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梯度下降和高斯牛顿是机器学习和优化领域常用的两种优化方法。
梯度下降是一种常用的一阶优化算法，可以用于求解目标函数的最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度（即指向最大增长方向的向量）并沿着梯度的反方向迭代更新参数，直到收敛达到最小值。
高斯牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法，利用目标函数的一阶和二阶导数信息来更快地寻找最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度和海森矩阵（即二阶导数）来更新参数，直到收敛达到最小值。
相比于梯度下降，高斯牛顿法通常更快地收敛，但要求目标函数的二阶导数可计算和海森矩阵可逆。
在实际应用中，梯度下降通常适用于目标函数的梯度容易计算的场合，而高斯牛顿法则适用于目标函数参数较少、目标函数相对平滑、并且具有较快的收敛速度的场合。
高斯牛顿法求解非线性问题在科学研究、工程设计等领域中，有许多问题都可以归纳为非线性问题，例如曲线拟合、最小二乘法拟合、非线性规划等。
如何高效地求解这些问题是一个重要的课题。
高斯牛顿法(Gauss-Newton method)是一种常用的优化算法，被广泛应用于求解非线性问题。
高斯牛顿法的基本思想是：将非线性问题转化为最小二乘问题，然后使用线性最小二乘法求解。
具体而言，假设有一个由m个参数和n个数据点组成的非线性模型：f(x) = (f1(x),f2(x),...,fn(x))^T其中，x = (x1,x2,...,xm)^T 为参数向量，fi(x)为第i个观测值。
若将f(x)看作一个向量函数，则该函数在x处的导数可以用雅可比矩阵来表示：J(x) = [∂f1(x)/∂x1,∂f1(x)/∂x2,...,∂f1(x)/∂xm；∂f2(x)/∂x1,∂f2(x)/∂x2,...,∂f2(x)/∂xm；.............................∂fn(x)/∂x1,∂fn(x)/∂x2,...,∂fn(x)/∂xm]雅可比矩阵是一个n×m的矩阵，表示参数向量对向量函数的导数。
对于非线性模型，其导数难以直接求解，因此需要采用近似方法。
高斯牛顿法采用的是一阶泰勒展开式，将非线性模型在x 处展开：f(x+Δx) ≈ f(x) + J(x)Δx其中，Δx为参数向量x的增量，即x+Δx为新的参数向量。
将上式两边平方，再加上一个权重矩阵W，得到最小二乘问题：min Δx ||sqrt(W)(f(x+Δx)-f(x))||^2上式中，||·||表示向量的欧几里得长度，W为一个n×n的对角矩阵，其作用是赋予不同观测值不同的权重。
将上式展开，得到：min Δx (f(x)+J(x)Δx-y)^TW(f(x)+J(x)Δx-y)其中，y为n×1的向量，表示原始数据点。
pytorch 高斯牛顿算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述高斯牛顿算法是一种优化算法，它结合了牛顿法和梯度下降法的优点，旨在更快地收敛到目标函数的极小值点。
在机器学习和深度学习领域中，优化算法的选择对模型的性能起着至关重要的作用。
PyTorch作为一种流行的深度学习框架，为我们提供了丰富的优化算法实现，其中也包括了高斯牛顿算法。
本文将介绍高斯牛顿算法的原理和在PyTorch中的应用，以及对其优缺点进行分析，旨在帮助读者更好地理解和应用高斯牛顿算法。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将分为三个部分来讨论高斯牛顿算法在PyTorch中的应用。
首先，在引言部分将介绍高斯牛顿算法的概念和目的，以及本文的写作动机。
然后在正文部分将详细介绍高斯牛顿算法的原理和PyTorch中的实际应用情况。
最后，在结论部分将对算法的优缺点进行分析，并展望其在未来的应用前景。
希望通过本文的分析和讨论，读者能更好地理解高斯牛顿算法在深度学习领域的价值和意义。
1.3 目的本文旨在介绍高斯牛顿算法在优化问题中的应用，并探讨其在PyTorch中的实现和优缺点分析。
通过深入了解高斯牛顿算法的原理和特点，读者可以更好地理解该算法在解决复杂优化问题中的作用和效果。
同时，本文还将展望高斯牛顿算法在未来的应用前景，为读者提供有益的参考和启发。
通过本文的阅读，读者将能够更好地掌握高斯牛顿算法的概念和应用，进而在实际项目中灵活运用该算法，提高优化效率和精度。
2.正文2.1 高斯牛顿算法介绍高斯牛顿算法是一种优化算法，用于求解非线性最小二乘问题。
它是基于牛顿法的一种改进方法，通过利用二阶导数信息来更快地收敛到最优点。
与传统的梯度下降方法相比，高斯牛顿算法在某些情况下可以更快地收敛并且更稳定。
在高斯牛顿算法中，每一次迭代都需要计算目标函数的梯度和海塞矩阵（即目标函数的二阶导数）。
然后利用这些信息来更新当前的参数值，使目标函数的值不断减小直至收敛于最优解。
lm算法牛顿法牛顿法和高斯-牛顿法都是最优化算法，它们通过多轮迭代逐步逼近最优解。
而LM 算法（Levenberg-Marquardt算法）是这两种算法的一种改进，旨在解决高斯-牛顿法在矩阵非正定时可能出现的问题。
以下是对这三种算法的简要介绍：1.牛顿法：牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
它使用函数f 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
牛顿法可以被用来找寻函数的最大值或最小值，这需要将函数的一阶导数设为零并求解，或者将函数的二阶导数设为零并求解以寻找拐点。
牛顿法在求解非线性最优化问题时也非常有效，特别是当问题的局部最优解是全局最优解时。
然而，当问题的维数增加时，计算二阶导数（即Hessian矩阵）可能会变得非常复杂和耗时。
2.高斯-牛顿法：高斯-牛顿法是牛顿法的一个变种，它专门用于求解非线性最小二乘问题。
在每一步迭代中，它使用雅可比矩阵（而不是Hessian矩阵）来逼近函数的Hessian矩阵，从而避免了直接计算二阶导数。
然而，高斯-牛顿法的收敛性依赖于初始值的选取和问题的性质。
如果初始值选取不当或者问题存在多个解，那么高斯-牛顿法可能会收敛到错误的解或者根本不收敛。
3.LM算法：LM算法是结合了梯度下降法和高斯-牛顿法的一种优化算法。
它通过引入一个阻尼因子来调整迭代步长，从而在高斯-牛顿法的基础上增加了算法的稳健性。
当阻尼因子较大时，LM算法更接近于梯度下降法，具有全局收敛性；当阻尼因子较小时，LM算法更接近于高斯-牛顿法，具有快速局部收敛性。
因此，LM算法可以在一定程度上解决高斯-牛顿法在矩阵非正定时出现的问题。
总的来说，这三种算法都是用于求解最优化问题的重要工具，它们各有优缺点并适用于不同类型的问题。
在实际应用中，需要根据问题的性质和需求选择合适的算法进行求解。
牛顿迭代法的函数逼近和拟合在数学和计算机科学中，函数逼近（function approximation）和拟合（function fitting）是重要的问题之一，它们涉及到如何用已知数据或函数来找出与之近似的函数形式。
而牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以被广泛地应用在函数逼近和拟合中。
一、牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解方程的方法，其本质是一种迭代算法，可以通过给出一个函数在某点的值以及该点的导数，迭代地求出函数的零点或者极值点。
其基本公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x_n)$表示函数在点$x_n$处的函数值，$f'(x_n)$表示函数在点$x_n$处的导数，$x_{n+1}$是通过迭代算法得到的新的近似解。
在使用牛顿迭代法时，需要注意函数的光滑性和局部收敛性，如果函数不光滑或者在某些点处导数为零，那么迭代可能会导致发散或者收敛速度极慢。
二、牛顿迭代法在函数逼近中的应用在函数逼近中，如果我们已知一些数据点$(x_i, y_i)$，并且想要找到一个函数$f(x)$，可以用这些数据点来拟合函数，那么可以使用牛顿迭代法来实现。
具体的方法如下：1.首先定义一个函数$g(x)$，它满足$g(x_i)=y_i$；2.然后利用牛顿迭代公式，给出$f(x)$的递归式：$$f(x_{n+1})=f(x_n)+\frac{g(x_n)-f(x_n)}{g'(x_n)}$$其中，$g(x)$是一个在点$(x_i, y_i)$处值为$y_i$，在其他点处为零的光滑函数。
3.重复进行上述迭代，直到得到一个满足精度要求的近似解。
通过牛顿迭代法的函数逼近方法，我们可以得到在数据点上的逼近函数，这个函数可以用来进行插值和外推等操作，同时也可以作为一个简单的近似模型来使用。
三、牛顿迭代法在函数拟合中的应用除了函数逼近，牛顿迭代法还可以用于函数拟合，这里的函数拟合指的是通过一些给定的函数基，将一个在某些点处已知函数值的函数表示为基函数线性组合的形式。
⾼斯⽜顿迭代（GaussNewton）代码实现#include <cstdio>#include <vector>#include <iostream>#include <opencv2/core/core.hpp>using namespace std;using namespace cv;const double DELTAX = 1e-5;const int MAXCOUNT = 100;double function(const Mat &input, const Mat params){//给定函数已知x求ydouble a = params.at<double>(0,0);double b = params.at<double>(1,0);double c = params.at<double>(2,0);double x = input.at<double>(0,0);return exp( a*x*x + b*x + c );}double derivative(double(*function)(const Mat &input, const Mat params), const Mat &input, const Mat params, int n){// ⽤增加分量的⽅式求导数Mat params1 = params.clone();Mat params2 = params.clone();params1.at<double>(n,0) -= DELTAX;params2.at<double>(n,0) += DELTAX;double y1 = function(input, params1);double y2 = function(input, params2);double deri = (y2 - y1) / (2*DELTAX);return deri;}void gaussNewton(double(*function)(const Mat &input, const Mat ms), const Mat &inputs, const Mat &outputs, Mat params){int num_estimates = inputs.rows;int num_params = params.rows;Mat r(num_estimates, 1, CV_64F); // 残差Mat Jf(num_estimates, num_params, CV_64F); // 雅克⽐矩阵Mat input(1, 1, CV_64F);double lsumR = 0;for(int i = 0; i < MAXCOUNT; i++){double sumR = 0;for(int j = 0; j < num_estimates; j++){input.at<double>(0,0) = inputs.at<double>(j,0);r.at<double>(j,0) = outputs.at<double>(j,0) - function(input, params);// 计算残差矩阵sumR += fabs(r.at<double>(j,0)); // 残差累加for(int k = 0; k < num_params; k++){Jf.at<double>(j,k) = derivative(function, input, params, k); // 根据新参数重新计算雅克⽐矩阵}}sumR /= num_estimates; //均残差if(fabs(sumR - lsumR) < 1e-8) //均残差⾜够⼩达到收敛{break;}Mat delta = ((Jf.t()*Jf)).inv() * Jf.t()*r;// ((Jf.t()*Jf)) 近似⿊塞矩阵params += delta;lsumR = sumR;}}int main(){// F = exp ( a*x*x + b*x + c )int num_params = 3;Mat params(num_params, 1, CV_64F);//abc参数的实际值params.at<double>(0,0) = 1.0; //aparams.at<double>(1,0) = 2.0; //bparams.at<double>(2,0) = 1.0; //ccout<<"real("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; int N = 100;double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值cv::RNG rng; // OpenCV随机数产⽣器Mat estimate_x(N, 1, CV_64F);Mat estimate_y(N, 1, CV_64F);for ( int i = 0; i < N; i++ ){double x = i/100.0;estimate_x.at<double>(i,0) = x;Mat paramX(1, 1, CV_64F);paramX.at<double>(0,0) = x;estimate_y.at<double>(i,0) = function(paramX, params) + rng.gaussian ( w_sigma );}//abc参数的初值params.at<double>(0,0) = 0; //aparams.at<double>(1,0) = 0; //bparams.at<double>(2,0) = 0; //ccout<<"init("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; gaussNewton(function, estimate_x, estimate_y, params);cout<<"result("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; return0;}# Project: GaussNewtonDemo## All rights reserved.cmake_minimum_required( VERSION 2.6 )cmake_policy( SET CMP0004 OLD )### initialize project ###########################################################################################SET(CMAKE_BUILD_TYPE "Debug")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_DEBUG "$ENV{CXXFLAGS} -O0 -Wall -g2 -ggdb")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_RELEASE "$ENV{CXXFLAGS} -O3 -Wall")project(GaussNewtonDemo)find_package(Eigen3 REQUIRED)find_package(OpenCV REQUIRED)set(CMAKE_INSTALL_PREFIX /usr)set(BUILD_SHARED_LIBS on)set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -fPIC -O0")include_directories(${EIGEN3_INCLUDE_DIR}${OpenCV_INCLUDE_DIR})add_definitions( "-DPREFIX=\"${CMAKE_INSTALL_PREFIX}\"" )### global default options #######################################################################################set(SOURCESmain.cpp)add_executable(GaussNewtonDemo ${SOURCES}) TARGET_LINK_LIBRARIES( GaussNewtonDemo ${OpenCV_LIBS} )。
反向高斯牛顿法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述反向高斯牛顿法是一种优化算法，常用于解决非线性最小二乘问题。
它是对经典的高斯牛顿法的改进和扩展，通过使用矩阵的逆来代替原方法中的线性近似，从而提高了算法的鲁棒性和收敛速度。
在实际问题中，往往需要通过最小化非线性函数的平方差来获得最佳拟合结果。
而高斯牛顿法则是一种常用的优化方法，通过线性近似来求解该最小化问题。
然而，当函数的非线性程度比较高时，高斯牛顿法的线性近似效果就会受到限制，导致收敛速度较慢甚至无法收敛。
反向高斯牛顿法通过使用矩阵的逆来替代高斯牛顿法中的线性近似，在一定程度上缓解了上述问题。
具体而言，该方法在每一步迭代中，通过计算目标函数的海森矩阵的逆矩阵来近似非线性函数的梯度，从而更新参数。
相比于高斯牛顿法，反向高斯牛顿法不再受限于线性近似的效果，能够更好地适应函数的非线性特性。
反向高斯牛顿法在许多领域中都有广泛的应用。
例如，在计算机视觉中，它常被用于图像拼接、摄像头标定等问题的求解。
在机器学习领域，反向高斯牛顿法可以用于训练神经网络模型的参数。
此外，该方法还可以应用于地球物理勘探、信号处理等其他相关领域。
总之，反向高斯牛顿法通过改进传统的高斯牛顿法，提高了非线性最小二乘问题的求解效率和鲁棒性。
它在多个领域中都被广泛应用，并且在未来的研究中可能会有更多的发展和应用。
在接下来的章节中，我们将进一步探讨反向高斯牛顿法的原理和应用，并总结其优势，并展望未来的研究方向。
1.2 文章结构文章结构是写作过程中非常重要的一部分，它能够为读者提供一个清晰明了的框架，帮助读者更好地理解和掌握文章的内容。
本文以反向高斯牛顿法为主题，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
首先，我们会对反向高斯牛顿法进行简要的概述，介绍它的基本原理和应用领域。
接着，会详细描述本文的结构，包括各个部分的内容和组织方式。
最后，明确本文的目的，即通过对反向高斯牛顿法的探究，总结其优势并展望未来的研究方向。
四、非线性回归法
（Method of nonlinear regression ）
在药物动力学中，血药浓度与时间的关系常常不是直线而是曲线，符合指数函数或抛物线等，如一室模型静脉注射即属指数函数kt e C C -=0，通常转化为对数形式
0log 303
.2log C kt C +=
，以
log C 对t 进行线性回归求出k 值。
但此法不尽合理，因这是log C
与t 之间最小二乘，而不是C 与t 之间最小二乘。
故提出非线性回归法，此法所得结果更为准确，但其计算复杂，工作量大，必须采用电子计算机才能完成运算。
非线性回归一般采用高斯-牛顿（Gauss-Newton ）迭代法。
迭代法是用某个固定公式反复地计算，用以校正方程所得根的近似值，使之逐步精确化，最后得到的精度要求的结果。
一般非线性参数的确定，通常采用逐次逼近的方法，即逐次“线性化”的方法。
设某药在体内的模型中待定参数a 1，a 2，a 3，…，a m ，求得隔室中药时关系的函数式为：
C = f (t ，a 1，a 2，a 3，…，a m )
其中t 是单个变量，t = ( t 1，t 2，t 3，…，t n )，今有n 组实验观测值（t k ，C k ）k = 1，2，…n ，在最小二乘意义下确定m 个参数a 1，a 2，a 3，…，a m 。
下面介绍一般解法。
1．先给a i (i = 1,2,…m )一个初始值，记为)0(i a ，并记初值与真值之差i ∆（未知），这时有
i
i
i a a ∆+=)
0(
若知i ∆则可求a i ，在)
0(i
a 附近作Taylor 级数展开并略去i ∆的二次以上各项得
f (t k ，a 1，a 2，…，a m )m m
k k k k a f a f a f f ∆∂∂+
+∆∂∂+
∆∂∂+
≈022
011
00
式中),,,,()0()0(2)0(10m k k a a a t f f =
)
0()
0(1
121)
,,,(m m k
i
m i
ko a a a a t t a a a a t f a f ===∂∂=
∂∂
当)
0(i
a 给定时，0k f ，
i
ko a f ∂∂均可由t 算得。
2．列出正规方程（线性方程组），若参数为4个即m = 4，则应列出以下方程
4
444343242141343433323213124243232221211414313212111B b b b b B b b b b B b b b b B b b b b =∆+∆+∆+∆=∆+∆+∆+∆=∆+∆+∆+∆=∆+∆+∆+∆
各方程前面的系数),,2,1,(m j i b ij =和B i 可以用以下公式求出
∑
=∂∂∂∂=⋅
n
k j
k i
k ij a
f a f b 1
00
∑
=-∂∂=n
k k k i
k i f C a f B 1
00)(
上述方程组，用高斯消元法求解i ∆，继而算出i a 值。
3．将算得之i a 作为初值，重复上述步骤1，2，反复迭代和修正直至|i ∆|小于允许误差或符合残差平方和的要求。
残差平方和也是检查计算是否达到要求的重要指标，残差平方和
∑=-=n
k k m k C a a a t f 1
2
21]
),,,([SUM
上述迭代手续，解方程组，工作量很大，若编制工作程序，用电子计算机就能很方便地完成。
计算程序框图如下：
上述高斯-牛顿迭代法对于初始值依赖高，常先用残数法求出初始值。
若初始值偏离真值太远，往往迭代数次后又发散，故现在又发展了Maquart 法和单纯形法。
