基础巩固强化1.(文)正三棱柱体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V [答案] C[解析] 设正三棱柱底面边长为a ，高为h ，则体积V ＝34a 2h ，∴h ＝4V 3a2，表面积S ＝32a 2＋3ah ＝32a 2＋43V a ， 由S ′＝3a －43V a2＝0，得a ＝34V ，故选C.(理)在内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )A.R 232R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对[答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2 (0＜x ＜R )，l ′＝2－4xR 2－x 2，令l ′＝0，解得x ＝55R .当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0. 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R ，455R . 2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] ∵y ＝－13x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81(x >0)．令y ′＝0得x ＝9，令y ′<0得x >9，令y ′>0得0<x <9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x ＝9时，函数取得最大值．故选C.[点评] 利用导数求函数最值时，令y ′＝0得到x 的值，此x 的值不一定是极大(小)值时，还要判定x 值左、右两边的导数的符号才能确定．3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2a [答案] C [解析]如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ，则y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·VπR2＝2πaR 2＋2bVR， ∴y ′＝4πaR －2bVR2.令y ′＝0并将V ＝πR 2h 代入解得，2R h ＝ba.(理)圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( )A.S 3πB.3πSC.6πS6πD ．3π·6πS[答案] C[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ，∴S ＝2πr 2＋2πrh ，∴h ＝S －2πr2，又V ＝πr 2h ＝rS －2πr 32，则V ′＝S －6πr22，令V ′＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ，r ＝6πS6π4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系是R ＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000， x ＞400.则总利润最大时，每年生产的产品产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300[答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x .所以总利润为P ＝R－C ＝⎩⎨⎧300x －x 22－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x ＞400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400.令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大． 5．(文)内接于半径为R 的球并且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R [答案] C[解析] 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2，∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R .(理)要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )A.33cm B.1033cm C.1633cmD.2033[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033.当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0所以当x ＝2033时，V 取最大值．6．(2012·保定模拟)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数，∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.7．(文)用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 1，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <2)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3.(理)用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么容器的容积最大时，容器的高为________．[答案] 1.2m[解析] 设容器的短边长为x m ， 则另一边长为(x ＋0.5)m ， 高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x .由3.2－2x >0和x >0，得0<x <1.6， 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )(0<x <1.6)， 整理得y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， ∴y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，有－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，即15x 2－11x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－415(不合题意，舍去)，∴高＝3.2－2＝1.2，容积V ＝1×1.5×1.2＝1.8， ∴高为1.2m 时容积最大．8．(文)(2011·北京模拟)若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1，＋∞)[分析] 函数f (x )存在单调减区间，就是不等式f ′(x )<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f ′(x )<0在(0，＋∞)上有实数解时a 的取值范围．[解析] 解法1：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ，由题意知f ′(x )<0有实数解，∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有实数解．当a ≥0时，显然满足；当a <0时，只要Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，综上知a >－1.解法2：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ，由题意可知f ′(x )<0在(0，＋∞)内有实数解． 即1－ax 2－2x <0在(0，＋∞)内有实数解． 即a >1x 2－2x在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x 2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a >－1.(理)(2012·黄冈市期末)对于三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x3－12x 2＋3x －512，根据这一发现可得： (1)函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为________；(2)计算f (12014)＋f (22014)＋f (32014)＋f (42014)＋…＋f (20132014)＝________.[答案] (1)(12，1) (2)2013[解析] (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由2x －1＝0得x ＝12，f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1，由拐点的定义知f (x )的拐点即对称中心为(12，1)．(2)f (k 2014)＋f (1－k 2014)＝f (k2014)＋f (2014－k 2014)＝2(k ＝1，2，…，1007)，∴f (12014)＋f (22014)＋…＋f (20132014)＝[f (12014)＋f (20132014)]＋[f (22014)＋f (20122014)]＋…＋[f (10062014)＋f (10082014)]＋f (10072014)＝2×1006＋1＝2013. 9．某工厂要围建一个面积为128m 2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．[答案] 16m 8m[解析] 解：设场地宽为x m ，则长为128x m ，因此新墙总长度为y ＝2x ＋128x (x ＞0)，y ′＝2－128x 2，令y ′＝0，∵x >0，∴x ＝8.因为当0＜x ＜8时，y ′＜0；当x ＞8时，y ′＞0， 所以当x ＝8时，y 取最小值，此时宽为8m ，长为16m. 即当堆料场的长为16m ，宽为8m 时，可使砌墙所用材料最省．10．(文)某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析] 依题意，有xy ＋12x ·x2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0<x <42)，于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2×2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2x ＋16x ，l ′＝32＋2－16x2，令l ′＝0，即32＋2－16x 2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)，当0<x <8－42时，l ′<0；当8－42<x <42时，l ′>0； 所以当x ＝8－42时，l 取得最小值，此时，x ＝8－42≈2.343m ，y ≈2.828m.即当x 约为2.343m ，y 约为2.828m 时，用料最省．(理)已知球的直径为d ，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？[解析] 如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，由于x 2＋x 2＋h 2＝d 2， ∴x 2＝12(d 2－h 2)．∴球内接正四棱柱的体积为 V ＝x 2·h ＝12(d 2h －h 3)，0<h <d .V ′＝12(d 2－3h 2)＝0，∴h ＝33d .在(0，d )上，函数变化情况如下表：能力拓展提升11.已知非零向量a 、b 满足：|a |＝2|b |，若函数f (x )＝13x 3＋12|a |x2＋a ·b x 在R 上有极值，设向量a 、b 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 [答案] D[解析] ∵函数f (x )在R 上有极值，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两不等实根，∴Δ＝|a |2－4|a |·|b |cos θ＝4|b |2－8|b |2cos θ>0，∴cos θ<12，∴选D.[点评] 若f (x )为三次函数，f (x )在R 上有极值，则f ′(x )＝0应有二不等实根，当f (x )有两相等实根时，不能保证f (x )有极值，这一点要特别注意，如f (x )＝13x 3，f ′(x )＝x 2＝0有实根x ＝0，但f (x )在R上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．12．如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图象上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，易知其图象为A.13．函数f (x )＝2x 3＋12x 2－x ＋1的图象与x 轴交点个数为________个．[答案] 1[解析] f ′(x )＝6x 2＋x －1＝(3x －1)(2x ＋1)，当x <－12时，f ′(x )>0，当－12<x <13时，f ′(x )<0，当x >13f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－12)上单调递增，在(－12，13)上单调递减，在(13，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－12时，f (x )取到极大值118，当x ＝13时，f (x )取到极小值4354，故f (x )的图象与x 轴只有一个交点．14．将边长为1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________．[答案] 3233[解析] 设DE ＝x ， 则梯形的周长为：3－x ，梯形的面积为：12(x ＋1)·32(1－x )＝34(1－x 2)∴s ＝(3－x )234(1－x 2)＝433·x 2－6x ＋91－x 2，x ∈(0,1)，设h (x )＝x 2－6x ＋91－x 2，h ′(x )＝－6x 2＋20x －6(1－x 2)2. 令h ′(x )＝0，得：x ＝13或x ＝3(舍)，∴h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8，∴s 最小值＝433×8＝3233.15．(文)甲乙两地相距400km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h ，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (km/h)的函数关系是P ＝119200v 4－1160v 3＋15v ，(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用400v h ，故全程运输成本为Q ＝400P v＝v 348－5v 22＋6000 (0<v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0得，v ＝80，∴当v ＝80km/h 时，全程运输成本取得最小值，最小值为20003元．(理)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． [解析] (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设知， 每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5.再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.又建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为， f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－2400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0， 即2400(3x ＋5)2＝6. 解得x ＝5，或x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0， 当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元． 16．(文)(2011·江苏，17)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解析] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.(理)如图，有一矩形钢板ABCD 缺损了一角(如图所示)，边缘线OM 上每一点到点D 的距离都等于它到边AB 的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB ＝1m ，AD ＝0.5m ，问如何画切割线EF 可使剩余部分五边形ABCEF 的面积最大？[解析] 由题知，边缘线OM 是以点D 为焦点，直线AB 为准线的抛物线的一部分．以O 点为原点，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则D (0，14)，M (12，14)． 所以边缘线OM 所在抛物线的方程为y ＝x 2(0≤x ≤12)．要使如图的五边形ABCEF 面积最大，则必有EF 所在直线与抛物线相切，设切点为P (t ，t 2)．则直线EF 的方程为y ＝2t (x －t )＋t 2，即y ＝2tx －t 2， 由此可求得点E 、F 的坐标分别为E (1＋4t 28t ，14)，F (0，－t 2)．所以S △DEF ＝S (t )＝12·1＋4t 28t ·(14＋t 2)＝164·16t 4＋8t 2＋1t ，t ∈(0，12]． 所以S ′(t )＝164·48t 4＋8t 2－1t 2＝(12t 2－1)(4t 2＋1)64t 2＝3(4t 2＋1)(t ＋36)(t －36)16t 2，显然函数S (t )在(0，36]上是减函数，在(36，12]上是增函数．所以当t ＝36时，S △DEF 取得最小值，相应地，五边形ABCEF 的面积最大．此时点E 、F 的坐标分别为E (33，14)，F (0，－112)．此时沿直线EF 划线可使五边形ABCEF 的面积最大． 即DE FC ＝2，DE EC ＝13－1.1．(2011·陕西文，21)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解析] ∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x .∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间， 因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点．所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x ，令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减，当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x )，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x )，综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x)；当x ＝1时，g (x )＝g (1x )；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x )．(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a ，即ln a <1，解得0<a <e.所以a 的取值范围是(0，e)．2．学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright 博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f (t )＝34＋a ·2－t ·100%(其中f (t )为该任务的程度，t 为学习时间)，且这类学习任务中的某项任务满足f (2)＝60%.(1)求f (t )的表达式，计算f (0)并说明f (0)的含义；(2)已知2x >x ln2对任意x >0恒成立，现定义f (t )t 为该类学习任务在t 时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t ∈(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．[解析] (1)∵f (t )＝34＋a ·2－t ·100%(t 为学习时间)，且f (2)＝60%，则34＋a ·2－2·100%＝60%，解得a ＝4. ∴f (t )＝34＋a ·2－t ·100%＝34(1＋2－t )·100%(t ≥0)，∴f (0)＝34(1＋2－0)·100%＝37.5%，f (0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%. (2)令学习效率指数f (t )t ＝y ，则y ＝f (t )t ＝34t (1＋2－t )＝34(t ＋t 2t )(t >0)， 现研究函数g (t )＝t ＋t2t 的单调性，由于g ′(t )＝1＋2t －t ·2t ln2(2t )2＝2t －t ln2＋12t (t >0)，又已知2x >x ln2对任意x >0恒成立，即2t －t ln2>0，则g ′(t )>0恒成立，∴g (t )在(0，＋∞)上为增函数，且g (t )为正数．∴y ＝f (t )t ＝34(t ＋t2t )(t >0)在(0，＋∞)上为减函数，而y |t ＝1＝f (1)1＝12，y |t ＝2＝f (2)2＝310，即y ＝f (t )t ∈(310，12)，故所求学习效率指数的取值范围是(310，12)．4．(2012·延边州质检)已知函数f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围； (3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)当a ＝1时，由f ′(x )＝2x ＋1－1x ＝2x 2＋x －1x ＝2(x －12)(x ＋1)x，∵函数f (x )＝x 2＋x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴当x ∈(0，12]时，f ′(x )≤0，当x ∈[12，＋∞)时，f ′(x )≥0，所以函数f (x )＝x 2＋x －ln x 的单调递减区间为(0，12]单调递增区间为[12，＋∞)． (2)f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x ≤0在[1,2]上恒成立，令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧ h (1)≤0h (2)≤0得⎩⎨⎧ a ≤－1a ≤－72，得a ≤－72. (3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x. ①当a ≤0时，g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，∴g (x )无最小值． ②当0<1a <e 时，g (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a，e]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件． ③当1a≥e 时，g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，∴f (x )无最小值． 综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.。
