四川省崇庆中学2016届高三上学期开学考试数学(理)试题

2016年四川省成都市崇州市崇庆中学高二理科上学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，2. 若直线与直线互相平行，则的值为A. 或B. 或C.D. 以上都不对3. 当，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是A. 若方程有实根，则B. 若方程有实根，则C. 若方程没有实根，则D. 若方程没有实根，则4. 若圆与圆外切，则A. B. C. D.5. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于A. B. C. D.6. 设命题：函数的最小正周期为；命题：函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是A. 为真B. 为假C. 为假D. 为真7. 下列叙述中正确的是A. 若，则“”的充分条件是“”B. 若，则“”的充要条件是“”C. 命题“对任意，有”的否定是“存在，有”D. 是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则8. 给定两个命题，，若是的必要而不充分条件，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若，满足且的最小值为，则的值为A. B. C. D.10. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为A. B. C. D.11. 以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点，，椭圆的左焦点为，且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为A. B. C. D.12. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为______．14. 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为______．15. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为，则该双曲线的方程为______．16. 设是椭圆的下焦点，为坐标原点，点在椭圆上，则的最大值为______．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知是公差为的等差数列，数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．18. 已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，且，，的面积为，且，求，的值．19. 如图所示，在直四棱柱中，，点是棱上一点．（1）求证： 面；（2）求证：．20. 已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点，．（1）求圆的方程；（2）求过点的圆的切线方程；（3）已知，点在圆上运动，求以，为一组邻边的平行四边形的另一个顶点轨迹方程．21. 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于，两点．（1）写出的方程；（2）若，求的值．22. 已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率．答案第一部分1. C2. C3. D4. C5. C6. C7. D8. A9. D 10. D11. A 12. A第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）由，，，当，有，得．因为是公差的等差数列，所以（）．（2）因为且，所以．化简得，即，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以（），数列的前项和．18. （1）所以函数的最小周期．由，，得，，则的单调递减区间，．（2）因为，所以，所以，因为是三角形内角，所以，即，所以，即：．由，代入得，联立方程组消去可得：，解之得或，则，因为，所以，．19. （1）由直四棱柱，得且，所以是平行四边形，所以，而面，面，所以 面．（2）因为平面，平面，则，又因为，且，故面，而面，所以．20. （1）因为圆与轴交于两点，所以圆心在直线上．由得即圆心的坐标为．半径，所以圆的方程为．（2）由坐标可知点在圆上，由得切线的斜率为，故过点的圆的切线方程为．（3）设，因为为平行四边形，所以其对角线互相平分，即解得．又在圆上，代入圆的方程得，即所求轨迹方程为，除去点和．21. （1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点，长半轴为的椭圆，它的短半轴，故曲线的方程为．（2）设，，其坐标满足消去并整理得，故，．因为，所以，因为，所以，化简得，所以．22. （1）如图①，设点到直线的距离为，根据题意，由此得化简得∴动点的轨迹的方程为（2）方法一：由题意，设直线的方程为，，，如图②．将代入中，有其中，由根与系数的关系，得又是的中点，故将③代入①②，得可得且，解得或∴直线的斜率为或．的方程为，，．∵是的中点，∴又联立①②③④，解得或即点的坐标为或，∴直线的斜率为或．。

高三数学(理科)摸底测试参考答案第1㊀页(共4页)成都市2013级高中毕业班摸底测试数学试题参考答案(理科)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一㊁选择题:(每小题5分,共60分)1.A ;2.D ;3.C ;4.D ;5.A ;6.B ;7.C ;8.C ;9.A ;10.B ;11.D ;12.D.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二㊁填空题:(每小题5分,共20分)13.12;㊀14.30;㊀15.439;㊀16.(28,55).三㊁解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)ȵәA B C 为等腰三角形,O 是底边B C 的中点,ʑA O ʅB C ,ʑA O ʅO B ᶄ,A O ʅO C . 4分又ȵO B ᶄɘO C =O ,ʑA O ʅ平面B ᶄO C . 6分(Ⅱ)由三视图知,直线O B ᶄ,O A ,O C 两两垂直,且O C =O B ᶄ=1,O A =3,建立如图所示空间直角坐标系O -x y z .则A (3,0,0),C (0,1,0),B ᶄ(0,0,1).ʑA C ң=(-3,1,0),A B ᶄң=(-3,0,1).设平面A B ᶄC 的法向量为m =(x ,y ,z ).则m ㊃A C ң=0m ㊃A B ᶄң=0{,即-3x +y =0-3x +z =0{.可取m =(1,3,3). 9分又n =(1,0,0)为平面B ᶄO C 的法向量,ʑc o s m ,n ⓪=m ㊃n |m ||n |=11ˑ19=1919.ʑ二面角A -B ᶄC -O 的余弦值为1919. 12分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)f (x )=s i n x +3c o s x =2s i n (x +π3). 2分由-π2+2k πɤx +π3ɤπ2+2k π,得-5π6+2k πɤx ɤπ6+2k π,k ɪZ .ʑf (x )的单调递增区间为[-5π6+2k π,π6+2k π],k ɪZ . 6分(Ⅱ)g (x )=[f (x )]2-2=4s i n 2(x +π3)-2=-2[1-2s i n 2(x +π3)].=-2c o s (2x +2π3). 8分高三数学(理科)摸底测试参考答案第2㊀页(共4页)ȵx ɪ[0,π4],ʑ2x +2π3ɪ[2π3,7π6].ʑc o s (2x +2π3)ɪ[-1,-12].ʑ1ɤg (x )ɤ2. 11分ʑ函数g (x )的值域是[1,2]. 12分19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)第3组的人数为0.3ˑ100=30,第4组的人数为0.2ˑ100=20,第5组的人数为0.1ˑ100=10.ʑ第3,4,5组共有60名志愿者.ʑ用分层抽样的方法在这3组志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060ˑ6=3;第4组:2060ˑ6=2;第5组:1060ˑ6=1.ʑ应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(Ⅱ)记第3组的3名志愿者分别为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者分别为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有:(A 1,A 2),㊀(A 1,A 3),㊀(A 1,B 1),㊀(A 1,B 2),㊀(A 1,C 1),(A 2,A 3),㊀(A 2,B 1),㊀(A 2,B 2),㊀(A 2,C 1),(A 3,B 1),㊀(A 3,B 2),㊀(A 3,C 1),(B 1,B 2),㊀(B 1,C 1),㊀(B 2,C 1),共有15种不同的结果.9分其中第3组的3名志愿者A 1,A 2,A 3都没有被抽中的可能情况有:(B 1,B 2),㊀(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有3种不同的结果.ʑ第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1-315=45. 12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意,知动点P (x ,y )到定点E (-1,0),F (1,0)的距离之和等于4(大于|E F |),ʑ动点P 的轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.ʑa =2,c =1,b 2=3.ʑ曲线G 的标准方程为x 24+y 23=1. 4分(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k (x -1)(k ʂ0).代入x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0.显然ә>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).则x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3. 6分(i )由题意,知C (x 1,-y 1).ʑ直线B C 的方程为y =y 2+y 1x 2-x 1(x -x 1)-y 1.令y =0,则x N =y 1(x 2-x 1)y 2+y 1+x 1=y 1x 2+y 2x 1y 2+y 1=2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1+x 2-2=2㊃4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4.高三数学(理科)摸底测试参考答案第3㊀页(共4页)ʑ直线B C 恒过定点N ,且定点N 的坐标为(4,0). 9分(i i )由(i ),可知N (4,0),F (1,0).ʑәA B N 的面积可表示为S =12|F N ||y 2-y 1|=32|k (x 2-x 1)|.ʑS =32k 2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=32k 2[(8k 24k 2+3)2-4㊃4k 2-124k 2+3].=18k 2㊃k 2+1(4k 2+3)2设4k 2+3=t ,则t >3.ʑS =92t 2-2t -3t 2=92-3(1t +13)2+43.令u =1t ,则0<u <13.ȵ函数y =-3(u +13)2+43在(0,13)内单调递减,ʑy ɪ(0,1).故әA B N 的面积S 的取值范围是(0,92). 12分21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)ȵf (x )=a x 2+1n x ,ʑf ᶄ(x )=1x +2a x .令φ(x )=1x +2a x ,则φᶄ(x )=-1x 2+2a.由题意,知φᶄ(12)=0,ʑ-4+2a =0,ʑa =2.经检验,a =2符合题意.ʑ实数a 的值为2. 3分(Ⅱ)方程f (x )-g (x )+m =0恰有两个不相等的实数根,即m =g (x )-f (x )在x ɪ[12,2]内恰有两个不相等的实数根.4分令u (x )=g (x )-f (x ),则u (x )=3x -x 2-1n x ,x ɪ[12,2].ʑu ᶄ(x )=3-2x -1x =-(2x -1)(x -1)x .由u ᶄ(x )>0,得12<x <1;由u ᶄ(x )<0,得1<x <2.ʑ函数u (x)在[12,1]内单调递增,在[1,2]内单调递减.ʑu (x )在x =1处有极大值u(1)=2.又u (12)=54+1n 2,u (2)=2-1n 2,5分易知实数m 的取值范围是[54+1n 2,2).7分(Ⅲ)h (x )=f (x )-32x 2-(b +1)x =1n x +12x 2-(b +1)x .ʑh ᶄ(x )=1x +x -(b +1)=x 2-(b +1)x +1x .高三数学(理科)摸底测试参考答案第4㊀页(共4页)由题意,知x 1,x 2是方程x 2-(b +1)x +1=0的两个实数根,且x 2>x 1>0.ʑә>0.x 1+x 2=b +1,x 1x 2=1.ȵk A B =h (x 1)-h (x 2)x 1-x 2,x 1-x 2<0,ʑk A B ɤr x 1-x 2恒成立等价于h (x 1)-h (x 2)ȡr 恒成立,即r ɤ[h (x 1)-h (x 2)]m i n .10分由h (x 1)-h (x 2)=1n x 1-1n x 2+12x 21-12x 22-(b +1)(x 1-x 2)=1n x 1x 2-12(x 21-x 22)=1n x 1x 2-12x 1x 2(x 21-x 22)=1n x 1x 2-12(x 1x 2-x 2x 1).设x 1x 2=t (0<t <1),则h (x 1)-h (x 2)=1n t -12(t -1t ).又ȵ(b +1)2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2,b ȡ32,ʑt +1t +2ȡ(32+1)2=254.ʑt ɤ14,或t ȡ4.ʑ0<t ɤ14.设ν(t )=1n t -12(t -1t),0<t ɤ14.则νᶄ(t )=1t -12(1+1t 2)=-(t -1)22t 2.ȵ0<t ɤ14,ʑνᶄ(t )<0.㊀㊀ʑν(t)在(0,14]内单调递减.ʑν(t )m i n =ν(14)=158-21n 2,即r ɤ158-21n 2.ʑ实数r 的最大值为158-21n 2. 12分22.(本小题满分10分)解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为x 2=2a y ,直线l 的普通方程为x -y +2=0.4分(Ⅱ)将直线l 的参数表达式代入抛物线方程,得12t 2-(42+2a )t +4a +16=0.ʑt1+t 2=82+22a ,t 1t 2=8a +32. 6分ʑ|P M |=|t 1|,|MN |=|t 1-t 2|,|PN|=|t 2|.8分ȵ|P M |,|MN |,|P N |成等比数列,则|MN |2=|P M ||P N |.即|t 1-t 2|2=|t 1t 2|.则(t 1+t 2)2=5t 1t 2.将t 1+t 2=82+22a ,t 1t 2=8a +32代入,化简,得(a +4)(a -1)=0.ȵa >0,ʑa 1. 10分。

（D） 37 2 33 4
【答案】B
uuur uuur uuur
【解析】由题意， uuur uuur DA DB
DA
uuur DB
DB uuur DC
DC ，所以 D
uuur DC

uuur DA

2

到uuurA,uBuu,rC 三uuu点r 的uuu距r 离uu相ur 等u，uurD DA DB DB DC DB DA
纵坐标不变，得 y sin(ωx φ) 的图象，另一种是把 y sin x 的图象横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不 ω
变，得 y sin ωx 的图象，向左平移 φ 个单位得 y sin(ωx φ) 的图象． ω
（4）【2016 年四川，理 4，5 分】用数字 1，2，3，4，5 构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
uuuur uuuur
uuuur 2
DA DB DB DC DC DA 2 ，动点 P ， M 满足 AP =1 ， PM MC ，则 BM 的最大值是（ ）
（A） 43 4
（B） 49 4
（C） 37 6 3 4
（C） 2 2
（D）1
【答案】C
【解析】如图，由题可知
F

p 2
,
0

，设
P
点坐标为
y02 2p
, y0
，显然，当
y0
0 时， kOM
0；
y0 0
时， kOM 0 ，要求 kOM 最大值，不妨设 y0 0 ．

崇庆中学高2016级数学开学考试题（理）命题人：王小东 审题人：徐江林一、选择题（每小题5分）1.已知全集12{}345U =，，，，，集合{}{}A a a x xB x x x A ∈===+-,2,0232＝ 则集合()U C A B ⋃中的元素的个数为 ( )A.1B.1C.3D.41.【解析】Ｂ解析：因为集合{}1,2A =，所以{}2,4B =，求得{}1,2,4AB =，所以(){}3,5U C A B ⋃=，故选择Ｂ.【思路点拨】先求得集合,A B ，可得{}1,2,4A B =，根据补集定义求的其补集.2.已知 11mni i=-+，其中m n ，是实数，i 是虚数单位则m ni +=( )A. 12i +B. 12i -iC. 2i +D. 2 i -2.【解析】Ｃ解析：由已知可得()()()()1111m ni i n n i =-+=++-，因为m n ，是实数，所以10112n n n m m -==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，即2m ni i +=+，故选择Ｃ.【思路点拨】将已知化简可得()()11m n n i =++-，利用复数相等实部等于实部，虚部等于虚部，可得1,2n m ==，故可得答案. 3.等差数列，则公差d 等于A ．B ．c ．2 D ．一3.A【解析】由等差数列的性质可得a 4+a 8=2a 6=10，解得a 6=5， 又a 10=6，∴a 10-a 6=4d=1,d=14【思路点拨】由等差数列的性质可得a 4+a 8=2a 6=10，可解得a 6=5，可得数列的公差d.4.设αβγ、、为两两不重合的平面，l m n 、、为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若αγβγ⊥⊥，，则αβ；②若m n m n ααββ⊂⊂，，，，则αβ；③若αβ，l α⊂，则l β；④若l m n l αββγγαγ⋂=⋂=⋂=，，，，则m n ．其中真命题个数是 （ ）．A ．1B ．2C ．3D ．44.【解析】B 解析：若αγβγ⊥⊥，，，则,αβ可以垂直也可以平行.故①错；若m n m n ααββ⊂⊂，，，，，则,αβ可以相交也可以平行，只有直线,m n 相交才有αβ故②错；若αβ， l α⊂，则l β；故③正确；若l m n l αββγγαγ⋂=⋂=⋂=，，，，则m n ，故③正确.所以正确命题有两个，故选择B ．【思路点拨】垂直于同一个平面的两个平面可以相交也可以平行，所以①错；只有直线,m n 相交才有αβ故②错；两平面平行，则一个平面内的所有直线都平行令外一个平面，所以③正确；三个平面两两相交，且交线平行，可知③正确.5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A.3 B.11 C.38 D.1235.【解析】Ｂ解析：第一次循环：可得123a =+=；第二次循环：可得23211a =+=；1110a =<不成立，所以执行否，所以输出11，故选择Ｂ．【思路点拨】根据循环体进行循环，即可得到. 6.在OAB 中，)sin 5cos 5()sin 2cos 2(ββαα，，，==OB OA ，若5-=⋅OB OA ，则=∆OAB S ( )A ．3B ．23 C ．35 D ．235 6.【解析】Ｄ解析：由题意可得：2,5OA OB ==，.51cos 252OA OB BOA OA OB-∠===-⨯，由同角三角函数基本关系式可得：sin 2AOB ∠=所以1.sin 2OAB S OA OB AOB ∆=∠=. 【思路点拨】根据已知可得2,5OA OB ==，.51cos 252OA OB BOA OA OB-∠===-⨯，进而得到sin 2AOB ∠=，即可得到三角形面积. 7.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值为 （ ）A ．3716 B ．115C ．3D ．27.【解析】D 解析：2:1l x =-是抛物线24y x =的准线，则P 到2:1l x =-的距离等于PF ，抛物线24y x =的焦点()1,0F ，过P 作1:4360l x y -+=垂线，和抛物线的交点就是P ，所以点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值，就是()1,0F 到直线1:4360l x y -+=距离，所以最小值2=，故选择D.【思路点拨】P 到2:1l x =-的距离等于PF ，过P 作1:4360l x y -+=垂线，和抛物线的交点就是P ，所以点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值.8.已知实数等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于 A ．12-B ．1C ．12-或1D ．112-或 8.【解析】A 解析：因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9362S S S =+，若公比1q =，9362S S S ≠+，所以1q ≠，当1q ≠时，可得()()()9361111112111a q a q a q qqq---=+---，整理可得：12q =-，故选择A. 【思路点拨】根据等差数列的性质列的9362S S S =+，当公比1q =，等式不成立，当1q ≠时，再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到，9.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为,122+=x y 值域为{9}的“孪生函数”三个：（1）}2{,122-∈+=x x y ；（2）}2{,122∈+=x x y ；（3）}.2,2{,122-∈+=x x y 那么函数解析式为,122+=x y 值域为{1}5，的“孪生函数”共有 （ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个9.【解析】Ｂ解析：由题意，函数解析式为221y x =+，值域为{1}5，，当函数值为1时，0x =，当函数值为5时，x ={0，}，{0，}，{0，，-}，所以函数解析式为221y x =+，值域为{1}5，的“孪生函数”共有3个，故选择B. 【思路点拨】由所给的定义知，一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，函数解析式为221y x =+，值域为{1}5，对自变量的可能取值进行探究，即可得出它的孪生函数的个数.10.已知变量,x y 满足203250,120x y x y x y x y --≤⎧+⎪+-≥⎨+⎪-≤⎩则u=的值范围是 （ ）514.,25A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11.,25B ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 15.,22C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 514.,25D ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.【解析】Ａ解析：画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点所围成的三角形区域（包括边界），，记点，得，，所以的取值范围是.故选择Ａ.【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形，目标函数可化为：331y u x -=++，表示为可行域的点与点()1,3-连线的斜率的范围加3求得.11.函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 （A ）22(,)53 (B))54,32( (C) )2,32( (D))2,1(11.【解析】Ａ解析：若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，等价为()()2f x a x =+有四个不相等的实数根，即函数()f x 和()()2g x a x =+，有四个不相同的交点，∵(2)()f x f x +=，∴函数的周期是2，当10x -≤≤时， 01x ≤-≤，此时2f x x -=-（）， ∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()2f x x f x -=-=，即()2f x x =-，10x -≤≤， 作出函数()f x 和()()2g x a x =+的图象，如下图：当()g x 经过()1,2A 时，两个图象有3个交点，此时()13g a =，解得23a =； 当()g x 经过()3,2B 时，两个图象有5个交点，此时()352g a ==，解得25a =，要使在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则2253a <<，故选择Ａ．【思路点拨】由(2)()f x f x +=得到函数的周期是2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数()f x 的图象，由2()0ax a f x +-=等价为()()2f x a x =+有四个不相等的实数根，利用数形结合，即可得到结论．12. 如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km 现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A ．(27－2)a 万 B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D .(23+3) a 万元12.【解析】Ｂ解析：依题意知PMQ 曲线是以A 、B 为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B 为焦点），此双曲线的离心率为2，以AB 直线为轴、AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 2213y x -=，点C 的坐标为 (3，则修建这条公路的总费用||[]22,a MB MC a MB MC ω⎡⎤=+⎣⎦=+设点M 、C 在右准线上射影分别为点11,M C ，根据双曲线的定义有1||12MM MB =，所以11[||]2a 23252CC a a MM C a M ⎛⎫≥=⨯-= ⎪⎝⎭=+，当且仅当点M 在线段上1CC 时取等号，故的最小ω值是5a .故选择Ｂ.【思路点拨】依题意知PMQ 曲线是双曲线的方程为 2213y x -=的一支，点C 的坐标为(3，则修建这条公路的总费用||[]22,a MB MC a MB MC ω⎡⎤=+⎣⎦=+根据双曲线的定义有1||12MM MB =，所以11[||]2a 23252CC a a MM C a M ⎛⎫≥=⨯-= ⎪⎝⎭=+.二、填空题（每小题5分）13. 已知命题()12:m p f x x-=在区间(0)∞，＋上是减函数；命题q ：不等式()21x m ->的解集为R.若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，则实数m 的取值范围是________．13.【解析】102m ≤<解析：因为()12:mp f x x-=在区间(0)∞，＋上是减函数，所以得11202m m ->⇒<，因为不等式()21x m ->的解集为R ，所以得0m <，要保证命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，解得102m ≤<.故答案为：102m ≤<..【思路点拨】由命题p 可得12m <，命题q 可得0m <，因为命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，所以需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，解得102m ≤<.14.已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0, 20πϕ<<）的图象如右图所示，则ϕ= .14.【解析】3π解析：由图像可得712344T πππ-==，22T ππωω==⇒=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，732221223k k ππϕππϕπ⎛⎫⨯+=+⇒=+⎪⎝⎭，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，故答案为3π.【思路点拨】根据图像可得函数的正确为π，根据周期公式可得22T ππωω==⇒=，因为在712x π=处取得最小值，所以732221223k k ππϕππϕπ⎛⎫⨯+=+⇒=+ ⎪⎝⎭，可求得结果. 15. 已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等，则cos θ＝_____________．15.【解析】2±解析：由二项式定理知: 5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数为 325C cos θ,45()4x +的展开式中3x 的系数为1454C ，于是有321545C cos 4C θ=C 35解得21cos 2θ=，所以可得cos 2θ=±，故答案为2±. 【思路点拨】根据二项式定理的展开式可得5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数为325C cos θ,45()4x +的展开式中3x 的系数为1454C ，列的等式关系即可求解. 16.方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()()43F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称，则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x +=确定的曲线. 其中所有正确的命题序号是 .16.【解析】D 解析：根据题意画出方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形从图形中可以看出，关于()y f x =函数的有下列说法： ①()y f x =在R 上单调递减；正确． ②由于()430f x x +=即()34xf x =-，从而图形上看，函数()y f x =的图象与直线34xy =-没有交点，故函数()()43F x f x x =+不存在零点；正确．③函数()y f x =的值域是R ；正确．③函数()y f x =的值域是R ；正确.④根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数()g x 和()f x 的图象关于原点对称，则x y --、用分别代替x y 、，可得y f x -=-（）就是()y g x =表达式，可得g x f x =--（）（），则()y g x =的图象对应的方程是1169y y x x +=，说明④错误其中正确的个数是3．【思路点拨】根据题意画出方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数()y f x =的结论的正确性．三、解答题（本题共70分）17.(本小题满分12分)在△ABC 中，三个内角A B C ，，是的对边分别是,,a b c ，其中10c =，且.34cos cos ==a b B A （1）求证：ABC 是直角三角形；⌒（2）设圆O 过A B C ，，三点，点P 位于劣弧AC 上，60PAB ∠=︒，求四边形ABCP 的面积.17.（1）略：（2）18+【解析】（1）证明：根据正弦定理得，.sin sin cos cos A BB A =整理为：sin cos sin cos ,sin 2sin 2,A A B B A B ==即 因为0,0,A B ππ<<<<所以022,022,A B ππ<<<<所以A B =，或者.2A B π+= 3分由于4,3b a =所以,A B ≠所以,,22A B C ππ+==即故ABC 是直角三角形。