高斯牛顿迭代

梯度下降和高斯牛顿是机器学习和优化领域常用的两种优化方法。

梯度下降是一种常用的一阶优化算法，可以用于求解目标函数的最小值。

它通过计算目标函数在当前参数下的梯度（即指向最大增长方向的向量）并沿着梯度的反方向迭代更新参数，直到收敛达到最小值。

高斯牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法，利用目标函数的一阶和二阶导数信息来更快地寻找最小值。

它通过计算目标函数在当前参数下的梯度和海森矩阵（即二阶导数）来更新参数，直到收敛达到最小值。

相比于梯度下降，高斯牛顿法通常更快地收敛，但要求目标函数的二阶导数可计算和海森矩阵可逆。

在实际应用中，梯度下降通常适用于目标函数的梯度容易计算的场合，而高斯牛顿法则适用于目标函数参数较少、目标函数相对平滑、并且具有较快的收敛速度的场合。

高斯牛顿法求解非线性问题在科学研究、工程设计等领域中，有许多问题都可以归纳为非线性问题，例如曲线拟合、最小二乘法拟合、非线性规划等。

如何高效地求解这些问题是一个重要的课题。

高斯牛顿法(Gauss-Newton method)是一种常用的优化算法，被广泛应用于求解非线性问题。

高斯牛顿法的基本思想是：将非线性问题转化为最小二乘问题，然后使用线性最小二乘法求解。

具体而言，假设有一个由m个参数和n个数据点组成的非线性模型：f(x) = (f1(x),f2(x),...,fn(x))^T其中，x = (x1,x2,...,xm)^T 为参数向量，fi(x)为第i个观测值。

若将f(x)看作一个向量函数，则该函数在x处的导数可以用雅可比矩阵来表示：J(x) = [∂f1(x)/∂x1,∂f1(x)/∂x2,...,∂f1(x)/∂xm；∂f2(x)/∂x1,∂f2(x)/∂x2,...,∂f2(x)/∂xm；.............................∂fn(x)/∂x1,∂fn(x)/∂x2,...,∂fn(x)/∂xm]雅可比矩阵是一个n×m的矩阵，表示参数向量对向量函数的导数。

对于非线性模型，其导数难以直接求解，因此需要采用近似方法。

高斯牛顿法采用的是一阶泰勒展开式，将非线性模型在x 处展开：f(x+Δx) ≈ f(x) + J(x)Δx其中，Δx为参数向量x的增量，即x+Δx为新的参数向量。

将上式两边平方，再加上一个权重矩阵W，得到最小二乘问题：min Δx ||sqrt(W)(f(x+Δx)-f(x))||^2上式中，||·||表示向量的欧几里得长度，W为一个n×n的对角矩阵，其作用是赋予不同观测值不同的权重。

将上式展开，得到：min Δx (f(x)+J(x)Δx-y)^TW(f(x)+J(x)Δx-y)其中，y为n×1的向量，表示原始数据点。

pytorch 高斯牛顿算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述高斯牛顿算法是一种优化算法，它结合了牛顿法和梯度下降法的优点，旨在更快地收敛到目标函数的极小值点。

在机器学习和深度学习领域中，优化算法的选择对模型的性能起着至关重要的作用。

PyTorch作为一种流行的深度学习框架，为我们提供了丰富的优化算法实现，其中也包括了高斯牛顿算法。

本文将介绍高斯牛顿算法的原理和在PyTorch中的应用，以及对其优缺点进行分析，旨在帮助读者更好地理解和应用高斯牛顿算法。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将分为三个部分来讨论高斯牛顿算法在PyTorch中的应用。

首先，在引言部分将介绍高斯牛顿算法的概念和目的，以及本文的写作动机。

然后在正文部分将详细介绍高斯牛顿算法的原理和PyTorch中的实际应用情况。

最后，在结论部分将对算法的优缺点进行分析，并展望其在未来的应用前景。

希望通过本文的分析和讨论，读者能更好地理解高斯牛顿算法在深度学习领域的价值和意义。

1.3 目的本文旨在介绍高斯牛顿算法在优化问题中的应用，并探讨其在PyTorch中的实现和优缺点分析。

通过深入了解高斯牛顿算法的原理和特点，读者可以更好地理解该算法在解决复杂优化问题中的作用和效果。

同时，本文还将展望高斯牛顿算法在未来的应用前景，为读者提供有益的参考和启发。

通过本文的阅读，读者将能够更好地掌握高斯牛顿算法的概念和应用，进而在实际项目中灵活运用该算法，提高优化效率和精度。

2.正文2.1 高斯牛顿算法介绍高斯牛顿算法是一种优化算法，用于求解非线性最小二乘问题。

它是基于牛顿法的一种改进方法，通过利用二阶导数信息来更快地收敛到最优点。

与传统的梯度下降方法相比，高斯牛顿算法在某些情况下可以更快地收敛并且更稳定。

在高斯牛顿算法中，每一次迭代都需要计算目标函数的梯度和海塞矩阵（即目标函数的二阶导数）。

然后利用这些信息来更新当前的参数值，使目标函数的值不断减小直至收敛于最优解。

lm算法牛顿法牛顿法和高斯-牛顿法都是最优化算法，它们通过多轮迭代逐步逼近最优解。

而LM 算法（Levenberg-Marquardt算法）是这两种算法的一种改进，旨在解决高斯-牛顿法在矩阵非正定时可能出现的问题。

以下是对这三种算法的简要介绍：1.牛顿法：牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

它使用函数f 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

牛顿法可以被用来找寻函数的最大值或最小值，这需要将函数的一阶导数设为零并求解，或者将函数的二阶导数设为零并求解以寻找拐点。

牛顿法在求解非线性最优化问题时也非常有效，特别是当问题的局部最优解是全局最优解时。

然而，当问题的维数增加时，计算二阶导数（即Hessian矩阵）可能会变得非常复杂和耗时。

2.高斯-牛顿法：高斯-牛顿法是牛顿法的一个变种，它专门用于求解非线性最小二乘问题。

在每一步迭代中，它使用雅可比矩阵（而不是Hessian矩阵）来逼近函数的Hessian矩阵，从而避免了直接计算二阶导数。

然而，高斯-牛顿法的收敛性依赖于初始值的选取和问题的性质。

如果初始值选取不当或者问题存在多个解，那么高斯-牛顿法可能会收敛到错误的解或者根本不收敛。

3.LM算法：LM算法是结合了梯度下降法和高斯-牛顿法的一种优化算法。

它通过引入一个阻尼因子来调整迭代步长，从而在高斯-牛顿法的基础上增加了算法的稳健性。

当阻尼因子较大时，LM算法更接近于梯度下降法，具有全局收敛性；当阻尼因子较小时，LM算法更接近于高斯-牛顿法，具有快速局部收敛性。

因此，LM算法可以在一定程度上解决高斯-牛顿法在矩阵非正定时出现的问题。

总的来说，这三种算法都是用于求解最优化问题的重要工具，它们各有优缺点并适用于不同类型的问题。

在实际应用中，需要根据问题的性质和需求选择合适的算法进行求解。

牛顿迭代法的函数逼近和拟合在数学和计算机科学中，函数逼近（function approximation）和拟合（function fitting）是重要的问题之一，它们涉及到如何用已知数据或函数来找出与之近似的函数形式。

而牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以被广泛地应用在函数逼近和拟合中。

一、牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解方程的方法，其本质是一种迭代算法，可以通过给出一个函数在某点的值以及该点的导数，迭代地求出函数的零点或者极值点。

其基本公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x_n)$表示函数在点$x_n$处的函数值，$f'(x_n)$表示函数在点$x_n$处的导数，$x_{n+1}$是通过迭代算法得到的新的近似解。

在使用牛顿迭代法时，需要注意函数的光滑性和局部收敛性，如果函数不光滑或者在某些点处导数为零，那么迭代可能会导致发散或者收敛速度极慢。

二、牛顿迭代法在函数逼近中的应用在函数逼近中，如果我们已知一些数据点$(x_i, y_i)$，并且想要找到一个函数$f(x)$，可以用这些数据点来拟合函数，那么可以使用牛顿迭代法来实现。

具体的方法如下：1.首先定义一个函数$g(x)$，它满足$g(x_i)=y_i$；2.然后利用牛顿迭代公式，给出$f(x)$的递归式：$$f(x_{n+1})=f(x_n)+\frac{g(x_n)-f(x_n)}{g'(x_n)}$$其中，$g(x)$是一个在点$(x_i, y_i)$处值为$y_i$，在其他点处为零的光滑函数。

3.重复进行上述迭代，直到得到一个满足精度要求的近似解。

通过牛顿迭代法的函数逼近方法，我们可以得到在数据点上的逼近函数，这个函数可以用来进行插值和外推等操作，同时也可以作为一个简单的近似模型来使用。

三、牛顿迭代法在函数拟合中的应用除了函数逼近，牛顿迭代法还可以用于函数拟合，这里的函数拟合指的是通过一些给定的函数基，将一个在某些点处已知函数值的函数表示为基函数线性组合的形式。

⾼斯⽜顿迭代（GaussNewton）代码实现#include <cstdio>#include <vector>#include <iostream>#include <opencv2/core/core.hpp>using namespace std;using namespace cv;const double DELTAX = 1e-5;const int MAXCOUNT = 100;double function(const Mat &input, const Mat params){//给定函数已知x求ydouble a = params.at<double>(0,0);double b = params.at<double>(1,0);double c = params.at<double>(2,0);double x = input.at<double>(0,0);return exp( a*x*x + b*x + c );}double derivative(double(*function)(const Mat &input, const Mat params), const Mat &input, const Mat params, int n){// ⽤增加分量的⽅式求导数Mat params1 = params.clone();Mat params2 = params.clone();params1.at<double>(n,0) -= DELTAX;params2.at<double>(n,0) += DELTAX;double y1 = function(input, params1);double y2 = function(input, params2);double deri = (y2 - y1) / (2*DELTAX);return deri;}void gaussNewton(double(*function)(const Mat &input, const Mat ms), const Mat &inputs, const Mat &outputs, Mat params){int num_estimates = inputs.rows;int num_params = params.rows;Mat r(num_estimates, 1, CV_64F); // 残差Mat Jf(num_estimates, num_params, CV_64F); // 雅克⽐矩阵Mat input(1, 1, CV_64F);double lsumR = 0;for(int i = 0; i < MAXCOUNT; i++){double sumR = 0;for(int j = 0; j < num_estimates; j++){input.at<double>(0,0) = inputs.at<double>(j,0);r.at<double>(j,0) = outputs.at<double>(j,0) - function(input, params);// 计算残差矩阵sumR += fabs(r.at<double>(j,0)); // 残差累加for(int k = 0; k < num_params; k++){Jf.at<double>(j,k) = derivative(function, input, params, k); // 根据新参数重新计算雅克⽐矩阵}}sumR /= num_estimates; //均残差if(fabs(sumR - lsumR) < 1e-8) //均残差⾜够⼩达到收敛{break;}Mat delta = ((Jf.t()*Jf)).inv() * Jf.t()*r;// ((Jf.t()*Jf)) 近似⿊塞矩阵params += delta;lsumR = sumR;}}int main(){// F = exp ( a*x*x + b*x + c )int num_params = 3;Mat params(num_params, 1, CV_64F);//abc参数的实际值params.at<double>(0,0) = 1.0; //aparams.at<double>(1,0) = 2.0; //bparams.at<double>(2,0) = 1.0; //ccout<<"real("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; int N = 100;double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值cv::RNG rng; // OpenCV随机数产⽣器Mat estimate_x(N, 1, CV_64F);Mat estimate_y(N, 1, CV_64F);for ( int i = 0; i < N; i++ ){double x = i/100.0;estimate_x.at<double>(i,0) = x;Mat paramX(1, 1, CV_64F);paramX.at<double>(0,0) = x;estimate_y.at<double>(i,0) = function(paramX, params) + rng.gaussian ( w_sigma );}//abc参数的初值params.at<double>(0,0) = 0; //aparams.at<double>(1,0) = 0; //bparams.at<double>(2,0) = 0; //ccout<<"init("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; gaussNewton(function, estimate_x, estimate_y, params);cout<<"result("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; return0;}# Project: GaussNewtonDemo## All rights reserved.cmake_minimum_required( VERSION 2.6 )cmake_policy( SET CMP0004 OLD )### initialize project ###########################################################################################SET(CMAKE_BUILD_TYPE "Debug")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_DEBUG "$ENV{CXXFLAGS} -O0 -Wall -g2 -ggdb")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_RELEASE "$ENV{CXXFLAGS} -O3 -Wall")project(GaussNewtonDemo)find_package(Eigen3 REQUIRED)find_package(OpenCV REQUIRED)set(CMAKE_INSTALL_PREFIX /usr)set(BUILD_SHARED_LIBS on)set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -fPIC -O0")include_directories(${EIGEN3_INCLUDE_DIR}${OpenCV_INCLUDE_DIR})add_definitions( "-DPREFIX=\"${CMAKE_INSTALL_PREFIX}\"" )### global default options #######################################################################################set(SOURCESmain.cpp)add_executable(GaussNewtonDemo ${SOURCES}) TARGET_LINK_LIBRARIES( GaussNewtonDemo ${OpenCV_LIBS} )。

反向高斯牛顿法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述反向高斯牛顿法是一种优化算法，常用于解决非线性最小二乘问题。

它是对经典的高斯牛顿法的改进和扩展，通过使用矩阵的逆来代替原方法中的线性近似，从而提高了算法的鲁棒性和收敛速度。

在实际问题中，往往需要通过最小化非线性函数的平方差来获得最佳拟合结果。

而高斯牛顿法则是一种常用的优化方法，通过线性近似来求解该最小化问题。

然而，当函数的非线性程度比较高时，高斯牛顿法的线性近似效果就会受到限制，导致收敛速度较慢甚至无法收敛。

反向高斯牛顿法通过使用矩阵的逆来替代高斯牛顿法中的线性近似，在一定程度上缓解了上述问题。

具体而言，该方法在每一步迭代中，通过计算目标函数的海森矩阵的逆矩阵来近似非线性函数的梯度，从而更新参数。

相比于高斯牛顿法，反向高斯牛顿法不再受限于线性近似的效果，能够更好地适应函数的非线性特性。

反向高斯牛顿法在许多领域中都有广泛的应用。

例如，在计算机视觉中，它常被用于图像拼接、摄像头标定等问题的求解。

在机器学习领域，反向高斯牛顿法可以用于训练神经网络模型的参数。

此外，该方法还可以应用于地球物理勘探、信号处理等其他相关领域。

总之，反向高斯牛顿法通过改进传统的高斯牛顿法，提高了非线性最小二乘问题的求解效率和鲁棒性。

它在多个领域中都被广泛应用，并且在未来的研究中可能会有更多的发展和应用。

在接下来的章节中，我们将进一步探讨反向高斯牛顿法的原理和应用，并总结其优势，并展望未来的研究方向。

1.2 文章结构文章结构是写作过程中非常重要的一部分，它能够为读者提供一个清晰明了的框架，帮助读者更好地理解和掌握文章的内容。

本文以反向高斯牛顿法为主题，分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要包括概述、文章结构和目的。

首先，我们会对反向高斯牛顿法进行简要的概述，介绍它的基本原理和应用领域。

接着，会详细描述本文的结构，包括各个部分的内容和组织方式。

最后，明确本文的目的，即通过对反向高斯牛顿法的探究，总结其优势并展望未来的研究方向。

解关于参数的方程组方法总结在物理、数学、工程等领域中，求解参数的方程组是一项非常重要的任务。

参数方程组是指方程组中存在未知参数的情况，这使得求解变得更加困难。

为了解决这个问题，人们提出了一些有效的方法来求解参数方程组。

本文将对几种常见的参数方程组求解方法进行总结。

第一种方法是使用最小二乘法。

最小二乘法是一种常见的线性回归方法，常用于拟合数据、求解参数等方面。

在解参数方程组时，可以将参数看作未知数，然后将方程组转化成形如$Ax=b$的线性方程组，其中A为系数矩阵，x为未知参数向量，b为常数向量。

由于方程组中存在未知参数，因此无法直接求解，这时可以使用最小二乘法求解。

最小二乘法可以通过求解$||Ax-b||^{2}$的最小值来得到未知参数的最优解。

第二种方法是牛顿法。

牛顿法是一种常用的优化方法，常用于求解非线性问题。

在解参数方程组时，可以将方程组看作非线性方程组。

然后可以通过牛顿法迭代求解未知参数的最优解。

牛顿法的迭代公式如下：$x_{k+1}=x_{k}-[J(x_{k})]^{-1}f(x_{k})$其中，$J(x_{k})$为$f(x)$的雅可比矩阵，$f(x)$为方程组的函数表达式。

牛顿法可以通过迭代求解，不断逼近未知参数的最优解。

第三种方法是使用高斯-牛顿法。

高斯-牛顿法是一种常用的非线性最小二乘法，常用于解决非线性参数拟合问题。

在解参数方程组时，可以将方程组看作非线性方程组，然后使用高斯-牛顿法进行迭代求解。

高斯-牛顿法可以通过迭代求解，不断逼近未知参数的最优解。

第四种方法是使用拟牛顿法。

拟牛顿法是一种非线性优化方法，常用于解决无约束优化问题。

在解参数方程组时，可以将方程组看作非线性方程组，然后使用拟牛顿法进行迭代求解。

拟牛顿法可以通过近似牛顿方程，不断逼近未知参数的最优解。

总之，求解参数方程组是物理、数学、工程等领域中常见的任务。

本文介绍了几种常见的参数方程组求解方法，包括最小二乘法、牛顿法、高斯-牛顿法和拟牛顿法。

实验报告一．实验名称：高斯-塞德尔迭代法二．实验目的：理解解线形方程组的迭代法，会编写解线性形方程组的迭代算法（高斯-赛德尔迭代法）。

三．实验内容：用matlab实现高斯-赛德尔迭代法，并用其解线性方程组：四．实验基础知识及原理：1.)高斯-赛德尔迭代法计算公式：（Ax=b）误差计算：2.) 高斯-赛德尔迭代法算法步骤：设Ax=b，其中A∈R n×n为非奇异矩阵切a ii≠0(i=1,2,…,n),本算法用高斯-赛德尔迭代法解Ax=b，数组x(n)开始存放x(0),后存放x(k), N0为最大迭代次数。

1、x i←0.0(i=1,2,…,n)2、对于k=1,2,…,N0迭代一次，这个算法需要的运行次数至多与矩阵A的非零元素的个数一样多。

五. 具体实验过程1）算法设计和代码：function[ x_result ] = Gauss_Seidel( A,b,e )%---------该函数只是针对实验提供的矩阵，精确值是确定的，其他线性方程组要先求出精确值%A为系数矩阵%b为结果矩阵%e为误差范围[row,cod]=size(A);accuracy=[1,1,1]';%精确值disp(['精确值为: ',num2str(accuracy')]);%%对系数矩阵分解A=M-N=(D-L)-U, x(k+1)=Bx(k+1)*+fD=blkdiag(A(1,1),A(2,2),A(3,3)); %A的对角阵L=tril(-A,-1); %A的下三角阵U=triu(-A,1); %A的上三角阵B=(D-L)\U;f=(D-L)\(b');%开始迭代x0=[0,0,0]';%初始量e_temp=norm((x0-accuracy),inf); %求x0-accurate的无穷范数，即精确值number_cicle=1;disp('迭代次数误差迭代值');while(e_temp>e)for i=1:rowk=B(i,:);l=f(i,:);x_temp=k*x0+l;x0(i,1)=x_temp;end;e_temp=norm((x0-accuracy),inf);x_result=x0;fprintf(' %d %f ',number_cicle,e);disp(x_result');number_cicle=number_cicle+1;end;end；2）测试结果：六. 实验心得:。

opencv 高斯牛顿法【实用版】目录1.OpenCV 简介2.高斯牛顿法原理3.OpenCV 中的高斯牛顿法应用4.高斯牛顿法的优缺点5.总结正文1.OpenCV 简介OpenCV（Open Source Computer Vision Library）是一个开源的计算机视觉库，它包含了大量的图像处理和计算机视觉方面的算法。

OpenCV 的目的是为人工智能、机器视觉、图像处理等领域的研究人员和开发者提供一个通用且高效的平台。

它支持多种编程语言，如 C++、Python 等，使得开发者可以方便地在不同的操作系统上进行开发和测试。

2.高斯牛顿法原理高斯牛顿法（Gauss-Newton method）是一种用于求解非线性最小二乘问题的优化算法。

它的基本思想是通过对数据点进行加权最小二乘拟合，以求得参数的最优值。

在图像处理领域，高斯牛顿法常用于求解图像的参数，例如相机的内部参数和外部参数等。

3.OpenCV 中的高斯牛顿法应用在 OpenCV 库中，高斯牛顿法被广泛应用于以下领域：（1）相机标定：相机标定是计算机视觉领域的一个重要环节，其目的是通过拍摄包含已知几何形状的场景，求解相机的内部参数（如焦距、光心坐标等）和外部参数（如旋转和平移矩阵）。

OpenCV 提供了一系列的函数来实现相机标定，其中就包括了使用高斯牛顿法的函数。

（2）图像拟合：在图像处理中，常常需要对图像进行参数化的拟合，以求得图像中的关键点或者纹理等信息。

OpenCV 中提供了基于高斯牛顿法的图像拟合函数，可以对图像中的特征点进行精确的拟合。

（3）优化问题求解：OpenCV 中还提供了一些基于高斯牛顿法的优化问题求解函数，如求解线性或非线性最小二乘问题等。

4.高斯牛顿法的优缺点高斯牛顿法具有以下优缺点：（1）优点：高斯牛顿法是一种迭代法，其迭代公式具有较好的数值稳定性，可以快速地收敛到最小二乘解。

同时，高斯牛顿法具有一定的鲁棒性，对于存在噪声的数据点也能获得较好的拟合效果。

3.5回归模型的其他函数形式一、模型的类型与变换1.倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法2.幂函数模型、指数函数模型与对数变换法3.复杂函数模型与级数展开法 二、非线性回归实例 三、非线性最小二乘估计 1.普通最小二乘原.2.高斯－牛顿迭代法（对原始模型展开台劳级数，取一阶近似值）⒊ 牛顿－拉夫森迭代法大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理, 使之化为数学上的线性关系, 从而可以运用线性回归模型的理论方法。

⒋应用中的一个困难如何保证迭代所逼近的是总体极小值（即最小值）而不是局部极小值？一般方法是模拟试验：随机产生初始值→估计→改变初始值→再估计→反复试验, 设定收敛标准（例如100次连续估计结果相同）→直到收敛。

⒌非线性普通最小二乘法在软件中的实现给定初值 写出模型 估计模型 改变初值 反复估计1一般情况下, 线性化估计和非线性估计结果差异不大。

如果差异较大, 在确认非线性估计结果为总体最小时, 应该怀疑和检验线性模型。

2非线性估计确实存在局部极小问题。

3根据参数的经济意义和数值范围选取迭代初值。

4NLS 估计的异方差和序列相关问题。

NLS 不能直接处理。

应用最大似然估计。

3.6受约束回归– 在建立回归模型时, 有时根据经济理论需要对模型中的参数施加一定的约束条件。

例如: – 需求函数的0阶齐次性条件 – 生产函数的1阶齐次性条件模型施加约束条件后进行回归, 称为受约束回归（restricted regression ）; 未加任何约束的回归称为无约束回归（unrestricted regression ）。

一、模型参数的线性约束 1.参数的线性约束2.参数线性约束检验具体问题能否施加约束？需进行相应的检验。

常用的检验有: F 检验、x2检验与t 检验。

F 检验: 1构造统计量；2检验施加约束后模型的解释能力是否发生显著变化。

第一步：给出参数估计值 β的初值 ()β0，将f x i(, )β在 ()β0处展开台劳级数， 取一阶近似值；第二步：计算 z df x d i i =(, ) ()βββ0和 ~(, ) ()()y y f x z i i i i =-+⋅ββ00的样本观测值； 第三步：采用普通最小二乘法估计模型 i i i z y εβ+=~，得到β的估计值 ()β1； 第四步：用 ()β1代替第一步中的 ()β0，重复这一过程，直至收敛。

暴雨强度公式参数率定方法朱颖元根据实测雨强记录，用最小二乘法为准则的高斯—牛顿迭代法直接求解暴雨公式的参数，算法简单，可以减少计算误差，提高参数的精度。

1 问题的提出短历时暴雨强度公式是城市排水设计中推求雨水量的公式，常用的型式为：(1)式中n——暴雨衰减指数b——时间参数A——雨力，随重现期T而变A与T的关系常采用下式表示：A=A1(1+Clg T)(2)式中A1、C——参数由式(1)、(2)可得：(3)式(3)可表示为：i=f(t,T;A1,B,b,n) (4) 式中f——已知的非线性函数t——暴雨历时T——重现期(自变量)A1、B、b、n——参数暴雨公式中参数的率定目前仍存在一些尚待研究的问题，首先是短历时暴雨资料采用哪种概率理论分布模型［1、2］；其次是统计参数估计。

目前统计参数估计的方法很多，大致可以分两类，第一类为参数估计法；第二类为适线法。

二者均不具有任何约束条件，一次仅能对一个样本进行估参。

短历时暴雨具有多种历时，因此具有多个样本。

若采用上述任一种方法对各种历时的暴雨资料逐一估计出统计参数，再将频率曲线绘在同一张图上，就有可能出现不同历时暴雨频率曲线相交的不合理情况。

除了经验适线法可以人为对参数进行调整外，其余估参方法均无能为力。

而可以同时对多个样本进行参数估计且能协调不同历时暴雨频率曲线之间参数关系的估参方法目前尚未见到。

最后是式(1)中参数率定问题，一般的方法是：先对暴雨资料进行频率分析，求出各种历时指定重现期的设计雨强值。

再对式(1)进行线性化变换，即式(1)两端取对数使之成为一线性方程。

根据设计雨强值用图解法或最小二乘法确定出参数A、b和n。

最后，根据式(2)及算出的A值用最小二乘法推求出参数A1和C。

这种计算方法实际上是多次辗转相关，而辗转相关已被证明是不可能提高计算精度的［3］。

暴雨公式的精度取决于暴雨资料的可靠性和公式中参数的合理性。

笔者认为，在暴雨资料已定的情况下，参数的合理性取决于暴雨公式对实测原始数据的拟合程度，而非对从频率曲线上摘取的数据的拟合程度。

实验三非线性方程的牛顿法和线性方程组的迭代数值求解信息与计算科学金融崔振威201002034031一、实验目的：设计牛顿迭代算法和线性方程组的常用迭代算法二、实验内容：p69.3、p129.1三、实验要求：1、根据题目要求构造迭代格式2、对线性方程组的迭代求解要求构造三种迭代格式3、试比较牛顿迭代法和不动点迭代法的优劣（p69.3）4、试比较线性方程组三种迭代的优劣（收敛和收敛速度）主程序：a、牛顿迭代法程序：function [x,k]=newton(f,p0,e)%求f(x)=0在给定p0的根。

%f为所求的函数f(x)，p0为迭代初始值，e为迭代精度。

k为迭代次数%diff(f)为对函数求导，subs是赋值函数，用数值替代符号变量替换函数例xa=p0;xb=xa-subs(f,xa)/subs(diff(f),xa);k=1;while abs(xa-xb)>e,k=k+1;xa=xb;xb=xa-subs(f,xa)/subs(diff(f),xa);endx=xb;b、雅克比迭代法程序function [x,n]=Jacobi_Solve(A,b,x0,eps,varargin)%求解线性方程组的迭代法%A为方程组的细数矩阵%b方程组的右端项数字的向量组%eps为精度要求，默认值为1e-5%varargin为最大迭代次数，值为100%x为方程组的解%n为迭代次数if nargin==3eps=1.0e-6;M =200;elseif nargin<3returnelseif nargin==5M =varargin{1};endD=diag(diag(A));%求A的对角矩阵L=-tril(A,-1);%求A的下三角矩阵U=-triu(A,1);%求A的上三角矩阵B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;n=1;%迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0=x;x=B*x0+f;n=n+1;if(n>=M)disp('迭代次数太多，可能不收敛。

高斯—牛顿迭代法高斯-牛顿迭代法是一种算法，可以有效地求解多元函数的最大值、最小值及极小值，是近期公认的一种高效的求解一元函数和多元函数极值问题的重要方法。

一、历史沿革高斯-牛顿迭代法发源于17th世纪，贝叶斯（1668年-1732年）提出，他曾研究高斯、牛顿和拉格朗日的算法，并综合整理它们的优点，最终形成了高斯-牛顿迭代法。

贝叶斯的研究为下一代数学家们提供了有用的洞见，例如拉格朗日（1646年-1716年）。

他发现了拉格朗日比较法，一种有效求解定积分的方法，并最终将其与贝叶斯的努力结合在一起，形成了高斯-牛顿迭代法。

二、原理及计算方式高斯-牛顿迭代法的基本原理是通过求解一元和多元函数的导数来求极大值、极小值、或极小值。

所以，本算法的步骤主要有以下三步：1.函数的倒数2. 使用迭代法求解函数的极大值、极小值3.据函数的极大值、极小值，推导原函数而计算过程也相当简单，用一个函数表示如下：迭代公式：X[n+1] = X[n] - f（X[n]）/ f’（X[n]）其中，X[n]为初始的不定极小值，f（X[n]）是函数f的结果，f’（X[n]）表示函数f的导函数的结果。

三、应用场景高斯-牛顿迭代法由于其精确、快速，应用非常广泛，可以用来求解函数、线性代数、拟合数据等领域中的数学问题，例如：1.于图像优化中对参数的优化；2.于拟合数据，比如经验散点回归；3.于求解机器学习中的最优解，包括求解最小二乘法、支持向量机、神经网络等；4.于求解调和级数的极限；5.于解决经济、物理、化学、生物学等领域的最优解；6.于求解线性代数中的矩阵最小二乘问题；7.于最优化控制、优化调度、智能计算等场景中的函数优化问题。

四、优点高斯-牛顿迭代法在求极值时具有许多优势：1.算快速、效率高：运用高斯-牛顿迭代法求解极值时，由于采用了迭代法，运算速度快，比其他算法更为高效。

2.算结果精确：由于使用的是高斯-牛顿迭代法，可以接近极限，从而使计算结果更加精确。

频率法测吊杆力参数识别的高斯-牛顿迭代法
易绪恒;董俊;何杰
【期刊名称】《四川建筑科学研究》
【年(卷),期】2014(040)006
【摘要】目前工程上广泛采用频率法测量吊杆索力,其精度主要取决于准确的索力、频率对应关系,而这种关系的准确程度则依赖于函数拟合及吊杆参数的准确性.通过
给出频率法测量索力中参数的确定方法,利用高斯-牛顿迭代法对吊杆索力进行参数识别,确定了吊杆力的计算模型.在此基础上,以180 m提篮式系杆拱桥为例对计算
公式进行验证,计算结果表明:实测索力值与计算索力值较为一致.提出的索力计算方法,为今后类似桥梁索力识别提供了参考依据.
【总页数】5页(P35-39)
【作者】易绪恒;董俊;何杰
【作者单位】河南省南水北调中线工程建设管理局南阳段建设管理处,河南南阳473000;西南交通大学土木工程学院桥梁工程系,四川成都610031;西南交通大学
土木工程学院桥梁工程系,四川成都610031
【正文语种】中文
【中图分类】TU32
【相关文献】
1.频率法测连续梁拱桥吊杆索力影响因素研究 [J], 吴焕庆;欧阳永金;刘世忠
2.基于改进高斯-牛顿迭代法的吊杆参数识别 [J], 杨吉新;周兴宇;刘前瑞
3.频率法测短吊杆索力测量方法的比较分析 [J], 刘灵勇;陈强
4.振动频率法测试吊杆索力实例分析 [J], 黄亮清
5.振动频率法测试吊杆索力实例分析 [J], 黄亮清
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lm算法和高斯牛顿法LM算法和高斯牛顿法是两种常用的数值优化方法，它们在解决非线性最小二乘问题时具有重要的应用价值。

我们来了解LM算法。

LM算法是利用Levenberg-Marquardt思想求解非线性最小二乘问题的一种方法。

它结合了高斯牛顿法和梯度下降法的优点，能够在不同情况下实现较好的收敛性和稳定性。

在LM算法中，首先需要构建一个目标函数，即待优化的非线性函数。

然后，通过线性化目标函数，得到一个线性化模型。

接下来，通过对线性化模型进行求解，得到当前步长下的参数估计值。

最后，通过判断当前步长是否满足要求，来决定是否接受当前步长。

如果当前步长满足要求，则更新参数估计值；如果当前步长不满足要求，则重新调整步长并重新计算。

通过迭代这个过程，最终得到最优解。

与LM算法相比，高斯牛顿法也是一种解决非线性最小二乘问题的方法。

它是通过将非线性最小二乘问题转化为一个线性最小二乘问题来求解的。

具体来说，高斯牛顿法利用了目标函数的一阶导数和二阶导数信息，通过逐步线性化目标函数，并求解线性化模型来逼近真实的非线性模型。

高斯牛顿法的求解过程与LM算法类似。

首先，需要构建一个目标函数。

然后，通过线性化目标函数，得到一个线性化模型。

接下来，通过对线性化模型进行求解，得到当前步长下的参数估计值。

最后，通过判断当前步长是否满足要求，来决定是否接受当前步长。

如果当前步长满足要求，则更新参数估计值；如果当前步长不满足要求，则重新调整步长并重新计算。

通过迭代这个过程，最终得到最优解。

虽然LM算法和高斯牛顿法在求解非线性最小二乘问题时都是通过迭代的方式来逼近最优解，但它们在具体的实现细节上有一些差异。

首先，LM算法在计算步长时，引入了一个阻尼因子，以保证每一步的求解都能收敛。

而高斯牛顿法没有引入阻尼因子，它主要依赖于目标函数的一阶导数和二阶导数信息来进行求解。

其次，LM算法能够较好地处理目标函数存在奇异点的情况，而高斯牛顿法对于目标函数存在奇异点的情况可能会出现收敛困难的问题。