精品高三数学上学期入学考试(9月)试题理

卜人入州八九几市潮王学校高三入学诊断检测数学试题〔理科〕 第〔Ⅰ〕卷一、选择题〔每一小题5分，一共5×12=60分〕A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，那么集合()UC A B ⋂中的元素一共有〔〕A.3个B.4个C.5个D.6个 2．对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称〞是“()y f x =是奇函数〞的〔〕A ．充分不必要条件B.3.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间是t 变化的可能图象是〔〕4.ααsin 2sin -=，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，那么=αtan 〔〕A.23- B.53- C.33- D.3- y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，那么目的函数y x z -=3的取值范围是〔〕A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23 C.[]6,1- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,6 111124620++++的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是()A ．10>iB ．10<iC ．11>iD ．11<i()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，假设()2012ga =，那么()2012f -=()A.2B.2012201222-- C.2012201222-- D.2a8.如图，半圆的直径AB=6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，假设P 为半径OC 上的动点，那么()PA PB PC +⋅的最小值是()A ．29-B.29C.2D.2-9.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，假设其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，那么选派方案一共有〔〕 A.280种B.240种C.180种D.96种π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是〔〕21m y x x n n =-+的图象在点1(0,)M n处的切线l 与圆22:1C x y +=相交,那么点(,)P m n 与圆C 的位置关系是()A ．圆内B.圆内或者圆外C.圆上D.圆外12．函数)sin()(ϕω+=x A x f 〔0,>ωA 〕的图象如右图所示，为了得到x A x g ωcos )(-=的图象，可以将)(x f 的图象〔〕A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移125π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移125π个单位长度 第〔Ⅱ〕卷二、填空题〔每一小题4分，一共4×4=16分〕13.计算()()=++i i i 245214.()82x-展开式中不含．．4x 项的系数的和为.15.4=a ，，()()61232=+•-b a b a ，那么a 与b的夹角θ为a ＞0.假设曲线x y =与直线x ＝a ，y =0所围成封闭图形的面积为a ，那么a =______.三、解答题：〔17、18、19、20、21每一小题12分，22题14分，一共74分〕17.〔12分〕函数1)sin (cos 212sin 23)(22---=x x x x f 〔1〕求函数f(x)的最小值和最小正周期；〔4分〕〔2〕设△ABC 的内角CB A ,,的对边分别为a,b,c 且c=7，)(=C f ，假设向量B ），（n A m sin 3)sin ,1(==与向量一共线，求b a ,的值.〔8分〕18.〔12分〕在如下列图的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF.〔1〕求证：BD ⊥平面AED ；〔4分〕 〔2〕求二面角F-BD-C 的余弦值.〔8分〕19．(12分)游园活动有这样一个游戏工程：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全一样，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，假设摸出的白球不少于2个，那么获奖．〔每次游戏完毕以后将球放回原箱〕 〔1〕求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；〔6分〕 〔2〕求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E 〔X 〕.〔6分〕 20.〔12分〕设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，122(n n a S n +=+∈N *〕.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔6分〕〔2〕在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这n+2个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T .〔6分〕21.(12分)函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝()x f '＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m 、n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；〔6分〕(2)假设a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．〔6分〕22.〔14分)在直角坐标系xOy 中椭圆1C ：12222=+b y ax )0(>>b a 的左、右焦点分别为1F 、2F .其中2F 也是抛物线2C ：x y 42=的焦点，点M为1C 与2C 在第一象限的交点，且35||2=MF .〔1〕求1C 的方程；〔6分〕〔2〕平面上的点N满足21MF MF MN +=，直线l ∥MN ，且与1C 交于A 、B两点，假设0=•OB OA ，求直线l 的方程.〔8分〕2解析：假设()y f x =是奇函数，那么()y f x =的图象关于y 轴对称；反之不成立，比方偶函数()y f x =，满足()y f x =的图象关于y 轴对称，但不一定是奇函数，答案应选C.4.〔教材必修4P148练习3〕5.〔2021高考理科5〕 解析：作出可行域，直线03=-y x ，将直线平移至点)0,2(处有最大值，点)3,21(处有最小值，即623≤≤-z .答案应选A.8.x =，那么π2)(PC PO PC PB PA =⋅=⋅+29)23(2)3(22--=--=x x x ，所以29,23-=最小值为时x12.解析：123A πωϕ===由图像可求得，，，将选项代入检验即可。

2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案． 【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点， 即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解， 又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<， 解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立， 故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减， 在（-2，0）上单调递增， 故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（ ）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =， 所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩， 可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减， 所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 因为a 为整数，故a 可取2101--，，， 故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增， 所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >， 所以c b >， 综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解； 所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______． 【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=， 所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______． 【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解； （2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-， 当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<， 因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥， 因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解． 【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ， 由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v， 则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=， 国道上行驶30km ，所用时间为30h v， 则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-， 由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增， 又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ， 此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<， 当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增； 当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减； 当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。

卜人入州八九几市潮王学校毛坦厂2021届高三数学上学期9月联考试题〔应届〕理一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 1、集合，集合，那么A ∩B=()A ．B ．C ．D ．2、〕①“都有〞的否认是“使得〞;②“〞是“〞成立的充分条件;，那么方程④幂函数的图像可以出如今第四象限。

A.0B.1C.2D.33、在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于y 轴对称，假设，那么的值是()A.-eB.-e1C.eD.e1 4、函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是()A ．(－∞,1)B ．(－∞,2)C ．(2,+∞)D ．(3,+∞)5、 函数与函数的图象可能是 〔 〕6、函数⎩⎨⎧≥++<+-+=0,2)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a 〔a ＞0且a ≠1〕是R 上的单调函数，那么a 的取值范围是〔〕A.3(0,]4 B.3[,1)4 C.]43,32[ D.]43,32( 7、 1.30.20.20.7,3,log 5ab c ===，那么ɑ，b ，c 的大小关系〔〕A.a c b <<B.c a b <<C.b c a <<D.c b a << 8、定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，假设(3)1f =，那么不等式(21)1f x +<的解集为〔〕A ．(－1,1)B ．(－1,+∞)C．(－∞,1)D．(－∞,－1)∪(1,+∞)9、函数()12f x x x =+-f (x )有〔〕A ．最小值12，无最大值B ．最大值12，无最小值 C ．最小值1，无最大值D ．最大值1，无最小值10、定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)21()21(x f x f -=+，在区间]0,21[-上递增，那么〔〕A)2()2()3.0(f f f << B.)2()3.0()2(f f f << C.)2()2()3.0(f f f << D.)3.0()2()2(f f f <<11、定义在R 上函数f(x),对任意的x 1,x 2∈[2021,+∞)且x 1≠x 2，都有[f(x 1)-f(x 2)](x 1-x 2)<0,假设函数y=f(x+2021)为奇函数，(a-2021)(b-2021)<0且a+b>4034,那么〔〕 A.f(a)+f(b)>0B.f(a)+f(b)<0C.f(a)+f(b)=0D.以上都不对 12、设()f x 是定义在R 上的奇函数,且()10f =,当0x >时,有()()f x xf x >'恒成立,那么不等式()0xf x >的解集为()A.(－∞,0)∪(0,1)B.(－∞,－1)∪(0,1)C.(－1,0)∪(1,+∞)D.(－1,0)∪(0,1) 二．填空题〔一共4题，每一小题5分，一共20分〕13、f (x)=ax ²+bx 是定义在[a -1,3a ]上的偶函数，那么a +b=___________14、设函数()()321f x x a x ax =+-+．假设()f x 为奇函数，那么曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为___________．15、方程062)1(22=++-+m x m x有两个实根21,x x ，且满足41021<<<<x x ，那么m 的取值范围是___________． 16函数f 〔x 〕=e x﹣e ﹣x①f〔x 〕是奇函数；②f〔x 〕在R 上是单调递增函数； ③方程f 〔x 〕=x 2+2x 有且仅有1个实数根；④假设对任意x∈〔0，+∞〕，都有f 〔x 〕＞kx ，那么k 的最大值为2．三．解答题〔一共6小题，一共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤。

数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增， 在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，， 即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5， 所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△， 化简得12GHC ABC S S =△△， 图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ， 又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ， 建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，， 则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，， 设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分） 设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分） 因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同， 不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=， 因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分） 图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分） 由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）； 在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）； 在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）； 在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）； 在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分） 零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分） 根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分） 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分） （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ， 则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分） （ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大， 所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分） 解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分） 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<， 所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+， 则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分） 此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分） 因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。

2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合，若，则集合可以为（）A. B. C. D.2．若复数，则（ ）AB.C. 1D. 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert 常数约为（参考数据：，）（ ）A ．1.12B ．1.13C．1.14D ．1.155．已知，且，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数与函数的图象交点个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为.{}215=∈<N M x x {}05⋃=≤<M N x x N {}4{}45≤<x x {}05<<x x {}5<x x 232022202320241i i i i +i i z =-+-++- z =2b a = a b 60︒2a b - b 12br 12b- 32b- 32b C t I C I t λ=λ7.5A 60h 25A 15h λlg 20.301≈lg 30.477≈,(0,π)αβ∈cos α=sin()αβ+=αβ-=4π34π4π-34π-2()()ln 0f x x ax b x =++≥a 2-1-12()ln 1f x x =-()πsin 2g x x ={}n a ()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，设是的正整数解，则的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B ．随机变量服从正态分布，若，则C ．一组数据的线性回归方程为，若，则D ．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A ．动点B ．与不可能垂直C ．三棱锥体积的最小值为D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A 在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）A ．B ．是锐角三角形C ．四边形D ．三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.13．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若，则的最大值为________.14．将这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为，若，n nn a ⎤⎥=-⎥⎦n 2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+n 12310x x x x 、、、、()12210i i x x i --=≤≤110x x 、X ()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=()0.34P x a <=0.5a =()(),1,2,3,4,5,6i i x y i = 23y x =+6130i i x ==∑6163i i y ==∑2χ1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C CDD 1//B F 1A BE F 1B F 1A B 11B D EF -1311B D DF -25π22:2(0)C y px p =>F x D l F C ,A B AF M y N MN NF =l ABD △MNDF 22||BF FA FD ⋅>[]01,4x ∃∈20040x ax -+>a ABC ∆BC =3A π=A 14BF BC =AE AF ⋅ 1,2,3,4,5,6,7()1,2,,7i a i = 47a =，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n 项和为，若恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.123567a a a a a a ++<++ABC △A B C a b c ()4sin sin sin -=-A b B c A B a ABC△ABC △{}n a n n S 222n n n a a n S +-={}n a 21na nb =-{}nc 11n n n n b c b b ++=⋅{}n c n T ()12n T n λ-+≤λ1OO A BCDE -F BC ,B C FG A 122,OB OO AB AC ====CG BF ⊥//DF ABE FOD GOD G OD18．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.①求；②记，，求.19．如果函数 F (x )的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 y =f (x )，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表及轴围成图形面积为4.(1)若 ，求 的表达式；(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.E y =(2,1)-E 12,l l ()(,0n n P p p )*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD E MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2nn p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N 211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()()F x f x '=()()d f x x F x ⎰=()0f x ≥()()()baf x dx F b F a =-⎰x a x b ==，x 22d x x x C ⎰=+C ()()222204xdx C C =+-+=⎰0,1,2x x y x ===x ()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，()f x 2y x =6y x =-+()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，R m ∈[)0,a b ∞∀∈+，a b >()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰m()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++()0f x ≥2()g x x ax b =++1x >()0g x ≥01x <<()0g x <(1)0(0)0g g =⎧⎨≤1010a b a b b ++=⇒=--⎧⎨≤1a ≥-1．C2．C 【详解】6．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴4x ≥()()ln 1ln 31f x x g x =-≥>≥24x <<()ln 1ln10f x x g =-≥=>2x =()ln 1ln10sin πf x x =-===①当时，点，②当时，③当时，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 11,,0,242x y p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝MNF V MN l 11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为则可知为等边三角形，即且∥x 轴，可知直线[5,)+∞00040x ax -+>[]1,4x ∀∈240x ax -+≤4≥+a x x[]1,4()4f x x x=+[]1,2[]2,4()()145f f ==()max 5f x =5a ≥a [5,)+∞11812345621+++++=310S ≤333310360A A ⨯⨯=4=at ()0>t ABC △2sin =⋅a R A 2sinB =⋅b R 2sin =⋅c R C ()22sin sin sin sin -=-t A B C A B ABC △()sin sin =+C A B ()()22sin sin sin sin -=+-t A B A B A B ()()()221sin sin cos2cos2sin sin 2+-=--=-A B A B A B A B 2222sin sin sin sin -=-t A B A B 1=t 4=a 12． 【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.13．14．360【解析】∵，∴，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。

高三模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题1-5 BCDCD 6-10 AADCB二、填空题11：3 12： 13： 14： 15 ：三、解答题16.解：（Ⅰ），，又，.1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ，且， .（Ⅱ）由正弦定理得，，另由2222cos b a c ac B =+-得，解得或（舍去），，.17. 解：（I ）设“甲比乙少投进一次”为事件A ，依题意可知它包含以下两个基本事件： ① 甲投进0次，乙投进1次，记为事件B ，则有：212()0.50.8(10.8)0.08P B C =⨯⨯⨯-=；② 甲投进1次，乙投进2次，记为事件C ，则有：1222()0.50.80.32P C C =⨯⨯=；()()()0.080.320.40P A P B P C ∴=+=+=)（II ）甲乙两人得分的分布列为：概率分开写步骤00.0120.1040.3360.4080.16 5.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=)18.（Ⅱ）因为,所以，因为，，222+2cos60AD BD AB BD AB ︒=-⋅，所以，又所以所以以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所以1(1,0,0),(0,0,2),(2B D P F E则133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,222PB PD AE AF=-=-==设、分别是面与面的法向量则11112020x zz-=⎧⎪-=，令又22222122y zx y+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令所以12121211cos,19n nn nn n⋅==19.解：（Ⅰ）∵22nS n n=+，当212,(1)2(1)nn S n n-≥=-+-则121n n na S S n-=-=+，当时，，适合上式，所以设正项等比数列的公比为∵，所以，，所以（舍去）所以（Ⅱ）∵231111357(21)2222n nT n=⋅+⋅+⋅+++⋅……2311111135(21)(21)22222n n nT n n+=⋅+⋅++-⋅++⋅……两式相减得12212555222n n n nn nT-++=--=-20.121()()2 4.(0)4,(0)4,4,8, 4;f x e ax a b x f f b a ba b=++--===+= ==（I）由已知得故从而(II) 由（I）知，2)4(1)4,xf x e x x x=+--（11()4(2)244(2)().2x xf x e x x x e=+--=+-令1()0=-1n2x=-2.f x x=得，或从而当11(,2)(10;(22,),12))()x n f x x n f x>∈--+∞-∈-∞-当时，（时，<0.故()--2-12+-2-12f x n n ∞∞在（，），（，）单调递增，在（，）单调递减. 当2=-2-2=41-)x f x f e -时，函数（）取得极大值，极大值为（）（ 21.解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为． 设椭圆E 的方程为2222+1(0)x y a b a b =>>，半焦距为．由已知可得：2221b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得 ．所以椭圆的方程为：．（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为1,y kx =+112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠，由, 消去并整理得∴．∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上两点的切线方程分别是，,即，，解得两条切线的交点的坐标为，即， 122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--=22222121111()2()0244x x x x ---=, ∴．。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学9月第一次统一考试试题理〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合要求的．{|110}A x x =-<，集合{|lg 1}B x x =，那么A B =〔〕A.{|110}x x -≤<B.{|110}x x -≤≤C.{|010}x x <<D.{|010}x x <≤【答案】C 【解析】 【分析】对集合B 内的不等式进展计算，然后根据交集运算得到答案. 【详解】集合B 中，解不等式1lg x ≤，得010x <≤，所以集合{}=010B x x <≤而集合{|110}A x x =-<所以A B ={|010}x x <<，应选C 项.【点睛】此题考察对数不等式的计算，集合交集的运算，属于简单题.2.在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，那么复数z 在复平面内对应的点在〔〕 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】 【分析】对条件中的式子进展计算化简，得到复数z ，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.【详解】由(1)4z i -=，得4221z i i==+- 所以z 在复平面对应的点为()2,2，所以对应的点在第一象限.应选A 项.【点睛】此题考察复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.a 和b 的夹角为120︒，k ∈R ，那么||ka b +的最小值为〔〕A.34C.1D.32【答案】B 【解析】 【分析】 对||kab +平方，然后将单位向量a 和b 的模长和夹角带入，得到关于k 的函数，然后得到其最小值，从而得到答案. 【详解】()2222||=2ka b k a a b b ++⋅+因为a 和b 是单位向量，且夹角为120︒ 所以()2222||=2ka b k a ka b b ++⋅+21324k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭34≥，所以||kab +≥所以||ka b + 【点睛】此题考察向量模长的表示，求模长的最小值，属于简单题,4.tan α=2παπ<<，那么sin cos αα-=〔〕【解析】∵tan 2πααπ=<<∴23πα=∴1sin 22αα==-∴1sin cos 2αα+-=应选A 5.：6log 5a=，0.3b π=，1ln2c =，那么以下结论正确的选项是〔〕 A.a b c << B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】分别将,,a b c 与特殊值0,1进展比较，然后判断出其大小关系，得到答案.【详解】因为()6log 501a =∈，，()0.31+b π=∈∞，，()1ln ,02c =∈-∞ 所以c a b <<， 应选D 项.【点睛】此题考察比较指数值和对数值的大小，属于简单题. 6.执行如下列图程序框图，假设输入的4k=，那么输出的s =〔〕A.34B.45C.56D.67【答案】C【分析】根据程序框图的要求，得到每次循环对应的,s n 的值，再根据判断语句，完毕循环，输出s 的值，得到答案.【详解】根据程序框图的循环语句可知第一次循环，4,0,0kn s ===，此时n k ≤，1n =，112s =⨯； 第二次循环，14,1,12k n s ===⨯，此时n k ≤，2n =，11+1223s =⨯⨯； 第三次循环，114,2,+1223k n s ===⨯⨯，此时n k ≤，3n =，111++122334s =⨯⨯⨯； 第四次循环，1114,3,++122334k n s ===⨯⨯⨯，此时n k ≤，4n =，1111+++12233445s =⨯⨯⨯⨯； 第五次循环，11114,3,+++12233445k n s ===⨯⨯⨯⨯，此时n k ≤，5n =，11111++++1223344556s =⨯⨯⨯⨯⨯； 第六次循环，4,5k n ==，不满足n k ≤，循环停顿，输出11111++++1223344556s=⨯⨯⨯⨯⨯ 应选C 项.【点睛】此题考察根据输入值求程序框图的输出值，裂项相消求数列的和，属于简单题.()sin f x x x =-，那么不等式2(1)(33)0f x f x -++>的解集是A.(,4)(1,)-∞-+∞B.(,1)(4,)-∞-+∞C.(1,4)-D.(4,1)- 【答案】C【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数()f x 是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为21(33)x x ->-+，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x x =-，那么()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 是定义域上的单调递增函数， 又由()()sin()(sin )f x x x x x f x -=---=--=-，即函数()f x 定义域上的奇函数，又由不等式2(1)(33)0f x f x -++>可转化为2(1)(33)[(33)]f x f x f x ->-+=-+即21(33)xx ->-+，即2340x x --<，解得14x -<<，即不等式的解集为(1,4)-，应选C.【点睛】此题主要考察了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式2340x x --<是解答的关键，着重考察了转化思想，以及分析问题和解答问题的才能，属于根底题.8.如图，在正方形区域内任取一点，那么此点取自阴影局部的概率是〔〕1B.)241π-C.)241π+D.16【答案】B 【解析】 【分析】利用定积分先求出阴影局部的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影局部的面积()()44cos sin sin cos 1Sx x dx x x ππ=-=+=⎰，正方形面积为24π，所以所求概率为)224114ππ=.【点睛】此题主要考察与面积有关的几何概型.()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，那么以下结论中错误的选项是A.函数()f x 的值域与()g x 的值域一样B.假设0x 是函数()f x 的极值点，那么0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 的导数，结合解析式的特点来判断.【详解】()sin g x cosx x =+，所以选项A 正确；由极值点定义可知选项B 正确；把()f x 的图像向右平移2π个单位，得到()sin()sin cos 22y cos x x x x ππ=-+-=-与()g x 不相等；应选C. 【点睛】此题主要考察三角函数的图像和性质.三角函数的图像变换主要平移方向和系数的影响. 10.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

2024-2025学年上海市静安区高三上学期9月月考数学检测试题一､填空题1.不等式的解集为__________.312x ≥--2.用反证法证明命题“如果可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，那,a b ab ∈N ､a b ､么假设的内容应是__________.3.的指数幂形式为__________.0)x >4.已知幂函数的图像经过点，求__________.()f x 13,9⎛⎫⎪⎝⎭()3f -=5.设集合，且，则实数的值为__________.{}20,,54A m m m =-+4A ∈m 6.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值2:280,:29p x x q a x a --≤<<+p q a 范围是__________.7.已知函数，则实数的取值范围是__________.y =R a 8.已知，则的解集为__________.()22x x f x x-=--()()2320f x f x -+<9.已知均为正实数，且，则的最大值为__________.,x y 16x y +=9xyx y +10.对于函数和，设，若存在，使得()f x ()g x (){}(){}0,0x f x x g x αβ∈=∈=∣∣αβ､，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与1αβ-<()f x ()g x ()1e 2x f x x -=+-互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是__________.()21g x x ax =-+a 11.对于集合，给出如下三个结论：{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z∣①如果，那么；{}21,P b b n n ==+∈Z ∣P M ⊆②如果，那么；42,c n n =+∈Z c M ∉③如果，那么；12,a M a M ∈∈12a a M ∈其中正确结论的序号是__________.12.已知一个正方形的四个顶点都在函数的图像上，则此正方形的ABCD ()3912f x x x =-+面积为__________.二､选择题13.若且，则下列不等式中一定成立的是（）a b <0ab ≠A. B.11a b >1ba >C.D.33a b <a b<14.集合的子集个数为（ ）{14}A x x =∈-<<N∣A.2B.4C.8D.1615.已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（）()f x ()f x A. B.12y x =12y x -=C. D.3y x =13y x=16.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式()f x R [)0,∞+x 的解集为，则不等式的解集为（ ）()4f x x≤][(),22,∞∞--⋃+()22f x x>A.B.C.D.()(),22,∞∞--⋃+()2,2-()(),44,∞∞--⋃+()4,4-三､解答题17.设集合.{23},{31}P xx Q x a x a =-<<=<≤+∣∣（1）若且，求的取值范围；Q ≠∅Q P ⊆a （2）若，求的取值范围.P Q ⋂=∅a 18.已知四棱柱中，底面为梯形，平面，1111ABCD A B C D -ABCD AB ∥1,CD A A ⊥ABCD，其中是的中点，是的中点.AD AB ⊥12,1,AB A A AD DC N ====11B C M 1DD（1）求证：平面；1D N ∥1CB M （2）求平面与平面的夹角的余弦值.1CB M 11BB C C 19.近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破，某企业原有1000名技术人员，年人均投入万元，现为加强技术研发，该企业把原有技术人员a (0)a >分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名且，调整后研发人员x (x ∈N 100500)x ≤≤的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.()0.2%x 31000x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？（2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，m m 说明理由.20.已知函数.()()22223124,,4f x x ax a g x x x a a =-+-=-+-∈R （1）当时，解不等式；1a =()()f xg x >（2）若任意，都有成立，求实数的取值范围；0x >()()f xg x >a（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.[][]120,1,0,1x x ∀∈∃∈()()12f x g x >a 21.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，则123123n n a a a a b b b b ∈R ､､､､､､､､､，当且仅当()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 0i b =或存在一个数，使得时，等号成立.()1,2,,i n = k ()1,2,,i i a kb i n == （1）请你写出柯西不等式的二元形式；（2）设的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为P ABCD P ，求的最小值；1234d d d d ､､､22221234d d d d +++（3）已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正{}n a m ∈R ()1,2,i a M i ≤= 整数，均有，求证：对任意，恒有.()i j i j ≠､1i j a a i j -≥+4,n n ≥∈N 1m ≥答案一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7～12题每题5分）学生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.【正确答案】(](),12,∞∞--⋃+【详解】，即，3311022x x ≥-⇔+≥--102x x +≥-，解得：或，()()12020x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩2x >1x ≤-所以不等式的解集为.(](),12,∞∞--⋃+故(](),12,∞∞--⋃+2.【正确答案】都不能被5整除,a b 【详解】用反证法证明时，应先假设命题的结论不成立，则假设的内容应是都不能被5,a b 整除.故都不能被5整除,a b 3.【正确答案】34x【详解】.340,x x >=== 故答案为.34x4.【正确答案】19【详解】设幂函数为，(),f x x αα=∈R因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即，()f x 13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭139α=2α=-()2f x x -=所以.()213(3)9f --=-=故答案为.195.【正确答案】5【详解】集合，且，{}20,,54A m m m =-+4A ∈（i ）当时，，违反集合元素的互异性，4m ={}2540,0,4,0m m A -+==（ii ）当时，解得或，2544m m -+=0m =5m =①当时，不满足集合元素的互异性，舍去，0m ={}0,0,4A =②当时，，满足题意，则实数的值为5.5m ={}0,5,4A =m 故5.6.【正确答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【详解】解不等式得2280x x --≤24x -≤≤记{}24,{29}A x xB x a x a =-≤≤=<<+∣∣因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，p q A B 所以，解得.2429a a <-⎧⎨<+⎩522a -<<-所以的取值范围为.a 5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭7.【正确答案】()0,4【详解】由题意得在上恒成立，，()214204x a x +-+>R Δ0∴<即.221Δ(2)4440,044a a a a =--⨯⨯=-<∴<<故答案为.()0,48.【正确答案】()(),31,∞∞--⋃+【详解】函数的定义域为，则()22x x f x x -=--()(),22x x f x x f x --=-+=-R 是上的奇函数，()f x R 函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，2,2,x x y y y x -==-=-R ()f x R不等式，因此，()()()()()22320322f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=-232x x ->-即，解得或，2230x x +->3x <-1x >所以原不等式的解集为.()(),31,∞∞--⋃+故()(),31,∞∞--⋃+9.【正确答案】1【详解】，1919xy x y y x =++由，可得16x y +=()1911919191616y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，110116⎛≥+= ⎝当且仅当，等号成立，则的最大值为1.312y x ==9xyx y +故1.10.【正确答案】[)2,∞+【详解】因为，所以在上为增函数，()1e 2x f x x -=+-()f x R 又，所以有唯一零点为1，()01e 120f =+-=()f x 令的零点为，依题意知，即，()g x 0x 011x -<002x <<即函数在上有零点，()g x ()0,2令，则在上有解，即在上有解，()0g x =210x ax -+=()0,21x a x +=()0,2因为，12x x +≥=当且仅当，即时，取等号，所以，1x x =1x =2a ≥故答案为.[)2,∞+11.【正确答案】①②③【详解】对于①：因为，所以，故，故2221(1),n n n n +=+-∈Z 21b n M =+∈P M ⊆①正确；对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除，()42221,c n n n =+=+∈Zc 若，则存在使得，c M ∈,x y ∈∈Z Z ()()2242,,c n x y x y x y x y =+=-=+-∈∈Z Z 因为和同奇或同偶，x y +x y -若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合，x y +x y -()()42c n x y x y =+=+-若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合，x y +x y -()()42c n x y x y =+=+-所以，故②正确；c M ∉对于③：因为，12,a M a M ∈∈所以存在使得，1212,,,x x y y ∈∈Z Z 2222111222,a x y a x y =-=-所以()()()()()()2222222212112212121221a a x y xy x x y y x y x y =--=+--，()()2212121221x x y y x y x y =+-+因为所以，故③正确.12121221,x x y y x y x y ++∈Z 12a a M ∈故①②③.12.【正确答案】10或17【详解】由得函数关于点()()()33991()1222f x f x x x x x +-=-++---+=()f x 中心对称，()0,1M 显然该正方形的中心为，ABCD M由正方形性质得于，且，AC BD ⊥M AM BM CM DM===设直线的方程为，则直线的方程为，AC 1(0)y kx k =+>BD 11y x k =-+设，则，()()1122,,,A x y B x y ()()1122,2,,2C x y D x y ----联立直线方程与函数得，即，AC ()y f x =31912y kx y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩3902x k x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，同理，2192x k =+22912xk =-又，0,0AM BM =-=-所以，即，()2291911122k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2219102k k k k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭化简得，2112940k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以或，14k k -=-112kk -=-所以，1k k +==所以22ABCD S AM BM x =⋅=或17.112210k k k k ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故10或17二､单选题13.【正确答案】C【详解】A ：当时，，故A 错误；0a b <<110ab <<B ：当时，满足不成立，故B 错误；2,1a b =-=-1,1,12b b a b a a <=<>C ：，()()()233222324b a b a b a ab ba b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为，所以，得，即，故C 正确；a b <0a b -<330a b -<33a b <D ：当时，满足不成立，故D 错误.2,1a b =-=-,,a b a b a b<><故选：C14.【正确答案】D 【详解】由题意，得，故集合子集个数为个.{}0,1,2,3A =A 4216=故选：D.15.【正确答案】D【详解】对于A ：函数，显然不符合题意，故A 错误；12y x ==[)0,∞+对于B ：函数的定义域为，显然不符合题意，故B 错误；12y x-==()0,∞+对于C ：函数的定义域为R ，又为奇函数，3y x =3y x =但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C 错误；3y x =()0,∞+对于D ：定义域为R ，又为奇函数，13y x ==13y x =且在上函数是上凸递增，故D 正确.13y x =()0,∞+故选：D16.【正确答案】B 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，()f x R [)0,∞+所以在上单调递减，()f x (),0∞-又的解集为，()4f x x≤][(),22,∞∞--⋃+可得的解集为，()4f x x>()2,2-所以当，或时，的图象在图象的下方，2x ≥2x ≤-()y f x =4y x=当时，的图象在图象的上方，22x -<<()y f x =4y x=又因为当，或时，的图象在图象的上方，2x ≥2x ≤-22y x =4y x =当时，的图象在图象的下方，22x -<<22y x =4y x =所以当，或时，的图象在图象的下方，2x ≥2x ≤-()y f x =22y x =当时，的图象在图象的上方，22x -<<()y f x =22y x =则不等式的解集为.()22f x x >()2,2-故选：B.三､解答题17.【正确答案】（1）21,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（2）(]1,3,2∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭【详解】（1）因为，且，所以，解得，，Q P ⊆Q ≠∅321331a a a a ≥-⎧⎪+<⎨⎪<+⎩2132a -≤<综上所述，的取值范围为.a 21,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：Q =∅Q ≠∅当时，，解得，，满足题意；Q =∅31a a ≥+12a ≥当时，因为，所以，解得，或无解；Q ≠∅P Q ⋂=∅1231a a a +≤-⎧⎨<+⎩3a ≤-3331a a a ≥⎧⎨<+⎩综上所述，的取值范围为.a (]1,3,2∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭18.【正确答案】（1）证明见解析；（2.【详解】（1）取中点，连接，由是的中点，得，且1CB P ,NP MP N 11B C NP ∥1CC ，112NP CC =由是的中点，得，且，M 1DD 1111122D M DD CC ==1D M ∥1CC 则有，四边形是平行四边形，于是，1D M ∥1,NP D M NP =1D MPN 1D N ∥MP 又平面平面，MP ⊂11,CB M D N ⊄1CB M 所以平面.1D N ∥1CB M （2）四棱柱中，平面，则直线两1111ABCD A B C D -1A A ⊥,ABCD AD AB ⊥1,,AB AD AA 两以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，A 1,,ABAD AA ,,x y z 有，()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,0,2,0,1,1,1,1,0,1,1,2A B B M C C 则有，()()()111,1,2,1,0,1,0,0,2CB CM BB =-=-=设平面与平面的法向量分别为，1CB M 11BB CC ()()111222,,,,,m x y z n x y z == 则有，令，得，111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 11x =()1,3,1m =，令，得，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =()1,1,0n =因此.cos ,||m n m n m n ⋅===⋅∣所以平面与平面.1CB M 11BB CC 19.【正确答案】（1）500（2）存在，.[]2.5,3.5【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的人数为，且年人均投入为1000x -万元，211000x a⎛⎫+ ⎪⎝⎭则.()21000110001000x x a a⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…因为，所以，解得，0a >2201000x x -…0500x ≤≤因为且，所以，故，x ∈N 100500x ……100500x ……5001000900x -……即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调()1000x -整后的研发人员的人数最少为500.（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，()231000110001000x x x a x m a ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…上式两边同除以，得，ax 1000231110001000x x m x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…整理得，100011000xm x ++…由条件②技术人员年人均投入不减少，得，31000x a m a⎛⎫- ⎪⎝⎭…解得.311000xm +…假设存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，m 即恒成立.()310001110050010001000x xm x x +++…………设，()21000110001110001000x f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由在上单调递减，()f x (]0,1000因为且，所以在上单调递减，x ∈N 100500x ……()f x []100,500则，min 1000500()1 3.55001000f x =++=当时，等号成立，所以.500x = 3.5m ≤又因为，100500x ……当时，，所以，500x =max31 2.51000x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2.5m ≥所以，2.53.5m ……即存在这样的满足条件，的取值范围为.m m [2.5,3.5]20.【正确答案】（1）R （2）1a <（3）(),6a ∞∈-【详解】（1）当时，1a =()()222723,4f x x xg x x x =--=--所以，所以，所以的解集为.()()21504f x g x x -=+>()()f x g x >()()f x g x >R（2）若对任意，都有成立，即在恒成立，0x >()()f xg x >()215104x a x +-+>0x >解法一：设，对称轴，由题意，只须，()()2151,04h x x a x x =+-+>12a x -=min ()0h x >①当，即时，在上单调递增，所以，符合题102a -≤1a ≤()h x ()0,∞+()()1504h x h >=意，所以；1a ≤②当，即时，在上单调递城，在单调递增，102a ->1a >()h x 10,2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，解得且，()21(1)150244a a hx h --⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭11a <<1a >所以.11a <<+综上，1a <解法二：不等式可化为，即，设，()21514a x x -<+1514a xx -<+15,04k x x x =+>由题意，只须，min 151(),4a k x k xx -<=+≥=当且仅当即时等号成立，则154x x=x=min k =所以，即.1a -<1a <+（3）若对任意，存在，使得不等式成立，[]10,1x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x >即只需满足，[]min min ()(),0,1f x g x x >∈，对称轴在递减，在递增，()22314g x x x a =-+-()1,2x g x =10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦，对称轴，()[]222min 1()8,24,0,12g x g a f x x ax a x ⎛⎫==-=-+-∈ ⎪⎝⎭4a x =①即时，在[0，1]递增，恒成04a ≤0a ≤()f x ()22min min ()04()8f x f a g x a ==->=-立；②即时，在递减，在递增，014a <<04a <<()f x 0,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,14a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以，故；22min min 7()4,()848a f x f a g x a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭227488a a ->-04a <<③即时，在递减，，14a≥4a ≥()f x []0,1()22min min()12,()8f x f a a g x a ==--=-所以，解得，综上.2228a a a -->-46a ≤<(),6a ∞∈-21.【正确答案】（1）答案见解析（2）13（3）证明见解析【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：设，则，1212,,,a a b b ∈R ()()()2222212121122a a b b a b a b ++≥+当且仅当时等号成立.1221a ba b =（2）由正四面体的体积，ABCD P ABC PDBC P CDA P DABV V V V V ----=+++，所以()32123413d d d d =+++1234d d d d +++=又由柯西不等式得，()()()()22222212341234123411111111d d d d d d d d d d d d ++++++≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++所以，()2123422221234143d d d d d d d d ++++++≥=当且仅当时等号成立.1234d d d d ====（3）对，记是的一个排列，4n ≥12,,,n k k k 1,2,,n且满足.120n k k k a a a m<<<<≤ 由条件②得.()1112,3,,i i k k i i a a i n k k ---≥=+ 于是，对任意的，4n ≥都有()()()11122111221111n n n n n n k k k k k k k k k n n n n m a a a a a a a a a k k k k k k ------≥>-=-+-++-≥++++++ 由柯西不等式得()()()21122111221111(1)n n n n n n n n k k k k k k n k k k k k k ------⎛⎤⎡⎤+++++++++≥- ⎥⎣⎦+++⎝⎦ 所以()()()21122111221111(1)n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k -------+++≥+++++++++ ()2222221211(1)(1)(1)341233n n n n n n n k k k k k n n k k n n n n ----==≥=-+++--+--+-+- 从而，对任意的，都有，4n ≥23413n m n n -≥-+-故对任意，恒有*2344,,3n n n n n -≥∈>+-N 1m ≥。

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

金华2024学年第一学期高三9月月考数学试题卷（答案在最后）命题：高三数学组校对：高三数学组一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,3【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，利用交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，集合{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =--≤=≤≤，而{1,0,1,2,3}B =-，所以{}1,2A B = .故选：C2.已知复数()i 17i z =-，则z =（）A.7i -+B.7i-- C.7i+ D.7i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得.【详解】因为()i 17i 7i z =-=+，所以7i z =-.故选：D3.函数π()cos sin 4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A.π4 B.π2C.πD.2π【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换得到()1πsin 2244f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，利用2πT ω=求出最小正周期.【详解】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得()2ππ22cos cos sin sinsin cos sin 4422f x x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()1cos 21πsin 2sin 2cos 2sin 242244244x x x x x -⎛⎫=-⋅=+-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．故选：C4.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（）附：若随机变量Z 服从正态分布()2,,()0.68N P Z μσμσ-<≈.A.82B.78C.74D.70【答案】B 【解析】【分析】先根据题意计算标准差，从而得到正态分布()257.4,20.664N ，再利用正态密度曲线的轴对称性和百分位数的定义进行求解即可.【详解】根据题意得标准差为57.40.3620.664⨯=，所以测试结果（单位：分）近似服从正态分布()257.4,20.664N ，又因为0.6884%0.52=+，且()0.68P Z μσ-<≈，所以全体学生成绩的第84百分位数约为57.420.66478μσ+=+≈.故选：B .5.设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，FA FB ⊥，2FA FB =，则l 的斜率是（）A.±1B.C.D.±2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到11,AA AF BB BF ==，可求得AH ，做1BH AA ⊥在直角三角形Rt ABH △中，可求得BH ，结合斜率的定义进行求解即可【详解】下图所示为l 的斜率大于0的情况．如图，设点A ，B 在C 的准线上的射影分别为1A ，1B ，1BH AA ⊥，垂足为H ．设22FA FB a ==，0a >，则AB =．而11AH AA BB AF BF a =-=-=，所以2BH a ==，l 的斜率为2BH AH=．同理，l 的斜率小于0时，其斜率为2-．另一种可能的情形是l 经过坐标原点O ，可知一交点为O ，则FO FA ⊥，可求得2FA FO p ==，可求得l 斜率为2FA FO=，同理，l 的斜率小于0时，其斜率为2-．故选：D6.某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m ．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成43~48 的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A 、B 两点在水平方向的距离约为（）A.13mB.19mC.23mD.29m【答案】D 【解析】【分析】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB 的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，由题意得出0b =，()()()300020010tan 1030f c f x ax cx f x ax c α⎧==-⎪⎪=+=-'⎨=+='⎪⎪⎩，求出02x ，即可得解.【详解】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，()232f x ax bx c '=++，在滑道最陡处，0x =，则()f x '的对称轴为直线0x =，则03ba-=，可得0b =，则()23f x ax c '=+，()3f x ax cx =+，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，则()sin cos 120tan 2sin tan cos 2f c παπααπααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭'==+==-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，所以，()3tan x f x ax α=-，()213tan f x ax α'=-，由图可知()()2003000130tan 10tan f x ax x f x ax αα⎧=-=⎪⎪⎨='⎪-=-⎪⎩，可得0230tan x α=，4348α<< ，则()0230tan 29m x α=≈.故选：D.7.设,,A B C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB AC ⋅的最小值为（）A.94-B.2- C.32-D.43-【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，不妨假设A 在平面xOy 中，设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影，利用向量不等式可得：()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥-⋅≥-，即可求解【详解】将正方体置于空间直角坐标系O xyz -中，且A 在平面xOy 中，点O 和点()2,2,2的连线是一条体对角线．设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影．可得()130,0,B B b = ，()130,0,C C c = ，110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅= 则()()111111111111AB AC AB B B AC C C AB AC AB C C AC B B B B C C⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 1133AB AC b c =⋅+uuu r uuu r，因为()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥-⋅≥-，当且仅当点C 为11B C 的中点时，等号成立，可得()2211111244AB AC B C +-=-≥- ，所以2AB AC ⋅≥-，当()1,1,0A ，11222b c b c -=-=，且330b c =时等号成立．故选：B【点睛】关键点点睛：本题形式简洁，但动点很多，且几乎没有约束条件，这时就需要学生对于动点所在的位置进行分类讨论，讨论的顺序、对于对称性的使用都对学生提出了很高的要求．从几何角度来看，点B ，C 不会位于A 所在面的一侧，故如果采用坐标形式计算数量积，一定会有一项是非负的，且可以取到0．找到这一突破口后，即可将问题转化为平面向量的问题，也就很容易得到结果了．8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++<<+，11a =，n S 是{}n a 的前n 项和．若2024m S =，则正整数m 的所有可能取值的个数为（）A.48B.50C.52D.54【答案】D 【解析】【分析】根据11n n a a ++<可得11n n a a +<-，由累加迭代法可得n a n >，进而可得()14046m m +<，由122n n a a +<+得252,3n n a n -<⨯≥，进而根据等比数列的求和可得406225m <，两种情况结合可得1063,m ≤≤进而可求解.【详解】由11n n a a ++<，得11n n a a +<-，由累加法，当2n ≥时，=−K1+K2+⋅⋅⋅+211>1+1+⋅⋅⋅+1=，因此=1+2+⋅⋅⋅+>1+2+⋅⋅⋅+=2024>所以()14048m m +<，当63m =时，()14032m m +=，故63m ≤；由122n n a a +<+，得()2221321122222222222,a a a a a a <+⇒<+<++=++所以()2233243112222222222a a a a <+<+++=++，以此类推，得1122212222252,3n n n n n n n a a n -----<++=+=⨯≥，因此()12212145222m m m S a a a -<++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+，即()2121220245552512m m ---<+⨯=⨯--，得1202925m ->；又892256,2512==，所以19m -≥，即10m ≥；综上可知，1063m＃，故满足条件的正整数m 所有可能取值的个数为6310154-+=个.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用不等式1122n n n a a a ++<<+将数列的通项公式通过放缩法和累加法可求得n a n >且252,3n n a n -<⨯≥，再由2024m S =解不等式即可得出正整数m 的所有可能取值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知()1,0A -，()3,2B，()2,1C -，ABC V 的外接圆为M ，则（）A.点M 的坐标为()1,1- B.M 的面积是5πC.点()4,3在M 外D.直线23y x =-与M 相切【答案】BC 【解析】【分析】根据垂直平分线计算交点得到圆心为()1,1，再计算半径为R =个选项得到答案.【详解】()1,0A -，()3,2B 的垂直平分线的斜率满足：131220AB k k +=-=-=--，()1,0A -，()3,2B 的中点为()1,1，故垂直平分线方程为()21123y x x =--+=-+；同理可得()3,2B，()2,1C -的垂直平分线方程为：1433y x =-+，231433y x y x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，两条垂直平分线的交点为：()1,1，故圆心为()1,1，R ==，圆方程为()()22115x y -+-=.对选项A ：点M 的坐标为()1,1，错误；对选项B ：M 的面积是2π5π⨯=，正确；对选项C ：()()224131135-+-=>，正确；对选项D ：M到直线的距离5d ==<，相交，错误.故选：BC10.连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X ，掷出点数之和为Y ，则（）A.事件“X 为奇数”发生的概率18B.事件“17Y <”发生的概率为5354C.事件“2X =”和事件“4Y =”相等D.事件“4X =”和事件“Y ＝6”独立【答案】ABC 【解析】【分析】利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算判断AB ；写出事件的所有基本事件判断C ；利用相互独立事件的定义判断D.【详解】对于A ，事件“X 为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为311()28=，A 正确；对于B ，事件“17Y <”的对立事件为“17Y =或18Y =”，而“18Y =”等价于“3次掷出的点数均为6”，其概率为311(6216=，“17Y =”等价于“掷出的3个点数中有2个6和1个5”，其概率为13311C (672=，因此()11531712167254P Y <=--=，B 正确；对于C ，事件“2X =”和事件“4Y =”包含相同的样本点(2,1,1,(1,2},1,(1),1,2))，因此是相等事件，C 正确；对于D ，事件“4X =”等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4，或者2个2和1个1”，其概率为6121636=，事件“6Y =”等价于“3次掷出的点数中有3个2，或者2个1和1个4，或者1个1，1个2和1个3”，其概率为1365216108++=，而积事件等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4”，其概率31152167236108=≠⨯，D 错误．故选：ABC11.设1a >，n 为大于1的正整数，函数的定义域为R ，()()()yf x f y a f x y -=-，()10f ≠，则（）A.()00f =B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数D.()()11n f n a n f +>+【答案】AD 【解析】【分析】运用赋值判定A;运用赋值结合反证法判定B;运用特例判定C;运用赋值加累加法判定D ．【详解】令y x =可知，()()()00xa f f x f x =-=，所以()00f =，A 正确；令1x =，1y =-得()()()1112f f f a--=，令1x =-，1y =得()()()112f f af --=-，则()()1220f af a+-=．若()f x 是奇函数，则()()22f f -=-，结合1a >知()20f =．而令2,1x y ==得()()()211f f af -=，所以()10f =，矛盾！，故()f x 不是奇函数，B 错误；取()()11xf x a a =-+>，则()()()yxyf x f y a a a f x y -=-=-，满足题设要求，但此时()f x 为减函数，故C 错误；由()()()211f f af -=，()()()2321f f a f -=，…，()()()11nf n f n a f +-=，累加可得()()121111n nf n a a a a f a ++-=+++=- ．设()()()()1111n n n F n aa a n a na n +=---+=-+-，()()()()111110n n n F n F n a a a a a ++-=--+=-->，故()()10F n F >=，即()()11n f n a n f +>+，D 正确．故选：AD.【点睛】知识点点睛：本题考查抽象函数、函数的基本性质、函数与不等式．抽象函数作为近年来的热门考点，以形式简洁、内涵丰富而常见于各大模拟卷及高考卷．本题属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对于各数位均不为0的三位数abc ，若两位数ab 和bc 均为完全平方数，则称abc 具有“S 性质”，则具有“S 性质”的三位数的个数为__________．【答案】4【解析】【分析】先列出具有两位数，且每一位都不为0的完全平方数，然后根据题意组合即可.【详解】已知22416,525==2222636,749,864,981====经过组合可知：具有“S 性质”的组合有：16,64ab bc ==；36,64ab bc ==；64,49ab bc ==；81,16ab bc ==，此时的三位数分别为：164,364,649,816，共4个.故答案为：413.过双曲线2213x y -=的一个焦点作倾斜角为60o 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________.【答案】2【解析】【分析】求出过焦点的直线方程和渐近线方程后可求三角形的面积.【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60o的直线过右焦点，由双曲线2213x y -=可得渐近线方程为3y x =±，双曲线的半焦距为2c =，故右焦点坐标为()2,0F ，过倾斜角为60o的直线方程为)2y x =-，由)23y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得交点坐标为(A ，由)233y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩可得交点坐标为3,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，倾斜角为60o的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为12222⎛⎫⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：2.14.已知四面体ABCD 各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC ⊥平面BCD ，直线AD 与BC 所成的角为90︒，则该四面体体积的最大值为_________________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，探求四面体体积的表达式，并确定体积最大时四面体的结构特征，结合球半径、球心O 到平面ABC 和平面BCD 的距离及BC 长表示出最大体积的关系式，再利用均值不等式、导数求最值求解作答.【详解】在ABC V 中，过A 作AH BC ⊥于H ，连接DH ，因为AD BC ⊥，,,AH AD A AH AD =⊂ 平面ADH ，则⊥BC 平面ADH ，显然DH ⊂平面ADH ，有DH BC ⊥，而平面ABC ⊥平面BCD ，则90AHD ∠= ，四面体ABCD 的体积1136AHD V S BC BC AH DH =⋅=⋅⋅ ，当BC 长固定时，DH 经过DBC △的外接圆圆心2O 时，DH 最大，此时H 为BC 中点，并且AH 经过ABC V 外接圆圆心1O ，四面体ABCD 的体积V 最大，令四面体ABCD 外接球球心为O ，连接12,OO OO ，则1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥平面BCD ，令1122,,2OO d OO d BC a ===，显然四边形12OO HO 是矩形，于是222222129d d a OH CH OC ++=+==，且21AH d DH d ==+，21(AH DH d d ⋅=≤9d d =+21d d +=，即21d d =时取等号，此时21d d ==，929AH DH ⋅=+=，因此1(93V a ≤，令()(93f a a a =+<<，4()9f a '=+，由()0f a '=，得a =0a <<()0f a '>3a <<时，()0f a '<，因此()f a 在上单调递增，在上单调递减，所以当a =()f a 取得最大值f =V 的最大值为故答案为：【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知()sin f x x a x =+，曲线()y f x =在点()π,πP 处的切线斜率为2.（1）求a 的值；（2）求不等式()()1320f x f x ++->的解集.【答案】（1）1-（2）(),4-∞【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值；（2）根据导数判断函数单调性，再结合函数的奇偶性解不等式即可.【小问1详解】由已知()sin f x x a x =+，得()1cos f x a x =+'，又函数=在点()π,πP 处的切线斜率为2，即()π1cos π12f a a =+=-='，解得1a =-；【小问2详解】由（1）得()sin f x x x =-，()1cos f x x =-'，则()1cos 0f x x ='-≥恒成立，即()f x 在R 上单调递增，又()()()sin sin f x x x x x f x -=---=-+=-，即函数()f x 为奇函数，由()()1320f x f x ++->，可知()()()13223f x f x f x +>--=-，即123x x +>-，解得4x <，即不等式的解集为(),4∞-.16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足1,EF l EF BB ⊥⊥.（1）证明：⊥EF 平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的余弦值为63，求该三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得11B C ∥l ，再结合线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面11BCC B 与平面ABC 的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的体积公式可得结果.【小问1详解】由三棱台111ABC A B C -知，11B C ∥平面ABC ，因为11B C ⊂平面11AB C ，且平面11AB C 平面=ABC l ，所以11B C ∥l ，因为EF l ⊥，所以EFBC ⊥，又11,EF BB BC BB B ⊥⋂=，1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以⊥EF 平面11BCC B ；【小问2详解】取BC 中点M ，连接AM ，以A 为原点，AM 为y 轴，1AA 为z 轴，过点A 做x 轴垂直于yOz 平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h ，则()()()()113,33,0,2,3,,6,0,0,1,3,,B B h CB BB h ==-设平面11BCC B 的法向量为 =s s ，则100CB n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即6030x x zh =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令3z =，可得平面11BCC B 的一个法向量(0,3n h = ，易得平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，设EF 与平面ABC 夹角为θ，23,31m n n h m ⋅==+=，所以23cos ,31m nm n m n h ⋅==⋅+⨯由6cos 3θ=，得3sin 3θ=，由（1）知EF∥n，所以233sin cos ,|331m n h θ===+⨯，解得6h =(11923V h s s ss +'='=+.17.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知,,a b c 成公比为q 的等比数列．（1）求q 的取值范围；（2）求tantan 22A C的取值范围．【答案】（1）5151,22q ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭（2）135,32⎡⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据等比数列性质与三角形三边关系列出不等式求解即可；（2）利用正弦定理、余弦定理化简根据q 的取值范围利用对勾函数的单调性即可求解.【小问1详解】由题意知2,b aq c aq ==，根据三角形三边关系知：22222201110q q q a aq aq q qa aq aq q q aq aq a q >⎧+>⎧⎪⎪+>+>⎪⎪⇒⎨⎨+>+>⎪⎪⎪⎪+>>⎩⎩，解得11,22q ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）及正弦定理、余弦定理知：222222221sin 1cos 2tan tan 221cos sin 12a b c A C A C a a c b a aq aq ab c b a A C c a c b a aq aq bc +---+-+-=⋅=⋅==+-++-+++222122111111q q q q q q q q q+-==-=-++++++，由对勾函数的性质知：()11f q q q=++在1,12⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭上单调递减，在11,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以())111f q q q ⎡=++∈⎣，则2131,1321q q⎡-∈⎪⎢⎪⎣⎭++，即tantan 22A C的取值范围为13,32⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(A ，且C 的右焦点为()2,0F ．（1）求C 的方程：（2）设过点()4,0的一条直线与C 交于,P Q 两点，且与线段AF 交于点S ．（i ）若AS FS =，求PQ ；（ii ）若APS △的面积与FQS 的面积相等，求点Q 的坐标．【答案】（1）22184x y +=（2）（i ）5PQ =；（ii ）2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入椭圆方程，再由222a b c =+的关系式即可得出结果；（2）（i ）由AS FS =可知S 为AF 的中点，即可得2,2S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求出直线PQ 的方程并与椭圆联立，利用弦长公式即可得出结果；（ii ）易知直线SF 平分PFQ ∠，由两三角形面积相等以及三角形相似可证明//PF AQ ，再由点Q 在线段AF 的垂直平分线上，与C 的方程联立可得2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【小问1详解】根据题意有221(0)42a b a b+=>>，且由椭圆的几何性质可知22224a b c b =+=+，所以228,4a b ==.所以C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】（i ）如下图所示：若AS FS =可得，S 为AF的中点，可得2,2S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即PQ的斜率为202244PQ k -==--，所以直线PQ的方程为()44y x =--；设()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线和椭圆方程可得252404x x --=，所以1212168,55x x x x +==-，即可得5PQ===因此可得5PQ =；（ii ）显然PQ 的斜率存在，设PQ 的方程为()4y k x =-，代入C 的方程有：()222221163280kx k x k +-+-=，其中Δ0>.则可得2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++，以下证明：直线SF 平分PFQ ∠，易知AF x ⊥轴，故只需满足直线FP 与FQ 的斜率之和为0.设,FP FQ 的斜率分别为12,k k ，则：()()()()121212121212121244242222224k x k x k x x y y k k k x x x x x x x x --+-+=+=+=------++，()()1212121238224x x x x k x x x x -++=⨯-++，代入2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++，有120k k +=，故直线AF 平分PFQ ∠，即AFP AFQ ∠=∠.因为APS △的面积等于FQS 的面积，故SA SP SF SQ =，即SA SQ SFSP=，故//PF AQ .故,AFQ AFP FAQ AQ FQ Q ∠=∠=∠⇒=在线段AF 的垂直平分线上.易知线段AF的垂直平分线为2y =，与C 的方程联立有27x =，故Q的坐标为2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.设5n ≥为正整数，120n a a a <<<< 为正实数列．我们称满足j i k ja a r a a -=-（其中1≤<<≤i j k n ）的三元数组(,,)i j k 为“r -比值组”.（1）若5n =，且{}n a 为等差数列，写出所有的1-比值组；（2）给定正实数r ，证明：中位数为4（即(,,)i j k 中4j =）的r -比值组至多有3个；（3）记r -比值组的个数为()n f r ，证明：2()4n n f r <.【答案】（1）(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由15i j k ≤<<≤以及等差数列性质得1j i k ja a j ia a k j--==--，进而根据r -比值组的定义对i 和相应j i -的取值进行分类讨论即可得解.（2）依据题意得,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，接着由4j =得i 的取值有三种即可得证.（3）由,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，结合i 值的取法数可得j i k ja a r a a -=-的三元数组的个数为()1j g r j ≤-，同理得,j k 固定时()j g r n j ≤-，进而得(){}min ,1j g r n j j ≤--，再对n 分偶数和奇数两种情况计算()12()n n jj f r g r -==∑即可得证.【小问1详解】因为{}n a 为等差数列，设其公差为d ，若5,1n r ==，则15i j k ≤<<≤，()()1j i k ja a j i d j ia a k j dk j---===---，所以当1i =且1j i -=时，2j =，1k j -=即3k =，此时1-比值组为()1,2,3；当1i =且2j i -=时，3j =，2k j -=即5k =，此时1-比值组为()1,3,5；当1i =且3j i -=时，4j =，3k j -=即7k =，不符合；当2i =且1j i -=时，3j =，1k j -=即4k =，此时1-比值组为()2,3,4；当2i =且2j i -=时，4j =，2k j -=即6k =，不符合；当3i =且1j i -=时，4j =，1k j -=即5k =，此时1-比值组为()3,4,5；当3i =且2j i -=时，5j =，不符合；当4i =且1j i -=时，5j =，不符合；综上，若5n =且{}n a 为等差数列的所有的1-比值组为(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5).【小问2详解】因为120n a a a <<<< ，1≤<<≤i j k n ，所以当,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，因为4j =，所以2i =或3或4共三种取法，所以中位数为4（即(,,)i j k 中4j =）的r -比值组至多有3个.【小问3详解】对给定的()1j j n <<，满足1≤<<≤i j k n ，且j i k ja a r a a -=-①的三元数组的个数记为()j g r ，因为120n a a a <<<< ，所以当,i j 固定时，则至多有一个k 使得①成立，因为i j <，所以i 值有1j -种取法，故()1j g r j ≤-，同理，若当,j k 固定时，则至多有一个i 使得①成立，因为j k <，所以k 值有n j -种取法，故()j g r n j ≤-，所以(){}min ,1j g r n j j ≤--，当n 为偶数时，设2,N n m m *=∈，则当2j m ≤≤时，(){}min ,11j g r n j j j ≤--=-，当121m j m +≤≤-时，(){}min ,12j g r n j j n j m j ≤--=-=-，所以()()()121221()n m m n jjj j j j m f r g r g r g r --===+==+∑∑∑()()()()()2121121211221mm j j m j m j m m m -==+≤-+-=++⋯+-+-+-+⋯++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()22211224m m m m n m m m --=+=-<=，当n 为奇数时，设21,N n m m *=+∈，则当2j m ≤≤时，(){}min ,11j g r n j j j ≤--=-，当12m j m +≤≤时，(){}min ,121j g r n j j n j m j ≤--=-=+-，则有()()()()()12222121()121n mmmmn j j j j j j j j m j j m f r g r g r g r g j g m j-===+==+==+≤-++-∑∑∑∑∑()()()()()22111211221224m m m m n m m m m m -+=++⋯+-++-+-+⋯++=+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以综上，记r -比值组的个数为()n f r ，则2()4n n f r <.【点睛】关键点睛：求证2()4n n f r <的关键1是得出,i j 固定时至多有一个k 使得j i k j a a r a a -=-成立，从而结合i 值的取法数可得j i k ja a r a a -=-的三元数组的个数为()1j g r j ≤-，同理得,j k 固定时()j g r n j ≤-，进而得(){}min ,1j g r n j j ≤--，关键2是明确到()21j j n ≤≤-影响到,1n j j --的大小，而n 的奇偶性影响()12n jj g r -=∑的取值，进而对n 分偶数和奇数两种情况计算()12()n nj j fr g r -==∑并将()12n j j g r -=∑分成两部分计算即可得证.。