高中数学必修2第二章 2.3 2.3.3课件PPT

【典例】(12分)(2011·黄冈高二检测)如图,在棱长为1的 正方体ABCD-A1B1C1D1中,以正方体的三条棱所在直线为轴建 立空间直角坐标系O-xyz. (1)若点P在线段BD1上,且满足3|BP|=|BD1|,试写出点P的坐 标,并写出P关于y轴的对称点P′的坐标; (2)在线段C1D上找一点M,使得点M到点 P的距离最小,求出点M的坐标.
空间中两点间距离的计算
空间中两点间距离 利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤： (1)建立适当的坐标系,并写出相关点的坐标; (2)代入空间两点间的距离公式求值.
建系时尽量使较多的点落在坐标轴上.
【例1】如图,已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a,M为BD′ 的中点,点N在A′C′上,且|A′N| =3|NC′|,试求MN的长. 【审题指导】解答本题的关键是先建立适当的坐标系,并把 M、N两点的坐标表示出来;由于M为BD′的中点,故只要求 出B、D′两点的坐标便可,又|A′N|=3|NC′|,所以N为A′C′的 四等分点,从而借助几何关系及A′、C′两点的坐标便可求出 N点的坐标.
O′C′的中点,故 N(a根, 3据a ,空a),间两点距离公式,可得
44

MN ( a a )2 ( a 3a )2 ( a a)2 6 a.
24 2 4 2
4
空间中两点间距离公式的应用
空间中两点间的距离公式 (1)空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离 公式的进一步推广.①当空间中的任意两点P1，P2落在同一 坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化 为平面直角坐标系中的两点间的距离公式；②当空间中的 任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴 上两点间的距离公式.

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线P A在平面α上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围[0°，90°]有直线”“无数条直线”？[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．45°[如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[证明]设圆O所在的平面为α，∵P A⊥α，且BM⊂α，∴P A⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM. 由于直线P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM，而AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故A N⊥平面PBM.直线与平面所成的角[探究问题]1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？[提示]需要P A⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？[提示]在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[证明](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ， ∴∠A 1BO＝30°，即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.在本例正方体中，若E 为棱AB 的中点，求直线B 1E 与平面BB 1D 1D所成角的正切值．[解] 连接AC 交BD 于点O ，过E 作EO 1∥AC 交BD 于点O 1，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴EO 1⊥平面BB 1D 1D ，∴B 1O 1是B 1E 在平面BB 1D 1D 内的射影， ∴∠EB 1O 1为B 1E 与平面BB 1D 1D 所成的角． 设正方体的棱长为a ， ∵E 是AB 的中点，EO 1∥AC ， ∴O 1是BO 的中点，∴EO 1＝12AO ＝12×2a 2＝2a4， B 1O 1＝BO 21＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 42＋a 2＝3a 22， ∴tan ∠EB 1O 1＝EO 1B 1O 1＝2a 43a 22＝13.求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．1．线线垂直和线面垂直的相互转化：2．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直A[若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m 不可能平行．]2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定A[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选A.]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. [证明]如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.。

得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.
微练习
原点到直线x+2y-5=0的距离为(
B. 3
A.1
解析 d=
|-5|
12 +22
)
C.2
D. 5
= 5.
答案 D
微思考
点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?
提示 到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的
(方法 2)∵直线 x=2 与 y 轴平行,
∴由图知 d=|-1-2|=3.
=3.
|-1×0+2-1|
(3)(方法 1)由点到直线的距离公式,得 d=
02 +12
=1.
(方法 2)∵直线 y-1=0 与 x 轴平行,
∴由图知 d=|2-1|=1.
反思感悟 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线
方法总结
解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离
相等的点的直线有两条(三定点不共线),根据这两条直线的几何特征可求
出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,
且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数
对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.
微练习
两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为(
1
A.
2
3
B.
5
解析 l2 的方程可化为
d=
7
2
-1+
32 +(-4)2

难点 ➢如何度量二面角的大小。
二面角
从一条直线引出的两个半平面所组成的 图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。
注:面内的一条
QB
直线，把这个平面分 β
成两部分，每 一部
P
分都叫做半平面。
lα
A
二面角的记法
用面1－棱－面2表示一个二面角 下图二面角记做 二面角α-l-β，或二面角α-AB-β。
新课导入
修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使 水坝面与水平面成一定的角度。
砌墙时，要保证墙面与地面垂直。
A
C
B
D
教室的门打开时与墙 面成一定的角度。
书本展开时两页直面 成一定的角度。
2.3.2 平面与平面垂直的判定
教学目标
知识与能力
➢使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角 的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相 垂直”的概念。 ➢使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单 的应用。
思 考 当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多 少度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角 的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值 范围如何？
二面角为0°
二面角为90°
二面角的取值范围是[0, 2 ]。
两个平面互相垂直
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
若两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
B
OA
l
二面角的平面角必须满足： 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
是二面角
A
O B
不是二面角
二面角的平面角用来度量二面角的大小，二 面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
D1
C1
D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
A1
B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直 A
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
P
定理
即:线射垂直
线斜垂直
O α
a
A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线

∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,
∴ | 3 a | = | 3 b | = | 1 5 | ,
32 (1)2 32 (1)2 12 32
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
夹在两条平行直线间的公垂线 段的长
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
| Ax0 By0 C | A2 B2
间的距离d=②
| C1 C2 | A2 B2
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 b | . ( ✕ )
1 k2
提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 y0 b | .
解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间
的距离,则 | 5 1| =
32 42
|d 32

2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．

2．已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋
z2＝r2表示什么图形？
提示：由 x2＋y2＋z2为点 P 到坐标原点的距离，结合 x2＋y2＋z2＝r2 知点 P 到原点的距离为定值|r|. 因此 r≠0 时，x2＋y2＋z2＝r2 表示以原点为球心，|r|为 半径的球面． 当 r＝0 时，x2＋y2＋z2＝0 表示原点．
[研一题]
[例1] 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
|AD|＝3，|CD|＝4，|DD1|＝2，作DE⊥AC于E，求点 B1到点E的距离．
[自主解答]
建立如图所示的空间直
角坐标系，由题意，得 A(3,0,0)，C(0,4,0)， B1(3,4,2)，设 E(x，y,0)． 在 Rt△ADC 中，|AD|＝3，|CD|＝4，|AC|＝5， 12 ∴|DE|＝ . 5
5a2－10a＋50 5a－12＋45.
∴当 a＝1 时，|MP|取最小值 3 5， 此时 M(1,2 ,0)． ∴M 坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为 3 5.
[悟一法] 确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已 知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标，另一
类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离
法二： 由它们的竖坐标都为 3 可知， 此三点在平行于 xOy 平面的一个平面内， 故只考虑该平面内的边长情况即可． |AB|＝ －1－22＋2＋22＝5. |BC|＝ |AC|＝ 12 5 2 3 10 2－ ＋－2－ ＝ ， 2 2 2 12 52 10 －1－ ＋2－ ＝ . 2 2 2
∴|MN|＝
2 2 2 2 2 2 a－ a ＋0－ a ＋1－ a－02 2 2 2 2

1.圆的标准方程为：__(x__a_)2 _ _( y__b)_2 _ _r2__
圆心为_（__a,_b_) ___半径为__r____
2.圆的一般方程：
x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)
圆心为 ( D , E ) 半径为 1 D2 E2 4F
22
2
.
3.点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0
提示：(1)相离 (2)相切 (3)相交 问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直 线与圆有几种位置关系？
提示：3种，分别是相交、相切、相离． 问题3：如何判断直线与圆的位置关系？
提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交； （2）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切； （3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
x2 y2 1 4
②
由①可知
y 3 x 5 44
，代入②中
得 x2 ( 3 x 5)2 1 ，化简得 25x2 30x 21 0
44 4
得到=（-30）2 4 25 21 1200 0
则直线与圆相离
回顾我们前面提出的问题：如何用直线和圆 的方程判断它们之间的位置关系？
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
例1、如图，已知直线l：3x y 6 0 和圆心为C的 圆 x2 y2 2y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；
分析：根据圆心到直线的距离与半径长的关系， 判断直线与圆的位置关系（几何法）；
解法一：圆 x2 y2 2y 4 0可化为 x2 ( y 1)2 5.
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5，点C （0，1）到直

2.3.3直线和圆的位置关系【目标要求】（1）掌握直线和圆的三种位置关系． （2）掌握圆的切线的求法． 【巩固教材——稳扎马步】1． 圆(x -3)2+(y -3)2=9上到直线34110x y +-=距离等于1的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．直线y =kx +1与圆2x +2y +kx -y -9=0的两个交点关于y 轴对称，则k 为( )A ．－1B ．0C ．1D ．任何实数3．圆x y x y 224690+-++=的各点中，到直线x y -+=20距离最远的点的坐标是( )A ．(23---B ．()22322+--，C ．(23+-+D ．(23-+4．过A （5,-7）的圆2225x y +=的切线方程是（ ）A ．12351850x y +-=B ．58250x y --=C ．123518505x y x ++==或D ．12351850x y +±= 【重难突破——重拳出击】5.已知点()1,2P 和圆C ：22220x y kx y k ++++=过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是（ ）A ．R k ∈B ．k ＜3 C ．3-＜k ＜0 D ．3-＜k ＜36．圆2224200x y x y +-+-=截直线5120x y c -+= 所得的弦长为8，则c 的值是（ ） A ．10 B ．10或-68 C ．5或-34 D ．-687．曲线[]12,2y =+∈-与直线()24y k x =-+有两个交点时,实数k 的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦8．圆222x y r +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是4，则r 的值（ ）A ．3B ．2C ．1D ．±19．M （00,)x y 为圆222(0)x y a a +=>内异于圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系为 （ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交10．已知实数,x y 满足250,x y ++=（ ）A B C ．D ．11．若关于x 320kx k -+=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．53,124⎛⎤⎥⎝⎦12．已知点),(b a M （0≠ab ）是圆C ：222r y x =+内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l '的方程是2r by ax =+，那么 （ ） A ．l ∥l '且l '与圆C 相离B ．l ⊥l '且l '与圆C 相离 C ．l ∥l '且l '与圆C 相切D ．l ⊥l '且l '与圆C 相切【巩固提高——登峰揽月】13. 过圆222r y x =+外一点()00y x M ，，作这个圆的两条切线MA ．MB ，切点分别是A ．B ，求直线AB 的方程（直线AB 称作切点弦）．14. 已知圆22262(1)102240()x y mx m y m m m R +---+--=∈（1）求证：不论m 为何值，圆心在同一条直线上； （2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离； 【课外拓展——超越自我】15.设有半径为3km 的圆形村落，A ．B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设A ．B 两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？2.3.3直线和圆的位置关系【巩固教材——稳扎马步】 1．C 2． B 3．B 4．C 【重难突破——重拳出击】5．D 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A 11．D 12．A 【巩固提高——登峰揽月】13．解：如图所示，设切点A 的坐标为()11y x ，，切点B 的坐标为()22y x ，． 因为圆的方程是222r y x =+ ①所以过圆上一点()11y x A ，所作的切线的方程为211r y y x x =+ ②由于()00y x M ，在直线AM 上，所以20101r y y x x =+ ③同理，根据点M 在切线BM 上，得20202r y y x x =+ ④③④表明，点()11y x A ，和点()22y x B ，都在下面的直线上200r y y x x =+ ⑤因为过两点只有一条直线，所以⑤就是直线AB 的方程．即点M 的切点弦方程为：200r y y x x =+．14．解：（1）将圆的方程配方得：22(3)[(1)]25x m y m -+--=。

= 2 2 − 2 = 8 ⇒ 25 − 2 = 4 ⇒= 3，当直线的斜率不存
已知圆E经过点(−1,2), (6,3)，且_____________
（i）求圆的方程；
（ii）已知直线经过点(-2,2)，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线
的方程.
（i）设圆的方程为 2 + 2 + + + = 0，依题意有
5 − + 2 + = 0,
易知圆心到直线y=x的距离 =
所以切线长的最小值为
2
3 2
，
2
− 2
=
3 2 2
( )
2
−(
2)2
=
10
，故选C.
2
探究点三 直线和圆相交
例
（1） 求直线: 3 + − 6 = 0被圆: 2 + 2 − 2 − 4 = 0截得的弦的长.
3 + − 6 = 0
2 − 3 + 2 = 0，解得交点
D. 相离
[解析] 圆 2 + 2 = 1的圆心为(0,0)，半径 = 1.
因为圆心(0,0)到直线 − 2 − 1 = 0的距离 =
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
|0−0−1|
12 +(−2)2
=
5
＜1，
5
（2） （多选）已知圆: ( + cos)2 + ( − sin)2 = 1，直线: = .下
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为，
则切线方程为 + 3 = ( − 4)，即 − − 4 − 3 = 0.
设圆的圆心为，则(3,1)，因为圆心到切线的距离等于半径1，

＝ 22sin
π 4
−
x
+
π 3
＝ 22sin
7π − x
12
.
题型 2 利用辅助角研究三角函数的性质 例2 (1)已知函数f(x)＝sin x＋a cos x，当x＝π4时，f(x)取得最大值， 则a的值为( )
A．－ 3
B．－1
C．1
D． 3
答案：C
解析：由题设，f(x)＝ 1 + a2sin (x＋φ)且tan φ＝a，
π 3
−
cos
x
sin
π 3
＝2sin
x
−
π 3
.
(2) 42sin
π−x
4
+ 46cos
π−x
4
.
解析： 42sin
π 4
−
x
+ 46cos
π 4
−
x
＝
2 4
sin
π−x
4
+
3 cos π − x
4
＝ 42×2 sin
π−x
4
· 1 + cos
2
π−x
4
·3
2
＝
2 2
sin
π−x
4
cos π + cos
x−π
4
＝45.
4．化简：cos x＋sin x＝_2_s_in__x +__π4 ___．
解析：根据两角和的正弦公式，可得：cos x＋sin x＝
2·
2 2
cos
x
+
2 2
sin
x
＝
2·sin
π 4
cos

解： (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA. ∵△PCD为正三角形， ∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝ 3. ∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD. 又AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM. ∵四边形ABCD是矩形， ∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形． 由勾股定理可求得EM＝ 3，AM＝ 6，AE＝3， ∴EM2＋AM2＝AE2，∴AM⊥EM. ∵PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.
图 2-3-55 证明：过点 A 作 AE⊥PB，垂足为 E， ∵平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC＝PB，∴AE⊥平面 PBC. ∵BC⊂平面 PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面 PAB.
第二十四页，共28页。
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D -ABC 的体积．
图 2-3-18
第十五页，共28页。
2.3.4 │ 考点(kǎo diǎn)类析
解：(1)证明：在图(a)中，可得 AC＝BC＝2 2，从而 AC 2 ＋BC 2＝AB 2，故 AC⊥BC.因为平面 ADC⊥平面 ABC，平面
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
当堂自测
1．已知直线 b⊥平面 α，直线 a⊂α，则 a 与 b 的位置关系 是( )
A．a∥b B．a⊥b C．a 与 b 垂直相交 D．a 与 b 垂直且异面 [答案]B
第二十五页，共28页。
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
2．已知平面 α，β，直线 l，若 α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B．垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C．垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D．垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直

4(b 2)(b 2)
当-2<b<2时， >0,方程组有两组不同实 数解，直线与圆有两个公共点。
当b=2或b=-2时， =0，方程组有两组相 同实数解，直线与圆只有一个公共点。
当b<-2或b>2时， <0,方程组没有实 数解，因此直线与圆没有公共点。
以上就是直线与圆相交、相切、相离的 三种情况
3.圆的一般方程：
_x_2_+__y_2_+_D__x_+_E__y_+_F_=__0_(_其__中__D_2_+__E_2_-___
4F>0) ( D , E )
圆心为 2 半2径为
1 D2 E2 4F 2
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点；
圆心坐标是（１，０），半径长 r=1． 圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是
d
|
3
0
2
|
1
5
因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．
③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: x2 y2－2y 4 0 试判断直线L与圆
Ｃ有无公共点，有几个公共点．
解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r= 5 ，圆心
的距离d= | 0 0 50 | = 10 5
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。
圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=
3x
4y
，
0
得
x 8
y
6
切点坐标是（８，－６）
②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 x2 y2－2x 0 的

A .1 B .1 C .1 D .1 1 6 8 4 2
35
【思路导引】利用回归直线方程必过样本点的中心求解.
【解析】选B.依题意可知样本点的中心为 ( 3 , ，3 )
48
则3
8
= 1×
3
+3
4
，a 解得
=a .
1 8Βιβλιοθήκη 36【拓展延伸】相关关系的强弱
(1)若相应于变量x的取值xi，变量y的观测值为yi(1≤i≤n)，称r=
6
(2)你能举例说明你对正相关与负相关的理解吗？ 提示：随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性 的相关关系，我们称为正相关.例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少 变多. 随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关 关系，我们称为负相关.例如，汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程就 越短.
n
n
x i2，
xi y，i
i1
i1
30
(5)代入公式计算
b ，a，公式为
n
x iyi n x y
b
i1
n
x
2 i
n
x
2
i1
，
a y b x .
(6)写出回归直线方程 = x+ .
yb a
31
【跟踪训练】 已知变量x，y有如下对应数据：
x1234 y1345
(1)作出散点图. (2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程.
42
【思路导引】(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标， 在平面直角坐标系内画散点图. (2)应用计算公式求得线性相关系数 bˆ ， aˆ 的值. (3)实际上就是求当x=100时，对应的 yˆ 的值.

第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
学习任务目标
1．掌握点到直线的距离公式．(直观想象)
2．能用公式求点到直线的距离．(数学运算)
任务型课堂
课后素养评价
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
01
问题式预习
任务型课堂
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应先化为一般式．
(2)点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于
直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可数形结合求解．
2.3.3 点到直线的距离公式
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
任务二 点到直线的距离公式的应用
1
31
1
31
≤ ≤ ，所以的取值范围是 ， .
3
3
3
3
3−4×4
32 +
−4
2
＝
≤ 3－16 ≤ 15，解得
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．设直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点为A，则点
A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离的最大值为(
02
任务型课堂
任务一 点到直线的距离
任务二 点到直线的距离公式的应用
任务三 对称问题
任务型课堂
课后素养评价
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
任务一 点到直线的距离

如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一 点，过点A如何作出二面角α-l-β的平面 角？
方法1

A O
由定义知：过A作 AO l 交l于O,在面β内作 OB l 则∠AOB为所求的角。
l
B

----“定义法”
3、二面角的平面角的求法:
如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一 点，过点A如何作出二面角α-l-β的平面 角？
D
A O B
C
练习：指出下图中的二面角的平面角：
A, B l

B D O A’ D A B
二面角A--BC--D

B D’
A
AC BD C
AC⊥l BD ⊥l A
l
D
C’
B’ O C
E
O
C
二面角--l--
二面角B--B’C--A
例2:如图,已知P是二面角 AB 棱上一 点，过P分别在 、 内引射线PM、PN， 且∠MPN=600，∠BPM =∠BPN =450， 求此二面角的度数。
l
B
A
F B D
E
二面角－ l－

C
二面角C－AB－ E
上述变化过程中图形在变化，形成 的“角度”的大小如何来确定 ？
二、二面角的平面角:
1、二面角的平面角的定义： 定义一： 以二面角的棱上任意 O 。 1 一点为端点，在两个半平 面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。
如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C， 连OB、OC，则∠ABC=45°∠ABO=30°，∠ACO 就是所求二面角的平面角。
α A B