2020届高三数学复习《概率与统计》巩固训练学案

2020版高考数学一轮复习精品学案：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布11.2 概率【高考新动向】 一、随机事件的概率 1．考纲点击（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别； （2）了解两个互斥事件的概率加法公式。

2．热点提示（1）多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念现时频率很少直接考查；（2）互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题。

二、古典概型 1．考纲点击（1）理解古典概型及其概率计算公式；（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2．热点提示（1）古典概型的考查主要是等可能事件的概率的求法，通常要结合互斥事件、对立事件求概率； （2）出题形式多样，各种题型均有可能出现。

三、几何概型 1．考纲点击（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率； （2）了解几何概型的意义。

2．热点提示（1）以几何概型的定义和公式为依据，重在掌握常见的两种几何度量——长度、面积； （2）主要考查几何概型的理解和概率的求法，多以选择题和填空题的形式出现。

【考纲全景透析】 一、随机事件的概率 1．事件（1）在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件； （2）在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件；（3）在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件。

2．概率和频率（1）用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据；（2）在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数An 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n为事件A 出现的频率；（3）对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频繁()n f A 随着试验次数的增加稳定于概率P （A ），因此可以用频率()n f A 来估计概率P （A ）。

《随机事件的概率与古典概型》学案最新考纲1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式． 知 识 梳 理1． 事件的分类: 必然事件，不可能事件，随机事件 2．频率和概率： 34．古典概型（1）古典概型的两个特点 （2）古典概型的概率公式()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．基础自测：1．（2018新课标Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.72、在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为（ ）A ．49B ．0.5C ．0.51D ．0.493．（2019山西联考）从集合{}1,3,5,7,9A =和集合{}2,4,6,8B =中各取一个数，那么这两个数之和除3余1的概率是（ ） A ．13 B ．15 C ．25 D ．310考点一 随机事件的频率与概率【例1】（2018郑州质检）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求()P A的估计值；（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求()P B的估计值；（3）求续保人本年度的平均保费估计值．考点二互斥事件、对立事件的概率【例2】 (2018中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( ) A．① B．②④ C．③ D．①③【变式2】.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球考点三古典概型【例3】（2018新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．112B．114C．115D．118【例4】一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： (1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．【变式3】(2018深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12 B ．14 C ．13 D ．16【变式4】(2019洛阳质检)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________．课后巩固1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件D.以上都不对2.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( )A.56B.23C.12D.133.(2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石B.169石C.338石D.1 365石4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个.5.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________.6.(2016·北京西城区模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( ) A.112B.512C.712D.567.连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.512B.712C.13D.128.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.9.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答). 10.先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a ，b .事件A ：点(a ，b )落在圆x 2＋y 2＝12内；事件B ：f (a )＜0，其中函数f (x )＝x 2－2x ＋34.(1)求事件A 发生的概率； (2)求事件A 、B 同时发生的概率.11.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率.第75课 几何概型班级：高三（ ）班 姓名： 成绩：最新考纲1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义．知 识 梳 理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积、体积 ，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 ①无限性每次试验的基本事件个数是 的． ②等可能性每个事件发生的概率是 的． 3．几何概型的计算公式()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．基础自测：1．（2018贵阳一中）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．710 B ．58 C ．38 D ．3102．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．π8 C ．π8 D ．π43、(2018济南模拟)如图，长方体1111ABCD A B C D -中，有一动 点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥1A A BD -内的 概率为________．考点一 与长度（角度）有关的几何概型D 1A 1C 1D CB AB 1【例1-1】(2017广州二模)在区间[1,5]-上随机取一个实数a ，则方程22430x ax a -+-=有两个正根的概率是（ ） A ．23 B ．21 C ．38 D ．13【例1-2】（2018襄阳联考）在Rt ABC ∆中，60B ∠=过直角顶点A 在BAC ∠内随机作射线AD ，交斜边BC 于点D ，则BD BA >的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D【变式1】．（2017深圳二模）设实数(0,1)a ∈，则函数22()(21)1f x x a x a =-+++有零点的概率为（ ） A ．34 B ．23 C ．13 D ．14考点二 与面积有关的几何概型 【例2-1】（2018株洲质检）在面积为1的等边三角形ABC 内任取一点P ，使三角形ABP ∆，ACP ∆，BCP ∆的面积都小于12的概率为（ ）A ．16B ．12C ．13D ．14【例2-2】（2016山西八校）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ） A ．425 B ．825 C ．2425 D ．1625【变式2】．在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________.考点三 与体积有关的几何概型【例3】.(2016·西宁复习检测)已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________.【变式3】．（2018南昌模拟）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）课后巩固：1.在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232.(2016·东北三省三校联考)实数m 是[0，6]上的随机数，则关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为( ) A.14B.13C.12D.233.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16B.13C.23D.454. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π85.(2016·武汉部分学校质检)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117 B.217 C.317 D.4176.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.7.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.8.(2016·辽宁五校联考)设k 是一个正整数，已知⎝⎛⎭⎫1＋xk k的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，则点(x ，y )恰好落在阴影部分内的概率为( ) A.1796 B.532C.16D.7489.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求方程有实根的概率.10.已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a ·b <0的概率.第76课 离散型随机变量及其分布列班级：高三（ ）班 姓名： 成绩： 最新考纲1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念． 2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 知 识 梳 理1．离散型随机变量⑴离散型随机变量的分布列随机变量X 可能取的值为12,,,n x x x ，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =的概率()i i P X x p ==，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列．⑵离散型随机变量的性质①i p ≥_____________ ； ②121nin i pp p p ==+++=∑_____．2．两点分布 3．超几何分布在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：()P X k ==,0,1,2,,k n k M N MnNC C k m C --=，（其中min{,}m M n =，*,,,N n N M N n M ≤≤∈），则称分布列为超几何分布列．基础自测：1.设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16B.13C.14D.1122.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A.0B.12C.13D.233.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为___ _.考点一 离散型随机变量分布列的性质 【例1】 设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1【训练1】 随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P 考点二 离散型随机变量的分布列【例2】若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列.考点三 超几何分布【例3】 (2015·天津卷节选)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列.课后巩固：1随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1，2，…，10)，则a 值为( ) A.1110B.155C.110D.552.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A.P (X ＝2)B.P (X ≤2)C.P (X ＝4)D.P (X ≤4)3.抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________. 4、 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列.5、PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列.6.(2016·西安调研)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；(2)求随机变量X的分布列.第77课二项分布及正态分布班级：高三（）班姓名：成绩：最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.知识梳理1.条件概率(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立. 3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A i(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝.(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.4.正态分布(1)正态分布的定义：如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).＝⎠⎛a(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为；②曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.基础自测：1.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310B.13C.38D.292.(2015·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3123.(2016·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝( ) A.0.6 B.0.4C.0.3D.0.2考点一 条件概率【例1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.12【变式1】如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.考点二 相互独立事件的概率【例2】 (2016·唐山质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.考点三 独立重复试验与二项分布【例3】 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.考点四 正态分布及应用(2)(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)( ) A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%课后巩固：1.(2014·新课标全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452.(2016·济南模拟)设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516B.316C.58D.383.设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( ) A.56 B.45 C.3132 D.124.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.5、(2016·威海模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝()A.0.158 8B.0.158 7C.0.158 6D.0.158 56、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求事件“X≥2”的概率.7、(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列.第78课 离散型随机变量的均值与方差班级：高三（ ）班 姓名： 成绩： 最新考纲1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 知 识 梳 理1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝ 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 .(2)方差： 称D (X )＝ 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差. 2.均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝ (2)D (aX ＋b )＝ (a ，b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝ (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝ ，D (X )＝诊 断 自 测 1.已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73B.4C.－1D.12.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( )A.5B.8C.10D.163.已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.考点一 离散型随机变量的均值与方差【例1】 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工程延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率.考点二 与二项分布有关的均值、方差【例2】 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【训练2】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).考点三期望与方差在决策中的应用【例3】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？课后巩固：1.(2015·茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A.2B.2或12C.12D.12.设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A.1＋a ，4B.1＋a ，4＋aC.1，4D.1，4＋a3.已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A.n ＝4，p ＝0.6B.n ＝6，p ＝0.4C.n ＝8，p ＝0.3D.n ＝24，p ＝0.14、已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望).。

统计与概率复习课教案一、课程和目标1.1 课程统计与概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和不确定性。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的随机事件，如掷骰子、抽签、样本调查等，统计与概率能够帮助我们理解和分析这些事件，并从中得到有意义的。

1.2 课程目标本节复习课的主要目标是回顾统计与概率的基本概念和方法，并帮助学生巩固已学知识，为下一阶段的学习打下坚实的基础。

通过本节课的复习，学生将能够：- 理解概率的基本概念和性质； - 掌握常见的概率计算方法； - 复习统计学中的基本概念和统计量的计算方法。

二、教学内容和方式2.1 教学内容本节复习课的教学内容主要包括以下几个方面： 1. 概率的基本概念 - 样本空间和事件 - 概率的定义和性质2.概率计算方法–独立事件的概率计算–互斥事件的概率计算–条件概率和乘法定理–加法定理和全概率定理3.统计学基本概念和统计量的计算方法–总体和样本的概念–样本均值和样本方差的计算–正态分布的基本性质和应用2.2 教学方式本节复习课采用以下教学方式： - 板书讲解：通过板书解释概念和公式，并结合示例进行说明。

- 互动讨论：鼓励学生在课堂上提问和讨论，以促进学生的思考和理解。

- 练习和讲解：设置一些练习题供学生练习，再进行讲解和答疑。

3.1 热身活动（5分钟）•引导学生回顾统计与概率的基本概念，如样本空间、事件、概率等。

3.2 概率的基本概念（10分钟）•板书讲解样本空间和事件的概念，并举例说明。

•解释概率的定义和性质，引导学生理解概率的基本含义。

3.3 概率计算方法（25分钟）•板书讲解独立事件的概率计算和互斥事件的概率计算方法。

•解释条件概率和乘法定理的概念，引导学生掌握计算方法。

•板书讲解加法定理和全概率定理的概念和计算方法。

3.4 统计学基本概念和统计量的计算方法（25分钟）•板书讲解总体和样本的概念，引导学生理解抽样的过程。

•解释样本均值和样本方差的计算方法，帮助学生掌握统计量的计算方法。

概率与统计复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 提高学生运用概率与统计解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。

2. 概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。

3. 统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。

4. 数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。

5. 概率与统计在实际应用中的例子。

三、教学方法1. 讲授法：讲解概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 案例分析法：分析实际应用中的例子，引导学生运用概率与统计解决实际问题。

3. 小组讨论法：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。

4. 练习法：布置课后作业，巩固所学知识。

四、教学准备1. 教学PPT：制作包含概率与统计基本概念、原理和方法的PPT。

2. 案例材料：收集实际应用中的概率与统计例子。

3. 作业题目：准备课后作业，涵盖本节课的主要内容。

五、教学过程1. 导入：回顾上节课的内容，引导学生进入本节课的学习。

2. 讲解概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。

3. 讲解概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。

4. 案例分析：分析实际应用中的例子，让学生体会概率与统计在生活中的应用。

5. 讲解统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。

6. 讲解数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。

7. 小组讨论：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。

8. 课堂练习：布置课后作业，巩固所学知识。

9. 总结：对本节课的主要内容进行总结，提醒学生注意重点知识点。

10. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对概率与统计概念的理解程度。

2. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，评估他们的团队协作能力和问题解决能力。

3. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估他们对课堂所学知识的掌握程度。

第1讲 概 率[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．热点一 古典概型 古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.例1 (2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有 {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个， 则所求事件的概率为P ＝29.思维升华 求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意． (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件．(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n 及事件A 中包含的基本事件的个数m . (4)计算事件A 的概率P (A )＝m n.跟踪演练1 (2018·北京朝阳区模拟)今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有n套房源，则设置n个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．(1)求每个家庭中签的概率；(2)已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号．目前该小区剩余房源有某单元27,28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，房间号分别记为2702,2703；第28层4套房，房间号分别记为2803,2804,2806,2808.①求该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数；②求甲、乙两个家庭能住在同一层楼的概率．解(1)因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭中签的概率P＝620＝310.(2)①该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数x＝2702＋2703＋2803＋2804＋2806＋28086＝2771.②将这6套房编号，记第27层2套房分别为X，Y，第28层4套房分别为a，b，c，d，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有(X，Y)，(X，a)，(X，b)，(X，c)，(X，d)，(Y，a)，(Y，b)，(Y，c)，(Y，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15种．其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有(X，Y)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共7种，所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为P＝715. 热点二几何概型1．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．例2 (1)(2018·北京朝阳区模拟)若在集合{x|－2<x≤3}中随机取一个元素m，则“log2m 大于1”的概率为( )A.45B.110C.15D.910答案 C解析 若log 2m >1，可以求得m >2，在集合{}x |－2<x ≤3中随机取大于2的数，满足条件的取值所对应的几何度量就是区间[]2，3的长度，为3－2＝1，而在集合{}x |－2<x ≤3中随机取一个数所对应的几何度量是区间[－2,3]的长度，为3－(－2)＝5，所以对应事件的概率为P ＝15.(2)(2018·衡水调研)甲、乙两人各自在400 m 长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m 的概率是( ) A.18 B.1136 C.1564 D.14 答案 C解析 设甲、乙两人跑的路程分别为x m ，y m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤400，0≤y ≤400，表示的区域为如图所示的正方形OABC ，面积为160 000 m 2，相距不超过50 m ，满足|x －y |≤50，表示的区域如图阴影部分所示，面积为160 000－12×()400－50×()400－50×2＝37 500(m 2)，所以在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m 的概率为P ＝37 500160 000＝1564.思维升华 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．跟踪演练2 (1)(2018·安徽省“皖南八校”联考)2018年平昌冬季奥运会于2月9日～2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值P ，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为8、宽为5的长方形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为n 个，圆环半径为1，则比值P 的近似值为( )A.32n 5πN B.32n πN C.8n πN D.5πn32N答案 C解析 设奥运五环所占的面积为S 1，矩形的面积为S ＝8×5＝40. 由在长方形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为n 个， 根据面积比的几何概型概率公式得S 1S ＝n N，则S 1＝n NS ＝40n N，单独五个环的面积为S 3＝5π×12＝5π，所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值为P ＝40nN 5π＝8nπN.(2)(2018·延安模拟)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是________． 答案 16解析 由题意知这是一个几何概型， ∵电台在每小时的整点和半点开始播送新闻， ∴事件总数包含的时间长度是30， 又新闻时长均为5分钟，∴一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是P ＝16.热点三 互斥事件与对立事件1．事件A ，B 互斥，那么事件A ∪B 发生(即A ，B 中至少有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．2．在一次试验中，对立事件A 和B 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (B )＝1－P (A )． 例3 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员在一次射击中： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率．解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 之间彼此互斥．(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件概率的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.6.(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生，由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. (3)设“射击一次命中不足8环”为事件C ，由于事件C 与事件B 互为对立事件，故P (C )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.思维升华 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．跟踪演练3 (1)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A ＝“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是( ) A ．1个白球2个红球 B ．2个白球1个红球 C ．3个都是红球 D ．至少有一个红球 答案 C解析 事件A ＝“所取的3个球中至少有1个白球”，说明有白球，白球的个数可能是1或2，事件“1个白球、2个红球”，“2个白球、1个红球”，“至少有一个红球”与A 都能同时发生，既不互斥，也不对立．(2)现有4张卡片，正面分别标有1,2,3,4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.23 答案 D解析 甲抽取一张卡片获胜的概率为12；甲抽取两张卡片获胜的概率为12×13×1＝16，所以甲获胜的概率为12＋16＝23.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______． 答案 25解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件的总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， ∴所求概率P ＝1025＝25.2．(2016·全国Ⅰ改编)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.3．(2016·北京改编)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列说法正确的是______．(1)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球； (2)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多； (3)乙盒中红球不多于丙盒中红球； (4)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多． 答案 (2)解析 取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1； ④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故(2)正确．4．(2017·江苏)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________． 答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.押题预测1．将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.12 B.56 C.34 D.23押题依据 古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高．古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点． 答案 B解析 将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数(m ，n )的所有事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．由题意可知，函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y ′＝2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为3036＝56.2．已知集合M ＝{x |－1<x <4，x ∈R }，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈(M ∩N )”的概率是( ) A.15 B.14 C.16 D.12押题依据 与长度(角度、弧度、周长等)有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大． 答案 A解析 因为M ＝{x |－1<x <4，x ∈R }＝(－1,4)，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝[1,2]，所以M ∩N ＝[1,2]，所以“x ∈(M ∩N )”的概率是2－14－(－1)＝15.3．在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为8的小方块上(铜板的直径是4)，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级．现有一人把铜板扔在小方块上，则晋级的概率P 为( ) A.164 B.116 C.18 D.14押题依据 与面积有关的几何概型问题是高考考查的重点，常以圆、三角形、四边形等几何图形为载体，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下． 答案 D解析 由题意分析知，铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径，所以晋级的概率P ＝4282＝14.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7答案 B解析 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.2．(2018·安庆模拟)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18 mm ，小米同学为了计算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是A.486π5mm 2B.243π10 mm 2C.243π5mm 2D.243π20mm 2答案 B解析 由古典概型概率公式， 得落在装饰狗的身体上的概率为150500，由几何概型概率公式，得落在装饰狗的身体上的概率为Sπ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1822，所以S π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1822＝150500，所以S ＝243π10mm 2.3．(2018·全国Ⅲ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( ) A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3答案 D解析 设2名男同学为a ，b,3名女同学为A ，B ，C ，从中选出两人的情形有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10种，而都是女同学的情形有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种，故所求概率为310＝0.3.4．(2018·大庆质检)在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”(如图)证明了勾股定理，证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这里的“实”可以理解为面积．这个证明过程体现的是这样一个等量关系：“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二)，四个全等的直角三角形的面积的和(朱实四)加上中间小正方形的面积(黄实)等于大正方形的面积(弦实)”．若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为23，现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )A ．1－38B.1－32C.32D ．1－32答案 D解析 ∵弦图中“弦实”为16，“朱实一”为23， ∴大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为2 3.设“勾”为x ，“股”为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧xy 2＝23，x 2＋y 2＝16，解得x 2＝4或x 2＝12. ∵x <y ，∴x 2＝4，即x ＝2， ∴y ＝23，∴小正方形的边长为y －x ＝23－2，∴随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为P ＝(23－2)216＝1－32. 5．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34D.78答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X ，Y ，X ，Y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤X ≤4，0≤Y ≤4，如图所示．两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒，即|X －Y |≤2，表示的区域如图阴影部分所示，所以所求的概率为P (|X －Y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34. 6．(2018·湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为________． 答案 16解析 由题意可知，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以概率P ＝1060＝16.7．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． 答案 56解析 由题意可知，基本事件共有36个，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个． 故所求概率为P ＝3036＝56.8．(2018·咸阳模拟)一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是________． 答案π6解析 设正方体的棱长为2a ，其体积V 1＝()2a 3＝8a 3， 内切球直径为2a ，故半径R ＝a ， 其体积V 2＝43πR 3＝43πa 3，利用几何概型概率公式并结合题意可知，这只蚊子安全飞行的概率是P ＝V 2V 1＝43πa 38a 3＝π6.9．(2018·天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以事件M 发生的概率P (M )＝521.10．(2018·北京海淀区模拟)某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩(单位：分)．记录的数据如下：(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率； (2)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为x 1，s 21，考核成绩的平均数和方差分别为x 2，s 22，试比较x 1与x 2，s 21与s 22的大小．(只需写出结论) 解 (1)这10名学生的考核成绩(单位：分)分别为 93,89.5,89,88,90,88.5,91.5,91,90.5,91.其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人． 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是610＝35.所以从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. (2)设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由(1)知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人．因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含(1号，5号)、(1号，7号)、(1号，8号)、(1号，9号)、(1号，10号)、(5号，7号)、(5号，8号)、(5号，9号)、(5号，10号)、(7号，8号)、(7号，9号)、(7号，10号)、(8号，9号)、(8号，10号)、(9号，10号)，共15个基本事件，而事件A 包含(1号，8号)、(1号，10号)、(8号，10号)，共3个基本事件， 所以P (A )＝315＝15.(3)x 1＝x 2，s 21>s 22.B 组 能力提高11．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ∪B 发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意有P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23. 12．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y ＝ln x 与直线x ＝e ，y ＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0,1]上的均匀随机数y i (i ∈N *,1≤i ≤10)，其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是( ) A.35(e －1) B.25(e －1) C.35(e ＋1) D.25(e ＋1) 答案 A解析 由表可知，向矩形区域⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤e，0≤y ≤1内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为610＝35.∵矩形区域的面积为e －1，∴曲边三角形面积的近似值为35(e －1)．13．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________． 答案512解析 由题意得，连掷两次骰子分别得到点数m ，n ， 所组成的向量(m ，n )的个数为36，由于向量(m ，n )与向量(1，－1)的夹角θ为锐角， 所以(m ，n )·(1，－1)>0， 即m >n ，满足题意的情况如下： 当m ＝2时，n ＝1；当m ＝3时，n ＝1,2； 当m ＝4时，n ＝1,2,3； 当m ＝5时，n ＝1,2,3,4；当m ＝6时，n ＝1,2,3,4,5，共15种， 故所求事件的概率为1536＝512.14．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n 人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的34，男生喜欢看该节目的占男生总人数的13.随后，该小组采用分层抽样的方法从这n 份问卷中继续抽取了5份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有3人．(1)现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率； (2)若有99%的把握认为“喜欢看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n 至少为多少． 参考数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)记重点分析的5人中喜欢看该节目的为a ，b ，c ，不喜欢看该节目的为d ，e ，从5人中随机抽取2人，所有可能的结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，则这两人都喜欢看该节目的有3种， ∴P ＝310，即这两人都喜欢看该节目的概率为310.(2)∵进行重点分析的5人中，喜欢看该节目的有3人，故喜欢看该节目的总人数为35n ，不喜欢看该节目的总人数为25n .设这次调查问卷中女生总人数为a ，男生总人数为b ，a ，b ∈N *，则由题意可得2×2列联表如下：解得a ＝1625n ，b ＝925n ，∴正整数n 是25的倍数，设n ＝25k ，k ∈N *，则34a ＝12k ，14a ＝4k ，13b ＝3k ，23b ＝6k ，则K 2＝25k (12k ·6k －3k ·4k )216k ·9k ·15k ·10k ＝256k . 由题意得256k ≥6.635，解得k ≥1.59，∵k ∈N *，∴k min ＝2，故n min ＝50.。

回扣10 概率与统计1．牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；②互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；③对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )；④几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为n N；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．(3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数； ③平均数：样本数据的算术平均数， 即x ＝1n(x 1＋x 2＋…x n )；④方差与标准差方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差：s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].(4)八组公式①离散型随机变量的分布列的两个性质(ⅰ)p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；(ⅱ)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②期望公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .③期望的性质(ⅰ)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (ⅱ)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； (ⅲ)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差为D (X ).⑤方差的性质(ⅰ)D (aX ＋b )＝a 2D (X )；(ⅱ)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )； (ⅲ)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． ⑥独立事件同时发生的概率计算公式P (AB )＝P (A )P (B )．⑦独立重复试验的概率计算公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k. ⑧条件概率公式P (B |A )＝P (AB )P (A ).2．活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )．(3)利用随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大． (4)如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．5．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法答案 D解析总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( )A．62,62.5 B．65,62C ．65,63.5D ．65,65答案 D解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则0.20.4×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.3．同时投掷两枚硬币一次，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上” B ．“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上” C ．“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上” D ．“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上” 答案 C解析 同时投掷两枚硬币一次，在A 中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A 中两个事件是对立事件；在B 中，当两枚硬币恰好一枚正面朝上，一枚反面朝上时，“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”能同时发生，故B 中两个事件不是互斥事件；在C 中，“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D 中，当两枚硬币同时反面朝上时，“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”能同时发生，故D 中两个事件不是互斥事件．故选C.4．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，，则所选5名学生的学号可能是( )A ．1,2,3,4,5B ．5,26,27,38,49C ．2,4,6,8,10D ．5,15,25,35,45 答案 D解析 采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为505＝10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D.5．道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为( ) A ．0.95 B ．0.05C ．0.47D ．0.48 答案 D解析 由题意得小张路过该路口不等待的概率为4848＋47＋5＝0.48.6．A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A ，B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( ) A.23 B.14 C.56 D.12 答案 A解析 在圆上其他位置任取一点B ，设圆的半径为R ，则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR ，其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为23·2πR ，则弦AB的长度大于等于半径长度的概率P ＝23·2πR 2πR ＝23.故选A.7．有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( ) A.13B.23 C.710 D.310 答案 C解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数有7种，故所求概率P ＝710.8．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.18B.38C.14D.78 答案 B解析 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮事件D ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以P (D )＝P (ABC ∪AB C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38，故选B.9．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表根据上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 答案 B解析 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．10．设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )A ．6 038B ．6 587C ．7 028D ．7 539 答案 B解析 由题意知，P (0<X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×(1－0.341 3)＝6 587.故选B.11．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．答案2e2 解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等， 由e x＝e ，得x ＝1，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.12．样本容量为 1 000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,14)内的频数为________．答案 680解析 根据给定的频率分布直方图可知，4×(0.02＋0.08＋x ＋0.03＋0.03)＝1⇒x ＝0.09，则在[6,14)之间的频率为4×(0.08＋0.09)＝0.68，所以在[6,14)之间的频数为1 000×0.68＝680.13．已知x ，y 的取值如表所示.从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________. 答案 2.6解析 根据表中数据得x ＝2，y ＝4.5，又由线性回归方程知，其斜率为0.95，∴截距a ^＝4.5－0.95×2＝2.6.14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的期望E (η)＞74，则p 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞74，解得p ＞52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 15．某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的平均值x 和方差s 2；(3)求这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s )内的人数所占的百分比． 解 (1)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人． 由题意可知，抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34， 对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由(1)，得x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009. (3)由(2)，得x ＝40，s ＝103，∴x －s ＝3623，x ＋s ＝4313，由表可知，这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s )内的共有23人， 所占的百分比为2336×100%≈63.89%.16．某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响．(1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和期望． 解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－23＝13.比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，则P ＝C 12·13·23·13·13＝481. (2)由题意知，ξ的取值为2,4,6，则P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59，P (ξ＝4)＝C 12·13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12·13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2081， P (ξ＝6)＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·13·232＝1681，所以随机变量ξ的分布列为则E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.。

高考数学知识模块复习指导系列学案——概率与统计【III】9．统计学中有哪些基本概念?数理统计的研究对象也是随机现象．概率论是从对随机现象的大量观察中提出随机现象的数学模型，然后再研究数学模型的性质和特点，由此来阐述随机现象的统计规律性；而数理统计则是从对随机现象的观测所得资料出发，用概率论的理论来研究随机现象．比如对随机现象的数学模型中某些参数进行估计，或者检验随机现象的数学模型是否得当，然后在此基础上对随机现象的性质和特点作出推断．现在介绍一些数理统计中的基本概念．在数理统计中，我们最关心研究对象的某项数量指标．我们将研究对象的某项数量指标值的全体称为总体，总体中的每个元素称为个体．每个个体是一个实数．例如，某工厂生产的灯泡寿命的全体是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男学生的身高的全体是一个总体，每个男学生的身高是一个个体．总体按照其包含的个体总数分为有限总体和无限总体．例如，某工厂10月份生产的灯泡寿命所成的总体中，个体的总数就是10月份生产的灯泡数，这是一个有限总体．而这个工厂生产的所有灯泡寿命所成的总体是一个无限总体，它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命．当有限总体所包含的个体的总数很大时，可以近似地将它看成是无限总体．例如，我们来考察某工厂10月份生产的灯泡的寿命所成的总体．我们知道灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的百分比，如灯泡寿命落在1000小时～1300小时的占灯泡总数的85%．落在1300小时～1800小时的占灯泡总数的5%等等．即灯泡寿命的取值有一定的分布．一般，我们所研究的总体，即研究对象的某项数量指标Ｘ，它的取值在客观上有一定的分布，X 是一个随机变量．我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究．据此，Ｘ的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征．要将一个总体的性质了解得十分清楚，初看起来，最理想的办法是对每个个体逐个进行观察，但实际上这样做往往是不现实的．例如，要研究灯泡寿命，由于寿命试验是破坏性的，一旦我们获得试验的所有结果，这批灯泡也全部被烧毁了．因此我们只能从整批灯泡中抽取一些灯泡做寿命试验，并记录结果，然后根据这些数据来推断整批灯泡的寿命情况．又如，对于像啤酒瓶盖橡皮垫片这种产品，尽管只要通过简单的测量就能确定它是否合格，而且试验又不是破坏性的，然而，由于垫片的产量为数甚多，逐一测验要花费大量人力和时间，因此，我们仍然只能抽取少量垫片进行测量，并根据所得数据估计整批垫片的合格率．一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据所得数据来推断总体的质，这些被抽出的部分个体，叫做总体的一个样本．所谓从总体抽取一个个体，就是对总体X 进行一次观察(即进行一次试验)，并记录其结果．我们在相同的条件下对总体X 进行n 次重复的、独立的观察．将n 次观察的结果按试验的次序记为.X ,,X ,X n 21 由于n 21X ,,X ,X 是对随机变量X 观察的结果，且各次观察的结果是在相同条件下独立进行的，所以有理由认为n 21X ,,X ,X 是相互独立的，且都是与X 具有相同分布的随机变量．这样得到的n 21X ,,X ,X 称为来自总体X 的一个简单随机样本，n 称为这个样本的样本容量．当n 次观察一经完成，我们对这组随机变量n 21X ,,X ,X 就得到一组观察值,x ,,x ,x n 21 它是一组实数，称为样本值．对于有限总体，采用放回抽样就能得到简单随机样本，但放回抽样应用起来不方便，当个体的总数N 比要得到的样本容量n 大得多时，(—般当N ≥10·n 时)，在实际中可将不放回抽样近似地当作放回抽样来处理．综上所述，我们给出以下的定义．定义：设X 是具有分布函数F 的随机变量，若n 21X ,,X ,X 是具有同一分布函数F 的相互独立的随机变量，则称n 21X ,,X ,X 为从分布函数F(或总体X)得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本．它们的观察值n 21x ,,x ,x 称为样本值，又称为X 的n 个独立的观察值．10．什么是频数表和频数分布?假定某个数学班的学生的身高(单位：厘米)如下：164 173 168 168 176 170 162 167 171 169168 160 165 168 166 168 167 171 166 172用这种形式给出的数据难以说明什么问题．如果把它们加以整理，就比较容易说明问题了．例如，我们可以按照递增和递降的顺序来排列身高，这叫做排序．于是我们很容易看出：160是最小身高，176是最大身高，身高为168或低于168的约占半数，所测量的最大值和最小值之差称为极差．下面是按递增顺序对身高的排序：160 166 168 168 171162 166 168 169 172164 167 168 170 173165 167 168 171 176整理数据的—个更为有用的方法是频数表，它给出了每一类的频数．如下表所示：表1-22另外，常用的还有点频数图．点频数图是—种表示数据在极差范围内是怎样散布的图形，本例中我们看到身高似乎集中在168左右．如图1—4所示：频数表和点频数图都用来表示数据的分布或频数分布．需要注意的是，频数分布是一个函数，即每个观察值与它的频数相对应．这样，—个频数可以用表示一个函数的三种方式的任何—种来表示：用表、用图或用一个规则(有时是解析式)．在描述数据时，通常用表(频数表)或图(例如点频数图等)．可是，为了描述一种理论频数分布，有时必须要说明给出函数的规则．有时，把数据整理成另一种分布──所谓的累积频数分布图──是方便易行的，如图1-5所示：这种分布图给出了每一观察值与不大于该观察值的频数之间的关系，从图形上看，累积频数分布用一种累积图来表示．横轴上的数表示身高，纵轴左边的数表示累积频数．而右边的数表示累计频数的百分比．于是，每一个纵坐标给出了少于或等于相应横坐标上身高的频数或百分数，从上面的累积图显然看出，身高少于或等于167厘米的频数是8，百分比是40%．累积图上纵坐标为P，百分数的点所对应的横坐标叫做P百分位数．例如，90百分位数是172．这意味着90%的人的身高小于或等于172厘米．50百分位数称为中位数，25百分位数称为下四分位数，而75百分位数称为上四分位数．11．如何对大量的原始数据进行数据分组?当碰到大量原始数据时，把这些数据按适当的区间分组是方便的．为了便于计数，希望所选择的每个区间的中点是诸如5或10的倍数．一般区间数应不少于10个而不多于25个．区间的边界值通常应比原始数据中出现的小数位数多一位，以便使得每一个数据仅包含在一个区间之内．假定下面的数据是有50个高中学生的一个班在某次数学测验中所得到的分数：88 74 67 49 69 38 86 77 66 75 94 67 78 69 84 50 3958 79 70 90 79 97 75 98 77 64 69 82 71 65 68 84 7358 78 75 89 91 62 72 62 74 81 79 81 86 78 90 81乍一看这些分数就知道，最低分为38，最高分为98．于是，如我们要把数据分组，使区间中点为5的整倍数，可分为13个区间，它满足大于10小于25的条件．为了保证每个数据仅被包含在一个区间内，区间的边界确定到小数点后一位．这就得出下面的数学测验得分的分组频数表．表1-23为了从图形上说明分组数据的频数分布，我们用频数直方图来代替点频数图．直方图是一种条线图，其中每一个矩形的底表示一个区间，高表示在给定的区间内观测数据的个数．上述数学测验得分分组直方图如图1—6所示：对未分组的数据作出的累积图给出了累积分布．对分组数据，我们叫做累积折线，也叫尖顶图．这个图的作法是：折线上的点的横坐标取所在区间的右边界，纵坐标取相应的累积频数，然后把所确定的点用线段连接起来，横坐标为第一个区间的左边界、纵坐标为零的点，也包括在累积折线内．如图1-7所示：这样，对于累积折线上的任何一点，纵坐标给出了少于或等于横坐标的观察数据的数目．从前面给出的数学测验的累积折线图上可以看到，少于或等于91分的大约为45人．像在累积图上一样，也可用同样的方法在累积折线上决定百分位数．例如，在上图中可以读出，中位数为76；25百分位数是67；75百分位数是82．前面的问题介绍了频数表和频数分布．这个问题中又介绍了如何对数据进行分组，让我们来看一道例题说明前面这些图表的作法．例下面是30个灯泡的寿命(单位：小时)870 840 920 950 960 810 830 860900 800 940 920 850 840 880 810950 840 830 910 970 930 870 930900 980 910 930 970 880试作出这组数据的总频数图和累积图．另外把这些数据按区间795—815，815—835，835—855，…，975—995分组．作出其频数表、直方图和累积折线．思路启迪为了作出点频数图和累积图，我们先做出这组数据的频数表如下所示：表1-24有了上面的频数表，我们很容易作出点频数图和累积图．规范解法根据所给数据的频数表我们可以作出点频数图和累积图如下所示：按给定的分组可得频数表、直方图和累积折线分别如下：区间区间中点频数频数百分比累积频数累积频数百分比795－815 805 3 10 3 10815－835 825 2 6.7 5 16.7835－855 845 4 13.3 9 30855－875 965 3 10 12 40875－895 885 2 6.7 14 46.7895－915 905 4 13.3 18 60915－935 925 5 16.7 23 76.7935－955 945 3 10 26 86.7955－975 965 3 10 29 96.7975－995 985 1 3.3 30 100表1-2512．如何度量给定数据组的中心趋势和离散程度？资本家和工会公开辩论工人的工资，工会报告说，工人每年拿到的工资平均只有3000元，而资本家却说工人的年平均工资为7300元，到底谁的话更可信呢?在作出判断之前，我们先来看一下用来计算上述结果的工人工资数：3000，3000，3000，3500，4000，4500，6000，6000，15000和25000，在所有这些工资中，哪一层次的最普遍呢?也就是说，在上面所列的工资中，工人拿哪一种工资的人最多?在数据集合中，我们称出现最多的数字为“众数”．在上面给出的集合中，众数是3000．用以代替所考虑的最常出现的工资数，我们把所有工人的工资放在—起求平均数，这样得到的是这组数据的平均数，一般用“x ”表示．即：对给定的数据n 21x ，x ,x ，有下列公式()n 21x x x n1x +++=．按公式可以计算我们给定的工资集合的平均数7300x =元．那么7300元是不是对工人平均工资的合理的估计呢?有时，用来估计数据集合的中心趋势的另一个数是中位数．把一组数据按从小到大的顺序排列．然后取中间的一个数，它就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数就取中间两个数的平均数．那么上述工资数据的中位数是多少呢?易得这组数据的中位数是4250，那么在3000，4250，7300这三个数中，哪一个看上去是平均工资的最好估计呢?上面讲的众数、平均数和中位数可统称为平均．一般情况下，如果有人告诉你某一数据集合的平均是某个数，而没告诉你它是一个什么样的平均，则这个信息就没有太大的作用．一般来说，即使告诉了你别人用了哪种平均方法，掌握更多的资料比只知道平均更为有价值．例如，除了知道平均数为7300元以外，我们又知道它由10个人的工资所平均，这样的话，工资总数为73000元．当然，工资总数并不能告诉你工资是如何分配的，这对工会来说似乎是最重要的问题，如果有一份工资为50000元，(例如经理的工资)，那么分给其他9个人的工资就不会太多．换一种情况，如果最高工资为8000元，那么大多数雇员一定会得到7000元左右的工资．这样，很清楚，如果与平均工资一起报出最高和最低工资，我们就能对上述两种说法有比较公正的看法了．如果不是告诉读者最高和最低工资，而是给出了最高和最低工资之差(称为极差)，对于精明的读者，仍然能找到许多有用的信息．例如，如果10份工资的平均数是7300元，极差是22000元，我们就能断定最高工资至少是22000元，更可能是24000元或25000元，因为最少的工资几乎可以肯定会是2000元或多一些．因此有如果10个人的平均工资是7300元，总工资应为73000元．如果一个人的工资大约是24000元，那么其他9个人的总工资应为49000元，9人的平均工资约为5444元．一个数据集合的极差是这组数据离散程度的度量，可是，极差仅仅依赖于数据两端的值．它没有给出关于这两个端点间数据离散程度的任何信息．对一个数据集来说，任何一个数据i x 对平均数x 的离差为.x x i -使用前面关于工资的数据(它的平均数为7300元)，我们计算3000对于平均数的离差：.430073003000x x i -=-=-再计算15000对于平均数的离差：.7700730015000x x i =-=-注意到3000对于x 的离差为负．而15000对于x 的离差为正．计算其余的每一工资数对于x 的离差有：表1-26由上表可知，所有工资数对于x 的离差之和为0．事实上，任何一组数据对平均数的离差之和总是0．因此，不能用对平均数的离差来描述这组数据的离散程度．因为对平均数离差的总和没有给出关于这一数据集合的离散程度的任何信息．可是，我们可以考查对平均数离差的绝对值，由于一个数的绝对值不会是负数，并且除非对所有的i x 有0x x i =-，否则对平均数的离差的绝对值之和就不会是0．就上述工资的数据来计算这个和，我们得到40900，这个和也不是关于数据离散程度的满意的度量，因此我们用测量数据的个数去除40900，得到4090这个值称为平均离差，它常用来度量数据的离散性．虽然数据的平均离差能对数据的离散性进行可靠、合理的度量，但在更高级的数学处理中，绝对值的运算常常会带来一些问题(尤其对大量数据而言)．因此，我们常采用所谓标准差来作为离散性的度量．经过上面的叙述可以知道，之所以使用绝对值函数，主要考虑到它是正的，也就是说，我们只需要考虑绝对值的大小．具有同样性质的另一种函数是将离差平方．这种作法构成了下面标准差概念的基础．定义：已知n 21x ,,x ,x 是一组观测值．x 是这组观测数据的平均数，则该组数据的标准差为：()()().nx x x x x x2n 2221-++-+-=σ 标准差的平方与标准差本身是一样方便的，标准差的平方()()()[]2n 22212xx x x x x n1-++-+-⋅=σ 称为方差．关于上面工资数据的离差和离差的平方如下表：表1-27一个用以简化计算标准差的等价公式是：().x x x x n122n 2221-+++=σ 为了推导这个公式，我们来考查方差的公式：()()()[],x x x x x x nn 2222121-++-+-=σ将和式中每一个二项式平方后得到：[], x x x 2x x x x 2x x x x 2x n12n 2n 222221212+-+++-++-=σ 整理后得到：()[]()2n212n 22212n212n 22212x nx x x x 2x x x n 1 x n x x x x 2x x x n1++++⋅-+++=++++-++-=σ ()(),x x x x n1x x 2x x x n122n 2221222n 2221-+++=+-+++=在上式两端取平方根就得到().x x x x n122n 2221-+++=σ 因为上面的公式和关于标准差的原公式是等价的，所以如果觉得哪个方便就用哪个．例如计算3，5，8，13的标准差，用所推导的公式计算如下：().x x x x n122n 2221-+++=σ ()().8.31622716841426742916964259414138531385341222222≈=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=而运用原公式，我们计算如下：()()()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++-+-=σ222222222n 2221423434941741 4291342984295429341 x x x x x x n18.31652998128941≈⎪⎭⎫⎝⎛+++=。

《概率》全章节复习与巩固【学习目标】1.理解随机变量及其概率分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.理解事件的独立性和条件概率，并能进行简单的应用.4.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.5.理解随机变量的均值、方差的概念，能计算简单随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.6.了解正态分布的有关概念. 【要点梳理】要点一、离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母ηξ,等表示。

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量； 若ξ是随机变量，,b a +=ξη其中a,b 是常数，则η也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。

2．离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1,x 2,…,x 3,…,若ξ取每一个值x i (i=1,2,…)的概率为i i P x P ==)(ξ，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）p i ≥0,i=1,2…； （2）P 1+P 2+…=13．如果随机变量X 的分布列为称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布。

要点二、超几何分布在含M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{}X k =发生的概率为：()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==，0,1,2,,k m =，其中min{}m M =，n ，n N M N n M N N *≤≤∈，，，，，称分布列为超几何分布列。

离散型随机变量X 服从超几何分布。

要点三、独立性1.条件概率的概念设A 、B 为两个事件，且()0P A >，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(|)P B A 表示。

2020届高三数学《概率与统计》复习学案回归教材1. (必修3第二章第一节改编)采用系统抽样的方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将800人随机编号为1,2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，在抽到的40人中，编号落入区间[1,200]的人做试卷A，编号落入区间[201,560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为()A．10 B．12 C．18 D．282. (必修3P121练习2改编)某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，现按分层抽样的方法从该校的所有教师中抽取56人进行某项调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师人数为()A. 81B. 152C. 182D. 2023. (必修3P73练习3改编)为了参加端午节龙舟赛，某龙舟队进行了6次测试，测得最大速度(单位：m/s)的茎叶图如图所示，则6次测试的最大速度的平均数为________m/s，方差为________．4. (必修3P130练习2改编)在夏令营的7名成员中，有3名同学已经去过北京，从这7名同学中任选2名同学，则选出的2名同学恰好已经去过北京的概率是________．5. (必修3P140例4改编)在区间[－1,1]内取数x，在区间[0,1]内取数y，则y≥x的概率是________．举题固法目标1古典概型求古典概型概率的步骤：①判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；②分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；③利用公式P(A)＝mn，求出事件A的概率．例1：(2018·合肥一模)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在[20,60]内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表：(1) 12 000人购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋；(2) 某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式抽取7人作跟踪调查，并给其中的2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人年龄都在[20,30)内的概率．变式：某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1) 若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．目标2用样本估计总体①频率分布直方图每个矩形的面积是对应组的频率，所有矩形的面积之和为1；②由频率分布直方图估计总体均值的方法是以该组的中间值乘以该组的频率，然后求和；③估计中位数的方法是一条垂直于横轴并且平分频率分布直方图面积的直线，该直线对应的数据即为中位数的估计值．例2：(2019·开封一模)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图所示．使用A款订餐软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图使用B款订餐软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图(1) 已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18min，现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20min的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2) 试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3) 如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？变式：某中学高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示，据此解答下列问题．(1) 求全班人数及分数在[80,90)之间的频数；(2) 计算频率分布直方图中[80,90)的矩形的高；(3) 若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．目标3概率统计的综合例3：现在的高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．(1) 求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2) 用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；(3) 若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．(2019·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如图所示．每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1) 根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2) 为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X＞182的概率；(3) 根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．。

专题四概率与统计][全国卷3年考情分析考点(一)主要考查两个计数原理、排列、组合排列、组合的应用的简单综合应用，有时会与概率问题相结合考查.[典例感悟][典例] (1)(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种(2)某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙2名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A．360 B．520C．600 D．720(3)(2018·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种[解析] (1)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6(种)，再分配给3个人，有A 33＝6(种)，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．(2)若甲、乙同时被选中，则只需再从剩下的5人中选取2人，有C 25种选法，因为在安排顺序时，甲、乙不相邻需“插空”，所以安排的方式有A 22A 23种，从而此种情况下不同的发言顺序的种数为C 25A 22A 23＝120.若甲、乙只有一人被选中，则先从甲、乙中选一人，有C 12种选法，再从剩下的5人中选取3人，有C 35种选法，因为在安排顺序时无要求，所以此种情况下不同的发言顺序的种数为C 12C 35A 44＝480.综上，不同的发言顺序的种数为120＋480＝600.故选C.(3)一个路口有3人的分配方法有C 13A 33种；两个路口各有2人的分配方法有C 23A 33种． 由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C 13A 33＋C 23A 33＝36(种)． [答案] (1)D (2)C (3)C[方法技巧]1．解答排列组合问题的4个角度解答排列组合问题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．2．解决分组分配问题的3种策略(1)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．(3)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．[演练冲关]1．(2018·广州模拟)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A．36种B．24种C．22种D．20种解析：选B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，选B.2．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 0803．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：164．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．答案：660考点(二) 二项式定理及其应用[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35(2)(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80(3)若(3x －1)2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x2 018(x ∈R )，则13＋a 232a 1＋a 333a 1＋…＋a 2 01832 018a 1＝________.[解析] (1)(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30.(2)当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.(3)令x ＝0，可得a 0＝1.由通项可得a 1＝C 2 0172 018·31·(－1)2 017＝－6 054.令x ＝13，得a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 2 01832 018＝－1，则13＋a 232a 1＋a 333a 1＋…＋a 2 01832 018a 1＝1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 2 01832 018＝－1a 1＝16 054. [答案] (1)C (2)C (3)16 054[方法技巧]求解二项式定理相关问题的常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．[演练冲关]1．(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2xr ＝C r 5·2r ·x10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40.2．(2018·长郡中学模拟)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A ．560B ．－560C ．280D ．－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1，解得a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560，选A.3．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－mx 5的展开式中含x 2项的系数为250，则实数m 的值为( )A ．±5B ．5C ．± 5D. 5解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x －2(5－r )(－mx )r ＝C r 5(－m )r x 3r －10，由3r－10＝2，得r ＝4，系数为C 45(－m )4＝5m 4.因为第二个因式中没有常数项，所以展开式中含x 2项的系数为2×5m 4＝250，求得m ＝± 5.故选C.4．(2018·陕西模拟)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312，故选D.[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．排列、组合数公式 (1)排列数公式A mn ＝n (n －1)·…·(n －m ＋1)＝n ！n －m ！.(2)组合数公式 C m n＝A mn A m m＝n n －1·…·n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！.2．二项式定理 (1)二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n .(2)通项与二项式系数T k ＋1＝C k n a n －k b k，其中C k n (k ＝0,1,2，…，n )叫做二项式系数．[二级结论要用好]1．各二项式系数之和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n. (2)C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.2．二项式系数的性质 (1)C rn ＝C n －rn ，C rn ＋C r －1n ＝C rn ＋1. (2)二项式系数最值问题当n 为偶数时，中间一项即第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系数C 2nn 最大；当n 为奇数时，中间两项即第n ＋12，n ＋32项的二项式系数C -12n n，C +12n n相等且最大．[针对练] 若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102r ·x 552－r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.[易错易混要明了]二项式(a ＋b )n与(b ＋a )n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时要明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．[课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练一、选择题1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个解析：选B 各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所以符合条件的三位数有A 33＋C 13A 33＝6＋18＝24(个)．2．(2018·广西南宁模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数为( )A ．80B ．－80C ．－40D ．48解析：选B ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r，令5－2r ＝3，解得r ＝1.于是展开式中x 3项的系数为(－1)×25－1·C 15＝－80，故选B.3．(2019届高三·南宁、柳州联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是( )A ．72B ．70C ．66D ．64解析：选D 从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C 12·C 17＋C 17·C 16＝56种选法，三个数相邻共有C 18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法，故选D.4．(2018·新疆二检)(x 2－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋15的展开式的常数项是( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋15的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r ＝C r 5x 2r －10，令2r －10＝－2或0，解得r＝4,5，∴展开式的常数项是C45＋(－3)×C55＝2.5．(2018·益阳、湘潭联考)若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为( )A．22 018－1 B．82 018－1C．22 018D．82 018解析：选B 由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以aa2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.1·3＋6．现有5本相同的《数学家的眼光》和3本相同的《数学的神韵》，要将它们排在同一层书架上，并且3本相同的《数学的神韵》不能放在一起，则不同的放法种数为( ) A．20 B．120C．2 400 D．14 400解析：选A 根据题意，可分两步：第一步，先放5本相同的《数学家的眼光》，有1种情况；第二步，5本相同的《数学家的眼光》排好后，有6个空位，在6个空位中任选3个，把3本相同的《数学的神韵》插入，有C36＝20种情况．故不同的放法有20种，故选A.7．(2019届高三·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．29B．210C．211D．212解析：选A 由题意得C4n＝C6n，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29，故选A.8．(2018·惠州模拟)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小明可选的旅游路线数为( )A．24 B．18C．16 D．10解析：选D 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小明可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.选D.9.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是( )A．120 B．140C ．240D ．260解析：选D 由题意，先涂A 处，有5种涂法，再涂B 处有4种涂法，第三步涂C ，若C 与A 所涂颜色相同，则C 有1种涂法，D 有4种涂法，若C 与A 所涂颜色不同，则C 有3种涂法，D 有3种涂法，由此得不同的着色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)，故选D.10．(2018·郑州模拟)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27解析：选A 依题意得2n＝8，解得n ＝3.取x ＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.11．(2018·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理 、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A ．6B ．12C ．18D ．19解析：选D 法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有C 13C 23＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有C 23C 13＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.法二：从六科中选考三科的选法有C 36种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C 36－1＝19(种)，故选D.12．(2018·甘肃兰州检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种解析：选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12(种)；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12(种)；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22C 23＝6(种)；若甲、乙抢的是两个6元，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 23＝6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36(种)．故选C.二、填空题13．(2018·贵州模拟)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，所以a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：014．(2018·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________(用数字作答)．解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228. 答案：－22815．(2018·合肥质检)在⎝⎛⎭⎪⎫x －1x－14的展开式中，常数项为________．解析：易知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4的展开式的通项T r ＋1＝C r 4(－1)4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x r .又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x r 的展开式的通项R m ＋1＝C m r x r －m (－x －1)m ＝C m r (－1)m x r －2m ，∴T r ＋1＝C r 4(－1)4－r ·C m r ·(－1)m xr －2m，令r －2m ＝0，得r ＝2m ，∵0≤r ≤4，∴0≤m ≤2，∴当m ＝0,1,2时，r ＝0,2,4，故常数项为T 1＋T 3＋T 5＝C 04(－1)4＋C 24(－1)2·C 12(－1)1＋C 44(－1)0·C 24(－1)2＝－5.答案：－516．(2018·洛阳模拟)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C 23·C 14＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C 13·C 11＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C 23种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A 24种方法．由分步乘法计数原理得共有C 23·A 24＝36种报法．答案：36B 级——难度小题强化练1．(2018·南昌模拟)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种解析：选A 法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A 22A 33，A 22A 33，C 12A 22A 33，C 13A 22A 33，C 13A 22A 33，故总编排方案有A 22A 33＋A 22A 33＋C 12A 22A 33＋C 13A 22A 33＋C 13A 22A 33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C 14A 22A 33＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．2．(2018·洛阳模拟)若a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A ．－15B ．15C ．－240D ．240解析：选D a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，则⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 626－r (－1)r x 6－3r2，令6－3r ＝0得r ＝2，所以展开式中的常数项为C 26·24·(－1)2＝240.故选D .3．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k≤2m，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若 a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C .4．某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为( )A ．60B ．40C ．120D ．240解析：选A 由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有C 24C 22A 22＝3(种)不同的分法，再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A 25＝60(种)不同的安排方法．故选A .5．(2018·郑州一模)由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________． 解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A 33＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为C 12·A 22＝4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.答案：106．(2018·济南模拟)已知(1＋ax ＋by)5(a ，b 为常数，a ∈N *，b ∈N *)的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数f (x )＝sin 2x ＋b 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为________．解析：令x ＝0，y ＝1，得(1＋b )5＝243，解得b ＝2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，所以f (x )＝sin 2x ＋b 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2x ＋2sin x ＋cos x ＝2sin x ·cos x ＋2sin x ＋cos x＝sin x ＋cos x ＋1sin x ＋cos x≥2sin x ＋cos x ·1sin x ＋cos x＝2，当且仅当sin x ＋cos x ＝1时取“＝”， 所以f (x )的最小值为2. 答案：2第二讲 小题考法——概率、统计、统计案例考点(一) 用样本估计总体主要考查用统计图表以及利用样本的数字特征估计总体，且以统计图表的考查为主.[典例感悟][典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数(2)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(3)(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( )A．5 B．7C．10 D．50[解析] (1)标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.(2)根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确．(3)根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，故选D.[答案] (1)B (2)A (3)D[方法技巧]1．样本方差、标准差的计算与含义(1)计算：计算方差或标准差首先要计算平均数，然后再按照方差或标准差的计算公式进行计算．(2)含义：方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差和标准差大说明波动大．2．频率分布直方图中常见问题及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．[演练冲关]1．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：新农村建设前新农村建设后新农村建设后变化情况结论种植收入60%a 37%×2a＝74%a 增加A错其他收入4%a 5%×2a＝10%a 增加一倍以上B对养殖收入30%a 30%×2a＝60%a 增加了一倍C对养殖收入＋第三产业收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2a＝116%a超过经济收入2a的一半D对故选A.2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示：用电量/度 120 140 160 180 200 户数23582则这20A ．180,170 B ．160,180 C ．160,170D ．180,160解析：选A 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.3.(2018·武汉调研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉一个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x 表示，则剩余5个得分的方差为________．解析：去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x )分，91分，87分，则93＋90＋90＋x ＋91＋875＝91，解得x ＝4，所以这5个数的方差s2＝15[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6. 答案：6考点(二) 变量间的相关关系、统计案例主要考查线性回归方程的求解及应用，对独立性检验的考查较少.[典例] (1)(2018·豫东、豫北十所名校联考)根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7y4.0a －5.4 －0.50.5b －0.6得到的回归方程为y ＝bx ＋a .若样本点的中心为(5,0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位(2)通过随机询问110名学生是否爱好打篮球，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.05 0.01 0.001 k 03.8416.63510.828A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别无关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别有关”C ．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别无关”D ．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关” [解析] (1)依题意得，a ＋b －25＝0.9，故a ＋b ＝6.5；①又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ＋a ，② 联立①②，解得b ＝－1.4，a ＝7.9， 则y ^＝－1.4x ＋7.9，可知当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位． (2)因为K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.822>6.635，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”． [答案] (1)B (2)D[方法技巧]求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解b ^，a ^的计算公式和准确地求解．(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．[演练冲关]1．(2018·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：广告费x23456销售额y 29 41 50 59 71由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( )A ．101.2万元B ．108.8万元C ．111.2万元D ．118.2万元解析：选C 根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.2．(2019届高三·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )P (K 2>k 0) 0.50 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 00.4551.3232.0722.7063.8415.0246.635C ．99.5%D ．95%解析：选D 由表中数据可得，当k >3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.考点(三) 古典概型与几何概型主要考查古典概型与几何概型及其概率公式的应用. [典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.π8 C.12D.π4(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25(3)(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3[解析] (1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.(2)记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)， 因此所求的概率P ＝1025＝25.(3)法一：∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝π8AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝π8BC 2，∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12AB ·AC ，S Ⅱ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π8BC 2－12AB ·AC ＝12AB ·AC . ∴S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S ⅡS 总， ∴p 1＝p 2.故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×222－2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×222－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式， 得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2， 所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A. [答案] (1)B (2)D (3)A[方法技巧]1．古典概型概率的求解关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数． (2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[演练冲关]1．(2019届高三·湘中名校联考)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29 B.13 C.49D.14解析：选A 从集合A ，B 中随机选取一个数后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9对，要使直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限，则需a ≥0，b ≥0，共有2对满足，所以所求概率P ＝29，故选A.2．(2018·贵阳模拟)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为( )。

v 【创优导学案】2014届高考数学总复习 第十章 概率与统计10-6课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 243 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在无放回地依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )A ．7B ．9C ．10D ．25解析 A 号码之和可能为3,4,5,6,7,8,9，共7种． 2．随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜ξ＜52的值为( )A.23 B.34 C.45D.56解析 D 由题意知：a ⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45a ＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝56.3．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 2 3 4P1613 13p则p 的值为( )A.16 B.12 C.13D.14解析 A 由分布列的性质可知16＋13＋13＋p ＝1，∴p ＝16.4．(2013·郑州模拟)设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．n ＝9解析 C P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，∴n ＝10.5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ＝3)C ．P (ξ≤2)D ．P (ξ≤3)解析 B 所给概率是从12人中，选6人恰好有3名“三好生”的概率，故选B. 6．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：( )A ．0.88B ．0.12C ．0.79D ．0.09解析 A 根据射手射击所得的环数ξ的分布列，所求的概率为 P (ξ≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．解析 X ＝－1，甲抢到1题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，且1对1错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对． X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．【答案】 －1,0,1,2,38．设随机变量ξ的概率分布如表所示：则P (0≤ξ<2)＝解析 由题意a ＝12，P (0≤ξ<2)＝a ＋13＝56.【答案】 569．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析 设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.【答案】 45三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)一个盒子中装有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设X 表示其中黑球的个数，求X 的分布列．解析 X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 04C 316C 320＝2857；P (X ＝1)＝C 14C 216C 320＝819；P (X ＝2)＝C 24C 116C 320＝895；P (X ＝3)＝C 34C 016C 320＝1285. 所以X 的分布列为：11.(12分)5名工人，其中有3名女工人，现在采用分层抽样(层内采用不放回的简单随机抽样)，从甲、乙两组中共抽取3人进行技术考核．(1)求甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率；(3)令X 表示抽取的3名工人中男工人的人数，求X 的分布列． 解析 (1)315×10＝2，310×5＝1.故从甲组抽取2名，从乙组抽取1名． (2)从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为 C 14C 16C 15C 210C 15＝815. (3)X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 24C 13C 210C 15＝225；P (X ＝1)＝C 16C 14C 13＋C 12C 24C 210C 15＝2875；P (X ＝2)＝C 26C 13＋C 12C 16C 14C 210C 15＝3175； P (X ＝3)＝C 26C 12C 210C 15＝215，故X 的分布列为12.(162个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．解析 (1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是对立事件．因为P (B )＝C 15C 22C 18C 310＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23.(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130； P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310； P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量X 的分布列为，则P (C )＝P (X ＝3或X ＝4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.。

高考数学知识模块复习指导系列学案——概率与统计【III】5．怎样由总体密度曲线来计算连续型随机变量的概率分布?经过上面几个问题的讨论我们了解了离散型随机变量，并学会了计算离散型随机变量的分布列．但是在解决实际问题时除了应用离散型随机变量，我们还会用到连续型随机变量，这两种不同类型的随机变量在研究的方法上存在巨大差异．什么是连续型随机变量呢?直观地讲，就是这种随机变量的取值不再是一些离散的点而是某些区间，甚至是整个数轴，比如，零件的尺寸、农作物的产量、水库的水位等等．因为连续型随机变量不是可一一列举的，所以其概率规律性也就不能用分布列来刻画．那么怎样去研究连续型随机变量取值的规律性呢?这就引出了课本中讲述的“总体密度曲线”这个概念．设ξ表示一个连续型随机变量，我们的目的是掌握ξ取值的规律性．由于我们不能逐点去讨论它的取值情况，[注：因为连续型随机变量的取值是实数轴的某个区间，而在实数轴上任何两个相异点之间总包含无穷多个点，所以采用逐点讨论的办法就行不通了．]所以我们转向讨论随机变量ξ在某个给定的区间(a，b]上取值的情况．如果对于任何的区间(a，b]我们总能确定出P(a<ξ≤b)的值，我们也就掌握了随机变量ξ的取值规律．在我们还未具备研究连续型随机变量要使用的微分、积分等知识之前，我们只能讨论一些简单的连续型随机变量的概率分布．对于连续型随机变量，我们一般是根据它的概率密度函数f(x)来计算变量ξ在某一区间上取值的概率分布．在具体计算时我们采用函数和函数图象对应的方法．先画出f(x)的图象，然后看f(x)的图象在给定的区间(a，b]上所围的面积．这个面积的数值就是连续型随机变量在给定的区间(a，b)引上取值的概率．常用的连续型随机变量的概率分布有均匀分布、指数分布和正态分布等．这三种分布的概率密度函数及总体密度曲线如图1-l所示：例已知随机变量ξ的概率密度函数为：()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<= 1. x 01,x 02x 0, x 0x f(1)画出随机变量ξ的概率密度曲线． (2)求出ξ落在区间(0.2，0.8]内的概率． 思路启迪易知函数f(x)的图像是一条过原点的线段，而ξ落在区间(0.2，0.8]内的概率就是f(x)的图像在区间(0.2，0.8]内包含图形的面积．规范解法 (1)f(x)的图象如图1—2所示．(2)根据f(x)的图象可知P(0.2<ξ≤0.8)是图中阴影部分梯形的面积，易得 P(0.2<ξ≤0.8)()()2.08.028.022.021-⨯⨯+⨯=＝0.6，所以ξ落在区间(0.2，0.8]内的概率为0.6．6．期望和方差各是什么?在实际问题中，除了离散型随机变量的分布列之外，我们有时还要了解随机变量更多的特征．期望和方差就是用来刻画随机变量数字特征的重要参数．期望主要用来描述随机变量的平均取值情况，而方差则用来描述随机变量的取值对于平均值的离散程度．作为随机变量重要的数字特征，期望和方差直观、综合地反映出了变量取值的大致情况，在实际中具有广泛的应用．先来看期望，期望有时又称为数学期望或平均数等等．它表明了随机变量取值的平均水平，我们用下面的例子来引出数学期望的数学定义．一个车间共有5台机床，对于这些机床，由于各种原因，时而工作，时而停止．因此任一时刻工作着的机床数目是一个随机变量，为了精确估计该车间的电力负荷，我们需要知道车间中同时工作着的机床的平均数目．假定我们进行了20次观察，结果如下表所示：因此，该车间中同时工作着的机床的平均数目为：.35.42011520642023201220012000201156423120100=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯由上面的计算过程可知，所求的平均数实际上就是随机变量的可能取值与取该值时对应的频率乘积之和．由于这个平均值是由观察得来的，所以会带有—些偶然性，这种偶然性主要表现在频率上．如果我们能用概率代替频率，就能从根本上消除这种偶然性，从而在本质上反映出随机变量的平均值．为此，我们将期望定义为如下的值：我们定义n n 2211p x p x p x E +++=η 为离散型随机变量η的数学期望，简称期望．[注：一个随机变量的期望是一个确定的值，如果它存在的话，应与等号右边的求和顺序无关．]根据数学期望的定义，我们可得关于期望的两条重要的性质：性质一：对于任何常数c ，公式E(c η)＝c ·E η恒成立．[注：一般地，随机变量η的期望可以成E(η)简记为E η，但若η前有系数时，必须写成E(k η)，k 为常数系数．]性质二：对于多个随机变量k 21,,,ηηη ，若它们的期望都存在，则下式成立．().E E E E k 21k 21η++η+η=η++η+η下面列举几个常用分布的期望值：(1)服从两点分布的随机变量η的期望值为E η＝P ．(其中P 为η取1时的概率)． (2)服从二项分布的随机变量η的期望值为E η＝n ·P ．(其中P 为事件成功的概率)． (3)服从几何分布的随机变量η的期望值为p1E =η.(其中P 为事件成功的概率)．由上面的实例可知，期望在实际应用中很重要．但在不少问题中，仅仅知道了随机变量的期望是不够的．比如，考查射手打靶射击的水平，不仅要看他们各自平均击中的环数，而表1-15容易计算甲、乙二人射击的平均环数都是7环，但很明显击中环数与平均击中环数的偏离程度不一样．从稳定性来看乙要好于甲．把随机变量的这种特性用一个数字表示出来就有了方差的概念．我们来看看方差的定义．对于上述例题我们可以先计算每次击中的环数与平均击中环数的差的平方：()()()()()()()()()() 1.760,771;780；770;77对射手己有：1.769;7100;771;789;74对射手甲有：2222222222=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-然后分别对它们求均值：对甲有：(9＋1＋0＋9＋1)÷5＝4． 对乙有：(0＋0＋l ＋0＋1)÷5＝0.4．显然0.4<4，即乙射手的射击稳定性要优于甲射手．在这里为什么我们要用实际取值与平均取值的差的平方参与运算而不用差本身呢?这是因为差本身可能由于有正有负而相互抵消，那就不能正确反映出偏离程度了，而用差的平方就—定可以避免这种情况发生．上面例中的实际取值与均值的差的平方和的平均值我们叫做方差．方差是用来描述随机变量取值的偏离程度的量．对于随机变量η，方差记为ηD ，显然ηD 表示()2E η-η的平均值，也就是()2E E D η-η=η，这就是方差的数学定义．根据我们已知的期望的运算法则有：()()[]()()()()()()().E E E E E E E E E E E E E E D 22222222222 22ηηηηηηηηηηηηηηηη-=+-=+⋅-=+⋅-=-=在实际计算过程中，我们经常用上面推出的等式：()()22ηηηE E D -=来计算方差．和期望一样，方差也有两条常用的性质：()D η.c ηc ，有D 性质一：对任一常数c 2⋅=⋅性质二：对于互相独立的随机变量k 21,,,ηηη ，成立()=η++η+ηK 21D.D D D k 21η++η+η一些常用概率分布的方差如下：(1)两点分布的随机变量的方差为：D η＝p ·(1－p)．(2)服从二项分布的随机变量的方差为：D η＝n ·p ·(1－p)．()2/P p 1η随机变量的方差为：D (3)服从几何分布的-=.[注：除了方差外，我们还可能用到ηD ,一般用希腊字母σ来表示，称为随机变量η的标准差，它也是描述随机变量取值离散程度的重要参数．]7．离散型随机变量的期望和方差是如何计算的?离散型随机变量的数学期望和方差的计算主要有以下三种方法． 方法一：用定义求出．表1-16若和式 +++++k k 332211p x p x p x p x 可以计算，则称之为随机变量η的数学期望，记作ηE ，即 ++++=ηk k 2211p x p x p x E [注：我们一般见到的分布列都为有限项，所以其期望值都是可以计算的．对于无限项的分布列，在计算时要用到级数和极限的内容，我们这里暂不作介绍．]若随机变量η的数学期望ηE 存在，且()2E E η-η也存在(这里的ηE 是一个常数)，则称()2E E η-η为η的方差，记为ηD ．即()2E E D η-η=η，显然0D ≥η．根据上述期望的定义可得方差的计算公式为：()()++⋅η-+⋅η-=η 222121p E x p E x D() +⋅η-k 2k p E x ，计算随机变量的方差除用上述定义之外，最常用的是下面的简化公式：()().E p x p x p x E E D 2k 2k 22212122η-⋅++⋅+⋅=η-η=η来看下面的例题：例1 有3只球和4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4．将球逐个独立地、随机地放入四个盒子中去．以η表示其中至少有—只球的盒子的最小号码(例如事件{η＝3}表示第1号，第2号盒子都是空的，第3号盒子中至少有—只球)，试求ηE ．思路启迪 因为用公式计算ηE 时必须知道随机变量η的分布列．所以该题的第一步是计算η的分布列．由题述，显然η的可能取值为1，2，3，4．再来看η取各值的概率．当η＝1时，表示第1号盒子中至少有一只球，其球的放法共有37C 3C 3C 3323213=+⨯+⨯种，这是因为第l 号盒子仅有一只球的放法为2133C ⨯种，有两只球的放法共有3C 23⨯种，有3只球的放法共有33C 种．当η＝2时，表明1号盒子为空，第2号盒子至少有一个球．其球的放法总数有19C 2C 2C 3323213=+⨯+⨯种．这是因为第2号盒子只有一只球的放法有2132C ⨯种，有两只球的放法有2C 23⨯种，有三只球的放法共有33C 种．当η＝3时，表示第1号，第2号盒子均为空，第3号盒子中至少有一只球，其球的放法有332313C C C ++＝7种，这是因为第3只盒子只有一只球、两只球、三只球的放法分别为：3323213C ,1C ,1C ⨯⨯种．当η＝4时，表明第1、2、3号盒子都为空，第4号盒子定有3个球，球的放法只有一种． 而3只球，放入4只盒子，盒子装球的个数不限，共有34种放法，所以()()()().6414P ,6473P ,64192P ,64371P ==η==η==η==η表1-17因此，按照期望的计算公式可得：641464736419264371E ⨯+⨯+⨯+⨯=η.56.164100≈=例2 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是52.设随机变量η表示途中遇到红灯的次数，求η的分布列和数学期望．思路启迪 因为在每个交通岗只会发生两件事“遇到红灯”与“不遇到红灯”，且两事件相互矛盾，因此遇到红灯的次数η是一随机变量且服从二项分布⎪⎭⎫⎝⎛52,3B ．规范解法 随机变量η服从二项分布，即⎪⎭⎫ ⎝⎛η52,3B ~，η的可能取值为0，1，2，3，易求得：()()()().C P ,C P ,C P ,C P 12585231253652152212554521521125275210333223213303=⎪⎭⎫⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫⎝⎛-==ηηηη表1-18η的数学期望为.2.15612583125362125541125270E ==⨯+⨯+⨯+⨯=η方法二：利用常见离散型随机变量的数字特征公式求之．为了方便应用，下面将几种常见离散型随机变量的期望和方差列成表，以备查用．希望表1-19[注：计算期望和方差时，应先考查其分布是否是常见分布．属常见分布，其方差与期望可直接利用公式求之．不必像例1那样先求分布列，再用定义计算，那样太麻烦，且容易算错．]例3 某人掷不均匀钱币，出现反面的概率为P ，(0<P<1)，求在两次出现反面之间出现正面的次数的概率分布和数学期望．思路启迪 设随机变量η表示两次出现反面之间出现正面的次数，则η的一切可能值为一切非负整数，即0，1，2，…，n ，…．设出现m 次正面后出现反面，则()().p p 1m P m⋅-==η规范解法 设η表示两次出现反面之间出现正面的次数，则η服从几何分布，参数为P ，由上表可知η的率分布为()().p p 1m P m⋅-==η其数学期望为p1. 例4 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验．当P ＝( )时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为( )．思路启迪 设100次独立重复试验中的成功次数为随机变量η．所以η服从二项分布，即η～B(100，P)，根据上表中所列公式可得随机变量η的方差为：()P 1p 100D -⋅⋅=η.规范解法 设随机变量η表示100次试验中成功的次数，很明显η～B(100，P)，所以η的标准差为().p 1p 100D -⋅⋅=η因(),21p 10025411004121p 2p 100p 1p 10022⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅--=-显然当21p =时，100p ·(1—p)达到最大，即ηD 的值最大．其最大值为 .52521121100==⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯[注：常将p(1-p)配成完全平方式：()221p 41p 1p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-来讨论服从二项分布的随机变量其方差的大小问题．]方法三：随机变量分解法．将随机变量η分解成若干个随机变量i η之和，把求E η转化为i E η:()n 21n 21E E E E E η++η+η=η++η+η=η若i E η易于求出，则E η的计算就非常简便，这种处理方法称为随机变量分解法．例5 设随机变量η～B(n ，p)试求E η和D η． 思路启迪 因为η～B(n ，p)设⎩⎨⎧=0，事件A失败事件A成功 1,ηi ()().n ,,,i p p D ,p E ,i i n 21121=-⋅==+++=ηηηηηη则规范解法().p n E E E E E n 21n 21⋅=η++η+η=η++η+η=η()().p 1p n D D n 21-⋅⋅=η++η+η=η8．如何作到真正的随机抽取?在简单随机抽样的过程中，我们采用了随机抽取的办法．所谓的随机抽取就是要求在抽样过程中各个个体被抽到的概率都相等．但是，如何保证我们的抽取过程是真正随机的呢?在本书中，我们不能随便地使用“随机”这个词，读者可能已经猜到了“随机”这个词是什么意思．然而仔细研究这个问题以后，就会清楚地知道“随机性”不总是容易得到的，并且它实际上也不可能被验证．例如，有这样一个问题，我们想从一群人中选择一个人，检查他有无癌症．假定要你从1000人中随机选出一个人，你怎么选法呢?要知道，如果选取是真正随机的，每一个人被选中的概率必须相等．你可以采用的一种方法是：把每个人的名字(假定1000人中没有重名的)写在一张小纸片上，然后把所有的纸片放在一个大容器中搅抖均匀．让一个蒙住眼睛的小姑娘(她肯定是不作弊的)从中抽取一张．这个办法最明显的问题是搅拌均匀的问题．果真能把1000张写有名字的小纸片搅拌均匀吗?有大量证据说明，搅拌均匀的困难远比一般所想像到的要大得多．另一种办法是做一个旋子，它上面有一个可以旋转的箭头，箭头的一端能在10个数字中的任何一个数字上停下来．然后将这1000个人从000到999编上号．转动旋子3次所得到的三位数字表明选中了哪个人．例如，旋转结果的顺序是3，2，3．则选中了编号为323的那个人．我们用的旋子如图1-3所示．如果下一个被选中的人是333号．你可以怀疑这个旋子不正吗?旋子是否在3这个位置上被什么东西卡住了呢?(某些街头猜奖的小贩会在特定的数字下放一块磁铁来吸引指针指向这个数字)是这样的，如果旋子没有缺陷，333应该和其他数字出现的可能性相同．显然，这种办法的主要困难在于做一个完好无缺的旋子．还有哪些别的办法，能“公平地”或真正随机地从1000个人中选出一个人来呢?我们知道，现在利用计算机运行一种“随机数发生器”的程序就可以产生随机数．但如果你有一定的编程知识的话就会知道，任何“随机数发生器”都依靠—个“种子”值来产生—系列“随机的”数字，我们通常称之为“伪随机数”．计算机作为一种有限状态的机器，是不可能产生真正随机的数字序列的．在学过统计学的科学家中，现在通用的办法是使用随机数表．(如课本附录中所列)随机数表是这样一个数字列，使每一个数字在任何一个位置出现的可能性都相同，即都是101．随机数表在实际的构造中是非常困难的，需要有专门的技术并进行大量的工作．下面所列就是 一张简单的随机数表．列表1-20我们利用上表来从1000个人中选择一个人，继续采用上面对人的编号，于是采用表中第—行第1，2，3列上的数字，我们就随机地抽出一个编号为958的人．如果我们要选择一个四人委员会，那么第二人该是327号，第三人是614号，第四人是599号．在这个抽取三位数的过程中，如果某个三位数第二次出现，就略去这个数字，而往下再取一个三位数，因为一个人不能担任四人委员会的两个成员．如果不是选择四人委员会，而是发放四份奖金．并且允许—个人拿到两份或多份奖金，那么就不能略去第二次出现的那个三位数，而是应该把两份奖金发给以它为编号的那个人．假定我们要在本季度的首轮球赛中将八个球队分成四组．将八个球队从1到8编上号，从随机数表的第二行第三列开始(从表中第一个例子结束的地方开始)，把8队和1队分成一组，3队和4队分成一组，(跳过第7列的数字4，因为不能把4队分到两个组中)，6队和7队分成一组，最后2队和5队分成一组．当然，前三组分好后，最后—组也就确定出来了．如果在表中出现了数字0或9，就直接跳过它，因为0和9不是球队的编号．还可以用随机数表决定某个球队是主队还是客队，考虑这个球队过去的成绩就可以做到这一点．假定在上一赛季中8队赢了15场，1队赢了5场．我们希望在第—场比赛中1队成为主队的机会大于8队，并希望这个机会与它们过去的成绩有关，我们用数字00到14表示1队成为主队，数字15到19表示1队成为客队．在随机数表中上例结束处开始，即从第3行第2列开始，得到数字72，因为72是一个与本问题无关的数字，舍弃它．再查下两个数字，得到10，于是1队在第一场比赛中应为主队．上面讨论了随机数表在随机抽取中的一些应用．使用随机数表应该从左到右读完—行后再读下一行，行间的空隙只是为了便于看清表中数字的位置．另外，从哪一个位置开始读取表中的数字，有时是有一些窍门的，如果正规地使用这个表，应该从头开始，用完之后做下记号，下—次再接着往下用．但是如果试验者用完这个表后注意到下面几个数字，而在下一次试验中又将它回忆起来，那就有可能破坏试验的客观性．同样，在全班都使用随机数表再将结果合并起来时，如果班上所有同学都从表中同一处开始，那么合并的结果就不是随机的了．正确的方法是各人开始于不同的地方，而各人选择起始点时应该采用随机数表进行随机选取．让我们看一下下面的例题．例下表表示上一赛季10个篮球队获胜的场数，利用随机数表将这些队在下一赛季的第一轮比赛进行分组，在每一组中指定一个队为“主队”或“客队”，使得成绩较差的队比战绩较好的队成为主队的可能性比较大，叙述你所采用的分组及指定“主队”和“客队”的方法．比赛结果见下表．表1-21思路启迪先将10个球队A、B、C、D、E、F、G、H、I、J从0到9编号．即A队编为0号，B队编为1号，C队编为2号，依此类推，J队被编为第9号．利用上面提供的随机数表，对这10个球队进行分组．从表的第一行第一列开始，得到5个数对，分别为：9和5；8和3；2和7；6和1；4和5；在上述五个数对中，将对应的数字换成表示球队的字母就得到了一种对10个球队随机分组的方法，即J队和F队为一组，I队和D队为一组，C队和H队分为一组，G队和B队分为一组，剩下的E队和A队分成一组，注意最后一组数中重复出现了数字5，我们将其直接去掉，又因为前4组已分好，故这样做不会影响我们对各组的划分．在每组中指定主队和客队的方法为：以第一组J队和F队为例，因为F队在上一赛季赢了5场而J队则一场也没赢，故我们希望J队获得主场的机会比F队获得主场的机会大．我们用数字0到4表示“J队成为主队”，那么从随机数表的第2行开始，前三个数字9，9，8不在0到4之间，我们跳过这三个数字，第四个数字为1，在0到4之间，故让J队成为主队．再以第2组即I队和D队这一组为例：因为I队在第一赛季中赢了3场而D队在第一赛季中赢了7场，故划分时用数字0到数字6代表“1队成为主队”，而以数字7到数字9代表“D队成为主队”．从随机数表的第2行第5列(即上面用到的数字1后的数字)开始选数字，选到的数字为3．在0到6之间，故令I队成为主队．其他组的主队与客队的划分方法类似，请读者自行决定．规范解法略．。

2020年高考第二轮专题复习（教学案）：统计与概率考纲指要：“统计”是在初中“统计初步”基础上的深化和扩展，本讲主要会用样本的频率分布估计总体的分布，并会用样本的特征来估计总体的分布。

热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。

统计案例主要包括回归分析的基本思想及其初步应用和独立性检验的基本思想和初步应用。

对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义。

考点扫描：1．三种常用抽样方法：(1)简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样。

2．用样本的数字特征估计总体的数字特征： （1）众数、中位数；（2）平均数与方差。

3．频率分布直方图、折线图与茎叶图。

4．线性回归：回归直线方程。

5．统计案例：相关系数、卡方检验，6．随机变量：随机变量的概念，离散性随机变量的分布列，相互独立事件、独立重复试验公式，随机变量的均值和方差，几种特殊的分布列：（1）两点分布；（2）超几何分布；（3）二项分布；正态分布。

7随机事件的概念、概率；事件间的关系：（1）互斥事件；（2）对立事件；（3）包含； 事件间的运算：（1）并事件（和事件）（2）交事件（积事件）8古典概型：古典概型的两大特点；古典概型的概率计算公式。

9几何概型：几何概型的概念；几何概型的概率公式；几种常见的几何概型。

考题先知：例1．为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为：sxx Z -=（其中x 是某位学生的考试分数，x 是该次考试的平均分，s 是该次 考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此， 又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数. 例如某次学业选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是：T=40Z+60. 已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T 分数为 . 分析：正确理解题意，计算所求分数。

章末复习学习目标 1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步理解频率与概率的关系.3.巩固随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.4.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．1．频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率． 2．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解． 3．古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏． 4．几何概型事件概率的计算关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解．1．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ )2．“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( × )3．几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )题型一 频率与概率例1 对一批U 盘进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．反思感悟概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．(4)不一定．题型二互斥事件与对立事件例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种．因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.反思感悟 在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．跟踪训练2 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35. (1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ (2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解 (1)设事件“电话响第k 声时被接”为A k (k ∈N *)，那么事件A k 之间彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为B .根据对立事件的概率公式，得P (B )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05. 题型三 古典概型例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 甲校两名男教师分别用A ，B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E ，F 表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有 (A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种， 所以选出的2名教师性别相同的概率P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率P ＝615＝25.反思感悟 解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．跟踪训练3 甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若用A 表示和为6的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，若用B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件，为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解 (1)基本事件个数与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤5，1≤y ≤5}中的元素一一对应，所以S 中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数n ＝25.事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5个，故P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件．因为B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次时，B ，C 同时发生．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平．题型四 几何概型例4 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________． 答案 23解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－p －，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或2≤p ≤5，所以所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋－5＝23. 反思感悟 对于概率问题的计算，首先应判断概率模型．若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝m n求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解． 跟踪训练4 如图所示的大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A.413B.313C.213D.113 答案 D解析 设阴影小正方形的边长为x ，则在直角三角形中，有22＋(x ＋2)2＝(13)2， 解得x ＝1或x ＝－5(舍去)，∴阴影部分的面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.数形结合思想求概率典例 甲、乙两艘轮船都要停靠在一个不能同时停泊两艘船的泊位上，它们可以在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3h 和5h ，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．解 以甲船到达泊位的时刻x 、乙船到达泊位的时刻y 为横、纵轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可得，0≤x ≤24且0≤y ≤24.设事件A ＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B ＝{甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C ＝{乙船停靠泊位时必须等待一段时间}，则A ＝B ∪C ，并且事件B 与C 是互斥事件，所以P (A )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )．而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0<x －y ≤5，乙船需满足的条件是0<y －x ≤3，点(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形，事件A 的可能结果由图中的阴影部分表示，则S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×(24－3)2－12×(24－5)2＝175，所以由几何概型概率公式得P (A )＝175576，所以有一艘船停靠泊位时等待一段时间的概率为175576. [素养评析] (1)数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明基本事件之间的联系．数形结合思想在本章中的应用有：借助树状图列举基本事件，利用Venn 图理解各种事件之间的关系；利用一维图形求线型几何概型的概率；利用二维图形求面积型几何概型的概率；利用三维图形求体积型几何概型的概率等．(2)直观想象能提升学生数形结合的能力，形成数学直观，是学生数学核心素养的直接体现.1．下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但a 2＋b 2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温. 其中为随机事件的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 B解析 任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；若实数a ，b 都不为0，则a 2＋b 2一定不等于0，故③为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件．故选B.2．不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为( ) A.110B.15C.29D.14 答案 B解析 基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)， 共2种，故所求概率为15.故选B.3．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300D.1450答案 C解析 三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300. 4．已知a ，b ∈(0,1)，则函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________． 答案 14解析 函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，由二次函数的单调性可知－－4b 2a ＝2ba≤1，即a ≥2b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<b <1，a ≥2b ，即图中阴影部分．∴函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为12×1×121×1＝14.5．小明爱好玩飞镖，现有图形构成如图所示的两个边长为2的正方形ABCD 和OPQR ，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，若小明每次投镖都能射中图形，则小明射中阴影部分的概率是________．答案 17解析 连接OA ，OB ，设OR 交BC 于M ，OP 交AB 于N .因为△OBM ≌△OAN ，所以阴影部分的面积等于△OAB 的面积，其面积为1.整个图形的面积为8－1＝7.所以小明射中阴影部分的概率是17.1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题 (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．4．关于随机数与随机模拟试验问题随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑：(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．。

【创优导学案】2014届高考数学总复习 第十章 概率与统计10-3课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 249 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．二项式(a ＋2b )n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为 A ．24 B ．18 C ．16 D ．6解析 D 因为T 2＝C 1n an －1(2b )1＝C 1n 2an －1b ，所以2n ＝8，n ＝4，所以C 2n ＝C 24＝6.2．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为 A ．3 B ．6 C ．9D ．12解析 B ∵x 3＝[2＋(x －2)]3，∴展开式中含(x －2)2项的系数为a 2＝C 23×23－2＝3×2＝6.3．(2013·枣庄模拟)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析 B ∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式的通项为C r 5x 2(5－r )·(－1)r x －r ＝(－1)r C r 5x 10－3r，令10－3r＝4，得r ＝2，∴x 4项的系数为(－1)2·C 25＝10.4．(2013·延安模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 10的展开式通项为C r 10(x )r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 10－r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－1310－r ，因此含x 的正整数次幂的项共有2项．5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是A ．－7B ．7C ．－28D ．28解析 B 由已知得n ＝8，T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k C k8⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k ，令8－4k3＝0，得k ＝6，故展开式中的常数项为(－1)6C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.6．在(ax ＋1)7的展开式中，x 3项的系数是x 2项的系数与x 5项的系数的等比中项，则a 的值是( )A.53B.925C.259D ．1±105解析 C 由x 3项的系数是x 2项的系数与x 5项的系数的等比中项，得(C 47a 3)2＝C 57a 2·C 27a 5，解得a ＝259.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则n ＝________.解析 令x ＝1，得M ＝(5－1)n ＝4n ，又N ＝2n ，∴4n －2n ＝240，∴2n＝16，∴n ＝4. 【答案】 48．(2013·四川调研)已知(1＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＝________.解析 T r ＋1＝2r C r 4x r ，则a 1＝21C 14＝8，a 2＝22C 24＝24，a 3＝23C 34＝32，a 4＝24C 44＝16，∴a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＝－8.【答案】 －89．(2011·安徽高考)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 解析 利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，从而这两项的系数互为相反数，即a 10＋a 11＝0.【答案】 0三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．解析 (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝256，即2n＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28.11．(12分)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1，① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(2)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(3)∵(1－2x )7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6都大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7都小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.12．(16分)已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解析 (1)通项为T r ＋1＝，∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴所求的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项，由题意得⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z ，令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ， ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为T 3＝454x 2，T 6＝－638，T 9＝45256x －2.。

【知识网络】【考点聚焦】对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）1.排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法 （ ） A ．336 B ．408 C ．240 D ．264 【答案】选.A 【解析】方法数为：6252246252242336,A A A A A A -+=选.A变式2 某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“⨯⨯考点⨯⨯考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( )A ．276119B ．272119C ．136119D ．138119【答案】选.D2.原题（选修2-3第二十七页习题1.2A 组第九题）变式1在正方体1111ABCD A B C D -的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线1BD 垂直的概率为_________．【答案】27.166变式2 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A. B. C. D.【答案】选D ．【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成图4直线，共有22661515225C C =⨯=种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有共12对，所以所求概率为12422575P ==，选D ．3.原题（选修2-3第四十页复习参考题A 组第三题）变式1 设集合{1,2,3,4,5,6}S =，定义集合对(,):,,A B A S B S A ⊆⊆中含有个元素，B 中至少含有个元素，且B 中最小的元素不小于A 中最大的元素.记满足A B S =的集合对(,)A B 的总个数为m ，满足A B ≠∅的集合对(,)A B 的总个数为，则mn的值为( ) A.B. C.D.【答案】选.A【解析】根据题意，m 的个数可以这样取：{1,2,3};{4,5,6},{3,4,5,6}A B ==，故2,m =同样得的个数为22,故选.A变式2 把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有 个． 【答案】19.4.原题（选修2-3第四十一页复习参考题B 组第1题（3））变式 已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义映射:f MN →，且点()()()1,(1),2,(2),3,(3)A fB fC f ．若ABC △的外接圆圆心为D ，且()D AD C D BRλλ+=∈，则满足条件的映射有（ ）A.12个；B.10个；C.6个；D.16个； 【答案】A.5.原题（选修2-3第八十六页例2）一只红铃虫的产卵数和温度 有关，现收集了 7 组观测数据列于表中，试建立与之间的回归方程。