第三章 泊松过程 2

作业：设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度λ（人/分）的泊松过程，试求：是5.2=（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率；（3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

第三章泊松过程(2)定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件： （1）0)0(=X（2）)(t X 是平稳独立增量过程；（3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布， 定义3.3 （1）0)0(=X （2）)(t X 是独立、平稳增量过程； （3）)(t X 满足下列两式：{})(1)()(h o h t X h t X P +==−+λ {})(2)()(h o t X h t X P =≥−+{}L,1,0,!)()()(===−+−n n t en s X s t X P n t λλ,)]([)(t t X E t m X λ==tt X D t X λσ==)]([)(2)]1(exp[][)()(−==iut iuX X e t eE u g λ),,min(),(t s t s B X λ=)( ),1()]()([),(t s t s t X s X E t s R X <+==λλ数字特征定理3.2.,},2,1,{,}0),({ 的同一个指数分布且服从参数是相互独立的随机变量则其时间间隔的泊松过程为强度设λλL =≥n T t t X n .,2,10. ,0,0 ,e )(L =⎩⎨⎧≤>=−i t t t f tT i λλ{}L ,2,1,0,!)()()(===−+−n n t e n s X s t X P ntλλ{}L ,2,1,0,!)()(===−n n t en t X P ntλλ⎪⎩⎪⎨⎧≤>−=−−.0 ,0,0 ,e )!1()()(1t t n t t f tn W nλλλ.分布的和服从参数为则其到达时间Γλn W n 定理3.3 ,}0),({过程的为强度设Poisson t t X λ≥概率密度函数1T 2T n T O1W 1−n W nW 2W ∫∞+−−=Γ01)(dxe xs xs例设{X 1(t ), t ≥0}和{X 2(t ), t ≥0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为λ1和λ2。

随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。

泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。

在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。

泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。

泊松过程具有很多重要的性质。

首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。

其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。

此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。

泊松过程具有广泛的应用。

在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。

在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。

在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。

在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。

常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。

最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。

矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。

此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。

非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。

二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。

综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。

1齐次泊松过程中有“增量平稳”的假定条件, 假定到达率λ是常数.当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理了.§3.3非齐次泊松过程2若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变，设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：定义：如果计数过程满足下列条件1）N (0)=0；2）{N ( t ),t ≥0 }是一个独立增量过程；);()(}1)()({)3t o t t t N t t N P Δ+Δλ==−Δ+{()()2}().P N t t N t o t +Δ−≥=Δ称{N ( t ), t ≥0}是具有速率函数为λ(t)的非齐次poisson 过程.3定理3.5若N ( t ),t ≥0}是非齐次泊松过程，且达到率λ(t )是连续函数，则()00()()~()t t t N t t N t s dsπλ++−∫即在[t 0, t 0＋t ]时间内事件A 出现k 次的概率为：})]()({[00k t N t t N P =−+0[()]exp{()]}!t t k t t t t s ds s ds k λλ++=−∫∫",2,1,0=k 特别：()()~()t N t s ds πλ∫0()~()tEN t s dsλ∫4Ex.4 设某路公共汽车从早晨5时至晚上9时有车出发。

乘客流量如下：5时按平均乘客为200/时计算，将时间5时至8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400/时；8时至18时保持平均到达率不变，18时至21时乘客平均到达率按线性减少，到21时为200/时。

假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是独立的。

求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内来站乘车人数的数学期望。

2001400133ot)(t λ16解：将时间5时至21时平移至0时至16时。

到达率的图形：)(t λ52001400133ot)(t λ16()则时间内的客流表示,),0[t t N 时的客流为时至1412()()79N N −()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫97~dt t λπ()2800~π79()()()===−−!2000280020007920002800e N N P 12时至14时的平均客流量为：()()[]280079=−N N E 6解：{}(){}n t N P t W P t F n w n ≥=≤=)(()()()∑∞=−≥=n k t m k t e k t m 0,!参数为λ(t ),的泊松过程{N (t ),t ≥0},事件A 第n 次出现的到达时间Wn ,求其Wn 的概率密度。