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专题31 单变量恒成立之最值分析法【方法总结】单变量恒成立之最值分析法遇到f (x )≥g (x )型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h (x )＝f (x )－g (x )或“右减左”的函数u (x )＝g (x )－f (x )，进而只需满足h (x )min ≥0或u (x )max ≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． 【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a ．当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0． 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a ＜0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2． 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0． 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0．②若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a ， 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f (x )≥0．③若a ＜0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2， 从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0，即－2e 34≤a ＜0时，f (x )≥0． 综上，a 的取值范围是[－2e 34，1]． [例2] 已知函数f (x )＝x ln x －ax ＋1(a ∈R )． (1)讨论f (x )在(1，＋∞)上的零点个数；(2)当a >1时，若存在x ∈(1，＋∞)，使得f (x )<(e －1)·(a －3)，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由f (x )＝x ln x －ax ＋1＝0可得a ＝ln x ＋1x ，令g (x )＝ln x ＋1x ，易知g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2．∴g ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增． 又g (1)＝1，所以当x ∈(1，＋∞)时，g (x )>1．故当a ≤1时，f (x )在(1，＋∞)上无零点；当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上存在一个零点． (2)当a >1时，由(1)得f (x )在(1，＋∞)上存在一个零点．由f ′(x )＝ln x ＋1－a ＝0得x ＝e a －1， 所以f (x )在(1，e a －1)上单调递减，在(e a －1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (e a －1)＝1－e a －1． 若存在x ∈(1，＋∞)，使得f (x )<(e －1)(a －3)成立，只需1－e a －1<(e －1)(a －3)成立，即不等式e a －1＋(e －1)(a －3)－1>0成立． 令h (a )＝e a －1＋(e －1)(a －3)－1，a >1，则h ′(a )＝e a －1＋e －1， 易知h ′(a )＝e a －1＋e －1>0在(1，＋∞)上恒成立，故h (a )＝e a －1＋(e －1)(a －3)－1在(1，＋∞)上单调递增，又h (2)＝0，所以a >2， 故实数a 的取值范围为(2，＋∞)． [例3] 已知函数f (x )＝a ln x ＋x b (a ≠0)． (1)当b ＝2时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＋b ＝0，b >0时，对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，恒有f (x )≤e －1成立，求实数b 的取值范围．思路 (2)由已知a ＋b ＝0消去a ，转化为最值问题，即－b ln x ＋x b ≤e －1恒成立，无法分离参数b ，用单调性分析法解决．解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当b ＝2时，f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝ax ＋2x ＝2x 2＋a x．①当a >0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a2(负值舍去)， 当0<x <－a2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减； 当x >－a2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增．综上所述，当b ＝2，a >0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当b ＝2，a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增．(2)因为对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，恒有f (x )≤e －1成立，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，f (x )max ≤e －1． 当a ＋b ＝0，b >0时，f (x )＝－b ln x ＋x b，f ′(x )＝－b x ＋bx b －1＝b (x b －1)x．令f ′(x )<0，得0<x <1；令f ′(x )>0，得x >1．所以函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增， f (x )max 为f (1e)＝b ＋e －b 与f (e)＝－b ＋e b 中的较大者．f (e)－f (1e )＝e b －e －b －2b ．令g (m )＝e m －e －m －2m (m >0)，则当m >0时，g ′(m )＝e m ＋e －m －2>2e m ·e －m －2＝0， 所以g (m )在(0，＋∞)上单调递增，故g (m )>g (0)＝0，所以f (e)> f (1e )，从而f (x )max ＝f (e)＝－b ＋e b ，所以－b ＋e b ≤e －1，即e b －b －e ＋1≤0．设φ(t )＝e t －t －e ＋1(t >0)，则φ′(t )＝e t －1>0，所以φ(t )在(0，＋∞)上单调递增． 又φ(1)＝0，所以e b －b －e ＋1≤0的解集为(0，1]．所以b 的取值范围为(0，1]．悟通 (2)构造f (x )＝－b ln x ＋x b 并进行单调性分析后，最大值不定或f (1e )或f (e)，作差比较，f (e)－f (1e )＝e b －e －b －2b ．又不能确定差值的正负，只能构造函数g (m )＝e m －e －m －2m (m >0)，用基本不等式求出最大值g (m )>g (0)＝0，f (x )max ＝f (e)＝－b ＋e b ，但又解不出b 的不等式，再次构造函数φ(t )＝e t －t －e ＋1(t >0)进行处理，解不等式．构造函数，解不等式也是高考题的常用套路．[例4] 已知a ∈R ，设函数f (x )＝a ln(x ＋a )＋ln x ． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤2e a x ＋ln xa－1恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝a x ＋a ＋1x ＝(a ＋1)x ＋a x (x ＋a )，x ＞0且x ＞－a ， ①当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； ②当a ≤－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； ③当－1＜a ＜0时，－aa ＋1＞－a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫－a ，－a a ＋1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ∈⎝⎛⎭⎫－aa ＋1，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2)f (x )＝a ln(x ＋a )＋ln x ≤2e a x ＋ln xa－1，即a ln(x ＋a )＋ln x ≤2e a x ＋ln x －ln a －1，a ＞0，即a ln(x ＋a )＋ln a ≤2e a x －1， 令g (x )＝e x －x －1(x ＞0)，则g ′(x )＝e x －1＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )＞g (0)＝0，即e x －x －1＞0，即e x －1＞x ， ∴e 2e a x －1＞a 2x ，则原不等式等价为a ln(x ＋a )＋ln a ≤a 2x ，即a ln(x ＋a )－a 2x ＋ln a ≤0， 令h (x )＝a ln(x ＋a )－a 2x ＋ln a ，则h ′(x )＝a x ＋a －a 2＝－a 2x ＋a －a 3x ＋a，令h ′(x )＝0，可得x ＝1－a 2a ，当a ≥1时，h ′(x )≤0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，则只需满足h (0)＝a ln a ＋ln a ≤0，∴ln a ≤0，解得0＜a ≤1，∴a ＝1；当0＜a ＜1时，可得h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1－a 2a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1－a 2a ，＋∞上单调递减，则h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫1－a 2a ＝a ln 1a －a (1－a 2)＋ln a ≤0，整理可得ln a －a 2－a ≤0，令φ(a )＝ln a －a 2－a ，则φ′(a )＝1a －2a －1＝－(a ＋1)(2a －1)a ，则可得φ(a )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 则φ(a )max ＝φ⎝⎛⎭⎫12＝－ln 2－34＜0，故0＜a ＜1时，h (x )≤0恒成立， 综上，0＜a ≤1．[例5] (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x ． (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n ＜m ，求m 的最小值． 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为1()2f ＝－12＋a ln 2＜0，所以不满足题意；②若a ＞0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增．故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0．故a ＝1． (2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x ＞0．令x ＝1＋12n ，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＜12n ． 从而ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＜12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1． 故⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n ＜e ．而⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋123＞2，所以m 的最小值为3． [例6] 已知函数f (x )＝x ln x －a (x －1)2－x ＋1(a ∈R )． (1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)若f (x )<0对x ∈(1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 解析 (1)若a ＝0，f (x )＝x ln x －x ＋1，f ′(x )＝ln x ， x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， ∴f (x )有极小值，f (1)＝0，无极大值．(2)f (x )＝x ln x －a (x －1)2－x ＋1<0在(1，＋∞)恒成立．①若a ＝0，f (x )＝x ln x －x ＋1，f ′(x )＝ln x ，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0， ∴f (x )为增函数，∴f (x )>f (1)＝0，即f (x )<0不成立，∴a ＝0不成立． ②∵x >1，ln x －(x －1)(ax －a ＋1)x<0在(1，＋∞)恒成立，不妨设h (x )＝ln x －(x －1)(ax －a ＋1)x，x ∈(1，＋∞)，h ′(x )＝－(x －1)(ax ＋a －1)x 2，x ∈(1，＋∞)，h ′(x )＝0，x ＝1或1－aa ，若a <0，则1－aa <1，x >1，h ′(x )>0，h (x )为增函数，h (x )>h (1)＝0(不合题意)；若0<a <12，x ∈⎝⎛⎭⎫1，1－a a ，h ′(x )>0，h (x )为增函数，h (x )>h (1)＝0(不合题意)；若a ≥12，x ∈(1，＋∞)，h ′(x )<0，h (x )为减函数，h (x )<h (1)＝0(符合题意)．综上所述，若x >1时，f (x )<0恒成立，则a ≥12．[例7] (2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x ． (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋2x －1， 由于f ″(x )＝e x ＋2＞0，故f ′(x )单调递增，注意到f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． (2)方法一 f (x )≥12x 3＋1等价于⎝⎛⎭⎫12x 3－ax 2＋x ＋1e －x ≤1． 设函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3－ax 2＋x ＋1e －x (x ≥0)， 则g ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫12x 3－ax 2＋x ＋1－32x 2＋2ax －1e －x ＝－12x [x 2－(2a ＋3)x ＋4a ＋2]e －x ＝－12x (x －2a －1)(x －2)e －x ，①若2a ＋1≤0，即a ≤－12，则当x ∈(0，2)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，2)上单调递增，而g (0)＝1，故当x ∈(0，2)时，g (x )>1，不合题意．②若0<2a ＋1<2，即－12<a <12，则当x ∈(0，2a ＋1)∪(2，＋∞)时，g ′(x )<0；当x ∈(2a ＋1，2)时，g ′(x )>0．所以g (x )在(0，2a ＋1)，(2，＋∞)上单调递减，在(2a ＋1，2)上单调递增，由于g (0)＝1， 所以g (x )≤1，当且仅当g (2)＝(7－4a )e －2≤1时成立，解得a ≥7－e 24．所以当7－e 24≤a <12时，g (x )≤1．③若2a ＋1≥2，即a ≥12，则g (x )≤⎝⎛⎭⎫12x 3＋x ＋1e －x ． 由于0∈⎣⎡⎭⎫7－e 24，12，故由②可得⎝⎛⎭⎫12x 3＋x ＋1e －x ≤1．故当a ≥12时，g (x )≤1． 综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫7－e 24，＋∞．方法二 当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，即e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1．当x ＝0时，无论a 取何值，上式恒成立．当x >0时，上式可化为a ≥12x 3＋1＋x －e x x 2．令g (x )＝12x 3＋1＋x －e x x 2，则g ′(x )＝12－1x 2－2x 3－(x －2)e xx 3＝12x 3－x －2－(x －2)e x x 3，令h (x )＝12x 3－x －2－(x －2)e x ，则h ′(x )＝32x 2－1－(x －1)e x ，h ″(x )＝3x －x e x ＝x (3－e x )，令h ″(x )＝0，得3－e x ＝0，即x ＝ln 3．所以在(0，ln3)上，h ″(x )>0，在(ln3，＋∞)上，h ″(x )<0． 所以h ′(x )在(0，ln 3)上单调递增，在(ln 3，＋∞)上单调递减．又h ′(0)＝0，h ′(ln 3)＝32(ln 3)2－1－3(ln 3－1)＝32(ln 3)2－3ln 3＋2＝32(ln 3－1)2＋12>0，h ′(2)＝5－e 2<0，所以h (x )在(0，＋∞)上先增后减．又h (0)＝0，h (2)＝4－2－2＝0，所以在(0，2)上，h (x )>0，在(2，＋∞)上，h (x )<0，所以g (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (2)＝4＋3－e 24＝7－e 24，所以a ≥7－e 24．所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫7－e 24，＋∞．[例8] (2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝e 时，f (x )＝e x －ln x ＋1，∴f ′(x )＝e x －1x ，∴f ′(1)＝e －1．∵f (1)＝e ＋1，∴切点坐标为(1，1＋e)，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)·(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2， ∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2e －1，0，∴所求三角形面积为12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2e －1＝2e －1．(2)解法一 (隐零点法)∵f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ，∴f ′(x )＝a e x －1－1x，且a >0．设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝a e x －1＋1x 2>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＝1时，f ′(1)＝0，则f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝1，∴f (x )≥1成立；当a >1时，1a<1，∴11e a-<1，∴f ′⎝⎛⎭⎫1a f ′(1)＝11(e 1)(1)0a a a ---<，∴存在唯一x 0>0，使得f ′(x 0)＝a e x 0－1－1x 0＝0，且当x ∈(0，x 0)时f ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时f ′(x )>0，∴a e x 0－1＝1x 0，∴ln a ＋x 0－1＝－ln x 0，因此f (x )min ＝f (x 0)＝a e x 0－1－ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1>1， ∴f (x )>1，∴f (x )≥1恒成立；当0<a <1时，f (1)＝a ＋ln a <a <1，∴f (1)<1，f (x )≥1不恒成立． 综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)． 解法二 (同构法) f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a＋x －1－ln x ＋ln a ≥1等价于e ln a＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )，显然g (x )为单调递增函数，∴又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1， 令h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x，在(0，1)上h ′(x )>0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h ′(x )<0，h (x )单调递减， ∴h (x )max ＝h (1)＝0，ln a ≥0，即a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)． [例9] 已知函数f (x )＝a ln x －e x ． (1)讨论f (x )的极值点的个数；(2)若a ∈N *，且f (x )<0恒成立，求a 的最大值． 参考数据：思路 (1)对f (x )进行单调性分析，但导函数的零点不可求，用隐零点技术处理．(2)可对ln x 的正负讨论后分离参数去处理如解法1，也可(1)的结果进行解决，但难度较大．解析 (1)根据题意可得f ′(x )＝a x －e x ＝a －x e xx(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )<0，函数是减函数，无极值点；当a >0时，令f ′(x )＝0得a －x e x ＝0，即x e x ＝a ， 又y ＝x e x 在(0，＋∞)上是增函数，且当x →＋∞时，x e x →＋∞，所以x e x ＝a 在(0，＋∞)上存在一解，不妨设为x 0，所以函数y ＝f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以函数y ＝f (x )有一个极大值点，无极小值点．综上，当a ≤0时，无极值点； 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，无极小值点． (2)解法1 要使f (x )<0恒成立，即a ln x <e x 恒成立，①当ln x >0时，即x >1时，a <e x ln x ，令g (x )＝e xln x，则g ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x －1x ln 2x，令h (x )＝ln x －1x ，则h (x )在(1，＋∞)上是增函数，又h (1.7)＝ln 1.7－11.7<0，h (1.8)＝ln 1.8－11.8>0，∴存在m ∈(1.7，1.8)，h (m )＝0，即ln m －1m ＝0，∴g (x )在(1，m )上单调递增，在(m ，＋∞)上单调递减，∴g (x )min ＝g (m )<e m ln m ，又因为ln m ＝1m ，∴g (m )＝m e m ，g ′(m )＝e m ＋m e m >0，∴g (m )在(1.7，1.8)上是递增函数，∴g (m )max ＝g (1.8)＝10.89， ∴a ≤10.89，又a ∈N *，所以a 的最大值为10．②当ln x <0时，即0<x <1时，，a >e x ln x ，令g (x )＝e xln x ，则g ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x －1x ln 2x<0，∴g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)→0，∴a >0． ③当ln x ＝0时，即x ＝1时，不等式恒成立．解法2 因为a ∈N *，由(1)知，f (x )有极大值f (x 0)，且x 0满足x 00e x ＝a ，① 可知f (x )max ＝f (x 0)＝a ln x 0－0e x ，要使f (x )<0恒成立，即f (x 0)＝a ln x 0－0e x <0，②由①可得0e x ＝a x 0，代入②得a ln x 0－a x 0<0，即a ⎝⎛⎭⎫ln x 0－1x 0<0，因为a ∈N *>0，所以ln x 0－1x 0<0， 因为ln 1.7－11.7<0，ln 1.8－11.8>0，且y ＝ln x 0－1x 0在(0，＋∞)上是增函数．设m 为y ＝ln x 0－1x 0的零点，则m ∈(1.7，1.8)，可知0<x 0<m ，由②可得a ln x 0<0e x ，当0<x 0≤1时，a ln x 0≤0，不等式显然恒成立；当1<x 0<m 时，ln x 0>0，a <0e x ln x 0，令g (x )＝exln x，x ∈(1，m )，则g ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x －1x ln 2x<0，所以g (x )在(1，m )上是减函数，且e 1.8ln 1.8≈10.29，e 1.7ln 1.7≈10.31，所以10.29<g (m )<10.31，所以a ≤g (m )， 又a ∈N *，所以a 的最大值为10．悟通 (2)如不分离参数，可由(1)知，f (x )有极大值f (x 0)，可知f (x )max ＝f (x 0)＝a ln x 0－0e x <0，难以解决，当然可解决．参见解法2．但整个思路不顺畅．如分离参数，则需分类讨论，当然此时问题主要集中到ln x >0，即x >1上，构造函数g (x )＝e x ln x ，求导后提取公因式2e (ln )xx ，之后再构造函数h (x )＝ln x －1x ，用到隐零点技术．但值得注意的是g (x )min ＝g (m )<g (m )max ，因为存在m ∈(1.7，1.8)，而不是对任意的m ，所以a <10.89，又a ∈N *，所以a 的最大值为10． 【对点训练】1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立，求实数a 的取值范围． 1．解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2a ＋1x ，f ′(1)＝3－2a ，由题意f ′(1)·12＝(3－2a )·12＝－1，解得a ＝52．(2)不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立等价于2ln x ≥－x ＋a －3x ，令g (x )＝2ln x ＋x －a ＋3x，则g ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2，则在区间(0，1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数； 在区间(1，e]上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数. 由题意知g (x )min ＝g (1)＝1－a ＋3≥0，得a ≤4， 所以实数a 的取值范围是(－∞，4]．2．已知函数f (x )＝(x ＋a －1)e x ，g (x )＝12x 2＋ax ，其中a 为常数．(1)当a ＝2时，求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 2．解析 (1)因为a ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)e x ，所以f (0)＝1，f ′(x )＝(x ＋2)e x ，所以f ′(0)＝2，所以所求切线方程为2x －y ＋1＝0． (2)令h (x )＝f (x )－g (x )，由题意得h (x )min ≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立， 因为h (x )＝(x ＋a －1)e x －12x 2－ax ，所以h ′(x )＝(x ＋a )(e x －1)．①若a ≥0，则当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (0)＝a －1，则a －1≥0，得a ≥1．②若a ＜0，则当x ∈[0，－a )时，h ′(x )≤0；当x ∈(－a ，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )在[0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (－a )， 又因为h (－a )＜h (0)＝a －1＜0，所以不合题意． 综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝e x －a ．(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．3．解析 (1)f ′(x )＝e x ，因为函数f (x )的图象与直线y ＝x －1相切，所以令f ′(x )＝1， 即e x ＝1，得x ＝0，即f (0)＝－1，解得a ＝2．(2)先证明e x ≥x ＋1，设F (x )＝e x －x －1，则F ′(x )＝e x －1，令F ′(x )＝0，则x ＝0， 当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0，当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0， 所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以F (x )min ＝F (0)＝0，即F (x )≥0恒成立，即e x ≥x ＋1，即e x －2≥x －1， 当且仅当x ＝0时等号成立，同理可得ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时等号成立，所以e x －2>ln x ， 当a ≤2时，ln x <e x －2≤e x －a ，即当a ≤2时，f (x )－ln x >0恒成立． 当a ≥3时，存在x ＝1，使e x －a <ln x ，即e x －a >ln x 不恒成立． 综上，整数a 的最大值为2．4．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，g (x )＝x 2＋x ＋2a ＋1． (1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[1，e]时，f (x )<g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 4．解析 (1)f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，f ′(x )＝2x ＋(a ＋1)－1x．依题意知x ∈(1，＋∞)时，2x ＋(a ＋1)－1x ≥0恒成立，即a ＋1≥1x －2x ．令k (x )＝1x －2x ，x ∈(1，＋∞)，∴k ′(x )＝－1x2－2<0，∴k (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴k (x )<k (1)＝－1，∴a ＋1≥－1， ∴实数a 的取值范围为{a |a ≥－2}．(2)令φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax －ln x －2a －1，x ∈[1，e]，则只需φ(x )max <0即可， ∴φ′(x )＝a －1x ＝ax －1x．当a ≤0时，φ′(x )<0，∴φ(x )在[1，e]上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(1)＝－a －1， ∴－a －1<0，即a >－1，∴－1<a ≤0．当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，φ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，φ′(x )>0， ∴φ(x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，∴要使φ(x )max <0， 只需⎩⎪⎨⎪⎧φ(1)<0，φ(e)<0，a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a －1<0，a e －2a －2<0，a >0，解得0<a <2e －2，综上，实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪－1<a <2e －2．5．已知函数f (x )＝(x －2)e x －12ax 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．5．解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝(x －2)e x ，f (0)＝(0－2)e 0＝－2，f ′(x )＝(x －1)e x ，k ＝f ′(0)＝(0－1)e 0＝－1，所以切线方程为y ＋2＝－(x －0)，即x ＋y ＋2＝0．(2)方法一 ()f ′(x )＝(x －1)(e x －a )，①当a ≤0时，因为x ≥2，所以x －1>0，e x －a >0，所以f ′(x )>0，则f (x )在[2，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (2)＝0成立．②当0<a ≤e 2时，f ′(x )≥0，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (2)＝0成立．③当a >e 2时，在区间(2，ln a )上，f ′(x )<0；在区间(ln a ，＋∞)上，f ′(x )>0，所以f (x )在(2，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，f (x )≥0不恒成立，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是(－∞，e 2]．方法二 当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，等价于当x ≥2时，(x －2)e x －12ax 2＋ax ≥0恒成立． 即⎝⎛⎭⎫12x 2－x a ≤(x －2)e x 在[2，＋∞)上恒成立．当x ＝2时，0·a ≤0，所以a ∈R ．当x >2时， 12x 2－x >0，所以a ≤(x －2)e x 12x 2－x ＝2e x x 恒成立． 设g (x )＝2e x x ，则g ′(x )＝2(x －1)e x x 2，因为x >2，所以g ′(x )>0， 所以g (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．所以g (x )>g (2)＝e 2，所以a ≤e 2．综上所述，a 的取值范围是(－∞，e 2]．6．已知函数f (x )＝e ax －ax －1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n (n ≥2)．若2(1)(!)n n n m -<恒成立，求m 的最小值． 6．解析：(1)f ′(x )＝a e ax －a ＝a (e ax －1)，当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >0．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝0时，显然无单调区间；当a <0时，令f ′(x )>0，解得x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.综上，当a ＝0时，无单调区间；a ≠0时，单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞).(2)令a ＝1，由(1)可知f (x )的最小值为f (0)＝0，所以f (x )≥0．所以e x ≥x ＋1(当x ＝0时取得“＝”). 令x ＝n －1，则e n －1>n ，所以e 0·e 1·e 2·…·e n －1>1×2×3×…×n ，即(1)2e !n n n ->， 两边进行2(1)n n -次方得2(1)(!)n n n m -<，所以m 的最小值为3.7．已知函数f (x )＝x ln x －ax ＋1(a ∈R )．(1)讨论f (x )在(1，＋∞)上的零点个数；(2)当a >1时，若存在x ∈(1，＋∞)，使得f (x )<(e －1)·(a －3)，求实数a 的取值范围．7．解析 (1)由f (x )＝x ln x －ax ＋1＝0可得a ＝ln x ＋1x， 令g (x )＝ln x ＋1x ，易知g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2． ∴g ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝1，所以当x ∈(1，＋∞)时，g (x )>1．故当a ≤1时，f (x )在(1，＋∞)上无零点；当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上存在一个零点．(2)当a >1时，由(1)得f (x )在(1，＋∞)上存在一个零点．由f ′(x )＝ln x ＋1－a ＝0得x ＝e a －1， 所以f (x )在(1，e a －1)上单调递减，在(e a －1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (e a －1)＝1－e a －1． 若存在x ∈(1，＋∞)，使得f (x )<(e －1)(a －3)成立，只需1－e a －1<(e －1)(a －3)成立，即不等式e a －1＋(e －1)(a －3)－1>0成立．令h (a )＝e a －1＋(e －1)(a －3)－1，a >1，则h ′(a )＝e a －1＋e －1，易知h ′(a )＝e a －1＋e －1>0在(1，＋∞)上恒成立，故h (a )＝e a －1＋(e －1)(a －3)－1在(1，＋∞)上单调递增，又h (2)＝0，所以a >2，故实数a 的取值范围为(2，＋∞)．8．已知函数f (x )＝e x －1－ax ＋ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝1处的切线与直线3x －y ＝0平行，求a 的值；(2)若不等式f (x )≥ln x －a ＋1对一切x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．8．解析 (1)f ′(x )＝e x －1－a ＋1x，∴f ′(1)＝2－a ＝3，∴a ＝－1， 经检验a ＝－1满足题意，∴a ＝－1，(2)f (x )≥ln x －a ＋1可化为e x －1－ax ＋a －1≥0，令φ(x )＝e x －1－ax ＋a －1，则当x ∈[1，＋∞)时，φ(x )min ≥0，∵φ′(x )＝e x －1－a ，①当a ≤0时，φ′(x )>0，∴φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝1－a ＋a －1＝0≥0恒成立，∴a ≤0符合题意．②当a >0时，令φ′(x )＝0，得x ＝ln a ＋1．当x ∈(－∞，ln a ＋1)时，φ′(x )<0，当x ∈(ln a ＋1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(－∞，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增．当ln a ＋1≤1即0<a ≤1时，φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，φ(x )min ＝φ(1)＝0≥0恒成立，∴0<a ≤1符合题意． 当ln a ＋1>1，即a >1时，φ(x )在[1，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )min ＝φ(ln a ＋1)<φ(1)＝0与φ(x )≥0矛盾．故a >1不符合题意．综上，实数a 的取值范围为{a |a ≤1}．9．已知正实数a ，设函数f (x )＝x 2－a 2x ln x ．(1)若a ＝2，求实数f (x )在[1，e]的值域；(2)对任意实数x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞均有f (x )≥a 2x －1恒成立，求实数a 的取值范围．9．解析 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝x 2－2x ln x ，则f ′(x )＝2(x －1－ln x )．设F (x )＝2(x －1－ln x )，x ∈[1，e]，则F ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ≥0， 所以F ′(x )在[1，e]上单调递增，F ′(x )≥F ′(1)＝0，所以f (x )在[1，e]上单调递增，所以在[1，e]上f (x )∈[1，e 2－2e]．(2)由题意可得f (1)≥a ，即0<a ≤1．当0<a ≤1时，x 2－a 2x ln x ≥a 2x －1，即x 2a 2－2x －1a－x ln x ≥0． 记t ＝1a≥1，设g (t )＝x 2t 2－2x －1t －x ln x ，则g (t )为关于t 的二次函数， 且定义域为[1，＋∞)，其对称轴为t ＝2x －12x 2． 因为当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，4x 4＋1≥2x ，所以2x －12x 2<1，当a >0，g (t )≥g (1)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x －1x －ln x ． 设函数h (x )＝x －2x －1x －ln x ，x ≥12， h ′(x )＝1－x 2x －1－2x －1x 2－1x ＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x －1x 2． 当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，h ′(x )<0，h (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝0，即当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，h (x )≥0，所以g (t )≥0， 所以0<a ≤1．所以实数a 的取值范围是(0，1]．10．设函数f (x )＝x －1x，g (x )＝t ln x (t ∈R )． (1)讨论函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调区间；(2)若当x ∈(0，1)时，f (x )的图象恒在函数g (x )的图象的下方，求正实数t 的取值范围．10．解析 (1)h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －1x ＋t ln x (x >0)，则h ′(x )＝1＋1x 2＋t x ＝x 2＋tx ＋1x 2(x >0)． ①当t ≥0时，h ′(x )>0，∴h (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无减区间；②当t ＜0时，令H (x )＝x 2＋tx ＋1，Δ＝t 2－4，Δ≤0，即－2≤t ＜0时，H (x )≥0，即h ′(x )≥0； ∴h (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无减区间，Δ＞0时，即t ＜－2，设x 1＝－t －t 2－42，x 2＝－t ＋t 2－42， ∵x 1＋x 2＝－t ＞0，x 1x 2＝1＞0，∴0＜x 1＜x 2，∴(0，x 1)∪(x 2，＋∞)，时H (x )＞0，即h ′(x )＞0，∴h (x )的单调递增区间是(0，x 1)，(x 2，＋∞)，同理，单调递减区间是(x 1，x 2)．综上，①当t ≥－2时，h (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无减区间，②当t ＜－2时，h (x )的单调递增区间是(0，x 1)，(x 2，＋∞)，单调递减区间是(x 1，x 2)，其中x 1＝－t －t 2－42，x 2＝－t ＋t 2－42． (2)∵函数f (x )的图象恒在g (x )的图象的下方，∴f (x )－g (x )＝x －1x－t ln x <0在区间(0，1)上恒成立． 设F (x )＝x －1x－t ln x ，其中x ∈(0，1)， ∴F ′(x )＝1＋1x 2－t x ＝x 2－tx ＋1x 2，其中t ＞0． ①当t 2－4≤0，即0＜t ≤2时，F ′(x )≥0，∴函数F (x )在(0，1)上单调递增，F (x )<F (1)＝0，故f (x )－g (x )＜0成立，满足题意．②当t 2－4>0，即t >2时，设φ(x )＝x 2－tx ＋1，则φ(x )图象的对称轴方程为x ＝t 2>1，φ(0)＝1，φ(1)＝2－t ＜0， ∴φ(x )在(0，1)上存在唯一实根，设为x 0，则当x ∈(x 0，1)，φ(x )＜0，F ′(x )＜0，∴F (x )在(x 0，1)上单调递减，此时F (x )＞F (1)＝0，不符合题意．综上可得，正实数t 的取值范围是(0，2]．11．已知函数f (x )＝ln x ＋x ＋1，g (x )＝x 2＋2x ．(1)求函数φ(x )＝f (x )－g (x )的极值；(2)若m 为整数，对任意的x ＞0都有f (x )－mg (x )≤0成立，求实数m 的最小值．11．解析 (1)由φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x ＋1－x 2－2x ＝ln x －x 2－x ＋1(x ＞0)，得φ′(x )＝1x －2x －1＝－2x 2－x ＋1x (x ＞0)，令φ′(x )＞0，解得0＜x ＜12，令φ′(x )＜0，解得x ＞12， 所以函数φ(x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫12，＋∞， 故函数φ(x )的极大值是φ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12－14－12＋1＝14－ln 2，函数φ(x )无极小值． (2)设h (x )＝f (x )－mg (x )＝ln x －mx 2＋(1－2m )x ＋1，则h ′(x )＝1x －2mx ＋1－2m ＝－2mx 2＋(1－2m )x ＋1x ＝－(2mx －1)(x ＋1)x(x ＞0)． 当m ≤0时，因为x ＞0，所以2mx －1＜0，x ＋1＞0，所以h ′(x )＞0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又因为h (1)＝ln 1－m ×12＋(1－2m )＋1＝－3m ＋2＞0，不满足题意，所以舍去．当m ＞0时，令h ′(x )＞0，得0＜x ＜12m ，令h ′(x )＜0，得x ＞12m， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞上单调递减， 所以h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫12m ＝ln 12m －m ·⎝⎛⎭⎫12m 2＋(1－2m )·12m ＋1＝14m－ln(2m )． 令t (m )＝14m－ln(2m )(m ＞0)，显然t (m )在(0，＋∞)上单调递减， 且t ⎝⎛⎭⎫12＝12＞0，t (1)＝14－ln 2＝14(1－ln 16)＜0， 故当m ≥1时，t (m )＜0，满足题意，故整数m 的最小值为1．12．设函数f (x )＝2x ln x －2ax 2(a ∈R )．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的单调区间； (2)若f (x )≤f ′(x )2－ln x －1(f ′(x )为f (x )的导函数)在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 12．解析 (1)当a ＝12时，f (x )＝2x ln x －x 2，定义域为(0，＋∞)．∴f ′(x )＝2ln x －2x ＋2． 令g (x )＝f ′(x )＝2ln x －2x ＋2(x >0)，∴g ′(x )＝2x－2． 当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数． ∴g (x )≤g (1)＝2ln 1－2×1＋2＝0，即f ′(x )≤0．∴函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间．(2)f (x )＝2x ln x －2ax 2，∴f ′(x )＝2ln x －4ax ＋2，且x >0．∴f (x )≤f ′(x )2－ln x －1在(1，＋∞)上恒成立⇔2(x ln x －ax 2)≤ln x －2ax ＋1－ln x －1在(1，＋∞)上恒成立 ⇔ln x －ax ＋a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．令h (x )＝ln x －ax ＋a ，x ∈(1，＋∞)．则h ′(x )＝1x－a ，且h (1)＝ln1－a ＋a ＝0． 当a ≤0，h ′(x )>0恒成立，故h (x )在(1，＋∞)上为增函数．∴h (x )>h (1)＝0，即a ≤0时不满足题意．当a >0时，由h ′(x )＝0，得x ＝1a． ①若a ∈(0，1)，则1a∈(1，＋∞)，故h (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上为减函数，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上为增函数． ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1，1a ，使得h (x 0)>h (1)＝0．这与h (x )＝ln x －ax ＋a ≤0在(1，＋∞)上恒成立矛盾．因此a ∈(0，1)时不满足题意．②若a ∈[1，＋∞)，则1a∈(0，1]，故h (x )在(1，＋∞)上为减函数， ∴h (x )<h (1)＝0，∴h (x )≤0恒成立，故符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．。
单变量投资组合分析单变量分析、组合变量分析单变量分析1.协方差的一些解释：在坐标轴中，使用x_u、y_u画两条直线，会使数据分布在四个象限当s_xy为正时，表示变量x、y是正的线性关系，即x增加，y增加当s_xy为负时，表示变量x、y为负的线性关系，即x增加，y减小当s_xy=0时，表示数据均匀的分布在四个象限中，两个变量基本没有相关性2.皮尔逊基相关系数的一些解释：如果变量x、y存在完全的线性关系时，所有的点在一条直线上，此时相关系数的值为1(完全正线性关系) 或-1(完全负线性关系) 当相关系数越接近0值，表示越若的线性关系，当相关系数为0时，表示两个变量没有相关性。
11种常见的多变量分析方法https:///baidu_38172402/article/details/82977482社会科学研究中，主要的多变量分析方法包括多变量方差分析（Multivariate analysis of variance，MANOVA）、主成分分析（Principal component analysis）、因子分析（Factor analysis）、典型相关（Canonical correlation analysis）、聚类分析（Cluster analysis）、判别分析（Discriminant analysis）、多维量表分析（Multidimensional scaling），以及近来颇受瞩目的验证性因子分析(Confirmatory factor analysis )或线性结构模型（LISREL）与逻辑斯蒂回归分析等，以下简单说明这些方法的观念和适用时机。
1 多变量方差分析MANOVA适用于同时探讨一个或多个自变量与两个以上因变量间因果关系的统计方法，依照研究者所操作自变量的个数，可以分为单因素（一个自变量）或多因素（两个以上自变量）MANOVA。
进行多变量方差分析时，自变量必须是离散的定类或定序变量，而因变量则必须是定距以上层次的变量。
univariable analysis
简述单变量分析
单变量分析（Univariable Analysis）是用来研究单个变量的变化趋势，是数
据分析中最常用的方法之一。
单变量分析的步骤包括：收集数据、可视化数据、计算统计度量、研究变量相关性、推断单变量对某些变量的影响。
单变量分析主要用于互联网
单变量分析通常被用于精准营销中的A/B测试，用于发现交互式内容的最佳组合。
精准营销技术涉及很多因素，而单变量分析可以用来定量分析不同因素。
例如，单变量分析可以用来研究网站改变标题或描述的对流量的影响；它可以用来研究交互性网站的不同布局的影响；它还可以用来研究手机应用的装备水平对于用户留存率的影响。
此外，单变量分析还可以被用于了解用户需求和特征。
例如，单变量分析可以
用来分析用户在不同社交网站的活跃程度，以及活跃用户的普遍特征；它也可以用来分析用户偏好，观察不同年龄段、地理位置，以及浏览时间等变量对点击率的影响。
总结
单变量分析是研究单个变量变化趋势的关键分析手段，它的步骤包括：数据收集、可视化分析、统计计算以及研究变量之间的相关性。
单变量分析除了可以用于精准营销的A/B测试，还可以用于研究用户的行为偏好及其影响因素，为互联网公司提供精确的报告，以便更好地了解市场和客户。
单变量与多变量分析方法的比较与选择在统计学和数据分析领域，单变量和多变量分析是两种常见的研究方法。
单变量分析是指通过研究单个变量的统计特征来得出结论，而多变量分析则考虑多个变量之间的关系。
本文将比较并讨论这两种方法的特点、适用场景和选择标准。
一、单变量分析的特点及适用场景单变量分析是一种简单且直观的统计分析方法。
它关注某一特定变量的分布情况、中心位置和离散程度等统计指标。
通过单变量分析，我们可以了解到变量的基本特征，并在此基础上进行一些简单的推论。
在实际应用中，单变量分析常用于以下场景：1. 描述性统计分析：通过计算均值、中位数、众数、方差等统计指标，对数据进行描述和总结。
2. 假设检验：通过对单个变量的均值或比例进行检验，来推断样本和总体之间是否存在显著性差异。
3. 变量筛选：在多个变量中选取与观察指标相关性较高的变量，以降低模型复杂度或提高预测准确性。
二、多变量分析的特点及适用场景多变量分析是指考虑多个变量之间相互关系的统计方法。
它可以帮助我们更全面地理解和解释变量之间的依赖关系，并建立模型来预测或解释复杂现象。
以下是多变量分析常见的方法和应用场景：1. 相关分析：通过计算变量之间的相关系数，探索变量之间的线性关系；可以用于发现变量之间的相关性、构建回归模型等。
2. 回归分析：通过建立回归模型，探究自变量对因变量的影响程度和方向，并进行预测和解释。
3. 主成分分析：通过降维和提取主成分，寻找数据中的主要信息，简化复杂数据结构，帮助数据可视化和解释。
三、选择单变量或多变量分析的标准和考虑因素在实际应用中，如何选择单变量或多变量分析方法取决于研究问题的具体需求和数据的特点。
以下是一些选择的标准和考虑因素：1. 研究问题：如果只需要了解某个变量的分布情况或对其进行简单的比较，单变量分析已经足够。
但如果需要深入探索变量之间的关系或建立预测模型，多变量分析更加适用。
2. 数据类型：单变量分析对任何类型的数据都适用，而多变量分析常用于连续型变量。
单变量分析法的应用原理1. 什么是单变量分析法？单变量分析法是一种常见的统计分析方法，它通过对单个变量进行分析，了解和描述变量的特征、分布和变化趋势等。
2. 单变量分析法的应用场景单变量分析法广泛应用于各个领域，例如市场调研、金融分析、医学研究等，用于描述和解释数据的基本特征和规律。
下面列举了一些常见的应用场景：•市场调研：通过对产品销售额、用户满意度等指标进行单变量分析，了解市场需求和用户行为。
•金融分析：对股票价格、货币汇率等指标进行单变量分析，评估风险和收益。
•医学研究：通过对患者血压、体重等生理指标进行单变量分析，研究疾病和治疗效果。
•教育评估：对学生考试成绩、学习时间等进行单变量分析，评估教学质量和学生表现。
3. 单变量分析法的基本原理3.1 描述统计在进行单变量分析之前，首先需要进行描述统计，包括计算变量的中心趋势和离散程度。
常见的描述统计指标包括：•平均值：一组数据的总和除以观测次数，用于表示数据的中心趋势。
•中位数：将一组数据按升序排列，取中间位置的数值，用于表示数据的中心趋势。
•标准差：衡量数据的离散程度，表示数据与平均值之间的差异。
3.2 频数分布频数分布是单变量分析的重要内容之一。
它将数据按照一定的区间进行分组，并计算每个区间的频数（数据落在该区间内的次数）。
通过频数分布可以直观地了解数据的分布情况和频率分布。
3.3 直方图和箱线图直方图是单变量数据可视化的常用方法之一。
它通过将数据分组并绘制柱状图，展示数据的分布情况。
箱线图是另一种单变量数据可视化方法，通过绘制数据的分位数，展示数据的分布情况和异常值。
3.4 单变量假设检验假设检验是一种统计推断方法，在单变量分析中用于判断样本数据与总体数据是否存在显著差异。
常见的单变量假设检验包括：•t检验：用于比较两个样本的平均值是否有显著差异。
•单样本z检验：用于比较样本平均值与总体平均值是否有显著差异。
4. 单变量分析的局限性虽然单变量分析方法能够提供有关单个变量的重要信息，但也存在一些局限性：•忽略变量之间的相互关系：单变量分析方法只考虑一个变量的影响，而忽略了多个变量之间的相互关系。
单变量数据的描述和分析简介：在统计学中，单变量数据（univariate data）是指只有一个单独的变量的数据集合。
这种类型的数据通常用于观察、描述和分析一个特定的量或属性。
本文将讨论如何对单变量数据进行合适的描述和分析，以揭示数据集中的模式、趋势和分布。
一、数据描述1. 数据的基本统计量对于单变量数据，我们需要了解一些基本的统计量，以获得对数据的整体概括。
常见的基本统计量包括：（1）均值（mean）：描述数据的平均水平，计算方法为将所有数据值相加后除以观测次数。
（2）中位数（median）：描述数据的中间位置，即将数据按照大小顺序排列，取中间位置的值。
（3）众数（mode）：描述数据中出现频率最高的值或值的集合。
（4）极差（range）：描述数据的范围，即最大值与最小值之间的差异。
（5）方差（variance）：描述数据的离散程度，计算方法为每个数据值与均值之差的平方的平均值。
（6）标准差（standard deviation）：描述数据的离散程度，是方差的平方根。
2. 数据的分布图表除了基本统计量之外，数据的可视化也是揭示数据特征的重要方法。
以下是几种常见的单变量数据的分布图表：（1）频率分布表（frequency table）：将数据按照不同的取值范围划分为区间，统计每个区间的频数或频率。
（2）直方图（histogram）：将数据按照取值范围划分为一系列不相交的区间，描绘出每个区间的频数或频率的柱状图。
（3）箱线图（box plot）：展示数据的分散情况，包括最大值、最小值、中位数、上四分位数和下四分位数等统计信息。
（4）饼图（pie chart）：用于表示数据的比例关系，适用于离散型数据。
二、数据分析1. 总体推断通过单变量数据的描述，我们可以对所研究的总体进行推断。
总体推断是建立在样本数据上的，用于推断整个总体的特征和性质。
常见的总体推断方法包括：（1）参数估计：通过样本数据估计总体的参数，如均值、方差等。
单变量分析单变量分析是统计学中的一种常用方法，用于分析与一个变量相关的统计量。
该方法适用于各个领域的数据分析，例如生物学、经济学、医学等等。
本文将介绍单变量分析的基本概念、方法和应用，并通过实例来说明其在实际问题中的应用。
在统计学中，变量是研究对象的某个特征或属性，可以是数值型的，也可以是分类型的。
在单变量分析中，我们只关注一个变量，通过计算其统计量来得到对该变量的描述和总结。
首先，我们需要介绍一些常用的统计量，用于描述一个变量的特征。
其中，最常见的统计量是均值和中位数。
均值是所有观测值的总和除以观测次数，它能够反映一个变量的平均水平；而中位数是将所有观测值按照大小排序后位于中间的值，它能够反映一个变量的中间位置。
除了均值和中位数，我们还可以使用其他统计量来描述一个变量的不同方面。
例如，众数是出现次数最多的观测值，用于描述一个变量的频数分布情况；标准差是观测值与均值之间的离散程度，用于描述一个变量的变异程度。
在实际应用中，我们通常需要根据数据的特点和研究目的选择适当的统计量。
例如，如果我们想要了解一个群体的平均收入水平，可以计算均值；如果我们想要了解一个群体的最常见疾病，可以计算众数。
在单变量分析中，我们还可以通过绘制直方图、箱线图等图表来可视化数据的分布情况。
直方图是将数据分成若干个区间，并统计每个区间中数据的频数，用于描述数据的频数分布情况；箱线图则通过绘制数据的最大值、最小值、中位数、上四分位数和下四分位数来描述数据的整体特征。
除了描述统计量和绘制图表，我们还可以使用假设检验来判断一个变量是否具有统计学意义。
假设检验是一种基于样本数据进行推断的方法，用于判断一个推断性问题的成立与否。
例如，我们可以使用假设检验来判断一个变量的均值是否显著不同于一个特定的值。
最后，我们需要注意的是，在进行单变量分析时，我们需要注意数据的来源、采集方式和样本的选择。
只有在这些方面都符合统计学要求的情况下，我们才能够得到准确和可靠的结果。
单变量求解excel技巧Excel 是一款非常强大的办公软件，可用于各种数据分析和计算任务。
在Excel 中，单变量是指只包含一个变量的数据集。
以下是一些有用的Excel 技巧，可帮助你分析和解释单变量数据。
1. 数据导入和整理：- 使用Excel 的导入功能，将数据从其他文件格式（如 CSV、文本文件等）导入到工作表中。
- 使用筛选功能（数据->筛选）根据特定的条件筛选数据。
- 使用排序功能（数据->排序）根据某一列的值对数据进行排序。
- 使用条件格式化功能（开始->条件格式化）根据不同的条件对数据进行颜色标记。
2. 统计函数：- 使用 SUM 函数计算单变量数据的总和。
- 使用 AVERAGE 函数计算单变量数据的平均值。
- 使用 MEDIAN 函数计算单变量数据的中位数。
- 使用MAX 和MIN 函数计算单变量数据的最大值和最小值。
- 使用 COUNT 函数计算单变量数据中的非空单元格数。
3. 简单图表：- 使用柱状图（插入->柱状图）可直观地比较不同分类的单变量数据。
- 使用折线图（插入->折线图）可显示单变量数据随时间的变化趋势。
- 使用饼图（插入->饼图）可显示不同分类在总体中的比例。
4. 数据透视表：- 使用数据透视表（插入->数据透视表）可以快速对单变量数据进行汇总和分析。
- 将要分析的单变量数据拖放到“行”或“列”区域，并将统计函数（如总和、平均值等）拖放到“值”区域，以获取所需的统计信息。
5. 高级筛选和筛选器：- 使用高级筛选（数据->高级筛选）根据多个条件筛选数据。
- 使用筛选器（开始->筛选器）可以快速筛选数据，并根据特定的条件进行排序和过滤。
6. 整理和清理数据：- 使用文本函数（如LEFT、RIGHT、MID 等）分隔、提取和处理文本数据。
- 使用条件函数（如 IF、AND、OR 等）根据特定条件进行数据处理和分类。
第⼆章单变量统计描述分析第⼆章单变量统计描述分析第⼀节单变量统计描述基本技术⼀、变量的计量尺度/层次1、定类变量——最低层次的变量类型。
只有类别属性之分，⽆⼤⼩程度之分。
根据变量值，只能知道研究对象的异同。
从数学运算特性来看，定类变量只有等于或不等于的性质。
2、定序变量——层次⾼于定类变量。
取值除类别属性外，还有等级、次序之分。
数学运算特性除等于或不等于外，还有⼤于或⼩于。
3、定距变量——层次⾼于定序变量。
取值除类别属性、次序之外，取值之间的距离可以⽤标准化的举例度量。
数学运算特性除等于不等于，⼤于⼩于之外，还可以加减。
如收⼊，以1元为标准化距离，则2000元⽐1500元多了500元。
4、定⽐变量——最⾼层次变量。
除了上述三种属性外，可以进⾏乘除运算。
1、社会学研究中，能够满⾜定距⽽不能同时满⾜定⽐要求的变量不多。
如智商,因为智商0分只有相对的意义，0分不等于没有智商，且0值不固定。
当前社会统计⽅法很少要求达到定⽐层测，所以只介绍前三种层次变量。
2、在社会学研究当中，有些变量的层次是不统⼀可变的，可⽤定序层次也可⽤定距层次，根据研究需要。
⾼层次变量可以降低层次来使⽤。
⼀般来说，测量层次越⾼越好，数学特性就越多，统计分析就越⽅便，能了解资料的程度就越深⼊。
⼆、基本技术1、次数分布（定类）——针对定类变量最基本的统计分析⽅法。
⾯对⼤量的数据资料，⾸先要组织整理，第⼀步就是要采⽤次数分布来简化资料，看某变量的每⼀个值出现的次数是多少。
定类变量的取值要求：变量取值必须完备，使得每个各观察值都有所归类；必须互斥，⼀个观察值只能归⼊⼀类，对于分组数据遵循上限不包括在内原则。
次数分布可简化资料，但不能⽐较样本，因为样本量不同。
2、⽐、⽐例和⽐率（通常保留⼀位或两位⼩数）⽐：某两类的次数相除，如性别⽐=男性/⼥性⽐例：某类次数除以总数，⽼年⼈⼝⽐例=⽼年⼈⼝数/总⼈⼝数×100%⽐率：某⼀确定变量相对应的某些事件发⽣的频率。
单变量分析方法单变量分析方法是一种常用的统计分析方法，用于研究一个变量对研究对象的影响或者关联程度。
在科学研究和数据分析中，单变量分析方法被广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、商业等。
本文将介绍单变量分析方法的基本概念、常见的分析方法以及其应用。
一、基本概念在进行单变量分析之前，我们首先需要了解一些基本概念。
1. 变量：研究对象中的一个属性或特征，可以分为两类：定性变量和定量变量。
定性变量是指没有具体数值的变量，如性别、学历等；定量变量是有具体数值的变量，如身高、年龄等。
2. 数据类型：数据可以分为两类：离散数据和连续数据。
离散数据是指只能取有限个数值的数据，如人数、次数等；连续数据是指可以取任意数值的数据，如身高、体重等。
3. 描述统计：描述统计是对数据的定量描述和总结，常见的描述统计指标包括均值、中位数、众数、标准差等，用于展示数据的集中趋势和离散程度。
二、常见的单变量分析方法1. 频数分析：频数分析是对定性变量的分析方法，通过计算每个类别的频数（出现次数）和频率（占总样本数的比例）来描述变量的分布情况。
2. 均值比较：均值比较是对定量变量的分析方法，常用的统计检验有 t 检验和方差分析。
t 检验用于比较两个样本均值是否显著不同，方差分析则用于比较多个样本的均值。
3. 相关分析：相关分析用于研究两个定量变量之间的关联程度，常用的方法是 Pearson 相关系数和 Spearman 相关系数。
Pearson 相关系数用于描述线性关系，Spearman 相关系数则适用于非线性关系。
4. 交叉分析：交叉分析是研究两个定性变量之间关系的方法，可以利用交叉表和卡方检验来判断变量之间是否存在关联。
三、应用案例1. 某研究人员想了解某种药物对心率的影响，他对100名患者进行了实验，将患者分为两组，一组给予药物，一组给予安慰剂，然后记录每个患者的心率。
通过计算两组的心率均值并进行 t 检验，他发现用药组的心率显著低于安慰剂组。
