1人，自由人1人．如果按照该网站预测的12人大名单出战，首发阵容方案数为（）A．144B．140C．72D．36第(3)题万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则（）A．B．C．D．第(4)题已知，为纯虚数，则（）A．1B．2C．3D．4第(5)题设复数满，则=（）A．2B．C．D．第(6)题已知复数，则（）A．1B．C．D．第(7)题的展开式中，的系数为（）A．96B．144C．180D．216第(8)题已知，若，则（ ）A．6B．5C．4D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A．共有18个顶点B．共有36条棱C．表面积为D．体积为第(2)题若函数，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C ．函数图象关于对称D．函数的图象关于点对称第(3)题初中学习过反比例函数，()，了解其图像是关于原点中心对称的双曲线.下列关于双曲线，()的几何性质正确的是（）A．实轴和虚轴长都为B．焦点坐标为，C．离心率D．渐近线方程为，对称轴方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为___________.第(2)题已知函数的图象如图所示，则＝ ______________第(3)题已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数的最小值为m．(1)求m的值；(2)设均为正数，，求的最小值．第(2)题在中，角，，的对边分别为，，，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求及的面积.第(3)题某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习平台的满意度.其中对教学成效满意率为，课后跟踪辅导的满意率为，对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人.（1）完成下面列联表，并分析是否有把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关.对教学成效满对教学成效不满意合计意对课后跟踪辅导满意对课后跟踪辅导不满意合计（2）若用频率代替概率，假设在学习服务协议终止时对教学成效和课后跟踪辅导都满意学员的续签率为，只对其中一项不满意的学员续签率为，对两项都不满意的续签率为.从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数.附：列联表参考公式：，.临界值：第(4)题已知函数，，.(1)当时，解关于的不等式：；(2)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围.第(5)题函数，（1），求的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）令函数，求证：.。