北京市丰台区2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(B卷) (有解析)

丰台区2019-2020学年度第一学期期中联考试卷高二数学（B 卷） 考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知命题2:,20p x x ∃∈+R ≥，则命题p 的否定是A ．2,20≤∃∈+x x RB ．2,20≥∀∈+x x RC ．2,20∃∈+<x x RD ．2,20∀∈+<x x R2．已知0>>a b ，则下列不等式中正确的是A ．<a bB ．11<a bC ．->-a bD ．22<a b3．已知,a b +∈R ，且2ab =，那么下列结论一定成立的是A ．≥4a b +B ．≤4+a bC ．22≥4+a bD ．22≤4+a b4．“5<a ”是“3<a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且317=S a ，则数列{}n a 的公比为A ．2B ．3C ．2或3-D ．2-或36．若函数()sin 1f x x x=+,则()f x 的导函数'()=f x A ．2cos --+x xB ．2cos ---x xC ．2cos -+x xD ．2cos --x x7．已知函数()ln f x x x =⋅的导函数为'()f x ，若0'()1=f x ，则0x 的值为A ．1B ．2C ．eD ．08. 已知函数()f x 的导函数'()f x 则关于()f x 的结论正确的是A ．在区间(2,2)-上为减函数B ．在2=-x 处取得极小值C ．在区间(,2),(2,)-∞-+∞上为增函数D ．在0=x 处取得极大值9．化简式子11111+++12233445(1)++=⨯⨯⨯⨯+n nA ．11+n B ．11-+n n C ．1+n n D ．1-n n10．已知函数()=y f x 是可导函数.如图，直线2=+y kx 是曲线()=y f x 在(3,1)处的切线，令()()=f xg x x，'()g x 是()g x 的导函数，则 '(3)=gA ．29-B ．13-C ．23-D ．0第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1．（5分）复数z=的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i2．（5分）下列语句不是命题的是（）A．他的个子很高B．5的平方是20C．北京是中国的一部分D．同角的余角相等3．（5分）已知p，q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直5．（5分）在命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A．五面体B．棱锥C．棱台D．棱柱7．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜08．（5分）若直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是（）A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β9．（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．210．（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．梯形或平行四边形D．不能确定11．（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．上述关系正确的题号是（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④12．（5分）如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC的中点，则直线EM 与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分. 13．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为．14．（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：．15．（5分）若=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=（用复数代数式表示）16．（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为．17．（5分）已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．当满足条件时，有m∥β（填所选条件的序号）18．（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD，如图（2）．则在四棱锥P﹣ABCD中，AP 与平面EFG的位置关系为．三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19．（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求证：AD1∥平面EFG；（2）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？21．（15分）在数列{a n}中，已知a1=1，且a n+1=．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想．22．（15分）已知函数f（x）=a x+（a＞1）．（1）试比较f（﹣3）与f（﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷参考答案一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1．（5分）复数z=的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z，从而求得它的虚部．解答：解：复数z====i，故复数z的虚部为1，故选：C．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）下列语句不是命题的是（）A．他的个子很高B．5的平方是20C．北京是中国的一部分D．同角的余角相等考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：本题考查命题的定义，根据定义逐项判断即可，属于基础题目．解答：解：A、无法判断真假，不是命题，A错误，B，C，D可以判断真假，是命题，正确，故选：A．点评：解题关键是定义：命题是能够判断真假的陈述句．3．（5分）已知p，q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p是假命题，即充分性成立，若￢p是假命题，则p是真命题，此时p∧q是真命题，不一定成立，即必要性不成立，故“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．4．（5分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：由平行公理，若c∥b，因为c∥a，所以a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．异面和相交均有可能．解答：解：a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选C点评：本题考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力．5．（5分）在命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：结合互为逆否的两个命题真假性相同，逐一分析命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b 不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题真假，可得答案．解答：解：命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”为真命题，故其逆否命题为真命题；命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题为“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a+b＞0”为假命题；故原命题的否命题也为假命题；故命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是2个，故选：C点评：本题考查四种命题的真假，本题解题的关键是知道原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性．6．（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A．五面体B．棱锥C．棱台D．棱柱考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据棱柱的结构特征进行判断．解答：解：截面以下的几何体满足：有两个平面互相平行，其它侧面都是平行四边形，相邻侧面的棱互相平行，这样的立体图形为四棱柱，故选：D．点评：主要考查了棱柱的结构特征，属于容易题．7．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：证明题．分析：根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．故选A．点评：熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的关键．8．（5分）若直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是（）A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直的性质、线面平行的判定，即可得出结论．解答：解：直线a⊥直线b，直线a⊥平面β，b⊂β，或b⊄β，若b⊄β，则b∥β，∴b⊂β，或b∥β．故选：D．点评：本题考查线面垂直的性质、线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．9．（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱锥．解答：解：该几何体为三棱锥，其体积为V=××3×1×2=1，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．10．（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．梯形或平行四边形D．不能确定考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，分产生的截面四边形的四个顶点的位置进行讨论．解答：解：如图示时，该截面四边形为平行四边形，当截面产生的两个四个交点，其中两个为下底面的产生的，两个为截面与上底面产生时，此时截面四边形为梯形，故截面四边形可能为梯形或平行四边形，故选：C．点评：本题重点考查了空间中棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于容易题．注意分类讨论思想在求解问题中的灵活运用．11．（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．上述关系正确的题号是（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面，可得A正确，由圆的性质可得AC⊥BC，可得B正确，由B 及线面垂直的性质可得D正确．解答：解：由题意可得AC⊥BC，由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面可知PA⊥BC，故①正确，⇒BC⊥平面PAC，故②正确，对于③假设AC⊥PB，结合选项②，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，又AC⊥PA，故③不正确，利用直线与平面垂直的性质可得BC⊥PC，故④正确，故选B．点评：本题主要考查了三垂线定理的运用，涉及到了“线面垂直”与“线线垂直”的转化，要求考生熟练掌握基本概念、基本定理．12．（5分）如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC的中点，则直线EM 与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：由ED⊥平面BCD，可得DM为EM在平面BCD上的射影，即∠EMD为EM与平面BCD所成角．解三角形可得直线EM与平面BCD所成角的正弦值；解答：解：∵ED⊥平面BCD，∴DM为EM在平面BCD上的射影，∴∠EMD为EM与平面BCD所成角．∵DA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DA⊥AB，DA⊥AC，设DE=DA=AB=AC=a，则DC=DB=a，在△ABC中，∠BAC=120°，∴BC=a，又∵M为BC中点，∴DM⊥BC，BM=BC=a，∴DM=a．在Rt△EDM中，EM==，∴sin∠EMD==，故选：A点评：本题考查的知识点是直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的性质定理，难度中档．二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分. 13．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：①由正三角形的面积计算公式S=（a为边长），可得=．②如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO=，可得h==．利用它们的体积比==即可得出．解答：解：①由正三角形的面积计算公式S=（a为边长）．∴==．②如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO==．∴h==．∵两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比===．故答案为：．点评：本题考查了面积比、体积比与棱长比之间的关系、三角形的面积计算公式、棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：“平行四边形的对角线互相平分”．考点：演绎推理的基本方法．专题：推理和证明．分析：由演绎推理的基本规则，大前提是一个一般性的结论，本题中研究的是平行四边形的性质，可得答案．解答：解：将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式为：大前提：“平行四边形的对角线互相平分”，小前提：“菱形是平行四边形”，结论：“菱形的对角线互相平分”，故答案为：“平行四边形的对角线互相平分”点评：本题考查进行简单的演绎推理，解题的关键是对演绎推理的规则有着熟练的掌握，再就是熟练掌握了平行四边形的性质，本题是概念型题，知识性理论性较强．15．（5分）若=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=﹣5﹣4i（用复数代数式表示）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用向量的坐标运算结合复数的加法运算得答案．解答：解：∵=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=﹣=﹣1﹣i﹣（4+3i）=﹣5﹣4i．故答案为：﹣5﹣4i．点评：考查了复数的代数表示法及其几何意义，训练了平面向量的坐标运算，是基础题．16．（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积．解答：解：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为r=所以球的体积为：πr3=π故答案为：π．点评：本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是基础题．17．（5分）已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．当满足条件③⑤时，有m∥β（填所选条件的序号）考点：直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：要使m∥β，根据线面平行的判定定理和定义，只需m与β内的一条直线平行或者m在与β平行的平面内即可．解答：解：根据面面平行的性质，可得m⊂α，α∥β时，m∥β．故满足条件③⑤时，有m∥β．故答案为：③⑤．点评：本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．18．（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD，如图（2）．则在四棱锥P﹣ABCD中，AP 与平面EFG的位置关系为平行．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，可以取AD的中点为H，连接FH，得到FH∥PA，然后，得到AP∥平面EFG．解答：解：可以取AD的中点为H，连接FH，因为F为中点，所以FH∥PA，∴PA∥平面EFHG，∴AP∥平面EFG．故答案为：平行．点评：本题重点考查了空间中点线面的位置关系、直线与平面平行等知识，属于中档题．若题目中出现中点问题，添加辅助线的口诀为：有中点连中点，得到中位线；无中点，取中点，相连得到中位线．三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19．（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求证：AD1∥平面EFG；（2）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）首先，连结C1B，然后，得到四边形ABC1D1是平行四边形，从而得证；（2）根据（1）可以证明AB1∥平面EFG，从而证明；（3）根据平行关系，得到∠FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，然后放到三角形中求解．解答：解：（1）连结C1B，∵AB∥B1C1，且AB=B1C1∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，又∵E、G为中点，∴BC1∥EG，∴AD1∥EG，∴AD1∥平面EFG；（2）结合（1），同理可以证明AB1∥平面EFG，∵AB1∩AD1=A，∴平面AB1D1∥平面EFG；（3）∵BD∥B1D1，且BD∥EF，∴∠FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，在△EFG中，显然为等边三角形，∴异面直线B1D1与EG所成的角为60°．点评：本题重点考查了空间中平行关系、异面直线所成的角等知识，考查比较综合，解题关键是学会转化思想在立体几何中的应用．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）只要证明CD垂直与平面PAD的两条相交直线；（2）结合已知和（1）得到PA⊥面PDC，再利用面面垂直的判定定理证明；（3）结合（1，2）利用线面垂直和面面垂直的判定得到其余的垂直平面．解答：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD过P作PE⊥AD，垂足为E，∴PE⊥底面ABCD，∴PE⊥CD，∵AD∩PE=E，∴CD⊥平面PAD；（2）证明：由（1）可知CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA．又∵PA=PD=AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°，即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有平面PCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD．点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及面面垂直的判定，关键是将线面关系和面面关系转化为线线关系解答．21．（15分）在数列{a n}中，已知a1=1，且a n+1=．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；（2）由a1=，a2=，a3=，a4=，即可猜想得到通项公式；（3）利用（2）的猜想a n的表达式，运用数学归纳法证明．注意两个步骤缺一不可，特别必须运用假设证明n=k+1，也成立．解答：解：（1）∵a1=1，a n+1=，∴a2==，a3==，a4==．（2）由（1），a1=，a2=，a3=，a4=，可以猜想a n=．（3）用数学归纳法证明：ⅰ）当n=1时，a1==1，所以当n=1时猜想成立．ⅱ）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即a k=，当n=k+1时，a k+1===，所以当n=k+1时猜想也成立．由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N*都成立．所以a n=．点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（15分）已知函数f（x）=a x+（a＞1）．（1）试比较f（﹣3）与f（﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出f（﹣3），f（﹣2），f（0），f（1），并根据指数函数的单调性即可比较f（﹣3）与f （﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）求f′（x），并判断f′（x）的符号，从而写出f（x）的单调递增区间；（3）假设f（x）有负数根，也就是存在x＜0，使得，然后将该方程变成：，由0＜a x＜1便得到，解该不等式得到的x的范围应该和x＜0矛盾，从而说明假设不成立．解答：解：（1）f（﹣3）=，f（﹣2）=a﹣2+4；∵a＞1；∴a﹣3＜a﹣2，；∴f（﹣3）＜f（﹣2）；同理可得f（0）＜f（1）；（2）f′（x）=＞0；∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）；（3）证明：假设f（x）=0有负数根；即存在x＜0，使成立；∴；∵0＜a x＜1；∴，解得，与x＜0矛盾；∴假设不成立；即方程f（x）=0没有负数根．点评：考查指数函数的单调性，求导数，并判断导数符号从而求出函数的单调区间的方法，以及利用反证法证明问题时找矛盾的方法与过程．。

2019-2020学年北京市丰台区高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知命题2:20p x R x ∃∈+≥，， 则命题p 的否定是（ ） A ．220x R x ∃∈+≤， B ．220x R x ∀∈+≥， C ．220x R x ∃∈+<， D ．220x R x ∀∈+<，【答案】D【解析】根据全称命题与特称命题的否定变化法则即可得出选项. 【详解】解:因为特称命题的否定是全称命题， 由命题2:20p x R x ∃∈+≥，； 则命题p 的否定是: 220x R x ∀∈+<，. 故选：D . 【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的否定，掌握变法法则是关键. 2．已知0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <【答案】B【解析】根据不等式的性质即可得出答案. 【详解】 解:0a b >>,a b ∴>，11a b< ，a b -<-，22a b >只有B 正确.故选： B . 【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟记不等式的性质，属于基础题. 3．已知a b R +∈，，且2ab =，那么下列结论一定成立的是（ ） A ．4a b +≥ B ． 4a b +≤C ．224a b +≥D ．224a b +≤【答案】C【解析】利用基本不等式a b +≥与重要不等式222a b ab +≥即可求解. 【详解】解:因为a b R +∈，， 且2ab =, 所以 2224a b ab +≥=.当且仅当a b ==故选: C . 【点睛】本题主要考查基本不等式，注意运用基本不等式时需验证等号成立的条件. 4．“5a <”是“3a <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】解:由5a <不能得到3a <，如4a =; 反之，35a a <⇒<.“5a <”是“3a <”的必要而不充分条件. 故选: B . 【点睛】本题主要考查命题中的必要不充分条件，需掌握必要不充分条件的定义，属于基础题. 5．设等比数列{}的前项和为，且317S a =，则数列{}n a 的公比的值为A ．2或3-B ．2或3C ．2D ．3【答案】A【解析】试题分析：因为317S a =，所以可得22123111117760a a a a a a q a q a q q ++=⇒++=⇒+-=，解得q =2或3-，故选择A【考点】公比数列性质 6．若函数()1f x sinx x=+，则()f x 的导函数()'f x =（ ） A ．2cos x x --+B ．2cos x x ---C ．2xosx x -+D ．2cos x x --【答案】D【解析】由基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算即可得出选项. 【详解】解:()221f x cosx cosx x x-'=-=- 故选:D 【点睛】本题主要考查基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算，需熟记公式与运算法则，属于基础题.7．已知函数()ln f x x x =的导函数为()f x '，若()01f x '=,则0x 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．eD ．0【答案】A【解析】根据导数的运算法则求出导函数即可求解. 【详解】解:()'1f x lnx =+,()0011f x lnx '∴=+=,0ln 0x ∴=，即01x =. 故选: A . 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题，求导公式一定要熟练掌握.8．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则关于()f x 的结论正确的是（ ）A ．在区间()2,2-上为减函数B ．在2x =-处取得极小值C ．在区间()(,2)02,--+∞，上为增函数 D ．在0x =处取得极大值 【答案】B【解析】利用导函数图像以及导函数与函数单调性的关系判断即可. 【详解】解:由图象得:()f x 在(,2)-∞-递减， 在()2,2-递增，在(2,)+∞递减， 故()f x 在2x =-取极小值，在2x =取极大值， 故选: B . 【点睛】本题主要考查用导数判断函数的单调性，熟练掌握导数法判断函数单调性的法则以及极值的概念是解决此类问题的关键.9．化简式子()11111122334451n n +++++=⨯⨯⨯⨯+L （ ） A ．11n + B ．11n n -+ C ．1n n + D ．1n n- 【答案】C【解析】利用数列求和中的裂项求和法即可化简. 【详解】 解:因为()11111n n n n =-++所以()11111122334451n n +++++⨯⨯⨯⨯+1111112231n n =-+-++-+ 111n =-+ 1n n =+ 故选:C . 【点睛】本题主要考查数列中的裂项求和法，属于基础题.10．已知函数()y f x =是可导函数.如图，直线2y kx =+是曲线()y f x =在()3,1处的切线，令()()()'f x g x g x x=，是()g x 的导函数，则()'3g = ( )A ．29-B ．13-C ．23-D ．0【答案】A【解析】利用导数的几何意义可知()3 f k '=且()3321f k =+=；再由导数的运算法则求出()'g x 即可求解. 【详解】解:直线2y kx =+是曲线() y f x =在3x =处的切线，可得()()33213 f k f k '=+==，, 即有()113 33k f '=-=-，，()()f x g x x=，可得()()()2'xf x f x g x x '-= 则()()()13133323'3999f fg ⎛⎫⨯-- ⎪'-⎝⎭===-故选: A . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及导数的运算法则，需熟记导数的运算法则，属于基础题.二、填空题11．已知数列{}n a 满足13n n a a +=， 且11a =，那么4a =____________. 【答案】27【解析】利用递推关系式推出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解. 【详解】解:13n n a a +=Q ， 则3q =,∴数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，那么34327a ==故答案为: 27 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题. 12．函数()420y x x x=++>的最小值为__________． 【答案】6【解析】利用基本不等式0,0)2a ba b +≥>>即可求解.【详解】 解:0x >，∴函数4222226y x x =++≥=⨯+= 当且仅当40x x x=>，，即2x =时，上式取等号. 故答案为: 6. 【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，属于基础题.13．己知函数()f x alnx x =+在()0,2上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，那么a 的值为___________． 【答案】2-【解析】首先求出导函数，由函数()f x alnx x =+在()0,2上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，可得()2 0f '=，代入求解；导函数等于零不一定为极值点，再验证即可. 【详解】 解:()1af x x'=+, 由题意得:()2 0f '=, 即102a+=，解得: 2a =-,2a =-时，()()20f x lnx x x =-+>，， ()21f x x'=-, 令()0f x '>，解得:2x >， 令()0f x '<，解得: 2x <，故()f x 在()0,2上是减函数，在(2, )+∞上是增函数，2a =-符合题意，.故答案为: 2-. 【点睛】本题主要考查利用导函数判断函数的单调性，由函数的单调性求参数的取值范围，注意： “()0f x '=”是“0x 为极值点”的必要不充分条件.14．等差数列{}n a 中，若31110a a +=，则678a a a ++=__________． 【答案】15【解析】利用等差数列的性质：“若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+”即可求解. 【详解】解:依题意，3117102a a a +==， 所以75a =,所以6787315a a a a ++==. 故答案为: 15. 【点睛】本题主要等差数列的性质，需掌握等差数列的有关性质，属于基础题.15．若不等式220ax bx +->的解集是(2)(1)-∞-⋃+∞，，,则a b +=__________． 【答案】2【解析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系可得方程220ax bx +-=的实数根为2-和1,代入方程或利用韦达定理即可求解. 【详解】解:不等式对应方程220ax bx +-=的实数根为2-和1,由根与系数的关系知，21221b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩解得11a b ==，, 所以2a b +=. 故答案为: 2. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题. 16．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)如果141,42a a ==-，那么q =__________;(2)如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，在下列关于{}n a 的三组量中，一定能成为数列{}n a 的“基本量”的是__________. (写出所有符合要求的组号) ①1S 与3a ;②2S 与3S ;③q 与3S ; 【答案】2- ③【解析】根距等比数列的通项公式与求和公式即可求解. 【详解】解: (1) 数列{}n a 是公比为q 的等比数列，31411,42a a a q ===- 所以382q q =-=-，. 故答案为：2-(2)①11S a =，因为231a a q =， 可以确定2,q q 有两个值，不唯一;②若1q =,则可唯一确定， 若q 不为()2121211,,1a q S a a q-=+=-()31312311a q Sa a A q-=++=-由23211S q q S q++=+，得到关于q 的一元二次方程，无法具体确定q ; ③己知q ，代入()31311a q S q-=-可求出1a ，所以唯一确定了数列.故答案为：③ 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，需熟记公式，属于基础题.三、解答题17．已知函数()()31()13f x x ax a R f x '=-+∈，是()f x 的导函数， 且()2 0f '=. (I)求a 的值;(II)求函数()f x 在区间[33]-，上的最值. 【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）最大值为193，最小值为133-. 【解析】(I)求出()3113()f x x ax a R =-+∈的导函数()f x '，把()2 0f '=代入即可求解.(II)利用导数求出函数的单调区间即可求出最值.【详解】解: (I) ()3(1)13f x x ax x R =-+∈Q ， ()2 f x x a '∴=- ()2 40f a '=-=Q ,4a ∴=(II) 由(I)可得:()()32141,43f x x x f x x '=-+=-， 令()240f x x '=-=，解得2x =+，列出表格如下:又()()191334,3233f f -=<=->-Q 所以函数()f x 在[33]-，区间上的最大值为193，最小值为133- 【点睛】本题主要考查导函数求函数的最值、极值，属于基础题. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为15202n S a a a +==，，. ( I )求数列{}n a 的通项公式; (II)求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（Ⅰ）62n a n =-；（Ⅱ）当2n =或3n =时，n S 有最大值是6. 【解析】( I )根据等差数列的通项公式即可求出142a d =⎧⎨=-⎩即可求解.(II)利用等差数列的求和公式()12n n a a n S +=即可求解.【详解】解: (I) 在等差数列{}n a 中，1520,2,a a a +==112402a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得142a d =⎧⎨=-⎩()1162n a a n d n ∴=+-=-;(II) ()1252n n a a n S n n +==-+∴当2n =或3n =时，n S 有最大值是6.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，需熟记公式，求前n 项和最值时，注意n 为正整数，此题属于基础题.19．已知等差数列{}n a 满足1243102a a a a +=-=，.等比数列{}n b 满足2337b a b a ==，.( I )求数列{}n a 的通项公式;(II)设n n n c a b =+,求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）22n a n =+；（Ⅱ）22324n n S n n +=++-.【解析】(I)利用等差数列的通项公式即可求解.(II)由等比数列的通项公式求出11422n n n b -+=⨯=，再由数列分组求和即可求解.【详解】解: (I) 在等差数列{}n a 中，由题意可知12102a d d +=⎧⎨=⎩解得142a d =⎧⎨=⎩ 22n a n ∴=+.(II) 在等比数列{}n b 中，由题意可知121816b q b q =⎧⎨=⎩解得142b q =⎧⎨=⎩11422n n n b -+=⨯=∴, 1222n n c n +∴=++,2341426282...222n n S n -∴=+++++++++()23146...2222...2n n +=++++++++ ()2314622222n n +=++++++++L L22324n n n +=++-.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式、分组求和，此题属于基础题.20．己知函数()()21()1x f x e x a x a R ⎡⎤⎣⎦=-++∈.(I)若1a =-时，求曲线() y f x =在()(0)0f ，处的切线方程; (II)求函数()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ） 10x y -+=；（Ⅱ）分类讨论，详见解析.【解析】(I)把1a =-代入求出()()21xf x e x=+，根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式即可求解. (II)对函数进行求导得()()()1xf x ex a x '=-+，讨论a 的取值，即可求出函数的单调区间.【详解】解: (I)当1a =-时，()()21xf x ex=+，()()221x f x e x x '∴=++，() 01f '∴=又()01f =，所以切点坐标为()0,1，故切线方程为:10x y -+=; (II)()()211x f x e x a x =-++⎡⎤⎣⎦Q (定义域为R ) ()()()()2 11x xf x e x a x a e x a x '∴=+--=⎦-⎤⎣+⎡， 0x e >，令()0f x '=，解得x a =或1x =-，(1)当1a =-时，()0f x '≥， 所以函数()f x 在R 上单调递增， (2)当1a >-时，()()x f x f x '，，的变化如下表:函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(),+a ∞， 单调递减区间为()1,a -， 当1a <-时，()()x f x f x '，，的变化如下表:函数f (x )的单调递增区间为(,)a -∞，()1,+-∞， 单调递减区间为(),1a -. 【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程、求函数的单调区间，同时也考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.。

2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试卷 2019.11一、选择题（本大题共13小题，共62.0分）1.不等式x−3x+2<0的解集为()A. {x|−2<x<3}B. {x|x<−2}C. {x|x<−2或x>3}D. {x|x>3}2.已知数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，那么a3=()A. 4B. 5C. 6D. 73.下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，x3>0B. ∃x∈R，使tanx=2C. ∀x∈R，2x>0D. ∃x∈R，使lgx=04.已知等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，则{a n}的前5项和等于()A. −15B. −17C. 15D. 175.若a<b<0，则下列不等式中成立的是()A. a2<b2B. ab <1 C. 1a<1bD. 1a>1b6.“x2=4”是“x=2”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A. a2+b2>2abB. a+b≥2√abC. 1a +1b>√abD. ba+ab≥28.等差数列{a n}前n项和为S n，a4+a6=−6，a1=−11.则当S n取最小值时，n=()A. 6B. 7C. 8D. 99.函数y=tanx+9tanx (π2<x<π)的最大值为()A. 6B. 9C. −6D. −910.已知常数k∈(0,1)，数列{a n}满足a n=n⋅k n(n∈N∗).下面说法正确的是()①当k=12时，数列{a n}为递减数列；②当0<k<12时，数列{a n}为递减数列；③当12<k<1时，数列{a n}不一定有最大项；④当k1−k为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④11.若m<0，n>0且m+n<0，则()A. m<−n<n<−mB. −n<m<−m<nC. m<−n<−m<nD. −n<m<n<−m12.设{a n}是等差数列，{b n}为等比数列，其公比q≠1，且b n>0(n=1,2，3，…).若a1=b1，a11=b11，则a6与b6的大小关系为()A. a6>b6B. a6=b6C. a6<b6D. a6≥b613.已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3，且a1=2，则a1+a2020=()A. 4043B. 4046C. 4047D. 4049二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）14.命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是______．15.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2−a5=0，则公比q=______，S4S2=______．16.若正数a，b满足1a +4b=1，则a+b的最小值等于______．17.已知函数f(x)的对应关系如表所示：数列{a n}满足a1=3，a n+1=f(a n)，则a4=______，a2019=______．18.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．19.已知数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，则a1+a3+a5+⋯+a2n+1=______．20.已知a>0，b>0，不等式−b<1x<a的解集是______．21.已知a>b>0，则a2−4b2−ab的最小值是______．22.有穷数列{a n}(n∈N∗,n≤12)满足|a n+1−a n|=1，且a1，a4，a12成等比数列．若a1=1，a12=4，则满足条件的不同数列{a n}的个数为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）23.已知{a n}为等差数列，且a3=6，a6=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a4+a5，求{b n}的前n项和公式．24.已知函数f(x)=x2+ax−4．(Ⅰ)当a=3时，解不等式f(x)<0；(Ⅱ)若不等式f(x)+5>0的解集为R，求实数a的取值范围．25.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b5=81，a1=b1，a14=b4．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．26.已知二次函数f(x)=ax2+bx，f(−1)=−4，恒有f(x)≤6x+2.数列{a n}满足(n∈N∗)．a n+1=f(a n)，且0<a n<12(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)证明：数列{a n}单调递增；(Ⅲ)记πn i=1ai =a1a2…a n，若a1=13，求πn i=1(1−2a i).27.给定数列a1，a2，…，a n.对i=1，2，3，…，n−1，该数列前i项的最大值记为A i，后n−i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i−B i．(Ⅰ)设数列{a n}为3，4，7，1.写出d1，d2，d3的值；(Ⅱ)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明d1，d2，…，d n−1是等比数列；(Ⅲ)若d1=d2=⋯=d n−1=0，证明{a n}是常数列．2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试题参考答案1.【答案】A<0，得到(x−3)(x+2)<0【解析】解：∵x−3x+2即x−3>0且x+2<0解得：x>3且x<−2所以无解；或x−3<0且x+2>0，解得−2<x<3，所以不等式的解集为−2<x<3故选A本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．2.【答案】B【解析】解：数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，当n=1时，a2=a1+1=3，当n=2时，a3=a2+2=5，故选：B．直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】A【解析】解：对于A，当x=0时，x3=0，与x3>0矛盾；故A为假命题；对于B，由于正切函数值域为R，故∃x∈R，使tanx=2正确，故B为真命题；对于C，由于指数函数值域为(0,+∞)，故∀x∈R，2x>0正确，故C为真命题；对于D，当x=1时，使lg1=0，故∃x∈R，使lgx=0正确，故D为真命题．故选：A．对于全称命题，若为假命题，举反例即可，若为真命题，需证明；对于特称命题，若为真命题，举例即可，若为假命题，需要证明．根据含量词的命题判断方法逐一判断即可．本题考查了含量词的命题的真假的判断，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，∴{a n}的前5项和为：S5=5×(−1)+5×42×2=15．故选：C．等差数列{a n}中，由a1=−1，公差d=2，能求出{a n}的前5项和．本题考查等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab=2>1，故B不成立，1 a −1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．利用不等式的性质，作差法，举特例法，a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab =2>1，故B不成立，1a−1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．考查了不等式的性质，用了作差法，举特例法等数学方法，基础题．6.【答案】B【解析】解：由x2=4得x=2或x=−2，则“x2=4”是“x=2”成立的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．利用基本不等式需注意：各数必须是正数，而不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A，a2+b2≥2ab，所以A错；对于B，C，ab>0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，a+b<2√ab，1a +1b<ab，所以B，C错;对于D，因为ab>0，所以ba >0,ab>0，ba+ab≥2，当且仅当ba=ab时等号成立，所以D正确，故选D．8.【答案】A【解析】a1=−11,【分析】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．根据等差数列的性质化简a4+a6=−6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式S n，配方后即可得到Sn取最小值时n 的值．【解答】由a4+a6=2a5=−6，解得a5=−3，又a1=−11，∴a5=a1+4d=−11+4d=−3，解得d=2，则a n=−11+2(n−1)=2n−13，∴S n=n(a1+a n)2=n2−12n=(n−6)2−36，∴当n=6时，S n取最小值．故选：A．9.【答案】C【解析】解：函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0， 由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6， 当且仅当tanx =−3成立， 所以tanx +9tanx ≤−6， 故选：C ．函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0，由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6，得出结论．考查基本不等式的应用，基础题．10.【答案】C【解析】解：①当k =12时，a 1=12,a 2=2×(12)2=12，所以数列{a n }不是递减数列，①不正确； ②当0<k <12时，a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n<nn+1≤1，即a n+1<a n ，数列{a n }是递减数列，②正确；③当12<k <1时，an+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，则k <k(n+1)n<2k ，例如取k =78，则a 7=a 8且为最大项，③错误； ④a n+1a n =(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，当k1−k 为正整数时，1>k ≥12， 当k =12时，a 1=a 2>a 3>a 4>⋯…… 当12<k <1 时，令k1−k =m ，解得k =mm+1； 则a n+1a n =(n+1)k n+1nk n =k(n+1)n=(n+1)mn(m+1)，当n <m 时，a n+1a n>1，数列{a n }单调递增； 当n >m 时，a n+1a n<1，数列{a n }单调递减；当n =m 时，a n+1=a n ；所以数列{a n }必有两项相等的最大项；④正确； 故选：C ．直接用作商比较法计算a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，对k 的范围进行讨论，得到数列{a n }的单调性．本题考查数列的增减性，作商法比较大小，属于难题．11.【答案】A【解析】解：由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以m<−n<0<n<−m，故选：A．由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以由不等式的传递性得，m<−n<0<n<−m，得出结论．考查不等式的性质，不等式的传递性等，基础题．12.【答案】A【解析】解：由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6．∵公比q≠1，b i>0，∴b1+b11>2√b1b11=2b6，∴2a6>2b6，即a6>b6，故选：A．由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6，再由b1+b11>2√b1b11=2b6，从而得出结论．本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3①，则a n+2+a n+1=4n+7②，②−①得a n+2−a n=4(常数)，所以数列{a n}的奇数项和偶数项公差都为4的等差数列．由于a1=2，所以a1+a2=7，解得a2=5，所以a n={2n(n为奇数) 2n+1(n为偶数)．所以a1+a2020=2+2×2020+1=4043．故选：A．直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.【答案】∃x∈R，x2−1≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是：∃x∈R，x2−1≤0．故答案为：∃x∈R，x2−1≤0．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．15.【答案】2 5【解析】解：∵等比数列{a n}中8a2−a5=0，设首项为a1，∴a5a2=a1q4a1q=q3=8，∴q=2，∴由等比数列前n项和公式得：S4S2=a1(1−q4)1−qa1(1−q2)1−q=1−241−22=22+1=5，故答案为：2；5．利用递推式8a2−a5=0根据等比数列的定义得到公比q，设该数列首项为a1，利用前n 项和公式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．16.【答案】9【解析】解：若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a +4b)≥(1+2)2=9，当且仅当a=2b=9时，取等号，故答案为：9．若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a+4b)≥(1+2)2=9，得出结论．考查基本不等式的应用，本题用了柯西不等式，基础题．17.【答案】3 1【解析】解：由函数对应关系得a1=3，a2=f(a1)=f(3)=2，a3=f(a2)=f(2)=1，a4=f(a3)=f(1)=3，则a4=a1，则数列{a n}的周期是3，则a2019=a672×3+3=a3=1，故答案为：3，1根据函数与数列的对应关系，进行递推，得到数列{a n}是周期为3的周期数列，结合数列的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数与数列的综合，结合数列的递推关系，得到数列{a n}是周期为3的周期数列是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力．18.【答案】−1，−2，−3【解析】【分析】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．直接举例即可，本题答案不唯一．【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题，可设a，b，c的值依次−1，−2，−3，(答案不唯一)，故答案为−1，−2，−3．19.【答案】98−18⋅9n【解析】解：数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，可得n=1时，a1=4S1−3=4a1−3，即a1=1，当n≥2时，a n−1=4S n−1−3，又a n=4S n−3，两式相减可得a n−a n−1=4(S n−S n−1)=4a n，可得a n=−13a n−1，可得{a n}为首项为1，公比q为−13的等比数列，则a n=a1q n−1=(−13)n−1，可得a1，a3，a5，…，a2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n+1=1−19n+11−19=98−18⋅9n ．故答案为：98−18⋅9n ．运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，可得a n =(−13)n−1，可得a 1，a 3，a 5，…，a 2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．20.【答案】(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)【解析】解：∵−b <1x <a ， ∴1x +b >0且1x −a <0， ∵b >0，由1+bx x>0，解得x >0或x <−1b ；① 1x−a <0，得1−ax x<0⇔ax−1x>0，∵a >0，∴x >1a 或x <0；② 由①②得：x >1a 或x <−1b ；∴不等式−b <1x <a 的解集是(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)． 故答案为：(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)．在a >0，b >0的条件下将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0即可求得答案． 本题考查分式不等式组的解法，将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0是关键，也是难点，考查化归思想与分析运算的能力，属于中档题．21.【答案】8【解析】解：令t =ab −b 2>0，则a =tb +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立， 所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t ≥4t +4t ≥8，当且仅当t =1时成立， 故答案为：8令t =ab −b 2>0，则a =t b +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立，所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t≥4t +4t≥8，当且仅当t =1时成立．考查了基本不等式的应用，还用了换元法，中档题．22.【答案】176【解析】解：根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，∵a 1，a 4，a 12成等比数列．且a 1=1，a 12=4， 则a 4=±2， 分2种情况讨论： ①、若a 4=−2，在1≤n ≤3中，a n+1−a n =−1都成立，在4≤n ≤11中，有1个a n+1−a n =−1，7个a n+1−a n =1成立，则有C 81=8种情况，即有8个不同数列；②、若a 4=2，在1≤n ≤3中，有1个a n+1−a n =−1成立，2个a n+1−a n =1成立，有C 31=3种情况， 在4≤n ≤11中，有3个a n+1−a n =−1，5个a n+1−a n =1成立，有C 83=56种情况，则有3×56=168种情况，即有168个不同数列； 则一共有8+168=176个满足条件的不同数列． 故答案为：176．根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，由等比数列的性质求得a 4=±2，进而分2种情况讨论，分析由乘法原理计算可得每种情况的数列数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，涉及函数的定义以及函数值的计算，关键是将函数值的问题转化为排列、组合问题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵{a n }为等差数列，且a 3=6，a 6=0．∴{a 3=a 1+2d =6a 6=a 1+5d =0， 解得d =−2，a 1=10，∴a n =10+(n −1)×(−2)=−2n +12． (Ⅱ)∵等比数列{b n }满足b 1=3，b 2=a 4+a 5=(−8+12)+(−10+12)=6，∴q=6=2，3∴{b n}的前n项和公式为：S n=3(1−2n)=3×2n−3．1−2【解析】(Ⅰ)利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公差，由此能求出a n．(Ⅱ)求出等比数列{b n}的首项和公差，由此能求出{b n}的前n项和公式．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24.【答案】解：(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)<0，故不等式的解集为(−4,1)．(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，x2+ax+1>0在R上恒成立，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．【解析】(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)< 0，解出即可；(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．考查一元二次不等式的解法，恒成立问题，基础题．25.【答案】解：(Ⅰ){a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，且b2=3，b5=81，=27，即q=3，则b n=b2q n−2=3n−1；可得q3=b5b2=2，a1=b1=1，a14=b4=27，则d=a14−a114−1则a n=1+2(n−1)=2n−1：(Ⅱ)c n=a n b n=(2n−1)⋅3n−1，可得前n项和T n=1⋅30+3⋅31+5⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n−1，3T n=1⋅3+3⋅32+5⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n，两式相减可得−2T n=1+2(3+32+⋯+3n−1)−(2n−1)⋅3n−(2n−1)⋅3n，=1+2⋅3(1−3n−1)1−3化为T n =1+(n −1))⋅3n ．【解析】(Ⅰ){a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式；(Ⅱ)求得c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．26.【答案】解：(Ⅰ)f(−1)=a −b =−4，即b =a +4，因为f(x)=ax 2+bx ≤6x +2恒成立，即对任意x ，ax 2+(b −6)x −2≤0恒成立， 所以{a <0△=(b −6)2+8a ≤0b =a +4，整理得(a +2)2≤0，所以a =−2，b =2，则f(x)=−2x 2+2x ；(Ⅱ)证明：因为a n+1=f(a n )=−2a n 2+2a n ，所以a n+1−a n =−2a n 2+2a n −a n =−2a n 2+a n =−2(a n −14)2+18，因为0<a n <12(n ∈N ∗)，所以a n+1−a n ∈(0,18)，则a n+1>a n ，所以数列{a n }单调递增；(Ⅲ)因为a n+1=−2a n 2+2a n ，即a n+1−12=−2(a n −12)2，两边同时乘以−2，可得1−2a n+1=(1−2a n )2，两边取对数可得lg(1−2a n+1)=2lg(1−2a n )，则数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首项的等比数列，所以lg(1−2a n )=2n−1lg 13=lg(13)2n−1，则1−2a n =(13)2n−1，πni =1(1−2a i )=(1−2a 1)(1−2a 2)(1−2a 3)…(1−2a n )=(13)1+2+22+⋯+2n−1=(13)2n −1．【解析】(Ⅰ)根据f(−1)=−4可得a ，b 数量关系，再根据恒有f(x)≤6x +2.可求出a ，进而得f(x)解析式；(Ⅱ)利用二次函数验证a n+1−a n >0即可；(Ⅲ)先求出数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首相的等比数列，所以1−2a n =(13)2n−1，进而可求出πni =1(1−2a i )的值．本题考查数列与函数的综合运用，能判断出数列{lg(1−2a n )}是等比数列是关键，属于难题．27.【答案】解：(I)d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6；(II)证明：a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，所以a n =a 1q n−1，且数列为递增数列，所以当k =1，2，3，…，n −1时，d k =A k −B k =a k −a k+1，所以d kdk−1=a k−a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q ，所以d 1，d 2，…，d n−1是等比数列； (iii)若d 1=d 2=⋯=d n−1=0，由d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，① 若k =2，则a 1=a 2，若k >2，因为d k−1=0，所以A k−1=B k−1，即max{a 1,…,a k−1}=min{a k ,…,a n }=a k ， 又a 1=a k ，所以对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，② 由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ， 故a 1=a 2=⋯=a k ，因为d k =0，所以A k =B k ，所以a k =max{a 1,…,a k }=min{a k+1,…,a n }， 所以存在k′∈{k +1,k +2,…,n}，使得a k ′=a k ， 根据以上道理，可得故a k =⋯=a k ， 依此类推，故{a n }是常数列．【解析】(I)由d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6，得出结论；(II)根据题意得，d k =A k −B k =a k −a k+1，由d kd k−1=a k −a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q 为定值，得出结论；(III)先证明d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，①再证明对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，②由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ，故a 1=a 2=⋯=a k ，同理得出结论．本题是一道创新型数列题，结合等比数列的性质，考查了数学的逻辑推理能力和数学运算能力，难度较大，综合性强．。