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排队论问题讲解

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排队问题知识点总结

排队问题知识点总结

排队问题知识点总结排队论起源于20世纪初学者与工程师们在电报、电话交换、交通运输等实际工作中遇到的问题。

20世纪20年代，这些问题引起了数学家的注意。

1925年丹麦学者A.K.厄劳札( Agner Krarup Erlang )首先提出要建立一个数学模型对通信系统中的电报在传递和处理中的排队问题进行研究。

他用数学上的标准方法解决了问题，从此排队论这一学科便有了起步发展的积淀。

今天，排队论已在交通运输、电信通讯、工程及服务管理、医学卫生、经济学、统计学、计算机科学等系统分析领域中得以广泛应用。

排队问题所涉及的知识点包括排队论基本概念、排队模型、排队系统性能评价、排队过程中的成本分析、排队优化模型等。

下面就对排队问题的相关知识点进行总结阐述。

排队论基本概念排队论是研究由于服务台能力有限以及到达率和要求的总体量之差异所引起的待服务队列问题。

在排队论中，通常会涉及到以下几个基本概念：- 顾客到达模型：描述顾客到达的规律，常用的到达模型包括泊松过程、指数分布、正态分布等。

- 服务台模型：描述服务台的服务能力，包括单一服务台、多重服务台、无限服务台等。

- 排队规则：描述顾客在队列中等待和被服务的规则，包括先来先服务(FIFO)、最短排队等待(SJF)、最高优先权优先服务(HPF)等。

- 排队系统性质：包括平均队长、平均等待时间、系统繁忙度等系统性能指标。

排队模型排队模型是对排队系统进行描述和分析的数学模型。

在排队模型中，通常会考虑到以下几种基本排队模型：- M/M/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。

- M/M/c模型：描述多重服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。

- M/G/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合一般分布的排队系统。

- M/D/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间是固定的排队系统。

排队系统性能评价排队系统性能评价是对排队系统性能进行量化与分析的过程，主要包括以下几个方面：- 平均队长：描述系统队列中平均存在的顾客数量。

排队问题四种题型讲解

排队问题四种题型讲解

排队问题四种题型讲解
排队问题有四种常见的题型，分别是：
1. 确定位置：这种题型要求确定某个特定个体在队列中的位置。

例如：“从左往右数，小红是第几个？”或者“从前往后数，小明是第几个？”解决这类问题时，需要注意不要重复计算或遗漏。

2. 计算总人数：这种题型要求计算队列中总共有多少人。

例如：“一共有多少人排队？”解决这类问题时，需要仔细阅读题目，理解每个人在队列中的位置，并正确计算总人数。

3. 确定某个位置上的人：这种题型要求确定在某个特定位置上的人是谁。

例如：“站在第三位的是谁？”或者“排在第九个的是哪位同学？”解决这类问题时，需要先明确位置的含义，再通过比较和推理来确定答案。

4. 调整位置：这种题型要求对队列中的位置进行调整。

例如：“请把站在第二位的人移到第五位。

”或者“请把排在最后的人移到第三个位置。

”解决这类问题时，需要先明确每个个体的位置，再根据题目的要求进行相应的调整。

在解决排队问题时，需要注意题目的具体要求，并正确理解队列中个体的位置和关系。

同时，也可以使用画图、标记等方法来帮助理解和解答问题。

排队论问题实验报告(3篇)

排队论问题实验报告(3篇)

第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。

在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。

通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。

本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。

二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。

2. 掌握排队模型的建立方法。

3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。

4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。

5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。

三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。

该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。

2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。

假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。

3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。

4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。

四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。

2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。

3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。

（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。

（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。

4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。

5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。

五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。

2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。

3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。

4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。

（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。

（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。

排队论习题及答案

排队论习题及答案

排队论习题及答案排队论习题及答案排队论是概率论和数学统计中的一个重要分支，研究的是随机事件的排队问题。

在现实生活中，我们经常会遇到排队的情况，如等候乘坐公交车、购物结账等。

排队论的研究可以帮助我们更好地理解和优化排队过程，提高效率和服务质量。

下面，我们将介绍几个排队论的习题及其解答。

习题一：某银行有两个窗口，顾客到达银行的时间服从平均到达率为λ的泊松分布，每个顾客在窗口办理业务的时间服从平均服务率为μ的指数分布。

求平均等待时间和平均排队长度。

解答：首先，我们可以根据泊松分布和指数分布的性质，得到顾客到达时间和服务时间之间的关系。

假设顾客到达时间服从泊松分布，到达率为λ，那么两个顾客到达时间之间的时间间隔服从参数为λ的指数分布。

同样，假设顾客的服务时间服从指数分布，服务率为μ，那么两个顾客的服务时间之间的时间间隔服从参数为μ的指数分布。

根据排队论的基本原理，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。

平均排队长度可以通过利用排队论的公式计算得到。

在本题中，根据M/M/2模型，可以得到平均排队长度的公式为：Lq = λ^2 / (2μ(μ - λ))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率。

接下来，我们可以计算平均等待时间。

根据排队论的公式，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。

所以，平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ综上所述，我们可以通过计算得到平均等待时间和平均排队长度。

习题二：某餐厅有4个服务台，每个服务台的服务时间服从平均服务率为μ的指数分布，顾客到达时间服从平均到达率为λ的泊松分布。

求平均等待时间和平均排队长度。

解答：在这个问题中，我们可以使用M/M/4模型来求解。

根据M/M/4模型，平均排队长度的公式为：Lq = (λ/μ)^4 * (1/(4! * (1 - ρ)))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率，ρ表示系统繁忙度。

平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ通过计算可以得到平均等待时间和平均排队长度。

数学排队问题的题型

数学排队问题的题型

数学排队问题的题型在我们的日常生活中，排队是一件常见的事情。

你有没有想过，在排队的时候，我们能够利用数学知识帮助我们更加高效地排队呢？今天我们就来讲一讲数学排队问题的题型。

数学排队问题主要涉及到概率论和统计学知识，通常可以分为两种类型：单队列问题和多队列问题。

一、单队列问题单队列问题是指只有一个排队通道的情况。

在这种情况下，我们最想知道的就是队列的平均长度和队列的平均等待时间。

那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以用排队论中的公式来计算，它的公式如下：Lq = λWq其中，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间。

同样地，如何计算队列的平均等待时间呢？我们可以利用排队论中的另一个公式来计算，它的公式如下：Wq = Lq / λ其中，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数。

二、多队列问题多队列问题是指有多个排队通道的情况。

在这种情况下，我们需要考虑如何将人员分配到不同的队列中，以及如何计算队列的平均长度和队列的平均等待时间。

在多队列问题中，人员的分配可以有多种方法。

最常见的方法是随机分配，即每个人有相同的几率被分配到任何一个队列中。

那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以使用排队论中的Kendall’s notation，它由三个参数组成：A/B/C。

其中，A 表示到达队列的时间间隔分布，常见的有常数间隔（M）、泊松分布（P）等；B 表示服务时间的分布，常见的有常数服务时间（M）和指数分布（E）等；C 表示队列的数量，常见的有 FIFO（先进先出）和 LIFO（后进先出）等。

例如，M/M/2 表示到达队列的时间间隔和服务时间都是常数，队列的数量为两个。

那么我们可以利用排队论的公式来计算队列的平均长度和等待时间。

对于多队列问题，计算队列的平均长度和等待时间相对更加复杂，需要更多的排队论知识和模型分析。

排队论方法讲解

排队论方法讲解

M－负指数分布 D－确定型分布 Ek k阶爱尔朗分布 － 阶爱尔朗分布
GI －一般相互独立的时间间隔分布 G －一般服务时间的分布
如 D/M/10/1000/∞ / F
排 队 论 方 法 讲 解
1.3 排队系统的运行指标
⑴ Ls： 队长 －系统中顾客数的期望 ： ⑵ Lq： ： 排队长 －系统中等待服务的顾客数 Ln： ：正在接受服务的顾客数 Ls=Lq+Ln ⑶ Ws：逗留时间 ：
排 队 论 方 法 讲 解
(3)普通性： 普通性： 普通性
内有2个或 对于充分小的△t，在[t,t+△t]内有 个或 ， 内有 多个顾客到达的概率极小,可以忽略不 多个顾客到达的概率极小 可以忽略不 计,即 ∞ 即
∑ P (t , t + ∆t ) = o(∆t )
n=2 n
下面研究系统状态为n的概率分布：
= 1 − λ∆t − o(∆t )
P0 ( t , t + ∆ t ) = 1 − P1 ( t , t + ∆ t ) − ∑ Pn ( t , t + ∆ t )
n=2
∞
分为[0,t)和[t,t+△t), 将[0,t+△t)分为 分为 和 则在时间段[0,t+△t)内到达 个顾客的 内到达n个顾客的 则在时间段 内到达 概率为
n
由上结果可知,在长度为 的时间段内到达 由上结果可知 在长度为t的时间段内到达 在长度为 n个顾客的概率 服从泊松分布 个顾客的概率,服从泊松分布 个顾客的概率 服从泊松分布. 其中期望、 其中期望、方差为 E[ N (t )] = D[ N (t )] = λt
排 队 论 方 法 讲 解
1.5.2 负指数分布

排队论习题答案

排队论习题答案排队论习题答案排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中的等待时间、服务时间以及系统的稳定性等问题。

在实际生活中，我们经常会遇到排队的情况，比如超市、银行、医院等地方。

那么，如何有效地解决排队问题，减少等待时间呢？下面我将通过几个习题来探讨排队论的解题方法。

习题一：某银行有两个窗口，分别为A窗口和B窗口，顾客到达的时间间隔服从指数分布，平均每10分钟到达一人。

A窗口的服务时间服从均值为5分钟的指数分布，B窗口的服务时间服从均值为7分钟的指数分布。

求顾客平均等待时间和平均逗留时间。

解答一：首先，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。

根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μA=1/5=0.2人/分钟，平均服务率μB=1/7≈0.1429人/分钟。

根据排队论的基本原理，当λ<μ时，系统稳定，顾客平均等待时间为0。

当λ>μ时，系统不稳定，顾客平均等待时间为ρ/(μ-λ)，其中ρ为系统繁忙率。

由于该题目中有两个窗口，所以我们需要计算两个窗口的繁忙率ρA和ρB。

ρA=λ/μA=0.1/0.2=0.5，ρB=λ/μB=0.1/0.1429≈0.7。

由于两个窗口的繁忙率不相等，我们需要使用排队网络的方法来求解。

根据排队网络的基本原理，顾客平均逗留时间等于顾客在每个窗口的平均逗留时间之和。

根据排队网络的公式，顾客在A窗口的平均逗留时间为1/(μA-λ)≈5分钟，顾客在B窗口的平均逗留时间为1/(μB-λ)≈7.5分钟。

所以，顾客平均逗留时间为5+7.5=12.5分钟。

习题二：某医院门诊部有一个窗口，顾客到达的时间间隔服从泊松分布，平均每10分钟到达一人。

窗口的服务时间服从均值为8分钟的指数分布。

求顾客平均等待时间和平均逗留时间。

解答二：同样地，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。

根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μ=1/8=0.125人/分钟。

排队论详解及案例

服务时间总和 平均服务时间 =
服务顾客总数 到达顾客总数 平均到达率 =
总时间 平均服务率 = 服务顾客总数
服务时间总和
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.2 泊松分布
泊松分布也称为泊松流，在排队论中称为最简单流。
设 N (t )表示在时间区间 [t0,t0 + ∆t) 内到达的顾客数，是随机变量。
其常用的主要衡量指标如下： 1）队长（Ls）：排队系统中顾客的平均数（期望值），它是正在服务的
顾客和等待接受服务的顾客总数的期望值。 2）队列长（Lq）：排队系统中平均等待服务顾客数的期望值。显然有
队长＝排队长＋正被服务的顾客数 3）逗留时间（Ws）：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留
时间的期望值。
cmliushufeoperationsresearch913排队论研究的基本问题2统计推断问题的研究在建立实际问题的排队系统模型时首先要对现实数据进行收集处理然后分析顾客相继到达的间隔时间是否相互独立确定其分布的类型和相关参数研究服务时间的独立性以及服务时间的分布等在此基础上选择适合该系统的排队模型再用排队模型进行分析和研究
用F (t ) 表示 t 的概率分布函数，则有
∫ ∫ F
(t)
=P {T
≤
t}
t
= 0
µe−µt dt
=−
t 0
d
e − µt
=1 −
e−µt
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.3 负指数分布
负指数分布具有下列性质：
cmLiu@shufe
Operations Research
• 队长有限，即系统的等待空间是有限的； • 等待时间有限，即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，

排队中的数学问题归纳总结

排队中的数学问题归纳总结在我们生活中，排队是一种常见的现象。

无论是在购物中心、餐厅还是机场，我们都会遇到排队。

而排队背后隐藏着许多有趣的数学问题。

本文将对排队中的数学问题进行归纳总结，包括排队的概率问题、排队的等待时间问题和排队的位置问题。

概率问题是排队中的常见数学问题之一。

假设有10个人在排队，其中5人有红色衣服，5人有蓝色衣服。

如果他们随机排队，那么第一个人穿红色衣服的概率是多少？我们可以使用排列组合的方法解决这个问题。

首先，我们计算出总共有多少种排列方式。

根据排列组合的原理，我们知道总共有10个人，所以一共有10！（10的阶乘）种排列方式。

接下来，我们计算出红色衣服的人排在第一位的排列方式。

因为只有5个人穿红色衣服，所以有5！种排列方式。

所以，第一个人穿红色衣服的概率是5！/10！，即1/252。

除了概率问题，排队也会涉及到等待时间的问题。

假设一家银行只有一个服务窗口，平均每分钟能处理10个客户。

当客户到达银行时，他们需要排队等待服务。

我们可以使用排队论来计算平均等待时间。

根据排队论的公式，平均等待时间等于排队人数除以服务速率。

假设有20个客户在银行排队，那么平均等待时间为20/10=2分钟。

这个计算方法可以帮助我们合理预估排队等待时间，从而更好地安排时间。

此外，我们也可以关注排队中的位置问题。

假设有10个人在排队，你是第5个人，请问你右边有多少种不同的排列方式？我们可以使用排列组合的方法来解决这个问题。

首先，我们计算出总共有多少种排列方式。

根据排列组合的原理，我们知道总共有10个人，所以一共有10！种排列方式。

接下来，我们计算出你右边的人的排列方式。

因为你的右边只能有4个人，所以有4！种排列方式。

所以，你右边的不同排列方式为4！，即24种。

通过以上的归纳总结，我们可以看到排队中的数学问题并不复杂，并且可以应用到我们的日常生活中。

概率问题帮助我们了解随机事件发生的可能性，等待时间问题帮助我们合理安排时间，位置问题则使我们更好地理解了排队的次序。

运筹学课件排队论例题

1.某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。

试求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数；（7）每位顾客平均等待服务的时间；（8）顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。

2.某修理店只有一个修理工，且店内最多只能停放3台待修的机器。

设待修机器按泊松流到达修理站，平均每分钟到达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25分钟可修理1台，试求：（1）顾客损失率；（2）有效到达率；（3）平均队长；（4）平均排队长；（5）平均逗留时间；（6）平均等待时间。

3.设有一工人看管5台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均为15分钟。

当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为12分钟，试求：（1）修理工人空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均数；（4）等待修理机器的平均数；（5）每台机器平均停工时间；（6）每台机器平均待修时间。

4.某售票处有三个窗口，顾客的到达为泊松流，平均到达率为0.9人/分钟；服务时间服从负指数分布，平均服务率为0.4人/分钟。

现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票。

试求：（1）整个售票处空闲的概率；（2）平均排队长与平均队长；（3）平均等待时间；（4）平均逗留时间；（5）顾客到达时必须排队等待的概率；（6）若顾客的排队方式变为到达售票处后可到任一窗口前排队，且入队后不再换队，求（1）~（5）的各个指标，并与前面求出的指标相比较，哪种排队方式更好？5.一个修理工负责5台机器的维修。

每台机器平均2小时损坏一次，又修理工修复一台机器平均需时18.75分钟，以上时间均服从负指数分布。

试求：（1）所有机器均能正常运行的概率；（2）等待维修的机器的期望数；（3）假设该维修工照管6台机器，重新求（1），（2）的数据；（4）假如希望做到至少在一半时间内所有机器都同时正常运行，则该维修工最多看管多少台机器；（5）假如维修工每小时工资为8元，机器不能正常运行时每小时损失为40元，则该维修工应看管多少台机器为合适。

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Little’s formulae
L W
Lq Wq
1
W Wq
L Lq
♂
M / M / C 模型
• 此模型与M/M/1模型不同之处在于有C个服 务台，各服务台的工作相互独立，服务率 相等，如果顾客到达时，C个服务台都忙着， 则排成一队等待，先到先服务的单队模型。
模型之： M/M/*排队模型
• 1.M/M/1模型
顾客按照速率为λ的泊松过程到达，顾客的服务时间 是独立同分布的随机变量，通常分布设为均值为1／μ 的指数分布。假设顾客按照到达的顺序接受服务，即 FCFS服务。例如，如果“顾客”表示到达计算机系统 的作业任务，那么“服务台” 代表计算机系统。 • 另外一种M/M/1 队列的解释为：顾客代表消息，而 服务台代表通信信道。
队列分析的任务和假设条件
队列分析的基本任务是：
给出如下输入信息（概率分布）：
•
到达速率（ λ ）
•
服务时间（ 1/ )
求出如下输出信息（均值、标准差）：
•
等待顾客的数量（ Lq, σLq ）
•
等待时间（ Wq ，σwq）
•
系统中顾客的数量（L， σL）
•
逗留时间（ W，σw ）
• 排队论中的假设：
令ρ λ ,只有当 λ 1时才不会排成无限的队列.称它为
cμ
cμ
这 个 系 统 的 服 务 强 度, 或 服 务 机 构 的 平 均 利 用率.
μP1 λP0
(n 1) μPn1 λPn1 (λ n μ)Pn ,
c μPn1 λPn1 (λ c μ)Pn
4 泊松分布（Poisson）
P{X = k} = λk e -λ/ k! k=0,1,2,… 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，它作为表述随机现象 的一种形式，在计算机性能评价等实践中扮演了重要的角色。
在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是服从 泊松分布的。实践也证明：这种假设是有效的。
• 通用的little公式：
•
Lq=λWq L=λW W=Wq+ 1/
M/M/c模型
• M/M/c队列模型如下：
•
该队列系统的顾客到达为泊松流，到达速率为 λ，有并列的c个服务台，每
个服务台的服务速率为μ ，服务规则为FCFS。所有的服务台共享一个公用
的队列。该队列是一个生灭过程模型，其生灭速率为：
= 对任何n都是常数的平均到达率.
= 对任何n都是常数的平均服务率.
1/ =
期望到达间隔时间
1/ =
期望服务时间
=
服务强度， 或称使用因子，/
统计平稳条件下的系统运行指标
L 平均系统队长
L 平均等待队长 q
W 平均排队等待时间 q
W 平均系统逗留时间
L, W, Lq, Wq的关系
根据上式我们可以推导出系统的各项指标：

因为 （n c）Pn
nc1

nPnc
n1

n1
n c！c
n（ cρ）n
c
P0

右边
建立排队模型步骤
1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间 的相互关系。
2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假 设检验有关分布。
• 5 （负）指数分布
它是一种连续型的概率分布，它的概率密度为
f（x）= λe-λx x≥0
0
x<0
分布函数：
F（x）=1-e-λx x≥0
指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差：
μx = σx = 1/λ 在连续型随机变量中，只有指数分布具有无后效性。
即： 若随机变量ζ服从指数分布， 对任意的 s>0 ,t>0 ，有 P{ζ>s+t|ζ>s}=P{ζ>t}
M/M/1///FCFS M/M/1 /
M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k阶Erlang 分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
基本排队模型－记号
系统状态 : L=排队系统顾客的数量,队长。
N(t) =在时刻 t 排队系统中顾客的数量。 Lq =等待服务的顾客的数量,队列长度。
• （2）到达规律
•
顾客的到达规律可以用概率来描述，两个顾客到达的时间间隔是独立的
随机变量，服从同一概率分布时。常用的分布规律有：
• （a）一般到达
• （b）泊松到达
• （c）爱尔朗到达
• （d）等间隔到达
泊松分布和指数分布在排队论中的应用
泊松分布（Poisson）： P{X = k} = λk e-λ/ k! k=0,1,2,…， μx = σx = λ 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，也是表述随机
来表示。
• (2)服务规律
服务规律通常是就服务时间的分布而言的。服务时间分布典 型地有指数分布、爱尔朗分布、一般分布等。 结论：顾客到达规律和服务规律都是通过概率来描述的，所以概 率论是排队论的基础。
基本排队关系
• 在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队 系统，若满足以下三个条件：
• 1 到达规律的描述
• （1）主要描述参数
• （a）到达时点
• 时将刻某tk一到时达刻的设顾客为为t0，Nk顾，客则依到次达到时达点的可时用{刻tk用、N…k≤）t-表1≤t示0≤。t1≤t2≤…表示，如果在 • （b）平均到达间隔
• 一个顾客到达时刻之间的时宽为到达间隔。
• （c）到达速率
• 单位时间到达顾客的平均数叫到达速率，也称到达密度或输入速率。
几何分布有一个重要的性质-----后无效性：在前n次试验未出现成 功的条件下，再经过m次试验（即在n+m次试验中）首次出现成功 的概率，等于恰好需要进行m次试验出现首次成功的无条件概率。 用式子表达：
P{X=n+m | X>n}=P{X=m} (请同学们试证明之） 这种与过去历史(试验次数n)无关的性质称为马尔可夫性。
如下图：
k…2 1
00…00 窗口
基本组成
输入 来源
顾客
排队系统
队列
服务机构
服务完离开
排队系统的三个基本组成部分.
•输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的 ♂ 方式,服务时间分布等)
排队系统的到达和服务
几种重要的概率分布
1 贝努里分布
它的概率分布为：P{X=1}=p，P{X=0}=1-p 它也称两点分布或（0-1）分布。它描述一次贝努里试验中，
成功或失败的概率。
2 二项分布
P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k, k=0,1,…,n 它描述n次贝努里试验中事件A出现k次概率。
3 几何分布
P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1,2, … 它描述在k次贝努里试验中首次出现成功的概率。
（负）指数分布： 它是一种连续型的概率分布，它的概率密度： f（x）=λe-λx x≥0 它的分布函数：F（x）=1-e-λx x≥0 指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差： μx = σx = 1/λ
泊松分布和指数分布的关系： 如果顾客以泊松到达,则顾客到达的时间间隔Ta服从指数分布， 即：
现象的一种重要形式。在实际系统模型中，一般都要假定任务 （或顾客）的到来是泊松分布的。实践也证明：这种假设有效。
如果顾客到达的人数是符合泊松分布，即在时间T内有k 个顾客到达的概率为：
p=（λT）k e-λT/ k! ， 在时间T内顾客到达的平均顾客数= λT，
平均到达速度（顾客数/秒）= λ 服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达，因为当顾客 根据泊松过程到达时，顾客在各个时刻到达的可能性相同并与 其它顾客的到达无关。
P{Ta<t}= 1-e-λt , E[Ta]=1/ λ 因此，平均到达的时间间隔是到达速率的倒数。
服务规律的描述
• (1)主要描述参量
（a）平均服务时间 设服务时间的分布函数为F（t），则服务时间的平均表示
为: 1/μ=∫t dF(t) 其中μ称为平均服务速率，平均一个顾客的服务时间。
（b）服务速率 一般指平均服务速率，单位时间内被服务完的顾客数，用μ
• 整个系统的平均服务率为cμ，ρ*＝λ/cμ， （ρ*<1）为该系统的了解过程，理解结论）
一、M/M/c
规定各服务台工作相互独立且平均分配服务率相同
μ1 μ2 μc μ.
整个服务机构的平均服务率为cμ(当n c)；为nμ(当n c)。
• （1）排队系统能够进入统计平衡状态；
• （2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态；
• （3）系统中任一顾客不会永远等待，系统也不会永无顾客到达。
• 则下列 Little 公式成立（排队论中的通用公式）：
• （1） Lq =λ Wq
•
我们知道一个顾客的平均排队等待时间是Wq，且顾客是以平均速率λ到
3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统 的运行特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策 模型，改进系统的功能。
Pn(t) =在时刻t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
基本排队模型－
统计平稳条件下的记号
P P lim t
t n
n
n = 系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间内平均到 达的顾客人数即是平均到达率）
n = 系统有n个顾客时的平均服务率（单位时间内被服务 完的顾客数即是平均服务率）

这里 Pi 1，且ρ 1。 i0