高中数学必修3全册(人教A版).ppt

0.16
0.08 0.12 0.08 0.04 0.3 0.5 0.44
有数无形欠直观, 在频率直 有形无数难入微 方图中，
0.28
12%
3.5 4 4.5
0 .1
0
各小矩形 的面积的 总和等于1
0.5
1
1.5
2
2 .5
3
88%
月均用水量/t
探究：
同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位 不同，得到的图的形状也会不同。不同的形状给人以不 同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断。观 察分别以1和0.1为组距的图象，谈谈你对图的印象。
0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 o 90 100 110 120 130 140 150
次数
频率＝ 频数
第二小组频数 12 样本容量 150 样本容量 第二小组频率 0.08
频率分布折线图.
频率/组距 (取各小长方形上端中点, 并连线 )
0.6 0.5 0.4 0.3
0.3
0.16 0.12 0.08 0.04 0.28 0.5 0.44
0.2
0.1 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
利用样本频分布对总体分布进行相应估计 用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， （1）样本容量越大，这种估计越精确。 一般样本容量越大，频率分布直方图就会越接 （2）当样本容量无限增大,组距无限缩小,那么相应的 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分 频率折线图会无限接近于一条光滑曲线 ———总体密度曲线 布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内 取值百分比。 （3）总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百

7．用辗转相除法求 108 与 45 的最大公约数，再用更相 减损术验证．
[解析] 辗转相除法：108＝45×2＋18， 45＝18×2＋9， 18＝9×2＋0， 所以 108 与 45 的最大公约数为 9. 更相减损术：因为 108 与 45 不都是偶数，
所以 108－45＝63， 63－45＝18， 45－18＝27， 27－18＝9， 18－9＝9， 所以 108 与 45 的最大公约数为 9.
[分析] 将 80 作为大数，36 作为小数，执行辗转相除法 和更相减损术的步骤即可．
[解析] 用辗转相除法： 80＝36×2＋8， 36＝8×4＋4， 8＝4×2＋0. 故 80 和 36 的最大公约数是 4.
用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故 80 和 36 的最大公约数是 4.
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”．它形成了一类 问题，也就是初等数论中解同余式．这类问题的有解条件和 解题方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出 的．
在本节中我们将通过一些典型的算法案例，来体会我国 古代数学的伟大成就和显著特色．
自主预习 阅读教材 P34－39，回答下列问题： 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数 m，n. 第二步，计算 m 除以 n 所得的余数 r.
行结果是________．
i＝1 s＝1 WHILE i<＝4 s＝s*x＋1 i＝i＋1 WEND PRINT s END
[答案] 31
[解析] s＝1×2＋1＝3 时，i＝1＋1＝2；s＝3×2＋1＝7 时，i＝2＋1＝3；s＝7×2＋1＝15 时，i＝3＋1＝4，所以 s＝ 31.

解 (1)先考虑甲有 A13种站法，再考虑其余 6 人全排，故不同站法总数为：A13A66 ＝2 160(种)．
(2)2 名女生站在一起有站法 A22种，视为一种元素与其余 5 人全排，有 A66种排法， 故不同站法总数为：A22·A66＝1 440(种)．
(3)先站老师和女生，有站法 A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入 男生，每空一人，则插入方法 A44种，故不同站法总数为 A33·A44＝144(种)．
()
4．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有_____ 种．
答案 120
解析 利用排列的概念可知不同的分配方法有 A55＝120 种． 5．已知 A2n＝7A2n－4，则 n 的值为____________.
答案 7 解析 由排列数公式，得 n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n∈N*，∴3n2－31n＋70＝0， 解得 n＝7 或 n＝130(舍)．
第六章
6.2 排列与组合
6.2.2 排列数
计数原理
课程内容标准
学科素养凝练
1．会用排列数公式进行求值和证明． 2．掌握一些排列问题的常用解决方 法，能应用排列知识解决简单的实际 问题.
在学习排列数、排列数公式及应用的 过程中，强化数学抽象、数学建模、 数学运算的核心素养.
课前 预习案
排列数及排列数公式 1．排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的___所__有__不__同__排__列__的__个__数__，
(4)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种，而由高到低有从左到 右和从右到左的不同，故不同站法总数为：2·AA7744＝420(种)．
[方法总结] 解决排队问题时的方法 (1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的束缚 条件时，往往根据其中的一个条件分类处理． (2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元 素．有两个以上的束缚条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素． (3)对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将要相邻的元素捆绑作为一个整体，和 余下的元素按照要求进行排列，最后解捆． (4)对于不相邻问题可以采用插空的方法，先将不相邻的元素拿出来，余下的元 素按要求排列，找满足要求的空，再将不相邻的元素排入． (5)对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．

2 5
1 6
第二种三块区域圆心 角之比为1:2:3;
1 4
第三种圆盘两圆的半 径之比为1:2
[情境二] 问题1:在区间[0，9]上任取一个整数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 2
5
问题2:在区间[0，9]上任取一个实数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 1
3
探究:
请问飞镖射中靶心A（看成一个点）的 概率是多少?
中国刑法第三百零三条规定:以营利为目的,聚众 赌博或者以赌博为业的,处三年以下有期徒刑、拘役 或者管制,并处罚金;“开设赌场的,处三年以下有期徒 刑、拘役或者管制,并处罚金;情节严重的,处三年以 上十年以下有期徒刑,并处罚金.
复习提问：
1、古典概型的两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2、计算古典概型的公式:
几何概型的概率计算公式：
构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 、弧度、角度、面积、 体积）
例1：取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意
A包含基本事件的个数 公式：P( A) 基本事件的总数
创设情境：
情境一:摸球游戏：袋子中有分别写有1 号、2号、3号、4号、5号的5个球, 问题:随机抽取一个抽到1号的概率是多 1 少? 5 上述情景改为如图所示，问 1 5 题:圆盘中指针指到到1号的 4 2 概率是多少? 3
注:五个扇形区域面 积相同;
解:设A={等待的时间不多于10分钟}. 所求的事件A恰好是打开收音机时的 时刻位于[50,60]时间段内。 因此由几何概型的概率公式得

割圆术
圆周率的历史
The history of PI
无论怎样改变
车轮的大小， π
周长/直径 = K
实测法
工具：细线、直尺
任务：测量3个圆片的周长和直径， 并求出它们的比值。
历史纪实
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邢云路
邢云路是中国明代天文学家， 著有《古今履历考》72卷，他通过 36年冬至时刻的实测工作，算出了 回归年长度值为365.24219日，与 理论值之差仅为2秒，是中国古代、 亦是当今世界上的最佳值。
刘徽的割圆术
圆
正六边形
正十二边形
用内接正多边形的面积无限逼近圆的面积
割圆术
E
H
A
B
F
1
O
割圆术
E
A
x2n
设圆内接正n边形边长为 xn ,面积为 Sn ，
你能表示出圆内接正2n边形的面积 S2n吗？
hn
1
xn 2
2
x2n
xn 2
2
1
hn
2
S2n
Sn
n
1 2
xn (1
hn )
割圆术 用圆的外切正多边形的面积逼近圆的面积
割圆术
平面图形的面积为： S6 2 S12 S6
Sn 2S2n Sn S2n S2n Sn
小结
化圆为方 内外夹逼
谢谢观看
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。书籍是在时代的波涛中航行的思想之船，它小 心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。好的书籍是最贵重的珍宝是唯一不死的东西。书籍使人们成为宇宙的主人。书中横卧着整个过去的灵书不仅是生活，而且 是现在、过去和未来文化生活的源泉。书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发 性的养料。而阅读，则正是这种养料。不敢妄为些子事，只因曾读数行书。只是对于一件事情很长时间很热心地去考虑罢了。只要愿意学习，就一定能够学会一个爱 书的人，他必定不致缺少一个忠实的朋友一个良好的导师一个可爱的伴侣一个优婉的安慰者。读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书如吃饭，善吃者长精神，不善 吃者长疾瘤。读书不趁早，后来徒悔懊。 读书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处。 读书何所求?将以通事理。伟大的成绩和辛勤劳动是成正比例的，有 一分劳动就有一分收获，日积月累，从少到多，奇迹就可以创造出来。敏而好学，不耻下问。不学，则不明古道，而能政治太平者未之有也。 若不抽出时间来创造 自己想要的生活，你最终将不得不花费大量的时间来应付自己不想要的生活。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在 社会的底层。身后还有那么多期许的目光，怎么可以轻易放弃。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起 希望的意志。生活呆以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可以胜利，也可以失败，但你不能屈服。 人生四然：来是偶然，去是必然，尽其当然，顺其自 然。人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。人生最精彩的不是实现梦想的一瞬间，而是坚持梦想的过程。人与人之间的差距，是天生 就这么大，还是因为不能狠下心来逼自己日出东海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不钻牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。如果你坚信自己最优秀，那么你就最聪明。 如果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。头脑是日用品，而不是装饰品。我要的未来，要靠我自己去拼。想成功就要和成功者的思想、脚步和时间重 叠。想干的人永远在找方法，不想干的人永远在找理由。要感谢痛苦与挫折，它是我们的功课，我们要从中训练，然后突破，这样才能真正解脱。要纠正别人之前， 先反省自己有没有犯错。 也许终点只有绝望和失败，但这绝不是停止前行的理由。一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少。一个人只有亲眼看 到自己伤疤的时候才知道什么是痛，什么是对与错。一个一味沉溺于往事的人，是不能张开双臂去拥抱今天的。一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。这样心无 压力，出来的结果反而会更好有人说，世界上最美的是梦，最长的是路；最易做的是梦，最难走的是路。愿你像那石灰，别人越是浇你冷水，你越是沸腾。真正懂得 微笑的人，总是容易获得比别人更多的机会。如果缺少破土面出并与风雪拼搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。生活会辜负努力的人，但不会一直辜负努力 的人。失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真正放下了，才知道它的沉 重。实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。13.在我们的生活中，如果没有了书 籍，就好像小鸟在天空中飞翔时断了翅膀一样，永远不能前进。战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要像和风一样温柔。站起来的次数能够比跌倒的次数多一 次，你就是强者。真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。真正的强者不是没有眼泪的人，而是含着眼泪奔跑的人。只会幻想而不行动的人，永 远也体会不到收获果实时的喜悦。志坚智达言信行果，失败的尽头是成功努力的终点是辉煌。志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中竹根 ——即使被埋 在地下无人得见，也决然不会停止探索而力争冒出新笋。总要有一个人要赢，为什么不能是我。最坚固的捆绑是习惯。最可怕的不是有人比你优秀，而是比你优秀的 人还比你更努力。最有希望的成功者，并不是才干出众的人而是那些最善利用每一时机去发掘开拓的人。昨天如影——记住你昨天的挫折和失败的教训；今天如画— —美好的生活、快乐和幸福的人生要靠你自己去描绘；明天如梦——珍惜今天,选择好自己的目标，努力地为自己的明天去寻求和拼搏。不曾扬帆，何以至远方。不 论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。不要 盘算太多，要顺其自然。该是你的终会得到。成功也就不会太远了。趁着年轻，不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的 聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。成功的法则极为简单，但简单并不代表容易。成功的秘诀就是每天都比别人多努力一点。生命如自助餐厅，要吃什么菜自 己选择。生命像流水，这些不快的事总要过去，如果注定一辈子要这么过，再不开心也没有用。如果你看到前面的阴影，别怕，那是因为你背后有阳光。如果为了安 全而不和大海在一起，船就失去了存在的意义。山高路遥不足惧，最怕贪图安逸心。少壮不努力，老大徒伤悲。犹如一条船 ,每人都要有掌舵的准备。生活对于智者 永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。金钱难买健康，健康大于金钱，金钱难买幸福，幸福必有健康，生命的幸福不在名利在健康，身体的强壮不在金钱在 运动！尽管人生有那么多的徒劳无功，梦想，我还是要一次次全力以赴。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。就算全世界都说我漂亮，但你却说我不漂 亮，那么我就是不漂亮。可怕的是，比你优秀的人比你还要努力。空谈不如实干。踱步何不向前行。

x
x 6.5 rand() y 7 rand()
设随机模拟的试验次数为 ，其中父亲得到报纸 的次数为 （即为满足y x 的试验次数），则由 古典概型的知识可得，可以由频率近似的代替概率，
n
a
n 所以有： p ( A) a
随机模拟
例2：在如右图所示的正方形 盘子中随机的撒一把豆子， 计算落在圆中得豆子数与落 在正方形中的豆子数之比并 依此估计圆周率的值。
例1：假如你家订了一 份报纸，送报人可能在 早上6：30~7：30之间 把报纸送到你家，你父 亲离开家去工作的时间 是在早上7：00~8：00， 问你父亲在离开家前能 得到报纸（称为事件A） 的概率是多少？
想一想：你
能设计一个 随机模拟的 方法来求它 的概率吗？ 分析：我们有两种方法计 算该事件的概率： (1)利用几何概型的公式； (2)用随机模拟的方法．
解：方法一（几何概型法）
设送报人送报纸的时间为 x ， 父亲离家的时间为 y ，由题义可得父 亲要想得到报纸，则 x与 y 应该满足 的条件为：
6.5 x 7.5 7 y 8 yx
画出图像如右图所示，
由题义可得符合几何概 型的条件，所以由几何 概型的知识可得：
y
父 离 时 亲 家 间 y=x
M (a, b) ，求出满足 a 2 b 2 1 的点 (3)构造点
的个数 M (a, b) 的个数
m，则可得：
4m . n
模拟试验
例3：利用随机模拟方法计算 右图中阴影部分（由 y 1 2 和 y x 所围成的部分）的 面积． 想一想：你 能设计一个 随机模拟的 方法来估计 阴影部分的 面积吗？
线 x 1, y 1, y 0 围成的的矩形的面积为2， 利用随机模拟的方法可以得到落在 阴影部分内的点与落在矩形内的点 数之比，再用几何概型公式就可以 估计出阴影部分的面积．

观察类比、推导公式
实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等， P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”） 由概率的加法公式，得 P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝ 因此
1 2 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝
1
即
1 “出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 P （“出现正面朝上”)＝ ＝ 2 基本事件的总数
1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
解:(1)把两个骰子标上记号1、2以便区分，可能结果有：
1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
6
进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验 中任何一个事件的概率，例如， P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4 点”） 3 1 ＋P（“6点”） 1 1 1 ＝ 6 + 6 + 6 = 6 = 6
3 P （“出现偶数点”）＝ 即 6 “出现偶数点”所包含的基本事件的个数 = 基本事件的总数
基本事件的特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件(除不可能事件)都可以表 示成基本事件的和。
例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不 同字母的试验中，有哪些基本事件？ 解：所求的基本事件共有6个： A={a, b} B={a, c} C={a, d} D={b, c} E={b, d} F={c, d}

新课标导 学
数 学
必修③ ·人教 A版
第一章
算法初步
1．2 基本算法语句
1．2. 3 循环语句
1 2 3
自主预习 学 案 互动探究 学 案 课时作业 学 案
自主预习学案
• 循环是计算机解题的一个重要特征．由于 计算机运算速度快，最适宜做重复性质的 工作，所以当我们在进行程序设计时，总 是要把复杂的、不易理解的求解过程转换 为容易理解的、可操作的、多次重复的求 解过程．这样一方面降低了问题的复杂程 度，另一方面也减少了程序书写及输入的 工作量，同时也可以充分发挥计算机运算 速度快且可自动执行程序的优势．
[ 解析] 程序如下： S＝1 i＝2 DO S＝S*i i＝i＋2 LOOP UNTIL i>100 PRINT S END
• 『规律总结』 UNTIL语句的适用类型及 执行方式
〔跟踪练习1〕 导学号 93750192 下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为( A．i>20 C．i>＝20 B．i<20 D．i<＝20
[ 错解] 程序如下： S＝5 000 i ＝0 WHILE S<40 000 S＝S*1＋0.1 i＝i＋1 WEND PRINT i END
• [辨析] 错解中的循环求出的S不是总销量
，而是每年的年销量．
• 用“m＝m*(1＋0. 1)”表示累乘，求出每
m＝5000 年销量；用 “S＝S＋m”表示累加，求出 S＝0 i＝0 总销量． WHILE S<40000 S＝S＋ [正解 ]m 程序如下： m＝m*1＋0.1 i＝i＋1 WEND PRINT i END
[ 解析] 程序如下： i＝2 p＝0 DO p＝p＋i i＝i＋2 LOOP UNTIL i>99 PRINT P END

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Z 知识梳理 HISHISHULI
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
(4)对立事件.
定义
若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,则称事件 A 与事 件 B 互为对立事件
符号 A∩B=⌀,A∪B=Ω
图示
归纳总结1.对立事件的特征:在一次试验中,不会同时发生,且必 有一个事件发生.
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Z 知识梳理 HISHISHULI
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
事件的关系及运算 【例2】 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件 A={3个球中有1个红球、2个白球},事件B={3个球中有2个红球、1 个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有 红球又有白球}. (1)事件D与A,B是什么运算关系? (2)事件C与A的交事件是什么事件? 分析:根据事件运算的定义解题,对于事件C和事件D需列出其包 含的所有结果. 解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、 1个白球,故D=A∪B. (2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球,或者2个红球、1 个白球,或者3个均为红球,故C∩A=A.
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Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅,记事件A 表示“只订甲报刊”,事件B表示“至少订一种报刊”,事件C表示“至多 订一种报刊”,事件D表示“不订甲报刊”,事件E表示“一种报刊也不 订”.判断下列事件是不是互斥事件,若是,再判断是不是对立事件.

率均为15，3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则 X～B3，15， X 的分布列如下
X
0
1
2
3
P
64 125
48 125
12 125
1 125
P(X＝k)＝Ck3×15k×453－k，k＝0,1,2.
此时，E(X)＝np＝3×15＝35.
[方法总结] 解答此类问题的关键是先准确区分超几何散布和二项散布，再根据题意采用相 应的知识求解．
2．袋中有 10 个球，其中 7 个是红球，3 个是白球，任意取出 3 个，这 3 个都是
红球的概率是
()
A．1120
B．274
C．170
D．37
答案 解析
B P＝CC37·31C0 03＝274．
3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型 彩电的台数，则P(X＝1)＝____________.
__n__件(不放回)，用 X 表示抽取的__n__件产品中的次品数，则 X 的分布列为 CkMCnN－－kM
P(X＝k)＝______C__nN_____，k＝m，m＋1，m＋2，…，r， 其中 n，M，N∈N*，M≤N ，n≤N ，m＝max{0, n－N＋M}，r＝minM，n. 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
计
算
公
式
可
知
P
X＝k
＝
CkMCCnNnN－－kM.
袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从 袋中任取3个球，求取出的红球数X的散布列，并求至少有一个红球的概率．
解 由已知可得 X 的取值为 0,1,2,3， X＝0 表示取出的 3 个球全是黑球，P(X＝0)＝CC3538＝1506＝258， 同理 P(X＝1)＝CC13·C38 25＝3506＝1258，P(X＝2)＝CC23·C38 15＝1556，P(X＝3)＝CC3338＝516. ∴X 的分布列为