4-3 生灭过程及排队论

记pn(t)为时刻t时系统处于状态n的概率，即系 统的瞬时分布。我们将主要分析系统的平稳 分布，即当系统达到统计平衡时处于状态n的 概率，记为pn。又记
N：系统处于平稳状态时的队长，其均值为L， 称为平均队长；
Nq：系统处于平稳状态时的排队长，其均值 为Lq，称为平均排队长；
T：系统处于平稳状态时顾客的逗留时间，其 均值记为W，称为平均逗留时间；
多 服
平均排队长Lq为：
Lq
(n s) pn
ns1
p0 s
s!
(n s)sns
ns
务 台
p0 s
s!
d
d s
( sn )
n1
p0 s s s!(1 s )2
或
模 型
Lq
c(s, )s 1 s
记系统中正在接受服务的顾客的平均数为，显然 也是正在忙的服务台的平均数，故
多 服 务
s
s1
n!
定理2
(n=1,2,...)
设N(t)为时间［0,t］内到达系统的顾客数，则 {N(t),t≥0} 为参数为λ的Poisson过程的充分必 要条件是： 相继到达 时间间隔服从相互独立的参数为λ的负指数分布。
M/M/s 等 待 制 排 队 模 型
一、 单服务台模型
单服务台等待制模型M/M/1/∞是指： 顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指 数分布，服务台个数为1，服务时间V服从 参数为μ的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队。
服务机构 修理工人 管理员 医生 交换台 打字员
排队 系统 的特 征及 排队
论
排队系统的具体形式：
队列
顾客到达
…
服务台 服务完成后离去
正在接受服务的顾客

第十章 排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开

n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0

cmLiu@shufe
Operations Research
9.2 几个常用的概率分布
9.2.1 经验分布 9.2.2 泊松分布 9.2.3 负指数分布 9.2.4 爱尔朗分布
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.1 经验分布
主要指标
平均间隔时间 = 总时间 到达顾客总数
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题的研究 研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究， 实现系统的优化。系统的优化包括最优设计和最优运营问 题。前者属于静态问题，它是在输入和服务参数给定的情 况下，确定系统的设计参数，以使服务设施达到最大效益 或者服务机构实现最为经济。后者属于动态问题，它是指 对于一个给定的系统，在系统运行的参数可以随着时间或 状态变化的情况下，考虑如何运营使某个目标函数达到最 优。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
一般的排队过程可以这样描述：顾客由顾客源出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接 受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服 务后就离开。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排 队规则、服务机构及服务规则三个基本部分组成的。 （1）输入过程 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 一般从以下几个方面对输入过程进行描述：顾客源中顾客的数量是 有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客的到 达是否相互独立（以前到达的顾客对以后达到的顾客没有影响，则称 顾客的达到是相互独立的，否则就是有关联的）；顾客相继到达的间 隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，需要知道单 位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；输 入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的间隔时间分布参数 （如期望值、方差等）都是与时间无关的，则称输入过程是平稳的， 否则称为非平稳）。 本章主要讨论顾客的到达是相互独立的、输入过程是平稳的情形。

对于S0
1P10P0
Pt0 h t Ph t0
t0
Ph
t t0 Ph Ph t0
t0
1
e (tt0 ) (1 e 1 (1 e t0 )
t0
)
1
e
t
Q .E.D
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6.3.3 小结
• 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客单 位时间内的到达数服从泊松分布。
• 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客到 达的时间间隔服从负指数分布。
iP iiP i (ii)P i
转入率的期望值为
P P i1i1 i1i1
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
λi
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
μi+2
μk-1
μk
P0
P1
P2
Pi
30
则
( i i)Pi P P i1i1 i1i1
Pn(t)(n！ t)n et n=0
可知： P0(h >△t)= P{h >△t}=e△t
故间隔时间 h 的分布为 P{ h △t}=1e△t
F (t) 1 et
f (t ) et h t et dt 1 / 0
0
F(t)
f(t)
t
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（2）负指数分布的特点
• 负指数分布之所以常用，是因为它有很好的特性，使数学 分析变得方便
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