排队论问题讲解

排队问题知识点总结排队论起源于20世纪初学者与工程师们在电报、电话交换、交通运输等实际工作中遇到的问题。

20世纪20年代，这些问题引起了数学家的注意。

1925年丹麦学者A.K.厄劳札( Agner Krarup Erlang )首先提出要建立一个数学模型对通信系统中的电报在传递和处理中的排队问题进行研究。

他用数学上的标准方法解决了问题，从此排队论这一学科便有了起步发展的积淀。

今天，排队论已在交通运输、电信通讯、工程及服务管理、医学卫生、经济学、统计学、计算机科学等系统分析领域中得以广泛应用。

排队问题所涉及的知识点包括排队论基本概念、排队模型、排队系统性能评价、排队过程中的成本分析、排队优化模型等。

下面就对排队问题的相关知识点进行总结阐述。

排队论基本概念排队论是研究由于服务台能力有限以及到达率和要求的总体量之差异所引起的待服务队列问题。

在排队论中，通常会涉及到以下几个基本概念：- 顾客到达模型：描述顾客到达的规律，常用的到达模型包括泊松过程、指数分布、正态分布等。

- 服务台模型：描述服务台的服务能力，包括单一服务台、多重服务台、无限服务台等。

- 排队规则：描述顾客在队列中等待和被服务的规则，包括先来先服务(FIFO)、最短排队等待(SJF)、最高优先权优先服务(HPF)等。

- 排队系统性质：包括平均队长、平均等待时间、系统繁忙度等系统性能指标。

排队模型排队模型是对排队系统进行描述和分析的数学模型。

在排队模型中，通常会考虑到以下几种基本排队模型：- M/M/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。

- M/M/c模型：描述多重服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。

- M/G/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合一般分布的排队系统。

- M/D/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间是固定的排队系统。

排队系统性能评价排队系统性能评价是对排队系统性能进行量化与分析的过程，主要包括以下几个方面：- 平均队长：描述系统队列中平均存在的顾客数量。

排队问题四种题型讲解
排队问题有四种常见的题型，分别是：
1. 确定位置：这种题型要求确定某个特定个体在队列中的位置。

例如：“从左往右数，小红是第几个？”或者“从前往后数，小明是第几个？”解决这类问题时，需要注意不要重复计算或遗漏。

2. 计算总人数：这种题型要求计算队列中总共有多少人。

例如：“一共有多少人排队？”解决这类问题时，需要仔细阅读题目，理解每个人在队列中的位置，并正确计算总人数。

3. 确定某个位置上的人：这种题型要求确定在某个特定位置上的人是谁。

例如：“站在第三位的是谁？”或者“排在第九个的是哪位同学？”解决这类问题时，需要先明确位置的含义，再通过比较和推理来确定答案。

4. 调整位置：这种题型要求对队列中的位置进行调整。

例如：“请把站在第二位的人移到第五位。

”或者“请把排在最后的人移到第三个位置。

”解决这类问题时，需要先明确每个个体的位置，再根据题目的要求进行相应的调整。

在解决排队问题时，需要注意题目的具体要求，并正确理解队列中个体的位置和关系。

同时，也可以使用画图、标记等方法来帮助理解和解答问题。

第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。

在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。

通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。

本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。

二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。

2. 掌握排队模型的建立方法。

3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。

4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。

5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。

三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。

该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。

2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。

假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。

3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。

4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。

四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。

2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。

3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。

（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。

（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。

4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。

5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。

五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。

2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。

3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。

4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。

（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。

（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。

排队论习题及答案排队论习题及答案排队论是概率论和数学统计中的一个重要分支，研究的是随机事件的排队问题。

在现实生活中，我们经常会遇到排队的情况，如等候乘坐公交车、购物结账等。

排队论的研究可以帮助我们更好地理解和优化排队过程，提高效率和服务质量。

下面，我们将介绍几个排队论的习题及其解答。

习题一：某银行有两个窗口，顾客到达银行的时间服从平均到达率为λ的泊松分布，每个顾客在窗口办理业务的时间服从平均服务率为μ的指数分布。

求平均等待时间和平均排队长度。

解答：首先，我们可以根据泊松分布和指数分布的性质，得到顾客到达时间和服务时间之间的关系。

假设顾客到达时间服从泊松分布，到达率为λ，那么两个顾客到达时间之间的时间间隔服从参数为λ的指数分布。

同样，假设顾客的服务时间服从指数分布，服务率为μ，那么两个顾客的服务时间之间的时间间隔服从参数为μ的指数分布。

根据排队论的基本原理，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。

平均排队长度可以通过利用排队论的公式计算得到。

在本题中，根据M/M/2模型，可以得到平均排队长度的公式为：Lq = λ^2 / (2μ(μ - λ))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率。

接下来，我们可以计算平均等待时间。

根据排队论的公式，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。

所以，平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ综上所述，我们可以通过计算得到平均等待时间和平均排队长度。

习题二：某餐厅有4个服务台，每个服务台的服务时间服从平均服务率为μ的指数分布，顾客到达时间服从平均到达率为λ的泊松分布。

求平均等待时间和平均排队长度。

解答：在这个问题中，我们可以使用M/M/4模型来求解。

根据M/M/4模型，平均排队长度的公式为：Lq = (λ/μ)^4 * (1/(4! * (1 - ρ)))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率，ρ表示系统繁忙度。

平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ通过计算可以得到平均等待时间和平均排队长度。

数学排队问题的题型在我们的日常生活中，排队是一件常见的事情。

你有没有想过，在排队的时候，我们能够利用数学知识帮助我们更加高效地排队呢？今天我们就来讲一讲数学排队问题的题型。

数学排队问题主要涉及到概率论和统计学知识，通常可以分为两种类型：单队列问题和多队列问题。

一、单队列问题单队列问题是指只有一个排队通道的情况。

在这种情况下，我们最想知道的就是队列的平均长度和队列的平均等待时间。

那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以用排队论中的公式来计算，它的公式如下：Lq = λWq其中，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间。

同样地，如何计算队列的平均等待时间呢？我们可以利用排队论中的另一个公式来计算，它的公式如下：Wq = Lq / λ其中，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数。

二、多队列问题多队列问题是指有多个排队通道的情况。

在这种情况下，我们需要考虑如何将人员分配到不同的队列中，以及如何计算队列的平均长度和队列的平均等待时间。

在多队列问题中，人员的分配可以有多种方法。

最常见的方法是随机分配，即每个人有相同的几率被分配到任何一个队列中。

那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以使用排队论中的Kendall’s notation，它由三个参数组成：A/B/C。

其中，A 表示到达队列的时间间隔分布，常见的有常数间隔（M）、泊松分布（P）等；B 表示服务时间的分布，常见的有常数服务时间（M）和指数分布（E）等；C 表示队列的数量，常见的有 FIFO（先进先出）和 LIFO（后进先出）等。

例如，M/M/2 表示到达队列的时间间隔和服务时间都是常数，队列的数量为两个。

那么我们可以利用排队论的公式来计算队列的平均长度和等待时间。

对于多队列问题，计算队列的平均长度和等待时间相对更加复杂，需要更多的排队论知识和模型分析。

排队论习题答案排队论习题答案排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中的等待时间、服务时间以及系统的稳定性等问题。

在实际生活中，我们经常会遇到排队的情况，比如超市、银行、医院等地方。

那么，如何有效地解决排队问题，减少等待时间呢？下面我将通过几个习题来探讨排队论的解题方法。

习题一：某银行有两个窗口，分别为A窗口和B窗口，顾客到达的时间间隔服从指数分布，平均每10分钟到达一人。

A窗口的服务时间服从均值为5分钟的指数分布，B窗口的服务时间服从均值为7分钟的指数分布。

求顾客平均等待时间和平均逗留时间。

解答一：首先，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。

根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μA=1/5=0.2人/分钟，平均服务率μB=1/7≈0.1429人/分钟。

根据排队论的基本原理，当λ<μ时，系统稳定，顾客平均等待时间为0。

当λ>μ时，系统不稳定，顾客平均等待时间为ρ/(μ-λ)，其中ρ为系统繁忙率。

由于该题目中有两个窗口，所以我们需要计算两个窗口的繁忙率ρA和ρB。

ρA=λ/μA=0.1/0.2=0.5，ρB=λ/μB=0.1/0.1429≈0.7。

由于两个窗口的繁忙率不相等，我们需要使用排队网络的方法来求解。

根据排队网络的基本原理，顾客平均逗留时间等于顾客在每个窗口的平均逗留时间之和。

根据排队网络的公式，顾客在A窗口的平均逗留时间为1/(μA-λ)≈5分钟，顾客在B窗口的平均逗留时间为1/(μB-λ)≈7.5分钟。

所以，顾客平均逗留时间为5+7.5=12.5分钟。

习题二：某医院门诊部有一个窗口，顾客到达的时间间隔服从泊松分布，平均每10分钟到达一人。

窗口的服务时间服从均值为8分钟的指数分布。

求顾客平均等待时间和平均逗留时间。

解答二：同样地，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。

根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μ=1/8=0.125人/分钟。

排队中的数学问题归纳总结在我们生活中，排队是一种常见的现象。

无论是在购物中心、餐厅还是机场，我们都会遇到排队。

而排队背后隐藏着许多有趣的数学问题。

本文将对排队中的数学问题进行归纳总结，包括排队的概率问题、排队的等待时间问题和排队的位置问题。

概率问题是排队中的常见数学问题之一。

假设有10个人在排队，其中5人有红色衣服，5人有蓝色衣服。

如果他们随机排队，那么第一个人穿红色衣服的概率是多少？我们可以使用排列组合的方法解决这个问题。

首先，我们计算出总共有多少种排列方式。

根据排列组合的原理，我们知道总共有10个人，所以一共有10！（10的阶乘）种排列方式。

接下来，我们计算出红色衣服的人排在第一位的排列方式。

因为只有5个人穿红色衣服，所以有5！种排列方式。

所以，第一个人穿红色衣服的概率是5！/10！，即1/252。

除了概率问题，排队也会涉及到等待时间的问题。

假设一家银行只有一个服务窗口，平均每分钟能处理10个客户。

当客户到达银行时，他们需要排队等待服务。

我们可以使用排队论来计算平均等待时间。

根据排队论的公式，平均等待时间等于排队人数除以服务速率。

假设有20个客户在银行排队，那么平均等待时间为20/10=2分钟。

这个计算方法可以帮助我们合理预估排队等待时间，从而更好地安排时间。

此外，我们也可以关注排队中的位置问题。

假设有10个人在排队，你是第5个人，请问你右边有多少种不同的排列方式？我们可以使用排列组合的方法来解决这个问题。

首先，我们计算出总共有多少种排列方式。

根据排列组合的原理，我们知道总共有10个人，所以一共有10！种排列方式。

接下来，我们计算出你右边的人的排列方式。

因为你的右边只能有4个人，所以有4！种排列方式。

所以，你右边的不同排列方式为4！，即24种。

通过以上的归纳总结，我们可以看到排队中的数学问题并不复杂，并且可以应用到我们的日常生活中。

概率问题帮助我们了解随机事件发生的可能性，等待时间问题帮助我们合理安排时间，位置问题则使我们更好地理解了排队的次序。

1.某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。

试求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数；（7）每位顾客平均等待服务的时间；（8）顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。

2.某修理店只有一个修理工，且店内最多只能停放3台待修的机器。

设待修机器按泊松流到达修理站，平均每分钟到达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25分钟可修理1台，试求：（1）顾客损失率；（2）有效到达率；（3）平均队长；（4）平均排队长；（5）平均逗留时间；（6）平均等待时间。

3.设有一工人看管5台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均为15分钟。

当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为12分钟，试求：（1）修理工人空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均数；（4）等待修理机器的平均数；（5）每台机器平均停工时间；（6）每台机器平均待修时间。

4.某售票处有三个窗口，顾客的到达为泊松流，平均到达率为0.9人/分钟；服务时间服从负指数分布，平均服务率为0.4人/分钟。

现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票。

试求：（1）整个售票处空闲的概率；（2）平均排队长与平均队长；（3）平均等待时间；（4）平均逗留时间；（5）顾客到达时必须排队等待的概率；（6）若顾客的排队方式变为到达售票处后可到任一窗口前排队，且入队后不再换队，求（1）~（5）的各个指标，并与前面求出的指标相比较，哪种排队方式更好？5.一个修理工负责5台机器的维修。

每台机器平均2小时损坏一次，又修理工修复一台机器平均需时18.75分钟，以上时间均服从负指数分布。

试求：（1）所有机器均能正常运行的概率；（2）等待维修的机器的期望数；（3）假设该维修工照管6台机器，重新求（1），（2）的数据；（4）假如希望做到至少在一半时间内所有机器都同时正常运行，则该维修工最多看管多少台机器；（5）假如维修工每小时工资为8元，机器不能正常运行时每小时损失为40元，则该维修工应看管多少台机器为合适。

排队论习题集汇总_解答例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。

求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。

根据题意, λ=100辆/小时，μ1=15秒=2401（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。

因此125240100==μλ=ρ 系统空闲的概率为：583.012712511P 0==-=ρ-= 系统忙的概率为：417.0125)1(1P 10==ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为：243.014435127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 222==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=系统中有3辆车的概率为：0422.020736875127125)1(P 333==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。

2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。

排队论练习题在我们的日常生活中，我们经常会遇到需要排队等候的场合。

无论是购物、就餐、排队领取文件还是上学等，排队都是我们所不能避免的一部分。

排队问题可以归结为排队论，它研究的是在有限的资源下，如何使排队过程更加高效、公平和有序。

本文将介绍一些排队论的常见练习题，探索其中的解决方法。

1. 餐厅排队问题假设有一家餐厅，每个顾客到达的时间不同，而每个顾客就餐的时间也不同。

当顾客到达时，他们需要选择一个队伍排队等候。

该如何安排队伍，以使得等候时间最短并且公平？解决方法：一种常见的方法是采用先来先服务（First-Come-First-Served, FCFS）策略，即按照顾客到达的顺序进行排队，先到先服务。

另一种方法是采用最小服务时间优先（Shortest Processing Time, SPT）策略，即将服务时间最短的顾客排在前面。

2. 超市收银台排队问题在超市，顾客排队等待结账是常见的场景。

每个收银员可以为一个顾客服务，而且每个顾客的购物总额不同。

如何安排顾客的排队顺序，以使得所有人的等待时间尽可能相同，同时提高整体效率？解决方法：一种常见的方法是采用多队列排队（Multiple Queue），即为每个收银员提供一个专属队伍，顾客可以自行选择队伍。

另一种方法是采用单队列排队（Single Queue），只有一个队伍排队，当前一个顾客结账完毕后，下一个顾客才能进行结账。

3. 公交车站排队问题在繁忙的交通枢纽，如公交车站，乘客需要依次排队上车。

乘客的到达时间和上车时间不同，如何安排乘客的上车顺序以最大程度地减少等待时间和拥挤现象？解决方法：一种常见的方法是采用先上车的乘客先下车（First-On-First-Off, FIFO）策略，即按照到达的顺序排队上车，然后按照到达的先后顺序下车。

另一种方法是采用优先级策略，如让老人、孕妇和残疾人优先上车。

4. 机场安全检查排队问题在机场，旅客需要进行安全检查。

队列问题的公式通常用于解决一些具有队列特性的数学问题。

下面列举几个常见的队列问题公式：
1.排队论中的M/M/1公式：M/M/1模型表示一个系统有无限个顾客和有限
个服务台，顾客以泊松流到达，服务时间和服务时间是相互独立的，服从
相同的指数分布。

该模型可以用以下公式表示：L = λW，其中L是队列长
度，λ是平均到达率，W是平均服务时间。

2.排队论中的M/M/c公式：M/M/c模型表示一个系统有无限个顾客和c个服
务台，顾客以泊松流到达，服务时间和服务时间是相互独立的，服从相同
的指数分布。

该模型可以用以下公式表示：L = (c / (c - λ)) * λ * W，其中L
是队列长度，λ是平均到达率，W是平均服务时间。

3.优先队列公式：优先队列是一种数据结构，其中元素具有优先级。

最常见
的优先队列公式是查找具有最大优先级的元素的时间复杂度为O(log n)，插入新元素的时间复杂度为O(log n)，删除具有最大优先级的元素的时间复杂度为O(log n)。

4.循环队列公式：循环队列是一种使用固定大小的数组实现队列的方法，其
中头尾指针可以指向队列的开头和结尾。

循环队列的公式包括：front =
(front + enqueue) % size和rear = (rear + enqueue) % size，其中front是头指针，rear是尾指针，enqueue是入队操作，size是数组大小。

以上是一些常见的队列问题公式，它们可以帮助我们解决一些具有队列特性的数学问题。

排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。

队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。

排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。

以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。

2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。

3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。

4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。

5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。

以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。

数学建模中的排队论问题数学建模是运用数学方法来解决实际问题的一种学科，而排队论则是数学建模中的一个重要问题。

排队论是研究人们在排队等待时所产生的等待时间、服务时间、队列长度等问题的数学理论。

在各个领域中，排队论都有广泛的应用，例如交通运输、生产调度、服务管理等。

排队论的基本概念包括顾客、服务台、队列、到达率、服务率等。

顾客是指等待服务的个体，可以是人、机器或其他物体。

服务台是为顾客提供服务的地方，可以是柜台、服务窗口或机器设备。

队列是顾客排队等待的区域。

到达率是指单位时间内到达队列的顾客数量。

服务率则是指单位时间内服务台完成服务的顾客数量。

排队论的目标是通过数学模型来分析和优化排队系统，以提高效率和服务质量。

常用的排队论模型有M/M/1, M/M/c, M/M/∞等，其中M表示到达率和服务率满足泊松分布，1表示一个服务台，c表示多个服务台，∞表示无穷多个服务台。

在现实生活中，排队论的应用非常广泛。

以交通运输为例，交通流量大的道路上常常出现拥堵现象。

排队论可以用来研究交通信号灯的时序控制，从而减少交通阻塞和等待时间。

排队论还可以应用于生产调度问题，如工厂的生产线、餐馆的点餐队列等，通过优化排队系统可以提高生产效率和顾客满意度。

除了基本的排队论模型，还有许多扩展模型用于解决更复杂的实际问题。

例如，考虑到顾客的不满意程度，可以引入优先级排队模型。

考虑到服务台设备可能发生故障，可以引入可靠性排队模型。

排队论也可以与优化算法相结合，寻找最佳的服务策略和资源配置。

在数学建模中，解决排队论问题通常需要进行数学推导、建立数学模型、进行仿真实验以及进行实际数据的拟合和验证。

通过数学建模的方法，可以对排队系统的性能进行全面评估，从而提出改进方案和决策策略。

综上所述，数学建模中的排队论问题在实际应用中具有重要的意义。

通过研究排队论，可以优化排队系统，提高效率和服务质量。

随着科技的进步和数据的丰富，排队论的研究将在各个领域中得到更广泛的应用和发展。

排队论习题解10.1某修理店只有一个修理工人, 来修理的顾客到达次数服从普阿松分布,平均每小时3人,修理时间服从负指数分布,平均需10分钟, 求(1) 修理店空闲时间概率; (2) 店内有4个顾客的概率; (3) 店内至少有一个顾客的概率; (4) 在店内顾客平均数; (5) 等待服务的顾客平均数; (6) 在店内平均逗留时间; (7) 平均等待修理(服务)时间;(8) 必须在店内消耗15分钟以上的概率.04440s q s q 60M /M /1//3 6.1031(1)p 1162111(2)p (1)(1)()223211(3)1p 1223(4)L 1()631312(5)L ()632111(6)()633112(7)()636(8)1-F()W W λμρρρλμλρλμλμλρμλω∞∞====-=-==-=-=-=-====--⋅===--===--===--解：该系统为（）模型，，；；；人；人；小时；小时；1515-(6-3)--(-)6020eee .μλω⨯===11(1)(2)(3)23211(4)(5)2211(6)(7)(8)3615.15-20答：修理店空闲时间概率为；店内有三个顾客的概率为；店内至少有一个顾客的概率为；店内顾客平均数为1人；等待服务顾客平均数为人；在店内平均逗留时间分钟；平均等待修理时间为分钟；必须在店内消耗分钟以上的概率为e10.22015(1)(2)(3)(4) 1.25M /M /1.603(/20λ==设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为分钟，求顾客来打字不必等待的概率；打字室内顾客的平均数；顾客在打字室内平均逗留时间；若顾客在打字室内的平均逗留时间超过小时，则主人将考虑增加设备及打字员，问顾客的平均到达概率为多少时，主人才会考虑这样做？解：该题属模型人小时0s s s 60)4(/).1531(1)p 11443(2)L 3()4311(3)1()431(4)1.2511.25 3.23.230.2(/).4W W μρλμλμλμλλλ===-=-====--===--=>-≥>-=-Q ，人小时；人；小时；；，，人小时1(1)(2)3(3)41(4)0.2/.答：顾客来打字不必等待的概率为；打字室内顾客平均数为人；顾客在打字室内平均逗留时间为小时；平均到达率为人小时时，店主才会考虑增加设备及打字员 10.3 汽车按平均90辆/h 的poission 流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s 。