正多面体的数学和结晶学参数

第一节 多面体的概念要点精讲1、正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体；2、简单多面体的顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间的关系满足欧拉公式V+F-E=2；3、球既是中心对称，又是轴对称的简单几何体，它的任何截面均为圆面；（1）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆；（2）球面被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆；球的截面有以下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d 与球半径R 及截面半径r 有下面的关系：22d R r -=4、在球面上，两点之间的最短连线的长度，是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点的球面距离。

区别球面上两点A 、B 的直线距离与球面距离。

球面距离的计算步骤：（1）计算线段AB 的长；（2）计算A 、B 对球心O 的张角∠AOB （写成弧度）（3）计算大圆弧的长（弧长等于圆心角的弧度数乘以半径）5、球的体积公式：334R V π= （R 为球半径） 球的表面积公式24R S π=6、球的有关“接”与“切”的问题，常通过适当的轴截面化归为圆中问题解决。

典型例题【例1】过正方体的每三个顶点都可以确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成角都相等的不同平面有几个？【答案】（法一）正方体的每个顶点和所在面的面对角线对应一个正三棱锥，如A 点对应正三棱锥A-A 1BD 。

这个正三棱锥的底面A 1BD 是合条件平面，8个顶点对应8个平面，即满足题设要求的平面有8个。

（法二）正方体8个顶点，每三点可以确定一个平面，共=56个，其中6个对角面中每三点所确定的平面与每个表面中每三个点所确定的平面均不符合条件，因此合条件的平面的个数是：-6·=8（个）【解析】由正方体的概性，12条棱中可分为3组，每组的四条棱互相平行，要找出与12条棱成角都相等的平面，只需找出与共点的三条棱成角的平面即可。

晶格参数表
晶格参数表是在材料科学和固态物理研究中经常用到的一种表格
形式，用于描述晶体的结构和性质。

晶格参数表通常包含了晶体的晶
胞参数、晶格常数、晶体结构类型等信息。

晶格参数表的第一列通常是对不同晶体结构类型的分类。

常见的
晶体结构包括立方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱方晶系等。

这些结
构类型具有不同的晶胞参数和晶格常数。

接下来，晶格参数表会列出各种晶体结构类型的晶胞参数和晶格
常数。

晶胞参数指的是晶体中晶胞的尺寸和形状，可以用晶胞的边长、角度和包含的原子位置等参数来描述。

晶格常数则是描述晶体中晶格
排列和原子间距离的参数。

例如，在立方晶系的晶格参数表中，可以列出晶体类型、晶胞参
数a、晶格常数a、晶胞参数b、晶格常数b、晶胞参数c、晶格常数c
等等。

每种晶体结构类型都有相应的晶胞参数和晶格常数需要进行记
录和描述。

通过晶格参数表，科学家和研究人员可以了解不同晶体结构的特
点和性质，为材料设计和研发提供重要参考。

晶格参数的准确测量和
分析对于解释材料的物理性质、优化材料性能具有重要意义。

总结一下，晶格参数表是一种用于描述晶体结构和性质的表格形式。

它包含了不同晶体结构类型的晶胞参数和晶格常数。

通过晶格参
数表，人们可以了解不同晶体的结构特点和性质，为材料科学和固态
物理的研究提供重要参考。

1、结晶学：以晶体为研究对象，以晶体的对称规律为主要研究内容的一门基础基础性的自然科学。

2、矿物学：以矿物晶体为研究对象，主要研究各具体矿物晶体的成分、物理性质、成因特点等。

3、晶体：内部结构具有周期重复性，即具有格子构造的固体。

晶体结构=点阵（或空间格子）+结构基元4、格子构造：晶体结构的周期重复规律，这种规律是可以用格子状的图形－空间格子表示的。

5、空间格子：表示晶体结构周期重复规律的简单几何图形。

6、相当点：满足以下两个条件的点：性质相同，周围环境相同。

7、空间格子的四要素①结点: 空间格子中的点,代表具体晶体结构中的相当点。

结点间距：同一行列中相邻结点间的距离。

②行列: 结点在直线上的排列。

③面网: 结点在平面上的分布。

面网密度：面网上单位面积内结点的密度。

面网间距：任意两相邻面网间的垂直距离。

（面网密度与面网间距成正比）④平行六面体: 结点在三维空间形成的最小重复单位。

平行六面体对应的实际晶体中相应的范围叫晶胞。

8、晶体的基本性质①自限性: 晶体能够自发地生长成规则的几何多面体形态。

②均一性:同一晶体的不同部分物理化学性质完全相同。

晶体是绝对均一性，非晶体是统计的、平均近似均一性。

③异向性：同一晶体不同方向具有不同的物理性质。

例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。

④对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。

⑤最小内能性：晶体与同种物质的非晶体相比，内能最小。

晶体具有固定的熔点。

⑥稳定性：晶体比具有相同化学成分的非晶体稳定。

1、实际晶体形态（歪晶）：偏离理想的晶体形态。

2、面角守恒定律：同种矿物的晶体，其对应晶面间的角度守恒。

（意义：结晶学发展的奠基石）3、晶体测量：就是测量晶面之间的夹角。

方法：①接触测角（接触测角仪）②反射测角（单圈、双圈反射测角仪）4、晶体的投影：将晶面的空间分布转化为平面图。

①极射赤平投影：晶面的球面投影，晶体的球面坐标，晶体的极射赤平投影，吴氏网②心射极平投影1、对称：物体相同部分有规律的重复。

结晶学中的一些概念晶体：晶体是具有格子构造的固体空间格子几种要素：结点、行列、面网、平行六面体结点：是空间格子中的点行列：结点在直线上的排列即构成行列面网：结点在平面上的分布即构成面网平行六面体：从三维空间来看，空间格子可以划出一个最小重复单位晶体的基本性质：自限性、均一性、异向性、对称性、最小内能、稳定性结晶学的主要研究内容：晶体生长学、几何结晶学、晶体结构学和晶体化学、晶体物理学晶体形成的方式：由液相转变为固相、由气相转变为固相、由固相再结晶为固相同质多象转变：指某种晶体，在热力学条件改变时转变为另一种在新条件下稳定的晶体。

它们在转变前后的成分相同，但晶体结构不同。

布拉维法则：实际晶体的晶面常常平行网面结点密度最大的面网。

居里—吴里夫原理：晶体生长的平衡形态应具有最小表面能。

周期键链(PBC)理论：晶体平行键链生长，键力最强的方向生长最快。

F面：又称平坦面，有两个以上的PBC与之平行，面网密度最大，质点结合到F面上去时，只形成一个强健，晶面生长速度慢，易形成晶体的主要面。

S面：或称阶梯面，只有一个PBC与之平行，面网密度中等，质点结合到S面上去时，形成的强健至少比F面多一个，晶面生长速度中等。

K面：或称扭折面，不平行任何PBC，面网密度小，扭折处的法线方向与PBC一致，质点极易从扭折处进入晶面，晶面生长速度快，是易消失的晶面。

影响晶体生长的外部因素：涡流、温度、杂质、粘度、结晶速度、生长顺序与生长空间、应力作用标型特征：同一种矿物的天然晶体于不同的地质条件下形成时，在形态上、物理性质上部可能显示不同的特征，这些特征标志着晶体的生长环境。

蚀像：晶面溶解时，将首先在一些薄弱地方溶解出小凹坑。

人工合成晶体方法：水热法提拉法焰熔法面角守恒定律：同种物质的晶体，其对应晶面间的角度守恒面角：为了便于投影和运算，一般所测的角度，不是晶面的夹角，而是晶面的法线间角(晶面夹角的补角)晶体的对称是取决于它内在的格子构造对称:对称就是物体相同部分有规律的重复晶体对称的特点:1)所有的晶体都具有对称性。